图论有关基础概念 （第 2 章） 北大李晓明教授课件

图 但它们都不是我们 这里要讨论的 “ 图 ” （ Graph ）

形形色色的网络

Source: Bill Cheswick 早期（ 1998 ） Internet

形形色色的网络 交通运输网，邮政网，电话通信网，计算 机网，互联网，万维网 社会关系网，产品供销网，金融借贷网 智能电网，无线网，传感网，物联网 神经网，生物代谢网，食物链（网） 攻守同盟网，恐怖主义网络 … ， 人人网，新浪微博网， QQ ， … ，团购网

当我们想到 “ 网络 ” 这个词语... “ 事物、情况 ” ＋ “ 联系 ” 节点（ vertex, node, point ） 边（连接, 链接, 关系, 联系； edge, link, tie ）

哥德堡七桥问题 能否经过所有桥一次，且只经过一次？

欧拉的洞察力 从一座桥进入一个非终点陆地，需要从另一座桥离开 非终点陆地所连接桥的数量应为偶数 起点终点相同，则该陆地连接桥为偶数 起点终点不同，则两块陆地连接桥为奇数 对于哥德堡七桥来说，答案为否！ 存在一类问题：只与事物间联系有关，与大小、位置、距 离无关（图论、拓扑学）

作为一个数学概念的 “ 图 ” 节点，边 – （ x,y ）的圆括号表示其中的元素次序无关 – 度（ degree ）节点邻居（边）的数量 同一个图，可以 “ 看起来 ” （画法）不同 不相同的图，可以 “ 看起来 ” 相同－－同构 关系关系 关系关系

图及其 “ 画法 ” 画出来的图，常分为两类－－标注图和无 标注图。后者只关心抽象的结构，不标注 节点名称。 ?

两个图 “ 同构 ” 是什么意思？ 从基本（集合）定义出发讲，两个图 G 1, G 2 同构，当且仅当节点集合之间存在一个 映射（置换， ρ: V 1  V 2 ），使得关系得以 保持 更经常地，我们看到两个画出来的无标注 图，关心它们是否同构 等价的考虑：节点任意标注，是否存在上 述映射（同构－等价类）

为什么说这两个图是同构的？ (a,b) ε E1  (b,a) ε E2 (a,c) ε E1  (b,c) ε E2 (a,d) ε E1  (b,d) ε E2 (b,c) ε E1  (a,c) ε E2 (d,c) ε E1  (d,c) ε E2 abbaccddabbaccdd abbaccddabbaccdd “ 看起来 ” 一样的，一 定同构； “ 看起来 ” 不 一样的，不一定不 同构。

提问：哪些图之间是同构的？ (a)(b)(c) (d)(e)(f)

（不一样的）图的个数（枚举） 给定节点数（ n ） – 标注图？ – 无标注图？ 数学家找到了一种计算无标注图的个数的方法（ Polya 定理） 如何判断两个图是否 “ 同构 ” 依然是图论的最基本挑战之一 给定节点数 n ，无标注图的个数也是随 n 增长很快的！

无标注图的个数无标注图的个数 课堂练习：画出所有 4 节点图

路，距离，直径，连通，连通分量 路（ path ，路径）：节点序列，相邻两个节 点之间存在一条边 – 长度：节点数减 1 ；或者，所涉及边的条数 – 简单路径，回路（仅端点相同的路径） 距离：两个节点之间最短路径的长度 连通图：任何两个节点之间都存在一条路 连通分量 1. 它是一个连通子图 2. 它不被真包含在任何其他连通子图中

例子：路，距离，连通分量 节点 I 和 M 之间有多 少不同的路？ 有多少不同的简单 路径？ 它们之间的距离？ ({A,B},{(A,B)}) 是不 是连通分量？ ({H,L,M},{(H,L),(L,M ),(H,M)}) 是不是连 通分量？

课堂练习 平均距离：所有节点对之间距离的平均值 直径：图中所有节点对之间的最大距离 计算下图的直径与平均距离之比 K6K6 P4P4 直径＝ 5 10 个节点， 共有 45 个距 离，可按 K6 内部（ 15 ）， P4 内部（ 6 ）， K6 和 P4 之间 （ 24 ）分别 考虑。

桥 (bridge) ，捷径 ( local bridge) 桥：具有特别性质的边 ，删除它，其两个端点 之间就不再有路 – 删除它，增加图的连通 分量的个数 捷径：也是一种边，删 除它，其两个端点之间 的距离至少为 3 – 桥可以看成是捷径的一 个特例

二部图（本课程常用的一类图） 定义：一个图称为 二部图，若其节点 可以被分成两组， 组内节点之间没有 边 定理：一个图是二 部图，当且仅当其 中不存在长度为奇 数的圈

有向图（ directed graph ） 节点的入度、出度 强调边的方向性 和 有可能同时存在

有向路径，强连通分量 有向路径：节点序列， 相邻节点之间有从前往 后的有向边 强连通分量 (1) 任意两个节点之间存在 有向路径（两个方向） 的有向子图 (2) 不被真包含在任何其他 满足性质 (1) 的子图中 ({B,C,D}, {,, })

寻找强连通分量 下图是个强连通有向图吗？ 强连通分量 – 节点子集，其中每个 节点都有到任何其他 节点的有向路径 – 不存在真包含这个集 合的节点子集 问题：一个有向图中是否可能存在两个节点 有相同的强连通分量？

图上的广度优先搜索（ BFS ） 从一个节点开始，遍历图中其他节点的一 种方法 – 初始节点 – 邻居节点 – 邻居的邻居节点（不包括已经到达的节点） – 邻居的邻居的节点（ … ） –…–… BFS 能有效地将图的节点 “ 分层 ” ，有利于 讨论图的一些性质

从 LINC 开始 广度优先搜索 {LINC} {MIT, CASE} {CARN, BBN,UTAH} {HARV, SDC, RAND, SRI} {UCSB, UCLA, STAN}

现实中若干典型网络（图） 合作图 – 例如，一群学者之间合著关系（ co-authorship ） – 节点：人；边：当且仅当两个人有合著的文章 交流网 – 例如，一所大学师生之间的电子邮件关系网 – 节点：人；边：两人之间发过一定量的往返邮件 信息链接网（有向） – 万维网上的网页之间的链接关系 – 论文之间的引用关系 … 在许多具体场合，人们常常对边 也赋予某种标注（ label ），以体 现应用的含义需求。

网络数据的计算机表示 关联矩阵 （边序列） 相邻节点列表 1 ： 2,3,4 2 ： 1,4 3 ： 1,4 4 ： 1,2,3 边序列 1,2 1,3 1,4 2,4 3,4 邻接矩阵， （相邻节点 列表）

图的展示与分析工具 现实应用中，图一般都是首先从描述节点 和边的数据而来 根据那些数据，适当地给出一个 “ 形象表示 ” （即画出一个图），常常是很有必要的； 而根据那些数据，得出某些结论更是网络 分析所追求的目标 为此，人们开发了许多工具 – Pajek, UCINET, NetMiner, MultiNet, X-Rime ，等 – Cuttlefish ，一个简单易用工具的例子

小结

图论重要定理（ upto 1986 ） 1. 欧拉定理（一笔画条件） 2. 完美匹配定理 3. 欧拉平面图性质定理（ V-E+F=1 ） 4. 生成树个数的计算（ Matrix-tree theorem ） 5. 最大流－最小割 6. 平面图判定充要条件（不存在 K 3,3 ， K 5 ） 7.Polya 定理 8. 拉姆斯（ Ramsey ）定理（ R(3)=6, R(4)=18, …) 9. 欧尔（ Ore ）定理 （哈密尔顿圈的存在性）