1.2.4 平面与平面垂直的判定 二面角的有关概念

问题提出 1. 空间两个平面有平行、相交两 种位置关系，对于两个平面平行， 我们已作了全面的研究，对于两个 平面相交，我们应从理论上有进一 步的认识.

2. 在铁路、公路旁，为防止山体滑坡， 常用石块修筑护坡斜面，并使护坡斜面 与水平面成适当的角度；修筑水坝时， 为了使水坝坚固耐用，必须使水坝面与 水平面成适当的角度，如何从数学的观 点认识这种现象？ 公路

知识探究（一）： 二面角的有关概念 思考 1: 直线上的一点将直线分割成两 部分，每一部分都叫做射线. 平面上 的一条直线将平面分割成两部分，每 一部分叫什么名称？ 半平面 射线

思考 2: 将一条直线沿直线上一点折起， 得到的平面图形是一个角，将一个平 面沿平面上的一条直线折起，得到的 空间图形称为二面角，你能画一个二 面角的直观图吗？

思考 3: 在平面几何中，我们把角定 义为 “ 从一点出发的两条射线所组成 的图形叫做角 ” ，按照这种定义方式， 二面角的定义如何？ 从一条直线出发的两个半平面所组 成的图形叫做二面角

思考 4: 下列两个二面角在摆放上有什 么不同？ l α β α β l

思考 5: 一个二面角是由一条直线和两 个半平面组成，其中直线 l 叫做二面 角的棱，两个半平面 α 、 β 都叫做二 面角的面，二面角通常记作 “ 二面角 α- l -β”. 那么两个相交平面共组成几个 二面角？ l α β 棱 面

知识探究（二）： 二面角的平面角 思考 1: 把门打开，门和墙构成二面角； 把书打开，相邻两页书也构成二面角. 随着打开的程度不同，可得到不同的 二面角，这些二面角的区别在哪里？

思考 2: 我们设想用一个平面角来反映 二面角的两个半平面的相对倾斜度， 那么平面角的顶点应选在何处？角的 两边在如何分布？ l α β

思考 3: 在二面角 α- l -β 的棱上取一点 O ， 过点 O 分别在二面角的两个面内任作 两条射线 OA ， OB ，能否用∠ AOB 来 刻画二面角的张开程度？ l α β O A B

思考 4: 在上图中如何调整 OA 、 OB 的 位置，使∠ AOB 被二面角 α- l -β 唯一确 定？这个角的大小是否与顶点 O 在棱 上的位置有关？ l α β O A B l α β O A B

思考 5: 上面所作的角叫做二面角的平 面角，你能给二面角的平面角下个定 义吗？ 以二面角的棱上任意一点为顶点， 在两个面内分别作垂直于棱的两条 射线，这两条射线所成的角叫做二 面角的平面角. l α β O A B

思考 6: 二面角的大小可以用它的平面 角来度量，二面角的平面角是多少度， 就说二面角是多少度. 平面角是直角 的二面角叫做直二面角. 当二面角的 两个面重合时，二面角的大小为多少 度？当二面角的两个面合成一个平面 时，二面角的大小为多少度？一般地， 二面角的平面角的取值范围如何？

思考 7: 如图，过二面角 α- l -β 一个面内 一点 A ，作另一个面的垂线，垂足为 B ，过点 B 作棱的垂线，垂足为 O ， 连结 AO ，则∠ AOB 是二面角的平面 角吗？为什么？ A B O l α β

思考 8: 如图，平面 γ 垂直于二面角的 棱 l ，分别与面 α 、 β 相交于 OA 、 OB ， 则∠ AOB 是二面角的平面角吗？为什 么？ α β l A O B γ α β

理论迁移 例 1 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中， 求二面角 B 1 -AC-B 大小的正切值. A A1A1 B C D B1B1 C1C1 D1D1 O

例 2 如图所示，河堤斜面与水平面 所成二面角为 ，堤面上有一条直道 CD ，它与堤角的水平线 AB 的夹角 为 ，沿这条直道从堤脚 C 向上行走 10m 到达 E 处，此时人升高了多少 m ？ A B C D E O F

如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直。 已知： AB ⊥ β ， AB∩β=B ， AB α 求证： α ⊥ β. ∪ 证明： α β C D A B E 在平面 β 内过 B 点作直线 BE ⊥ CD ，则 ∠ ABE 就是二面角 α--CD--β 的平面角， 设 α∩β=CD, 则 B ∈ CD. ∪ ∵ AB ⊥ β ， CD β ，∴ AB ⊥ CD. ∪ ∵ AB ⊥ β ， BE β ， ∴ AB ⊥ BE. ∴二面角 α--CD--β 是 直二面角，∴ α ⊥ β.

课堂练习： 1. 如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的一条 直线，则 α ⊥ β. （ ） 3. 如果平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的两条 相交直线, 则 α ⊥ β. （ ） 一、判断： × × 4. 若 m ⊥ α ， m β ，则 α ⊥ β.( ) ∪ √ 2. 如果平面 α 内有一条直线垂直于平面 β 内的两条 直线，则 α ⊥ β. （ ） √

1. 过平面 α 的一条垂线可作 _____ 个平面 与平面 α 垂直. 2. 过一点可作 _____ 个平面与已知平面垂 直. 二、填空题： 3. 过平面 α 的一条斜线，可作 ____ 个平 面与平面 α 垂直. 4. 过平面 α 的一条平行线可作 ____ 个平 面与 α 垂直. 一 无数 一

归纳小结： (1) 判定面面垂直的两种方法： ①定义法②根据面面垂直的判定定理 (2) 面面垂直的判定定理不仅是 判定两个平面 互相垂直 的依据，而且是 找出垂直于一个平 面的另一个平面 的依据； (3) 从面面垂直的判定定理我们还可以看出 面 面垂直 的问题可以转化为 线面垂直 的问题来 解决.