Extensive Form Game

“Burn the Boats” לעיתים אנחנו שומעים את הביטוי “let’s burn the boats”. מה הכוונה ? –לוותר על אלטרנטיבה B –ובכך לא להותיר ברירה ולנסות להשיג A Paradox of commitment Paradox of commitment It is by limiting my own options that I can manage to influence the rival’s course of actions in my interest. It is by limiting my own options that I can manage to influence the rival’s course of actions in my interest.

Hernan Cortes and the Aztecs From a good Spanish family. – Failed at being a European soldier. – Failed at becoming a lawyer. Cortes was hungry for wealth and recognition.

Cortes 1519 – landed on the coast of Mexico with : – 600 men, 16 horses, and a few cannon. WHY WOULD CORTES BURN HIS SHIPS WHEN HE GOT TO THE NEW WORLD?

5 C Burn ships Keep Ships S S Be careful Fight Hard C = 100, S = 0 C = -100, S = -100 C = 100, S = 0 C = 0, S = 10 Think of Cortes trying to motivate his own soldiers Fight Hard Be careful

6 C Burn ships Keep Ships S S Be careful Fight Hard C = 100, S = 0 C = -100, S = -100 C = 100, S = 0 C = 0, S = 10 If no retreat possible, will fight hard or die. But if retreat is possible, may fight less hard and ‘run away’ Fight Hard Be careful

7 C Burn ships Keep Ships S S Be careful Fight Hard C = 100, S = 0 C = -100, S = -100 C = 100, S = 0 C = 0, S = 10 So Cortes wants to burn his ships. It is a credible commitment not to retreat – and this alters how his own troops behave. Fight Hard Be careful

עוד על Burn the boats היכן נתקלנו בזה עד כה ? – Golden Balls – התחייבות ל - steal ובכך ביטול האופציה ל - split –עקירת ההגה ב - chicken game Busi­ness guru, Tom Peters swears by Cortés’ destruc­tive strat­egy by going so far as to sug­ gest that every com­pany hire a CDO – a Chief Destruc­tive Officer.

מימד הזמן - Extensive Form Game מימד הזמן וסדר הפעולות - מרכיב משמעותי בניתוח משחק תצוגת ה - normal form game לא משלבת שום מרכיב של סדר הפעולות (sequence) או זמן –השחקנים פועלים בו זמנית תצוגת ה - extensive form game הינה אלטרנטיבה שמייצגת גם את המרכיב הטמפורלי שבמשחק – perfect information extensive-form games – imperfect-information extensive-form games

Perfect Information Extensive Form Game A (finite) perfect-information game (in extensive form) is defined by the tuple (N ; A ; H ; Z ; χ ; ρ ; σ ; u), where: – Players: N – Actions: A – Choice nodes and labels for these nodes: Choice nodes: H Action function: χ : H → 2 A assigns to each choice node a set of possible actions Player function: ρ : H → N assigns to each non-terminal node h a player iϵN who chooses an action at h –.

Perfect Information Extensive Form Game

דוגמה – The Sharing Game אח ואחות צריכים לחלק ביניהם 2 דולר האח מתחיל אם האחות לא מסכימה אז שניהם מקבלים 0

אסטרטגיות כמה אסטרטגיות טהורות יש לכל שחקן במשחק ? –לשחקן 1 יש 3 אסטרטגיות (2-0,1-1,0-2) –לשחקן 2 יש 8 (3^2) אסטרטגיות

אסטרטגיה טהורה - הגדרה אסטרטגיה טהורה של שחקן ב - perfect information game היא הגדרה מלאה של הפעולה בה ינקוט עבור כל צומת (node) השייכת לשחקן זה

דוגמה מהן האסטרטגיות הטהורות של שחקן 2? – S2 = {(C,E),(C,F),(D,E),(D,F)} מהן האסטרטגיות הטהורות של שחקן 1? – S1 = }(B,G),(B,H),(A,G),(A,H)} במצב זה לא נגיע לעולם ל - H אבל עדיין האסטרטגיה הטהורה (A,H) שונה מ - (A,G)

ש " מ נאש על - בסיס הגדרת האסטרטגיה הטהורה, ניתן להגדיר מחדש גם : –אסטרטגיות מעורבות – Best response –ש " מ נאש

המרת המשחק ל - Normal Form ניתן להמיר את ה - extensive form game ל - normal form game בצורה יחסית קלה חשיבות : כל התוצאות / הוכחות שהתקיימו ב - normal form game יתקיימו גם ב - extensive form

יתרונות ה - extensive form game מאפשר לייצג משחקים שיש בהם אלמנט של זמן מאפשר לייצג משחקים בצורה קומפקטית : –משחקים עם הרבה פעולות –מונע חזרה של מצבים ( למשל בדוגמה הקודמת היינו צריכים 16 payoff pairs בעוד שבאמצעות ה - extensive form מספיק לנו 5 אבל... –לא כל משחק ניתן לייצג כ - extensive form ( כלומר, המעבר מ - normal form ל - extensive form לא תמיד מתקיים ) –דוגמה – matching pennies

ש " מ ב - Extensive Form נובע מכך שאנחנו עובדים בצורה סדרתית (sequential) שימ / י לב !!! המשפט נכון אך ורק ל - perfect information extensive form game ( כבר ראינו שב - normal form יש מצבים שבהם אין PSNE, למשל ב - matching pennies) האם יש טעם להשתמש באסטרטגיה מעורבת ב - perfect information extensive form game? –לא ! כי ממילא השחקן השני רואה מה עשינו ( אני לא מרוויח כלום מה - randomization)

המרת המשחק ל - Normal Form מהם שיוויי המשקל על בסיס אסטרטגיות טהורות במשחק ?

Subgame Perfection ש " מ (BH,CE) קצת מוזר – למה ששחקן 1 ישחק H אם יש לו גם את האלטרנטיבה G? –למעשה הבחירה ב - H היא האיום ששומר עלינו בש " מ – שחקן 2 יודע שאם יבחר ב - F אז שחקן 1 יבחר ב - H ולכן עדיף לו לבחור ב - E –אבל האמנם זה איום אמין ? האם באמת שחקן 1 יפעל כך ברגע האמת ?

הגדרה פורמלית s הוא subgame perfect equilibrium של G אם ורק אם לכל subgame G’ של G, הנגזרת של s ל - G’ היא Nash equilibrium של G’

דוגמה ב - subgame הזה הפעולה H היא לא ש " מ נאש ולכן הפיתרון (BH,CE) הוא לא subgame perfect equilibrium Subgame G’

נקודות נוספות מכיוון ש - G הוא גם subgame של עצמו אז כל SPE הוא גם NE. ההגדרה הנוכחית פוסלת איומים לא אמינים non- credible threats

האם יש לנו subgame perfect equilibrium במשחק ? האסטרטגיה H ב - (AH,CF) נקראת off path

Backward Induction דרך לחישוב ה - subgame perfect equilibrium של משחק all leaf nodes vector denoting the utility for each player set of all actions available to player at that node

דוגמה – Centipede game מהו ה - subgame perfect equilibrium? –שחקן 1 בוחר D כבר בתור הראשון תוצאה זו היא Pareto-dominated על - ידי כל התוצאות האחרות ( מלבד השניה ) האם אנשים ישחקו לפי ש " מ זה ? מה צריך שחקן 2 לעשות אם שחקן 1 בחר A? לפי ה - SPE עליו לבחור D –אבל גם שחקן 1 היה צריך לבחור D לפי היגיון זה. אז אולי שחקן 1 משחק בצורה לא רציונלית ? –הנושא נחקר רבות בספרות

Example: Mini Ultimatum Game Proposer (Player 1) can suggest one of two splits of £10: (5,5) and (9,1). Responder (Player 2) can decide whether to accept or reject (9,1), but has to accept (5,5). Reject leads to 0 for both Player 1 (9,1) ar 9 10 (5,5) 5 Player 2

Mini Ultimatum Game in Strategic Form Player2 accept (9,1)reject (9,1) Player 1propose (5,5)5,5 propose (9,1)9,10,0 There are two equilibria: 1.(propose (9,1), accept (9,1)) 2.(propose (5,5), reject (9,1)). Equilibrium 2 is in weakly dominated strategies (reject (9,1) is weakly dominated)

Example: Mini Ultimatum Game There is one subgame of length 1, following (9,1) Player 1 (9,1) ar 9 10 (5,5) 5 Player 2

Example: Mini Ultimatum Game There is one subgame of length 1, following (9,1) The optimal action is accept Player 1 (9,1) ar 9 10 (5,5) 5 Player 2

Example: Mini Ultimatum Game There is one subgame of length 1, following (9,1) The optimal action is accept There is one subgame of length 2, the whole game Player 1 (9,1) ar 9 10 (5,5) 5 Player 2

Example: Mini Ultimatum Game There is one subgame of length 1, following (9,1) The optimal action is accept There is one subgame of length 2, the whole game Taking “accept” in the subgame of length 1 as given, we see that (9,1) is optimal Player 1 (9,1) ar 9 10 (5,5) 5 Player 2

Extensive Form Games with Perfect Information Example (172.1) C E F D G H 2,1 1,3 2,2 3,0 2 KJ I 1,1 1,0

Extensive Form Games with Perfect Information Example (172.1) C E F D G H 2,1 1,3 2,2 3,0 2 KJ I 1,1 1,0 Player 2 Optimal Strategies: (FHK),(FIK),(GHK),(GIK)

Extensive Form Games with Perfect Information Example (172.1) C E F D G H 2,1 1,3 2,2 3,0 2 KJ I 1,1 1,0 Player 2 Optimal Strategies: (FHK),(FIK),(GHK),(GIK) Player 1 Best Responses: (C),(C),(C or D, or E),(D)

Extensive Form Games with Perfect Information C E F D G H 2,1 1,3 2,2 3,0 2 KJ I 1,1 1,0 Strategy Pairs: (C,FHK), (C,FIK), (C,GHK), (D,GHK), (E,GHK), (D,GIK) Player 2 Optimal Strategies: (FHK),(FIK),(GHK),(GIK) Player 1 Best Responses: (C),(C),(C or D, or E),(D) All SPE

Example: Voting for a Payraise Three legislators are voting on whether to give themselves a pay raise. All three want the pay raise; however, Each face a small cost in voter resentment c>0. The benefit for the raise is greater than cost: b>c They vote in the order Simple majority rule What is the outcome obtained by backward induction? (N; NY; nyyn) Diagram courtesy: Dr. Tayfun Sönmez