Wavelet Turbulence for Fluid Simulation 논문 세미나 윤종철

목차 Abstract 1.Introduction 2.Previous Works 3.Procedural Wavelet Turbulence 1.Incompressible, Band-Limited Noise 2.Kolmogorov Wavelet Turbulence 4.High-Resolution Fluid Synthesis 1.Background 2.Injecting Turbulence 3.Detecting Scattering 4.Texture Distortion 5.Final Algorithm 6.Complexity 5.Results 6.Conclusions

Abstract 저해상도 VS 고해상도  빠른 속도로 원하는 해상도의 결과를 얻는 것이 목표 빠름 Not detail 느림 detail

Abstract High spatial resolution 유체 시뮬레이션을 위한 wavelet method 제안 Post-processing step 으로 디테일을 더함 Linear system 안 풀고, 병렬화 쉽고, 약간 의 보조 array 만 필요 고해상도, 저해상도 독립적으로 편집 가능

1. Introduction Visual simulation of fluids 는 지난 10 년간 Considerable progress but sc alability 와 user interaction 여전히 problem Large-scale phenomena simulation 할 때 memory 사용량 linear increase, 실행 시간 linear increase 보다 더 오래 걸림 => small-scale 유체 detail 을 procedurally 발생 algorithm 제안 detail 잃은 곳에 incompressible turbulence function 으로 다시 생성 velocity field 만 input 으로 필요 보통 fluid solver 로 해상도 높이면 effective viscosity 변해 모션 달라짐 본 논문은 existing structures 유지됨

1. Introduction Contributions An incompressible turbulence function that can generate arbitrary energy spectra A method for estimating the small-scale turbulence that is lost by a simulation, and re-synthesizing it in a way consistent with Kolmogorov theory A method of preserving the temporal coherence of the synthesized turbulence A large- and small-scale fluid detail decoupling that allows the latter to be edited independently

1. Introduction Contributions 임의의 에너지 spectra 를 발생시킬 수 있는 incompressible turbulence function 잃어버린 small-scale turbulence 를 추정하는, 그리고 일관된 Kolmogorove theory 를 사용하여 재합성하는 기법 합성된 turbulence 의 temporal coherence 유지 기법 large- 그리고 small-scale fluid 디테일 독립적으로 편 집 가능

2. Previous Works Adaptive Refinement Octree Graded Tetrahedra [Lossaso et al.2004] [Shi and Yu 2004] [Klingner et al. 2006]

2. Previous Works Dissipation Suppression [Selle et al. 2005] [Kim et al. 2006] [Selle et al. 2008] [Fedkiw et al. 2001] Vortex Methods MacCormack / BFECC

2. Previous Works Turbulence Modeling [Stam and Fiume 1993][Rasmussen et al. 2001]

Back ground (Fourier Transform, Wavelet Transform) Fourier Transform 시간축의 파형을 주파수축으로 변환 – 주파수와 위상 크기가 다른 정현파 (sin,cos) 의 조합으로 모든 파형을 만들어 낼 수 있음 -> 모든 파형은 주파수별 위상과 크기가 다른 정현파로 분리됨 –ex) 이퀄라이져 » 음악신호에 들어있는 주파수 성분을 각각 나누어 크기 가시화. 수백 Hz 에서 20khz 까지 순간 주파수대역의 신 호 크기가 디스플레이 – 임의의 파형을 주파수가 다른 정현파들로 분리 시켜 놓은 것이 바로 푸리에 변환

Back ground (Fourier Transform, Wavelet Transform) Fourier Transform Wavelet Transform

3. Procedural Wavelet Turbulence

Notation –Bold 는 vector, non-bold 는 scalar –x 는 spatial position –k 는 spectral band, u 는 velocity field –Carat 은 wavelet transform – 는 spectral band k 안의 position x 에서 velocity u 의 spectral component –N 큰 grid, n 은 작은 grid

3-1. Incompressible, Band-Limited Noise Wavelet Noise [Cook and DeRose 2005] 사용 [Bridson et al. 2007] 에서 처럼 scalar field 의 Curl 로 divergence-free field 생성

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence A velocity field

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Frequency Decomposition

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Frequency Decomposition

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence 한 grid cell x 에서 kinetic energy e 정의 모든 cell 의 e(x) 합은 total energy e t 각 band k 에 대해 e t 를 계산하면 energy spectrum 을 얻음 Kolmogorov theory 의 key results 중에 하나는 turbu lent fluid 의 energy spectrum 이 5/3 power distributi on 에 접근한다는 것 C 와 입실론은 Kolmogorov 상수이고 unit mass 당 에너지 소실률 의미

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Noise function w 를 사용하여, 이 power dis tribution 을 생성하는 속도 필드를 procedur ally 만들 수 있음 식 (3) 을 이용하여

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence 를 w(x) 로 대체 – i 는 spectral band 를 제어하는데 사용 Discussion : (7) 과 비슷함

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Energy Spectrum

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence Energy Spectrum

3-2. Kolmogorov Wavelet Turbulence

4. High-Resolution Fluid Synthesis 4.1 Background 물리적으로 5/3 distribution 은 scattering 때문에 발생 –Forward scattering »Eddy 는 incompressible field 에 의해 advect 되기 때문에 한 방향으로 stretch, 다른 방향으로 compress 되고 결국 이 deformations 는 반짜리 사이즈 두 개의 eddy 로 나뉨 –Back scattering » 작은 eddies 가 큰 eddy 로 combine 될 때 발생 그러나 forward scattering 이 보통 지배적임

4-2. Injecting Turbulence 목표는 저해상도 속도 필드로부터 고해상 도 density field D 를 합성하는 것 : 고해상도 위치 X 에서 u 를 interpolation : U 로 D 를 advection u 에서 가장 작은 eddies 의 energy e t (n/2) 를 계산하여 weight 로 사용

4-2. Injecting Turbulence

4-3. Detecting Scattering Texture Advection [Neyret 2003] texture coordinate 의 set 을 flow 를 따라 advection Texture coordinates 의 Jacobian 을 사용하여 local d eformation 의 양을 계산 Threshold 보다 크거나 작으면 regenerate

4-4. Texture Distortion advect 된 texture coordinates 가 stretch 하 고 rotate 할 때 y 가 incompressibility 를 위배 할 수 있음 Cartesian axes 를 texture space 로 projecti on, directional derivative 를 구하는 것으로 해결

4-5. Final Algorithm

4-6. Complexity 거의 모든 스텝은 smaller n^3 grid 상에서 일어남 큰 grid 는 D, D 는 메모리 사용량이 많아서 약점 -> 파티클 사용하면 D 필요 없음

5. Results

6. Conclusions Add physical detail as post-processing Preserves vortex frequencies Fast, efficient, low memory Relatively simple to implement Limitations Cannot reproduce “correct” high-res solution Obstacle interaction depends on low resolution Vortex advection limited due to regeneration

END