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第四章 刚体的转动 rotation of a rigid body rotation of a rigid body

本章使用说明本章使用说明本章使用说明本章使用说明  为了培养学生独立获取 新知识的能力，这一章先不 讲，由学生自学，并要求学 生在认真看书的基础上，写 出本章小结，并完成老师留 的作业，之后老师再总结性 地讲解，通过一些例题，消 化所学内容。

一、基本概念 basic conception  1 、刚体： rigid body 在力的作用下，大小和形状都 保持不变的物体称为刚体。（组成物体的所有质点 之间的距离始终保持不变）是一种理想模型。  2 、刚体的平动： translation of a rigid body 刚体内所作的任何一条直线，始终保持和自身 平行的运动。平动时，刚体上各点的运动轨迹都相 同，因此，刚体上一点的运动可代表整个刚体的运 动。 ( 刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同）  3 、刚体绕定轴转动： rotation of a rigid body around a fix axis 转轴相对于参照系不动的转动称为定轴转动。

6 、刚体的转动惯量： rotational inertia (moment of inertia) O v P ×  , α r r 定轴 刚体  θ z 4 、角速度矢量： angular velocity vector 5 、刚体的转动动能： rotational kinetic energy of a rigid body （质量连续分布时）

7 、刚体的角动量： angular momentum of a rigid body 由质点的角动量（对一给 定点而言） O v P ×  , α r r 定轴 刚体  θ z 定轴转动的角动量 即：

8 、力矩的功： work done by torque B 、对于定轴转动刚体，所有内力的功总和在任何过程 中均为零。（内力成对，大小相等方向相反，一对内力矩 的代数和为零；∴内力矩的功总和为零。另一角度，内力 的功 相对位移为零. ） 当 与 同方向， 和 为正 当 与 反方向， 和 为负 C 、功率： A 、所谓力矩的功，实质上还是力的功，并无任何关于力 矩的功的新的定义，只是在刚体转动中，用力矩和角位移 的积来表示功更为方便而己。

二、基本规律 basic law 1 、转动定律 law of rotation （在转轴上的分量式） （相当于 ） 刚体所受到的对于给定轴的总外力矩等于刚体 对该轴的角动量的时间变化率 或：

说明 ： A 、动能定理也与质点动力学中讲的动能定理相同，只是 动能的表示形式不同而己， 2 、转动动能定理 rotational kinetic energy theorem B 、对刚体，内力的功总和在任何过程中都为零。

3 、定轴转动刚体的角动量定理 angular momentum theorem of a rotational rigid body around a fix axis 转动物体所受合外力矩的冲量矩等于 在这段时间内转动物体角动量的增量 角 动量定理。 所以 由转动定律

4 、定轴转动刚体的角动量守恒定律 law of conservation of angular momentum of a rotational rigid body around a fix axis 当物体所受合外力矩等于零时，物体的 角动量保持不变。 角动量守恒定律 若 则 由角动量定理

说 明  1 、 角动量定理和角动量守恒定律，不仅适用 于宏观问题，也适用于原子、原子核等微观问 题，因此角动量守定律是比牛顿定律更为基本 的定律。  2 、 角动量定理和角动量守恒定律只适用于惯 性系。  3 、 角动量保持不变、恒矢量： ① 不变， 也不变 ② 变， 也变，但 保持不变。 4 、内力矩可以改变系统内部各组成部分的角 动量，但不能改变系统的总角动量。

应用举例  1 、花样滑冰，芭蕾舞演员的表演：（绕通过重心 的铅直轴高速旋转，由于外力（重力，支撑力） 对轴的矩总为零，角动量守恒，通过改变自身的 转动惯量，来改变角速度）。  2 、直升飞机尾部竖直的尾翼（产生一反向角动量， 避免在水平面打转）  3 、跳水运动员，跳马（伸直，以初角速度起跳； 卷缩，减小 J ，以增大角速度；伸直；入水时 J 增 大了，减小角速度以保持竖直入水）

三、解题指导与典型习题分析  若已知角速度或角加速度及初始条件，求运 动方程可用积分法  1 、运动学问题 Problem of kinematics of a rigid body 刚体绕定轴转动的运动学问题，只涉及圆周运动 的角量描述及角量和线量的关系。  若已知运动方程，求角速度或角加速度等， 可用微分法

 解：已知角位置，求角速度和角加速度， 用微分： 飞轮作变加速转动 例题① （例 4-2 ）： 一飞轮在时间 t 内转过角度 ， 式中 a 、 b 、 c 都是常量，求它的角加速度。

三、解题指导与典型习题分析  例题② ：一长为 l ，重为 W 的均匀梯子， 靠墙放置，如图。墙光滑，地面粗糙, 当 梯子与地面成  角时，处于平衡状态，求 梯子与地面的摩擦力。  2 、刚体的静力学问题 Problem of statics of a rigid body 刚体静力学问题应注意刚体平衡时应满足两个条件 刚体受合外力等于零 整个刚体受合外力矩等于零

 解：刚体平衡同时要满 足两个条件： 解以上三式，得 列出分量方程： 水平方向： 竖直方向： 以支点 O 为转动中心，梯子受的合外力矩： O

 3 、转动惯量的计算 Calculation of moment of inertia dm r m J 由质量对轴的分布决定。 对同一轴 J 具有可叠加性 三、解题指导与典型习题分析

例题③ 均匀圆环 ： 例题④ 均匀圆盘：  m i r C R

例题⑤ 均匀杆： C A m l2l2 l2l2 x dx x O l

例题⑥ 证明平行轴定理 C 为刚体的质心， J C 为通 过质心轴的转动惯量 质心通过坐标原 点， y C =0 =m =0

例题⑦ 证明垂直轴定理 Jmr mxmy zii iiii        2 22 例：已知圆盘 JmR z  求对圆盘的一条直径的 J x （或 J y ）。 由 JJJ JJ JJmR zyx xy xy       y ri ri x z yi yi xi xi mi mi Δ y x z 圆盘 R C m （薄板）

三、解题指导与典型习题分析  4 、定轴转动的动力学问题 Problem of dynamics of a rotational rigid body around a fix axis 刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型 题。其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受 力和力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判 断应选用的规律，最后列方程求解。 应用 转动定律求解  第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点 列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。

用角动 量守恒定  第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力 场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动 量守恒定。 动能定理求解  第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般 应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力 矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。  另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分 成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。

 如图，一长为 l, 质量为 M 的杆可 绕支点 O 转动，一质量为 m ，速 率为 v 0 的子弹，射入距支点为 a 的 杆内，若杆的偏转角  =30 0 ，求子 弹的初速率 v 0 例题⑧ 解：此题分两个阶段，第一阶段，子弹 射入杆中，摆获得角速度  ，尚未摆动， 子弹和摆组成的系统所受外力对 O 点的 力矩为零，系统角动量守恒： 第二阶段，子弹在杆中，与摆一起摆动，以子弹、杆和地 地球组成的系统除保守内力外，其余力不作功，于是系统 机械能守恒：

由（ 2 ）（ 3 ）（ 4 ）式求得： 代入（ 1 ）式，得： 其中： 此题可否用动量守恒处理？

解：以人和转盘组成的系统为研究对象，设人相对于转盘的 速度为 v r ，转盘相对于固定铅直轴的角速度为  。当人走动 时，系统所受外力对铅直轴之矩为零，故对轴角动量守恒： 质量为 M 、半径为 R 的转盘，可绕铅直轴无摩擦 地转动。转盘的初角速度为 零。一个质量为 m 的人，在转 盘上从静止开始沿半径为 r 的 圆周相对转盘匀速走动，如 图。求当人在转盘上走一周 回到盘上的原位置时，转盘 相对于地面转过了多少角度。 例题⑨

 所以  设在  t 内，盘相对于地面转过的角度为  其中 为人相对于盘转过的角度，人走一周， 则 因此盘相对于地面转过的角度为：

 质量为 m ，半径为 b 的小球，由静止从 h 高无摩擦 地滚下，并进入半径为 a 的圆形轨道。  求 （ 1 ）小球到达底部时的角速度和质心加速度。  （ 2 ）证明如果 b<<a, 要使小球不脱离轨道而 到达 A 点，则 h 应满足： 例题⑾ （  习题 4-9 ）

解（ 1 ）因无滑动，故摩擦力 f 不作功（无相对位 移），支持力 N 与运动方向垂直，也不作功，只 有重力（保守内力）作功，所以机械能守恒： 又由于： 有： 整理，得：

（ 2 ）小球到达 A 点不脱离轨道，要求小球在 A 点的速 度 v A 和角速度  A 满足： 由机械能守恒： （证毕） b<<a

 长为 l ，质量为 m 的均匀杆， 在光滑桌面上由竖直位置自 然倒下，当夹角为  时（见 图），求：  （ 1 ）质心的速度  （ 2 ）杆的角速度 例题⑿ （  习题 4-11 ） 解：（ 1 ）水平方向不受力，故质心在水平方向不产生加速 度，质心原来静止，故质心水平方向的速度为零。只有竖 直方向的速度。设任一时刻，质心的位置为： 则：则：

（ 2 ）在杆下滑过程中，只有重力作功，故机械能守 恒，对任一夹角  ，有： 由于： 代入后 经整理，得：

第四章结束