דיפרנציאציה ואינטגרציה נומרית רועי יצחק

דיפרנציאציה נומרית

דוגמא: מצא קירוב לנגזרת לפונקציה f(x)=xsin(x) בנקודה 0.5 כאשר חישוב הדיפרנציאל הוא ב 0.6 וב0.51 .והשווה את התוצאות לחישוב הנגזרת האמיתית. פיתרון: ערך הנגזרת האמיתית f’(0.5)=sin(0.5)+0.5cos(0.5)=0.9182 כאשר h=0.1 אזי כאשר h=0.01 אזי

שיטת נומרית לחישוב הנגזרת נדגום את הפונקציה ב-n נקודות. לכל 2 נקודות סמוכות נחשב את נקודת האמצע ביניהן. ונקבל שלכל נקודה שדגמנו יש שלשה של נקודות: נקודת האמצע שלפני, הנקודה עצמה, ונקודת האמצע שאחרי. לכל שלשה כזאת נמצא את פולינום האינטרפולציה ממעלה שניה. נחבר בין כל הפולינומים עבור כל השלשות ונקבל קירוב לפונקציה שהיא פולינום ממעלה שניה. קירוב זה הוא פונקציה רציפה בכל נקודה, וגזירה בכל מקום פרט לנקודות האמצע, שם הפונקציה לא בהכרח גזירה. את הקירוב לפונקציה שקיבלנו נגזור (בתנאים האפשריים- רק היכן שניתן לגזור) והתוצאה היא הקירוב לנגזרת.

דוגמא: פולינום האינטרפולציה עבור השלשה הראשונה: ה-y-ים המתאימים הם:

ולכן הפולינום והנגזרת שלו עבור

אינטגרציה נומרית לעומת דיפרנציאל ,שבדרך כלל זה דבר קל לחישוב , אינטגרל של פונקציה הוא הרבה יותר מסובך ,לפעמים גם אין אינטגרל מוכלל ידוע שניתן לחשב על פיו. במקרים אלו מחשבים על פי כללים כמו סכומי רימן ועוד.

כלל הטרפז x0 x1 x f(x) L(x)

ניתן לראות שחלוקה של הקטע לטרפז אחד מאוד לא מדויקת ולכן על מנת לקבל דיוק טוב יותר, נחלק את הקטע ל n חלקים שווים. הנוסחה לכלל הטרפז עם n צעדים היא:

דוגמא דוגמה: מצא קירוב לאינטגרל ע"י כלל הטרפז עם 2 ועם 4 צעדים. פתרון: תחילה נפתור עם 2 צעדים של טרפז: כעת נפתור עם 4 צעדים של טרפז: נשווה את 2 הפתרונות לפתרון האמיתי שהוא: 0.14658 ניתן לראות שקירוב עם 4 צעדים מדויק יותר.

שיטת סימפסון L(x) f(x) x x0 h x1 h x2

שיטת סימפסון נוסחה: דוגמה: מצא קירוב לאינטגרל ע"י כלל סימפסון עם 2 ועם 4 צעדים. פתרון: תחילה נפתור עם 2 צעדים של סימפסון: כעת נפתור עם 4 צעדים של סימפסון:

Midpoint Rule f(x) x a xm b

שיטת mid-point בדומה לכלל הטרפז אך כאן מדובר במלבנים. 2 צעדים 4 צעדים

שיטת גאוס על מנת למצוא קירוב לאינטגרל של פונקציה מסוימת מדִיוק עד סדר n נדגום את הפונקציה f(x) ב n+1 נק': (x0,f(x0)), (x1,f(x1)), ... ,(xn,f(xn)) נמצא קירוב ל-f(x) ע"י פולינום אינטרפולציה של לגרנז' קירוב זה מדויק עד סדר n. נעשה אינטגרל לפולינום שמצאנו בדרך כלל שיטה זו תהיה טובה כי אם הדגימה מתבצעת כמו שצריך הטעות הנומרית בהנתן הרבנ נקודות צריכה להיות יחסית נמוכה בקטע חסום

דוגמא (שלא עובדת) מצא קירוב לאינטגרל מדיוק עד סדר שני. מצא קירוב לאינטגרל מדיוק עד סדר שני. פתרון: נדגום את f(x)=sin2x ב-3 נקודות: נחשב את פולינומי לגרנז' רק עבור הנקודה האמצעית כי שאר הנקודות יוכפלו באפס, ונבצע אליהם אינטגרציה : הפתרון האמיתי הוא 0.5Pi

תרבועי גאוס-Gaussian Quadrature ניקח את שורשי פולינום לז'נדר מסדר n (ז"א Pn(x) שלמדנו בקירוב עקומות, בתת הנושא- פולינומים אורתוגונליים) , ועבורם נדגום את הפונקציה f(x) שעבורה נרצה לחשב אינטגרל בקטע [-1,1]. נמצא קירוב ל- f(x) ע"י פולינום האינטרפולציה של לגרנז' עבור הנקודות שחישבנו ב-א'. נעשה אינטגרל על הפולינום שמצאנו. במילים אחרות: ההבדל בין "גאוס" לבין "תרבועי גאוס" הוא סעיף א' כלומר באיזה נקודות בוחרים כדי לדגום את הפונקציה. עבור כל קטע [a,b] נעשה העתקה של הפונקציה לקטע [-1,1]

Gaussian Quadrature on [-1, 1] x1 x2 -1 1 בוחרים c-ים וx-ים אופטימלים לשחזור האינטגרל

דוגמה: מצא קירוב לאינטגרל מדיוק מסדר 5 עם 3 קדקודים בלבד פתרון: אם ניקח n=3 קדקודים אזי 2n-1=5 ז"א יש להשתמש בתרבועי גאוס. את 3 הקדקודים ניקח משורשי פולינום לז'נדר ה-y-ים המתאימים הם: שהם נחשב את הפולינומים של לגרנז' על פי ערכים אלה ומתוכם נחשב את ci:

סה"כ נקבל: שימו לב ה C-ים קבועים עבור כל פונקציה כי הם נקודות הדגימה האופטימליות עבור הקטע [-1,1]

Gaussian Quadrature on [-1, 1] ולכן תמיד כאשר נרצה דיוק מסדר 5 לכל פונקציה נבחר את 3 הנקודות ו3 המשקולות המתאימות

Gaussian Quadrature on [a, b]

דוגמא ערך האינטגרל של הפונקציה הבאה נתון מצא את ערכי תרבועי גאוס של האינטגרל על ידי שנים,שלוש וארבע שורשים

Example: Gaussian Quadrature Three-point formula Four-point formula