Kinematics دکتر سعید شیری قیداری  فصل 2و3 کتاب Introduction to robotics mechanics and control Amirkabir University of Technology Computer Engineering & Information Technology Department سینماتیک

Kinematics معمولا مطالعه سینماتیک نقطه شروع استاندارد درس روباتیک است. سینماتیک علاوه بر روباتیک در سایر علوم نظیر گرافیک و انیمیشن نیز کاربرد دارد. سینماتیک : عبارت است از مطالعه تحلیلی هندسه حرکت روبات : نسبت به یک محور مختصات ثابت نسبت به نیرو ها و یا گشتاوری که باعث حرکت میشوند سینماتیک

بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی در بحث سینماتیک مستقیم روباتهای صنعتی روشی ارائه میشود که موقعیت و جهت لینک ها و ابزار روبات را بصورت تابعی از متغیرهای مفصل ها نسبت به محور مرجع محاسبه میکند. برای اینکار فریمهای مختصاتی به هر بخش از مکانیزم روبات وصل شده و سپس ارتباط بین این محورها بیان میشود. A 3-DOF Manipulator Arm

Manipulators بازوی روباتیک و یا روبات صنعتی از تعدادی اتصال صلب (link) تشکیل میشودکه توسط مفاصل (joints) به هم متصل میشوند. مفصل ها ممکن است چرخشی و یا رفت و بر گشتی باشند. برای حرکت روبات از موتور و یا سیستم هیدرولیک استفاده میشود. در انتهای روبات یک ابزار قرار میگیرد که بر روی صفحه ای در مچ روبات نصب میشود.

طرح های متداول روباتهای صنعتی Cartesian Articulated Cylindrical Spherical SCARA

Manipulators Robot Configuration: Cartesian: PPPCylindrical: RPPSpherical: RRP SCARA: RRP (Selective Compliance Assembly Robot Arm) Articulated: RRR Hand coordinate: n: normal vector; s: sliding vector; a: approach vector, normal to the tool mounting plate

Manipulators روبات صنعتی با مشخصات زیر شناخته میشود: تعداد محورها محورهای اصلی 1-3 : که برای تعیین موقعیت بازو بکار میروند محورهای فرعی 4-6 : که برای جهت دادن به ابزار بکار میروند. محورهای اضافی 7-n : که برای پرهیز از موقعیت های نامطلوب بکار میروند. درجه آزادی: Degree of Freedom (DOF) فضای کاری: Workspace ظرفیت بار : Payload (load capacity) دقت و تکرارپذیری: Precision v.s. Repeatability

Forward kinematics Given joint variables End-effector position and orientation, -Formula? بحث سینماتیک برای روباتهای صنعتی

Given a desired position (P) & orientation (R) of the end- effector Find the joint variables which can bring the robot the desired configuration بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای صنعتی

Inverse Kinematics (  1 …  n ) ( x,y,z,  x,  y,  z ) K -1

مثال

بحث سینماتیک معکوس سخت تر از سینماتیک مستقیم است زیرا: معادلات حاصله غیر خطی بوده و از اینرو همیشه راه حل سیستماتیکی برای حل آنها بصورت closed form وجود ندارد. راه حل منحصر بفرد نیست. راه حل بستگی به مشخصات روبات دارد 2 solutions! بحث سینماتیک معکوس برای روباتهای صنعتی

Forward and Inverse Kinematics xwxw Joint 1 Joint 2 Joint 3 Link 1 z1z1 World (Base) Coordinate Frame Tool Coordinate Frame Joint 1 Joint 2 Joint 3 Link 1 z1z1 World (Base) Coordinate Frame Tool Coordinate Frame 11 22 zwzw ytyt ztzt Link Space n variables (  1 …  n ) Tool Space 6 variables ( x,y,z,  x,  y,  z ) Forward K Inverse K

سینماتیک روباتهای متحرک مطالعه سینماتیک روباتهای متحرک در دو زمینه لازم است: طراحی مناسب روبات برای انجام عمل مورد نظر نوشتن نرم افزار کنترلی روبات ساخته شده یک اختلاف مهم بین روبات متحرک و روبات صنعتی در اندازه گیری موقعیت است.روبات صنعتی در یک نقطه ثابت است لذا میتوان موقعیت آنرا نسبت به این نقطه ثابت اندازه گرفت.

کنترل موقعیت یک روبات برای کنترل موقعیت یک روبات لازم است تا موارد زیر را بدانیم: مدل سینماتیکی/ دینامیکی روبات مدل تعامل بین چرخ و زمین تعریفی از حرکت مورد نیاز:  کنترل سرعت- کنترل موقعیت قانون کنترلی که نیازمندیهای لازم را برآورده میکند.

تبدیل مختصات هنگام بررسی موقعیت یک روبات معمولا علاقمند هستیم که موقعیت آنرا نسبت به یک محور مختصات مرجع بسنجیم. در حالیکه حرکت اجزای یک روبات نظیر چرخها، محل قرار گرفتن سنسورها، و غیره نسبت به بدنه روبات اندازه گیری میشوند. از اینرو لازم است تا موقعیت روبات ویا اهداف دیگر را که نسبت به موقعیت روبات اندازه گیری میشوند نسبت به محور مختصات مرجع بیان نمود. برای اینکار نیاز به تبدیل مختصات خواهد بود

محورهای مرجع مختصات World frame Joint frame Tool frame W R P T

Let and be arbitrary vectors in and be the angle from to, then Where  is the angle between the vectors and is the norm. X.Y=0 if X is perpendicular to Y. ضرب داخلی

Mutually perpendicular Unit vectors Properties of orthonormal coordinate frame O ضرب داخلی

Point represented in OXYZ: Vector represented in OXYZ: O, O’ نمایش نقطه و بردار

Reference coordinate frame OXYZ Body-attached frame O’uvw O, O’ Point represented in O’uvw: Two frames coincide ==> تبدیل مختصات

حالتی که فقط دوران داشته باشیم تبدیل مختصات چگونه میتوان مختصات نقاط ایندو محور مختصات را به هم ربط داد؟

P x, P y, and P z represent the projections of P onto OX, OY, OZ axes, respectively Since حالت دوران ساده

ماتریس دوران پایه Rotation about x-axis with

ماتریس دوران پایه Rotation about x axis with

ماتریس های دوران پایه Rotation about x-axis with  Rotation about y-axis with  Rotation about z-axis with 

ماتریس دوران پایه Obtain the coordinate of from the coordinate of <== 3X3 identity matrix Dot products are commutative!

مثال A point is attached to a rotating frame, the frame rotates 60 degree about the OZ axis of the reference frame. Find the coordinates of the point relative to the reference frame after the rotation.

مثال A point is the coordinate w.r.t. the reference coordinate system, find the corresponding point w.r.t. the rotated OU-V-W coordinate system if it has been rotated 60 degree about OZ axis.

ماتریس دوران ترکیبی دنباله ای محدود از ماتریس های دوران دارای خاصیت جابجائی نیستند. در چنین مواقعی از قوانین زیر استفاده میشود: If rotating coordinate O-U-V-W is rotating about principal axis of OXYZ frame, then pre-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix If rotating coordinate OUVW is rotating about its own principal axes, then post-multiply the previous (resultant) rotation matrix with an appropriate basic rotation matrix

مثال ماتریس دوران عملیات زیر را بیابید: Post-multiply if rotate about the OUVW axes Pre-multiply if rotate about the OXYZ axes

تبدیل مختصات position vector of P in {B} is transformed to position vector of P in {A} description of {B} as seen from an observer in {A} Rotation of {B} with respect to {A} Translation of the origin of {B} with respect to origin of {A}

تبدیل مختصات Two special cases 1. Translation only Axes of {B} and {A} are parallel 2. Rotation only Origins of {B} and {A} are coincident

Homogeneous Representation Coordinate transformation from {B} to {A} Homogeneous transformation matrix Position vector Rotation matrix Scaling

Homogeneous Transformation حالات خاص 1. Translation 2. Rotation

مثال Translation along z-axis with h: O, O’ h

مثال Rotation about the x-axis by

Homogeneous Transformation Composite Homogeneous Transformation Matrix Rules: Transformation (rotation/translation) w.r.t (X,Y,Z) (OLD FRAME), using pre-multiplication Transformation (rotation/translation) w.r.t (U,V,W) (NEW FRAME), using post-multiplication

مثال Find the homogeneous transformation matrix (T) for the following operation:

Homogeneous Representation A frame in space (geometric interpretation) Principal axis n w.r.t. the reference coordinate system

Homogeneous Transformation Translation

Homogeneous Transformation Composite Homogeneous Transformation Matrix ? Transformation matrix for adjacent coordinate frames Chain product of successive coordinate transformation matrices

مثال For the figure shown below, find the 4x4 homogeneous transformation matrices and for i=1, 2, 3, 4, 5 Can you find the answer by observation based on the geometric interpretation of homogeneous transformation matrix?

Orientation Representation Rotation matrix representation needs 9 elements to completely describe the orientation of a rotating rigid body. Any easy way? Euler Angles Representation

Orientation Representation Euler Angles Representation (,, ) Many different types Description of Euler angle representations Euler Angle I Euler Angle II Roll-Pitch-Yaw Sequence about OZ axis about OZ axis about OX axis of about OU axis about OV axis about OY axis Rotations about OW axis about OW axis about OZ axis

x y z u'u' v'v'   v " w"w" w'=w'= =u" v'"  u'" w'"= Euler Angle I

Orientation Representation Euler Angle I

Resultant eulerian rotation matrix:

Euler Angle II x y z u'u' v'v'   =v" w"w" w'=w'= u" v"'  u"' w"'= Note the opposite (clockwise) sense of the third rotation, .

Orientation Representation Matrix with Euler Angle II

Orientation Representation Description of Roll Pitch Yaw X Y Z