ص 1ص 1ص 1ص 1 كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشگاه تربيت مدرس دانشكده برق – گروه كنترل باسمه تعالي

ص 2ص 2ص 2ص 2 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 3ص 3ص 3ص 3 Why Nonlinear Control ? Physical systems in general are nonlinear (Nonlinear models behave naturally)Physical systems in general are nonlinear (Nonlinear models behave naturally) Linear control:Linear control: –a mature subject, –a variety of powerful methods, –long history of successful industrial applications. جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 4ص 4ص 4ص 4 Lin. Cntrl 4 NL Sys, Why Not? Classic Linear control is: Model basedModel based →? Large Operation Range →? Uncertainties Based on LinearizationBased on Linearization →? Hard (non smooth) nonlinearities For TI systemsFor TI systems this course is somehow about “Non LTI Systems” not only “Non Lin. Systems ” جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 5ص 5ص 5ص 5 LTI systems (review) unique equilibrium pointunique equilibrium point Stability ( if Re(eig(A))<0, ) is regardless of initial conditionsStability ( if Re(eig(A))<0, ) is regardless of initial conditions in the presence of an external inputin the presence of an external input –the principle of superposition –asymptotic stability implies BIBO stability –sin in => sin. out, of the same frequency => frequency domain tools => frequency domain tools جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 6ص 6ص 6ص 6 A general example: square law drag dv/dt = -|v|v+u v: vehicle velocity u: propeller force جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 7ص 7ص 7ص 7 different response to positive and negative steps (due to different initial conditions) 10 times in => 3.2 times out! superposition جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 8ص 8ص 8ص 8 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 9ص 9ص 9ص 9 Finite Escape TimeFinite Escape Time Multiple Isolated EquilibriaMultiple Isolated Equilibria Limit CycleLimit Cycle BifurcationBifurcation ChaosChaos Sub harmonicsSub harmonics Multiple Modes of BehaviorMultiple Modes of Behavior جلسه اول Some common NL behaviors كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 10 system state can go to infinity at finite time! (Unstable NL system)system state can go to infinity at finite time! (Unstable NL system) Unstable Lin. system: state can go to infinity only when time approaches infinity.Unstable Lin. system: state can go to infinity only when time approaches infinity.Example: The unique solution: جلسه اول Finite Escape Time كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس Sometimes called: Jump resonance

ص 11 Multiple Isolated Equilibria Example: position of ball in a NL valleyExample: position of ball in a NL valley جلسه اول introduction كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 12 Multiple Isolated Equilibria Example: position of ball in a NL valleyExample: position of ball in a NL valley جلسه اول Now consider this shape with stick-slip friction Or this: كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 13 Multiple Isolated Equilibria A mathematical example:A mathematical example: Note: Multiple Isolated Equilibria possible in LNote: Multiple Isolated Equilibria possible in L جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 14 Limit Cycle robust oscillations whose amplitude does not depend on the initial conditions.robust oscillations whose amplitude does not depend on the initial conditions. (the natural case with real oscillators) Example: Van der PolExample: Van der Pol جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 15 Bifurcation quantitative change of a parameter(s) may lead to qualitative change of system properties, i.e. # of eq. points, limit cycles, etc. Example:,Example:, pitchfork bifurcation Hopf bifurcation جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 16 Bifurcation..... جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص Chaos جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 18 Chaos A steady state behavior that is not equilibrium, periodic orbit, or almost-periodic.A steady state behavior that is not equilibrium, periodic orbit, or almost-periodic. The response :The response : –is highly dependent on the initial condition –shows randomness despite the deterministic dynamics. Example: Lorenz chaotic attractorExample: Lorenz chaotic attractor جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 19 Chaos extreme sensitivity to initial conditionsextreme sensitivity to initial conditions  for many years thought to be neither predictable nor controllable  an annoying property to be avoided recent studies:recent studies: chaotic dynamics, not only controllable but can also be exploited to achieve useful goals. Utilization of the properties of chaotic systems:Utilization of the properties of chaotic systems: –small perturbations can lead to large effects; –flexible switching between many different periodic orbits without changing the global configuration of the system. –Random like behavior : utilization in safe coding جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 20 Subharmonics A nonlinear system under periodic input can oscillate with frequencies that are submultiples of the input frequency.A nonlinear system under periodic input can oscillate with frequencies that are submultiples of the input frequency. جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 21 break, a NL one! جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس Chaos Fractals Mandelbrot set

ص 22 LTV systems LTI : stable if real(eig(A)) < 0 all of them.LTI : stable if real(eig(A)) < 0 all of them. Conjecture: the above system will be stable if at any time t > 0, the eigenvalues of A(t) all have negative real parts.Conjecture: the above system will be stable if at any time t > 0, the eigenvalues of A(t) all have negative real parts. Counter example:Counter example: Eig(A(t)) = -1, -1 جلسه اول دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 23 LTI systems (review again!) unique equilibrium pointunique equilibrium point Stability ( if Re(eig(A))<0, ) is regardless of initial conditionsStability ( if Re(eig(A))<0, ) is regardless of initial conditions in the presence of an external inputin the presence of an external input –the principle of superposition –asymptotic stability implies BIBO stability –sin in => sin. out of the same frequency => frequency domain tools => frequency domain tools جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 24 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 25 Differential geometry ’50s: Laplace trans. n cmplx. func. theory has proven to be successful to the study of SISO Lin. systems ’60s: Linear Algebra to the study of MIMO Lin. Systems ‘70s: Differential Geometry to NL systems جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 26 Differential geometry Seminal worksSeminal works Comprehensive referencesComprehensive references Second half of 80’s : limits of diff. geo. Started to be exploredSecond half of 80’s : limits of diff. geo. Started to be explored جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 27 Differential algebra Introduced in second half of 80’s in the study of NL control systemsIntroduced in second half of 80’s in the study of NL control systems Somehow easier than Diff. Geo. to encounter some problemsSomehow easier than Diff. Geo. to encounter some problems Seminal works:Seminal works: Comprehensive book:Comprehensive book: Nonlinear Control Systems- An Algebraic Setting, G. Conte, C. H. Moog, A. M. Perdon جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 28 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 29 Current Applications Finite Escape Time (Resonance) Phenomena, Capsize of shipsFinite Escape Time (Resonance) Phenomena, Capsize of ships UCL Centre for Nonlinear Dynamics and its ApplicationsUCL Centre for Nonlinear Dynamics and its Applications جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 30 Current Applications The Delta Sigma ModulatorThe Delta Sigma Modulator جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 31 Current Applications Instabilities In Building Fires (Flashover)Instabilities In Building Fires (Flashover) (Unit of Fire Safety Eng. at the Univ. of Edinburgh ) جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 32 Current Applications Climate ModellingClimate Modelling جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 33 Current Applications Control of Ovulation (Imperial College, School of Medicine )Control of Ovulation (Imperial College, School of Medicine ) Cell Death in Pre-implantation Embryos (Imperial College, School of Medicine )Cell Death in Pre-implantation Embryos (Imperial College, School of Medicine ) Cytokine Networks (Institute of Child Health )Cytokine Networks (Institute of Child Health ) جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 34 Current Applications Sliding Mode Control جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس Sliding Mode Control

ص 35 Current Applications chaos جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس chaos chaos chaos chaos chaos chaos chaos

ص 36 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 37 Nonlinear System Examples o Pendulum with Friction From Euler Equation Consider state variables State equations: Eq. Points. Two isolated eq. points (0,0) and (π,0). l m Viscous Friction k

ص 38 Nonlinear System Examples o Pendulum without Friction State Equation o Pendulum with torque input State Equation l m l m Input torque T

ص 39 Nonlinear System Examples o Tunnel-Diode Circuit Tunnel-diode characterized by Using Kirchhoff’s current law Consider the state variables:

ص 40 Nonlinear System Examples Tunnel-Diode Circuit The voltage equation: Final State equations: Eq. points:

ص 41 Nonlinear System Examples o Tunnel-Diode Circuit Solve for eq. points graphically:

ص 42 Nonlinear System Examples o Mass-Spring System mass: m Spring Force: F sp Friction Force: F f External Force: F o Nonlinear Spring Force Hardening Spring (  >0) Linear Spring (α=0) Softening Spring (  <0) Hardening Spring Softening Spring Linear Spring F sp y

ص 43 Nonlinear System Examples o Mass-Spring System Friction Force F f Viscous Friction o Hardening Spring + Viscous Fric. Duffing’s Eq. (periodic excitation) Coulomb Friction + Viscous Friction FfFf FfFf

ص 44 Nonlinear System Examples o Mass-Spring System Softening Spring + nonlinear Friction.

ص 45 Nonlinear System Examples o Negative-Resistance Oscillator Resistive element: Active circuit

ص 46 Nonlinear System Examples o Negative-Resistance Oscillator Kirchhoff’s current law Differentiating w.r.t. time t Non-dimentionalize time and

ص 47 Nonlinear System Examples o Negative-Resistance Oscillator Denoting the derivative of w.r.t. By Where This is a special case of Lienard’s Eq: Consider the negative resistance function as:

ص 48 Nonlinear System Examples o Negative-Resistance Oscillator Van der Pol Equation: Typical for periodic orbits

ص 49 Nonlinear System Examples o Water level control in tank Conversation of mass Hydrostatic pressure Control valve: Orifice State equation: F in u l FoFo Controller LdLd -

ص 50 مطالب اين جلسه چرا كنترل غير خطي؟ چرا كنترل غير خطي؟ خصوصيات يك سامانة غير خطي خصوصيات يك سامانة غير خطي مباني رياضي مورد استفاده مباني رياضي مورد استفاده كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر كاربردهاي كنترل غيرخطي در عصر حاضر چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي چند مثال از سامانه‌هاي غير خطي مطالب مورد بحث در اين درس و... مطالب مورد بحث در اين درس و... كنترل غير خطي سجاد ازگلي

ص 51 Course outline Introduction (1 Lecture)Introduction (1 Lecture) Part I: Analysis Analysis in the Phase Plane (2 Lectures)Analysis in the Phase Plane (2 Lectures) Basic Stability Analysis (3 Lectures)Basic Stability Analysis (3 Lectures) Advanced Stability Analysis (4 Lectures)Advanced Stability Analysis (4 Lectures) Approximate analysis methods (5 Lectures)Approximate analysis methods (5 Lectures) Midterm ExamMidterm Exam Part II: controller Design Feedback Linearization (6 Lectures)Feedback Linearization (6 Lectures) Back Stepping (2 Lectures)Back Stepping (2 Lectures) Sliding mode (variable structure) controller (3 Lectures)Sliding mode (variable structure) controller (3 Lectures) Lyapunov based controller synthesis (1 Lecture)Lyapunov based controller synthesis (1 Lecture) Seminars (1 Lecture)Seminars (1 Lecture) جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص 52. روش ارزشيابي. – تمرين ‌ ها و آزمونك ‌ ها %25 – پروژه ‌ ها %25 – آزمون مياني %20 – آزمون پاياني %30 – فعاليتهاي فوق برنامه، تا سقف % 10 يافتن موارد مفيد براي درس و ارائه به كلاس. ( مقاله، كتاب، نرم ‌ افزار،...) يافتن موارد مفيد براي درس و ارائه به كلاس. ( مقاله، كتاب، نرم ‌ افزار،...) ارائة سمينارهاي آموزشي - پژوهشي در كلاس ارائة سمينارهاي آموزشي - پژوهشي در كلاس پژوهش در زمينه ‌ هاي مورد بحث و ارائه به صورت مقاله پژوهش در زمينه ‌ هاي مورد بحث و ارائه به صورت مقاله هر گونه فعاليت ديگري كه به تعميق فهم مطالب درس كمك كند. هر گونه فعاليت ديگري كه به تعميق فهم مطالب درس كمك كند. جلسه اول كنترل غير خطي سجاد ازگلي دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس

ص كتاب : اسلاتين،لي - خليل كتاب : اسلاتين،لي - خليل توجهات توجهات گروه الكترونيكي گروه الكترونيكي ؟؟؟ ؟؟؟ جلسه اول دانشكده برق و كامپيوتر دانشگاه تربيت مدرس كنترل غير خطي سجاد ازگلي