CÁLCULO DE PERÍMETROS Y ÁREAS

Así como es importante estudiar otras asignaturas y otras áreas de las Matemáticas, también lo es el estudio de la Geometría. En este tema trataremos con la Geometría Plana o Euclidiana. Esta rama de las matemáticas estudia las propiedades de superficies y figuras planas, como por ejemplo el cálculo de perímetros y áreas.

Vamos a trabajar con Perímetros y Áreas

Perímetro es la medida del contorno u orilla de una figura plana. Recuerda . . . Perímetro es la medida del contorno u orilla de una figura plana.

y Área o Superficie es la medida del espacio plano que ocupa una figura.

PERÍMETRO RECTÁNGULO Perímetro = 2 a + 2 b a b

RECTÁNGULO Perímetro = 2 a + 2 b (2 x 3) + (2 x 7) = 20 cm 3 cm 7 cm

Justificación de la fórmula del Área Rectángulo Imagina que tienes una recámara que mide 3 metros de ancho y 4 metros de largo y quieres alfombrarla. ¿Cuántos metros cuadrados necesitas?

Representemos con un dibujo la recámara. Tomemos como unidad de comparación 1 cuadrado que mide 1 metro por lado. 1 m 1 m

¿Cuántos de esos cuadrados caben en ese rectángulo? 1 2 3 4 5 6 7 8 3 m 9 10 11 12 4 m Sería lo mismo si multiplicamos 4 x 3 = 12 Entonces ya sabes que necesitas 12 m2 de alfombra. Generalizando . . .

ÁREA RECTÁNGULO Área = base x altura a altura b base

RECTÁNGULO Área = b h . 7 x 3 = 21 cm2 3 cm 7 cm

Justificación de la fórmula del Área Paralelogramo El área del paralelogramo es igual a la de un rectángulo de igual base y de igual altura. Se explica en la figura siguiente: b a a b A = b x a

PERÍMETRO Suma de los Tres Lados TRIÁNGULO

PERÍMETRO Perímetro = a + b + c TRIÁNGULO b a c

3 + 4 + 5 = 12 cm PERÍMETRO TRIÁNGULO Perímetro = a + b + c 4 cm 5 cm

Justificación de la fórmula del Área Triángulo Dado un triángulo cualquiera, se toma otro de la misma forma y tamaño y con los dos se forma un paralelogramo. Entonces el área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo formado.

a b a b a Área del parelogramo = b x a b Área del triángulo = b x a 2

ÁREA Base por Altura entre Dos TRIÁNGULO

Área = b . h 2 TRIÁNGULO Altura h Base b

TRIÁNGULO Área = b . h 2 4 x 6 2 = 12 cm h 6 cm b 4 cm

PERÍMETRO Suma de los lados TRAPECIO b c d a

9 + 5 + 3 + 3 = 20 cm TRAPECIO Perímetro = a + b + c + d d = 3 cm b = 5 cm d = 3 cm c = 3 cm a = 9 cm

Justificación de la fórmula del Área Trapecio Para encontrar la fórmula correspondiente, basta dividir el trapecio en dos triángulos de diferente base pero misma altura y sumar las áreas de cada uno: b b x h 2 A = A h B x h 2 A = B A = + B h 2 b h = B h + b h ( B + b ) h

ÁREA TRAPECIO Base mayor + base menor por altura entre dos b h B

TRAPECIO Área = ( B + b ) h 2 b Base menor h altura B Base mayor

( 9 + 5 ) 2.5 = 17.5 cm2 2 TRAPECIO Área = ( B + b ) h 2 b h B = 5 = 9 = 5 = 2.5

PERÍMETRO CUADRADO Suma de los lados l

5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm 4 x 5 = 20 cm CUADRADO 5 cm Perímetro = l + l + l+ l = 4 l 5 + 5 + 5 + 5 = 20 cm 5 cm 4 x 5 = 20 cm

Lado x lado = lado al cuadrado ÁREA CUADRADO Lado x lado = lado al cuadrado l

CUADRADO Área = l . l = l 2 4 x 4 = 42 = 16 cm2 4 cm

PERÍMETRO Suma de los lados ROMBO l

ROMBO Perímetro = l + l + l+ l = 4 l 4 + 4 + 4 + 4 = 16 cm 4 cm 4 x 4 = 16 cm

ÁREA ROMBO Diagonal mayor por diagonal menor entre dos D d

ROMBO Área = D d 2 8 x 5 = 20 cm2 2 D d 8 cm 5 cm

PERÍMETRO POLÍGONOS REGULARES Perímetro = n . l l l l l l l n = No. de lados l = medida del lado

P = 5 x 3 = 15 cm P = 6 x 4 = 24 cm P = 8 x 2 = 16 cm 3 cm 4 cm 2 cm Pentágono P = 6 x 4 = 24 cm 4 cm Hexágono 2 cm P = 8 x 2 = 16 cm Octágono

Justificación de la fórmula del Área Polígonos Regulares Uniendo el centro con cada uno de los vértices, un polígono regular puede dividirse en tantos triángulos iguales como lados tiene. Por ejemplo, el hexágono se divide en 6 triángulos.

Como 6 x l es igual al perímetro 2 l l a 6 = 2 a Como 6 x l es igual al perímetro del hexágono, se tiene: A = P a 2 Donde P indica el perímetro. Procediendo de la misma manera se demuestra que, en general, el área de un polígono regular se obtiene multiplicando el perímetro por la apotema y dividiendo entre dos.

POLÍGONOS REGULARES Área = P . a 2 a apotema

POLÍGONOS REGULARES Área = P . a 2 3.5 cm (3.5 x 6) x 2 A = 2 42 A = 2

Sugerencias y Comentarios omurilloh@tamaulipas.gob.mx sgarciag@tamaulipas.gob.mx Bibliografía: Libro Para el Maestro, Matemáticas Educación Secundaria, S.E.P. Elaboró: Profra. Sandra Luz García Garza Diseño: L.C.A. Esther Elizabeth González Glz.