1 فصل دوم تبديلات

2 فصل دوم سرفصل مطالب مقدمه ضرب بردارها دستگاه ‌ هاي مختصات دوران ‌ ها مختصات همگن دوران ‌ ها و انتقال ‌ ها تبديلات تركيبي همگن تبديل پيچش

3 مقدمه جوينت ‌ ها بطور کلي به دو دسته ‌ تقسيم مي ‌ شوند. الف ) جوينتهاي دوراني : كه حول يک محور حرکت دوراني دارند. ب ) جوينتهاي خطي : كه در راستاي يک محور حرکت لغزشي دارند. پايه لينك جوينت ابزار

4 مقدمه هدف اصلي، کنترل موقعيت و جهت ابزار روبات، در يك فضاي سه ‌ بعدي است و بايد بتوان روبات را به نحوي برنامه ‌ ريزي کرد که ابزار روبات، درمسير مشخصي، با زمان ‌ بندي مطلوب حرکت کند و اهداف ما را محقق سازد. براي برنامه ريزي حرکت ابزار روبات، ابتدا بايد يك مدل رياضي مناسب جهت بيان ارتباط بين متغيرهاي جوينت و متغيرهاي موقعيت و جهت ابزار پيدا شود. اين ارتباط توسط سينماتيک مستقيم روبات که بصورت زير تعريف مي ‌ شود، حاصل مي ‌ شود. مسئلة سينماتيک مستقيم : اين مسئله عبارتست از پيدا کردن موقعيت و جهت ابزار روبات نسبت به دستگاه مختصات متصل به پايه روبات وقتي كه متغيرهاي جوينت مشخص مي ‌ باشند. ارئة يك روش مناسب و خلاصه شده ‌ جهت حل مسئلة سينماتيک مستقيم لازم مي ‌ دارد تا در ابتدا مرور مختصري بر خواص فضاي برداري انجام گيرد.

5 ضرب بردارها ضرب نقطه ‌ اي : ضرب نقطه ‌ اي دو بردار در فضاي بصورت زير نشان داده مي ‌ شود :

6 ضرب بردارها دو رابطة اول نشان مي ‌ دهد که ضرب داخلي يک بردار با خودش، هميشه نامنفي است و زماني برابر صفر است که خود بردار صفر باشد. رابطة سوم خاصيت جابجايي را نشان مي ‌ دهد و رابطة چهارم، خطي بودن ضرب داخلي را نشان مي ‌ دهد.

7 ضرب بردارها از ضرب داخلي دو بردار مي ‌ توان بعنوان معياري جهت تشخيص زاويه ميان دو بردار نيز استفاده نمود. براي بررسي اين موضوع ابتدا به تعريف زير توجه نمائيد. متعامدبودن ( Orthogonality): بردارهاي متعامد را مي ‌ توان بصورت بردارهايي که در فضاي سه بعدي بر هم عمودند، تفسير کرد.

8 ضرب بردارها بنابراين سه بردار نشان داده شده در شکل زير، که متناظر با سه ستون ماتريس واحد مي ‌ باشند، دو به دو متعامد هستند. لذا به مجموعة اين سه بردار، يک مجموعه متعامد (Orthogonal Set) گويند. مجموعه اين سه بردار علاوه بر متعامد بودن، داراي خاصيت ديگري نيز هستند كه در تعريف زير بيان مي ‌ گردد.

9 ضرب بردارها کامل بودن (Completeness ): يک مجموعة متعامد کامل، مجموعه ‌ اي است با اين ويژگي که اگر برداري با تمام بردارهاي آن متعامد باشد، آن بردار صفر خواهد بود. به عبارت ديگر هيچ بردار غير صفر ديگري وجود ندارد كه با تمام اعضاي اين مجموعه متعامد باشد.

10 ضرب بردارها بُعد (Dimension): تعداد بردارهاي لازم براي تشکيل يک مجموعه متعامد کامل در يک فضاي برداري، « بُعد » آن فضا ناميده مي ‌ شود.

11 ضرب بردارها نُرم (Norm): يك دسته از بردارهاي واحد متعامد، يک مجموعه « همساز » را تشکيل مي ‌ دهند. همساز (Orthonormal ):

12 ضرب بردارها قضية تعيين جهت (Orientation ): لذا ضرب داخلي مي ‌ تواند معياري جهت تشخيص زاويه بين دو بردار باشد. و در جهت ‌ يابي از آن استفاده نمود.. با توجه به قضيه فوق مي ‌ توان نتيجه گرفت که زاويه ميان دو بردار متعامد 90 درجه خواهد بود. بنابراين بردارهاي متعامد، دو به دو بر هم عمودهستند.

13 ضرب بردارها ضرب خارجي (Cross Product ) عمليات ديگري كه در فضاي برداري تعريف مي ‌ شود و در تحليل روبات مفيد واقع خواهد بود، عمليات ضرب خارجي يا صليبي است که نتيجه آن بر خلاف ضرب داخلي، يک بردار مي ‌ باشد و بصورت زير بيان مي ‌ گردد.

14 ضرب بردارها قضية ضرب خارجي : استفاده از ضرب ‌ هاي داخلي و خارجي در مختصر نمودن عبارات رياضي سينماتيک، استاتيک و ديناميک روبات، بسيار مفيد واقع خواهند شد.

15 دستگاههاي مختصات فرض کنيد زير فضايي داريم که از مجموعه ‌ اي از بردارهاي همساز کامل تشکيل شده ‌ است. چنانچه بخواهيم بردار دلخواهي را در اين زيرفضا تصوير کنيم، از ضرب داخلي يا ضرب نقطه ‌ اي استفاده مي ‌ کنيم.

16 دستگاههاي مختصات تعريف مختصات :

17 دستگاههاي مختصات قضية مختصات همساز : اثبات :

18 دستگاههاي مختصات

19 دستگاههاي مختصات

20 دستگاههاي مختصات

21 دستگاههاي مختصات p

22 دستگاههاي مختصات p

23 دستگاههاي مختصات قضية تبديل مختصات :

24 دستگاههاي مختصات

25 دستگاههاي مختصات

26 دستگاههاي مختصات p مثال 1 : حل :

27 دستگاههاي مختصات قضية تبديل مختصات معکوس اگر ماتريس تبديل مختصات از يك دستگاه به دستگاه ديگر در دست باشد و بخواهيم اين بار تبديل را در جهت عکس انجام دهيم، بايد معکوس ماتريس تبديل مختصات فوق را بدست آورد. وقتي که دستگاه مختصات مبدا و مقصد هر دو همساز باشند، يافتن معکوس ماتريس تبديل مختصات کار ساده ‌ اي است. قضيه زير اين موضوع را روشن مي ‌ سازد.

28 دستگاههاي مختصات اثبات :

29 دوران‌ها ( Rotations ) دورانهاي اساسي : براي توصيف موقعيت و جهت ابزار متحرک نسبت به دستگاه مختصات متصل به پايه روبات، هم دوران و هم انتقال داريم. نخست به بررسي دوران مي ‌ پردازيم. اگر دستگاه مختصات M حول يکي از بردارهاي واحد دستگاه مختصات F دوران نمايد آنگاه ماتريس تبديل مختصات را «ماتريس دوران اساسي» Fundamental Rotation Matrix گويند. در فضاي سه بعدي امکان سه نوع دوران حول يکي از بردارهاي واحد F وجود دارد که در شکل زير نمايش داده شده است.

30 دوران‌ها ( Rotations )

31 دوران‌ها ( Rotations )

32 دوران‌ها ( Rotations )

33 دوران‌ها ( Rotations )

34 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

35 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

36 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

37 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

38 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

39 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

40 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

41 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

42 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

43 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

44 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

45 دوران‌ها ( Rotations ) مثال :

46 دوران‌ها ( Rotations ) دورانهاي تركيبي : وقتي تعدادي از ماتريس ‌ هاي دوران اساسي را در هم ضرب کنيم، ماتريس حاصل، نشان دهنده يکسري دورانها حول بردارهاي واحد است؛ که به آن دورانهاي ترکيبي مي ‌ گويند. با استفاده از اين دورانهاي ترکيبي، مي ‌ توان هر دوران دلخواهي را براي ابزار روبات توصيف کرد.

47 دوران‌ها ( Rotations ) دورانهاي تركيبي :

48 دوران‌ها ( Rotations ) دورانهاي تركيبي : هر دوران اساسي بوسيله يک ماتريس نمايش داده مي ‌ شود. بايد توجه داشت که ضرب ماتريس ‌ ها خاصيت جابجايي ندارد. لذا ترتيب دورانها، دورانهاي ترکيبي مختلفي بدست مي ‌ دهد. بعلاوه وقتي يک دوران صورت مي ‌ پذيرد، ساير محورهاي بردارهاي واحد دستگاه ‌ ها، بر هم منطبق نمي ‌ باشند؛ لذا دورانهاي پياپي بايد حول بردارهاي واحد دستگاه مختصات M يا F باشند. براي بدست آوردن ماتريس دوران ترکيبي، هنگامي كه چند دوران پشت سر هم صورت گيرد مي ‌ توان پس از هر مرحله دوران قواعد زير را بكار بست و ماتريس دوران را در هر مرحله بدست آورد.

49 دوران‌ها ( Rotations ) دورانهاي تركيبي :

50 دوران‌ها ( Rotations ) دوران YPR:

51 دوران‌ها ( Rotations ) دوران YPR:

52 دوران‌ها ( Rotations )

53 دوران‌ها ( Rotations ) دوران زاويه - محوري (Equivalent Angle-Axis Representation ): همچنين هر دوراني را مي ‌ توان بصورت يــــک دوران تك با زاويه حول يک بردار دلخواه، نمايش داد. اين نمايش به نام معادل زاويه ‌- محوري موسوم مي ‌ باشد.

54 دوران‌ها ( Rotations ) با تعاربف زير، براي سادگي محاسبات، مي ‌ توان ماتريس دوران معادل زاويه - محوري از قضية زير بدست آورد.

55 دوران‌ها ( Rotations )

56 دوران‌ها ( Rotations )

57 دوران‌ها ( Rotations )

58 دوران‌ها ( Rotations )

59 دوران‌ها ( Rotations )

60 دوران‌ها ( Rotations )

61 دوران‌ها ( Rotations )

62 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination ) دورانهايي که تا كنون معرفي شدند براي توصيف جهت ابزار روبات كاربرد دارند. در صورتيكه ما نياز داريم تا علاوه بر جهت، موقعيت ابزار روبات را نيز نسبت به دستگاه مختصات متصل به پاية روبات، داشته باشيم. بـــــــه همين دليل تبديل ديــــــگري مورد استفاده قرار مي ‌ گيرد كـــــه انتقال (Translation) نام دارد. يکي از تفاوتهاي انتقال با دوران آنست كه در دوران، مبدا دستگاه مختصات متحرک، روي مبدا دستگاه مختصات ثابت، باقي مي ‌ ماند. اين ويژگي سبب مي ‌ شود که دوران بطور کلي يک عملگر خطي باشد؛ و بتوان دورانها را در فضاي سه بعدي بوسيله يک ماتريس 3×3 نشان داد. درحاليکه مبدا دستگاه ‌ هاي مختصات پس از انتقال بر هم منطبق نيستند. بنابران انتقال را نمي ‌ توان در فضاي سه بعدي با يک ماتريس 3×3 نمايش داد و در نتيجه نياز به تعريف يك بعد ديگر وجود دارد.

63 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination )

64 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination )

65 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination )

66 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination )

67 مختصات همگن ( Homogeneous Coordination )

68 دوران‌ها و انتقال‌ها

69 دوران‌ها و انتقال‌ها

70 دوران‌ها و انتقال‌ها

71 دوران‌ها و انتقال‌ها

72 دوران‌ها و انتقال‌ها

73 دوران‌ها و انتقال‌ها

74 دوران‌ها و انتقال‌ها

75 تبديلات تركيبي همگن

76 تبديلات تركيبي همگن

77 تبديلات تركيبي همگن

78 تبديلات تركيبي همگن

79 تبديلات تركيبي همگن

80 تبديلات تركيبي همگن

81 تبديلات تركيبي همگن

82 تبديلات تركيبي همگن

83 تبديلات تركيبي همگن

84 تبديلات تركيبي همگن

85 تبديلات تركيبي همگن

86 تبديل پيچش (Screw)

87 تبديل پيچش (Screw)

88 تبديل پيچش (Screw)

89 تبديل پيچش (Screw)

90 پايان