PENDAHULUAN Dalam matematika, deret Taylor adalah representasi fungsi matematika sebagai jumlahan tak hingga dari suku-suku yang nilainya dihitung dari turunan fungsi tersebut di suatu titik. Deret ini dapat dianggap sebagai limit polinomial Taylor. Deret Taylor mendapat nama dari matematikawan Inggris Brook Taylor. Bila deret tersebut terpusat di titik nol, deret tersebut dinamakan sebagai deret Maclaurin, dari nama matematikawan Skotlandia Colin Maclaurin.

Pembahasan DERET TAYLOR Deret Taylor dari sebuah fungsi riil atau fungsi kompleks f(x) yang terdiferensialkan takhingga dalam sebuah persekitaran sebuah bilangan riil atau kompleks a adalah deret pangkat Yang dalam bentuk lebih ringkas dapat dituliskan sebagai Dengan n! melambangkan faktorial n dan f (n)(a) melambangkan nilai dari turunan ke-n dari f pada titik a. Turunan kenol dari f didefinisikan sebagai f itu sendiri, dan (x − a)0 dan 0! didefinisikan sebagai 1. Dalam kasus khusus di mana a = 0, deret ini disebut juga sebagai Deret Maclaurin.

Contoh Soal Deret Taylor dan Penjelasannya: 1. Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan Jawaban dari Soal diatas : Maka Ditemukan Deret Taylor Sebagai Berikut :

Bentuk umum dari deret taylor untuk fungsi, misal Bentuk umum dari deret taylor untuk fungsi, misal perhatikan dan pahami : Untuk itu bentuk dari diubah menjadi --------------------------- Sehingga didapat deret taylor = /x/<1

Contoh Soal Deret Taylor dari fungsi sebelumnya serta Penjelasannya: Tentukan Deret Taylor dari dengan menggunakan Jawab : Dari situ dapat disimpulkan Didapat deret taylor sebagai berikut:

Pembahasan Fungsi Kombinasi Contoh : = = = = =10 Untuk deret Rumus diatas untuk menentukan Deret Taylor dari fungsi Kombinasi itu sendiri.

Contoh soal dari fungsi Kombinasi, perhatikan dan pahami: 1. = + + + Jadi, dari contoh tersebut dapat diketahui Deret Taylor untuk adalah

Pembahasan fungsi pembangkit FUNGSI PEMBANGKIT MEMPUNYAI 2 PENGERTIAN: 1. Fungsi pembangkit biasa (FPB) dari an di definisikan sbb: 2. Fungsi pembangkit Exportert (FPE) dari an didefinisikan sbb:

Catatan : Contoh soal : Tentukan fungsi pembangkit FPB & FPE jika diketahui : Jawab :

Jawaban untuk yang Jadi FPB & FPE untuk contoh soal tersebut adalah : FPB FPE

Fungsi pembangkit digunakan untuk merepresentasikan barisan secara efisien dengan mengkodekan unsur barisan sebagai koefisien dalam deret pangkat suatu variabel x . Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk: memecahkan berbagai masalah counting, memecahkan relasi recurrence, dan membuktikan identitas kombinatorik.

Definisi dan contoh Definisi. Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak hingga: Contoh 1. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5 adalah Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3 adalah Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k adalah

Teorema 1 Contoh 2. Misal f(x) = 1/(1-x)2. Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) =  akxk. Solusi. Jadi, ak = k+1.

Koefisien Binomial Diperluas Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak negatif. Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan sebagai:  Contoh 3. Tentukan nilai dari: b.

Teorema Binomial Diperluas Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan u bilangan real. Maka, Catatan. Jika u bilangan bulat positif maka Teorema Binomial Diperluas menjadi Teorema Binomial.

Contoh 4 Tentukan fungsi pembangkit untuk (1+x)-n dan (1-x)-n, dengan n bilangan bulat positif. Solusi.

Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit Contoh 5. Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1, n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2  n1  5, 3  n2  6 dan 4  n3  7. Solusi. Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam ekspansi: (x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7). Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan mengalikan xn1 pada faktor pertama dengan xn2 pd faktor kedua dan xn3 pada faktor ketiga yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17. Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3. Jadi, ada tepat 3 solusi.

Contoh 6 Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue? Solusi. Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue. Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor yang berbentuk: (x2 + x3 + x4) dalam fungsi pembangkit barisan {cn}. Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah: (x2 + x3 + x4)3. Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8, yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada 3 anak tadi.

Latihan soal 1. Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat fungsi-fungsi berikut ini: a. 1/(1+x)2 b. 1/(1-2x) c. x4/(1-3x)3 2. Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya cara mendistribusikan 25 donat identik kepada 4 polisi sehingga setiap polisi mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak lebih dari 7 donat.