主讲人 主讲人：彭泽洲

一. 预备知识 1. 已知 OP 为角  的终边，求单位圆上点 P 的坐标。 P 2 （ x 2,y 2 ） P 1 （ x 1,y 1 ） 2. 坐标系中两点的距离公式 Y X P O X Y  P （ COS  ， SIN  ） |P 1 P 2 |=√(x 1 -x 2 )²+(y 1 -y 2 )²

问题 1 ：不查表，计算 COS105° 和 COS15° 的值 二. 两角和与差的余弦公式 因为 105°=45°+ 60° ， 15°=45°- 30° 所以 COS105°=COS （ 45°+ 60° ） =COS45°+ COS60° COS15° = COS （ 45°- 30° ） = COS45°- COS30 ° 从而进一步有结论 COS （  +  ） = COS  + COS  COS （  -  ） = COS  - COS 

COS （  ±  ） = COS  ± COS  例题 1 COS （  /3 +  /6 ） = COS  / 3 +COS  / 6 是否成立？ 解 : 因为 COS （  / 3 +  / 6 ） = COS  /2 = 0 COS  /3 +COS  /6 = 1/2+√3/2 0  1/2+√3/2 所以 COS （  /3+  /6 ）  COS  /3+COS  /6 COS （  ±  ） = COS  ± COS 

公式 1 ： P 2 (COS ,SIN  ) P 3 (COS(-  ),SIN(-  )) P 1 (1,0) P 4 (COS(  +  ),SIN(  +  )) |P 1 P 4 |=|P 2 P 3 | |P 1 P 4 | ² =|P 2 P 3 |² x y O P1P1 P2P2 P3P3 图1图1  -- y x O P1P1 P4P4  +  COS （  +  ） =COS  COS  -SIN  SIN 

|P 2 P 3 |² =[Cos  -Cos （ -  ） ] ² +[Sin  -Sin （ -  ） ] ² = Cos²  +Cos²  -2 Cos  Cos  + Sin²  + Sin²  - 2Sin  Sin  =2-2 （ COS  COS  -SIN  SIN  ） x O P1P1 P2P2 P3P3 图1图1 y P 2 (Cos ,Sin  ) P 3 (Cos(-  ),Sin(-  )) 如图 1 中 x y O P1P1 P2P2 P3P3 图1图1  --

|P 1 P 4 | ² = [Cos （  +  ） -1] ² +Sin ² （  +  ） 在图 2 中， = Cos ² （  +  ） Cos （  +  ） +Sin ² （  +  ） =2 - 2 Cos （  +  ） P 1 (1,0) P 4 (Cos(  +  ),Sin(  +  )) y x O P1P1 P4P4 y x O P1P1 P4P4  + 

∵ |P 1 P 4 | ² =|P 2 P 3 | ² ∴ COS （  +  ） =2-2 （ COS  COS  -SIN  SIN  ） COS （  + （ -  ） )=COS  COS （ -  ） -SIN  SIN （ -  ） –+ COS （  –  ） =COS  COS  +SIN  SIN  COS （  +  ） =COS  COS  –SIN  SIN 

例 2 不查表，计算 COS105° 和 COS15° √ 2 1 √ 2 √ √2 √6 4 = COS45°COS60°-SIN45°SIN60° 解 :COS105°= COS （ 45°+60° ） C  ±  = C  C  S  S  ±

√6 + √2 4 COS15°=COS （ 45°-30° ) = COS45°COS30°+SIN45°SIN30° √ 2 √ 3 √ C  ±  =C  C  S  S  ±

例 3 已知 SIN  =2/3 ，  ∈（  /2 ，  ）,COS  = -- 4/5 ，  ∈（  ， 3  /2 ），求 COS （  -  ）值。 √ √ √5 2√7 12 解：由 SIN  =2/3 ，  ∈（  /2 ，  ），得 COS  = - √1-SIN²  = √1- （ 2/3 ） ² = - √5/3 ； COS （  -  ） = COS  COS  +SIN  SIN  又由 COS  = -3/4 ，  ∈（  ， 3  /2 ），得 SIN  = -√1-COS²  =√1- （ -3/4 ） ² = - √7/4.

三. 练习 1. 不查表, 求 COS75° 的值. 2. 已知 SIN  = 3/5,  ∈（  / 2 ，  ）, 求 COS(  /3-  ) 的值. C  ±  =C  C  ± S  S 

练习 1 解答： √ 2 √ 3 √ √6 √2 4 = COS45°COS30°-SIN45°SIN30° 解 : COS75°=COS （ 45°+30° ）

解：由 SIN  =3/5 ，  ∈（  /2 ，  ），得 COS  = - √1-SIN²  = -√1- （ 3/5 ） ² = - 4/5 ； COS (  /3-  ) = COS  /3COS  +SIN  /3 SIN  =(1/2)(- 4/5)+(√3 /2)(3/5) = （ 3√3 - 4 ） /10 练习 2 解答：

– + 四. 小结 COS （  +  ） =COS  COS  – SIN  SIN  COS (  –  ） =COS  COS  + SIN  SIN  3 。公式中的运算符号 + C C S S     2 。公式中角的顺序     注意： 1 。公式中三角符号的顺序 CCSS

五. 作业 P208 4 P