СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Токарева В.Н.,учитель математики МБОУ «СОШ №20 с УИОП»

Содержание 4 Вспомним! Вспомним! 4 Сумма углов треугольника («метод ножниц»). Сумма углов треугольника («метод ножниц»). 4 Сумма углов треугольника. Сумма углов треугольника. 4 Практические задания №1 Практические задания №1 4 Практические задания №2 Практические задания №2 4 Практические задания №3 Практические задания №3 НАЗАД

Вспомним:  1=  2  3=  4 далее

Вспомним:  1+  2+  3=180° развернутый угол далее

Вспомним: если a||b, то  1=  2 и  1=  a b 2

Сумма углов треугольника («метод ножниц»): 1. Разрежем данный треугольник произвольными линиями: 2. Получим три угла:  Получившиеся три угла образуют развернутый угол, равный 180° далее

Случайно ли получился такой результат или этим свойством обладает любой треугольник? или этим свойством обладает любой треугольник?

Сумма углов треугольника. 1. Дан треугольник АВС 2. Проведем прямую а, параллельную стороне АС А В С 12 3 а  1=  4,  2=  5. Сумма углов треугольника АВС:  1+  2+  3 = =  5+  4+  3=180°. Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°. далее

Сумма углов треугольника. 1. Дан треугольник АВС 2. Отложим  ВСЕ=  3, следовательно AB||CE,  1=  5 А В С Углы  2,  3 и  5 образуют развернутый угол, значит  1+  2+  3 = 180°. Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°. E 3 D 5 далее

Сумма углов треугольника. 1. Дан треугольник АВС 2. Проведем прямую BD, параллельную стороне АС, следовательно  1=  5,  2=  4. А В С 12 3 Таким образом, сумма углов треугольника равна 180°. 5 Е D4 3. Углы  3,  4 и  5 образуют развернутый угол, значит  1+  2+  3 = 180°. далее

Может ли треугольник иметь: 4 два прямых угла; 4 два тупых угла; 4 один прямой и один тупой угол ? Обоснуй ответ. Сделай вывод. далее

Вывод: В любом треугольнике либо все три угла острые; либо два угла острые, а третий – тупой или прямой.

Найти углы треугольника: Задача №1. ?? ? Решение

Существует ли треугольник ABC, у которого  A = 40°,  B = 60°,  C = 70°? Задача №2. Решение

Задача №3. Найти угол треугольника: 70° ? А С В Решение

Задача №4. Найти углы треугольника: 100° ?? А В С Решение

Задача №5. Найти угол треугольника: 75° 40° ? А В С Решение

Задача №6. Найти угол треугольника: 38° ? АС В Решение

Задача №7. Найти углы треугольника: ? ? А С В Решение

Задача №8. Найти угол треугольника: ? АС В Решение

Задача №9. Найти угол треугольника: 40° ? А С В К М Решение

Задача №10. Найти углы треугольника: 120° 87° ? ? ? А С В к М Решение

Задача №11. Найти угол треугольника, где l -ось симметрии: l 46° ? А С В К Решение

Задача №12. Найти угол треугольника: 40° ? А С В К Решение

Задача №13. Дан  АВС.  А = 2 части,  В = 3 части,  С = 4 части. Найдите углы треугольника. Решение

Задача №14. Найти угол  BAD, если  ABC = 140°,  ADC = 80°, l -ось симметрии. ? А l D B C Решение

Задача №15. Найти угол треугольника: α ? A B C Решение

Задача №16. Найти угол треугольника: β ? А С В Решение

Задача №17. Найти угол треугольника: α ? А С В Решение

РЕШЕНИЕ. У треугольника все стороны равны, а против равных сторон лежат равные углы, значит искомый угол равен 180°:3, т.е. равен 60°. Задача №1. ОТВЕТ: углы треугольника равны 60°. След. задачаНазад

Задача №2. РЕШЕНИЕ.  A+  B+  C = 40°+ 60°+ 70°=170°. Но сумма углов треугольника равна 180°, следовательно треугольника с данными углами не существует. ОТВЕТ: не существует След. задачаНазад

Задача №3. РЕШЕНИЕ. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, значит  С=70°.  А+  В+  С=180°. 70°+  В+70°=180° 140°+  В=180°  В=180°-140°  В=40° ОТВЕТ: угол В равен 40°. 70° ? А С В След. задачаНазад

Задача №4. РЕШЕНИЕ. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, значит  А=  С.  А+  В+  С=180°.  А+100°+  С=180° 2  А +100°=180°  А=180°-100°  А=80°  А=40°, а значит и  С=40°. ОТВЕТ: угол А равен 40°, и угол С равен 40°. 100° ? ? А В С След. задачаНазад

Задача №5. РЕШЕНИЕ.  А+  В+  С=180°.  А  °+40°=180°  А +115°=180°  А=180°-115°  А=65° ОТВЕТ: угол А равен 65°. 75° 40° ? А В С След. задачаНазад

Задача №6. РЕШЕНИЕ. В треугольнике АВС,  А=90°.  А+  В+  С=180°.  °  В+38°=180°  В  +128°=180°  В=180°-128°  В=52° ОТВЕТ: угол В равен 52°. 38° ? АС В След. задачаНазад

Задача №7. РЕШЕНИЕ. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, значит  В=  С, а  А=90°.  А+  В+  С=180°.  °+  В+  С=180° 90°+2  В=180°  В=180°-90°  В=90°  В=45°, а значит и  С=45°. ОТВЕТ: угол В равен 45°, и угол С равен 45°. ? ? А С В След. задачаНазад

Задача №8. РЕШЕНИЕ. В треугольнике АВС:  А=2  С,  В=3  С.  А+  В+  С=180°. 2  С+3  С+  С=180° 6  С=180°  С=180°:6  С=30° ОТВЕТ: угол С равен 30°. ? АС В След. задачаНазад

Задача №9. РЕШЕНИЕ.  МСК=  ВСА=40°,  А=90°. В треугольнике АВС:  А+  В+  С=180°.  °+  В+40°=180°  В+130°=180°  В=180°-130°  В=50° ОТВЕТ: угол В равен 50°. 40° ? А С В К М След. задачаНазад

Задача № ° 87° ? ? ? А С В к М РЕШЕНИЕ.  МВС и  АВС,  ВСК и  ВСА - смежные, значит:  АВС =180°-  МВС=180°-87°=93°,  ВСК=180°-  ВСА=180°-120°=60°. В треугольнике АВС:  А+  В+  С=180°.  А+93°+60°=180°  А  °=180°  А=180°-153°  А=27° ОТВЕТ: угол А равен 27°. След. задачаНазад

Задача №11. l 46° ? А С В К РЕШЕНИЕ. l - ось симметрии, значит  АВК=  КВС и  ВКА=  ВКС=90°. Следовательно  А=  С,  АВК=  КВС=46°. В треугольнике КВС:  К+  В+  С=180°.  °+46°+  С =180°  С  °=180°  С=180°-136°  С=44° ОТВЕТ: угол С равен 44°. След. задачаНазад

Задача №12. 40° ? А С В К РЕШЕНИЕ. Против равных сторон лежат равные углы: в  АВК:  ВАК=  АВК=40°, в  КВС:  ВКС=  ВСК. Рассмотрим  АВК:  А+  В+  К=180° 40°+ 40°+  К =180°  ВКА=100°.  ВКА и  ВКС - смежные, следовательно  ВКС=180°-  ВКА=180°-100°=80° В треугольнике КВС:  К+  В+  С=180°.  °+  В+80 °=180°  В=180°-160°  В=20° ОТВЕТ: угол В равен 20°. След. задачаНазад

Задача №13. РЕШЕНИЕ. Обозначим одну часть - x. Тогда  А = 2 x,  В = 3 x,  С = 4 x. В треугольнике КВС:  А+  В+  С=180°. 2 x+3 x+4 x =180°  x =180° x =20° Следовательно:  А =40°,  В =60°,  С =80°. ОТВЕТ: угол А равен 40°, угол В равен 60°, угол С равен 80°. След. задача Назад

Задача №14. ? А l D B C ОТВЕТ: угол А равен 70°. РЕШЕНИЕ. l - ось симметрии, значит  АВD=  DВС и  ABD=  DBC=70°,  ADB=  BDC=40°. В треугольнике ABD:  +  В+  D=180°.  °+40°=180°  °=180°  =180°-110°  =70° След. задачаНазад

Задача №15. α ? A B C РЕШЕНИЕ. В треугольнике АВС:  А+  В+  С=180°.  °+α+  С=180°  С=180°-  °-α  С=90°- α ОТВЕТ: угол C равен (  °-α). След. задачаНазад

Задача №16. β ? А С В РЕШЕНИЕ. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, значит  А=  С=β.  А+  В+  С=180°. β+  В+β=180°  В+ 2 β=180°  В=180°-2 β ОТВЕТ: угол B равен (180°-2 β). След. задачаНазад

Задача №17. α ? А С В РЕШЕНИЕ. В треугольнике против равных сторон лежат равные углы, значит  А=  С.  А+  В+  С=180°. 2  А +α=180°  А=180°- α  А=(180°- α ):2 Значит и  С=(180°- α ):2 ОТВЕТ: угол А равен (180°- α ):2, угол С равен (180°- α ):2. Назад

Вычислите все неизвестные углы треугольника.

70° ) 15° 2 3 2) 1 ОТВЕТЫ

15° 75° 1 2 3) 80° 60° 1 24) ОТВЕТЫ

40° ) 45° ) ОТВЕТЫ

7) AB||DE A B C D E 40° 80° ° 30° A BC D ) AB||DC ОТВЕТЫ

9) a||b 30° a b 40° a b ) a||b ОТВЕТЫ

11) 150° 70° ) 70° ОТВЕТЫ

ОТВЕТЫ: 1 ).  1=20°,  2=20°,  3=70° 2).  1=75°,  2=15°,  3= 75° 3).  1=105°,  2= 60° 4).  1=40°,  2= 40° 5).  1=50°,  2= 40°,  3=50° 6).  1= 45°,  2= 45°,  3=45° 7).  1= 60°,  2=60°,  3=80°,  4=40° 8).  1=100°,  2=30°,  3=50°,  4=100° 9).  1=60°,  2= 60°,  3=30° 10).  1= 50°,  2=90°,  3=50°,  4=40° 11).  1= 80°,  2=30° 12).  1= 35°,  2=110°,  3=35°

Практические задания №3

Дано:  АВС,  А=2  В,  С=  А+10 ° Найдите:  А,  В, и  С А В С РЕШЕНИЕ:  А=2  В, следовательно  С=2  В+10 °  А+  В+  С=180° 2  В+  В+2  В+10=180° 5  В=180° - 10° 5  В=170°  В=34°  А=2  В=2*34° =68°  С=  А+10° =68° +10° =78° ОТВЕТ:  А=68°,  В=34°,  С=78°

РЕШЕНИЕ: АВ=ВС, следовательно  А=  С=2  В  А+  В+  С=180° 2  В+  В+2  В=180° 5  В=180°  В=36°  А=2  В=2*36° =72°  С=72° ОТВЕТ:  А=72°,  В=36°,  С=72° Дано:  АВС, АВ=ВС,  А=2  В Найдите:  А,  В, и  С А В С

РЕШЕНИЕ: 1)  ВСА=180°-  BCD=180°- 80°=100° 2)  А+  В+  С=180 ° 0,6  В+  В+100°=180 ° 1,6  В=180° -100° 1,6  В=80 °  В=50 °  А=0,6  В=0,6*50 ° =30 ° ОТВЕТ:  А=30°,  В=50°,  С=100° Дано:  АВС,  А=0,6  В,  BCD=80° Найдите:  А,  В, и  С А В С D

РЕШЕНИЕ: В треугольнике  АВD: AD=DB, следовательно  BAD=  A  АBC=2  A,  C=2  А В треугольнике  АВC:  А+  В+  С=180°  A+2  A+2  A=180° 5  A=180°  A=36°  B=2  A=2*36° =72°  С=2  А=2*36° =72 ° ОТВЕТ:  А=36°,  В=72°,  С=72° Дано:  АВС,  АBD=  DBC, AD=DB,  C=2  А Найдите:  А,  В, и  С А В С D