Глава 8. Элементы комбинаторики (п.п ) Подготовили учителя математики ГОУ ЦО №1682 Смагина Екатерина Николаевна Илич Надежда Николаевна

Результаты обучения : В результате изучения материала главы 8 учащийся должен : уметь методом перебора находить ответы в комбинаторных задачах для небольших объемов перебора ; уметь вычислять число упорядоченных пар, пользуясь правилом умножения ; уметь вычислять n!; знать факториалы до 5! и уметь пользоваться таблицей до 10!; уметь находить число перестановок элементов произвольного конечного множества ; уметь вычислять, пользуясь формулой ; уметь решать простейшие задачи, в которых число благоприятствующих элементарных событий находится как число сочетаний.

Теоретический материал Чтобы найти число комбинаций предметов двух типов, нужно число предметов первого типа умножить на число предметов второго типа. ( Комбинаторное правило умножения ); Перестановкой из n предметов называется любой способ нумерации этих предметов ( способ расположения их в ряд ); Число перестановок n предметов равно n!; Теория вероятностей дает способ нахождения численного значения вероятности события Р ( А ) = N(A)/N, где N(A) – количество исходов, при которых событие А появляется, N – конечное число равновозможных исходов ; Если есть n предметов, то число способов, которыми можно выбрать ровно k из них, называется числом сочетаний из n по k и обозначается и находится по формуле.

п. 39 задача 4 В автоматических камерах хранения на железнодорожных вокзалах применяется шифр, который состоит из одной буквы и трех цифр, буквы берутся от А до К, исключая Ё и Й, а цифры могут быть любыми от 0 до 9, например Д 195, Сколько можно составить различных шифров ?

п.39 задача 4 решение : Буквы: А, Б, В, Г, Д, Е, Н, З, И, К – 10 букв Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 цифр Д ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = Ответ: можно составить различных шифров. Буквы: А, Б, В, Г, Д, Е, Н, З, И, К – 10 букв Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – 10 цифр Д ∙ 10 ∙ 10 ∙ 10 = Ответ: можно составить различных шифров.

п.39 задача 6 Первый класс праздновал Новый год. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Чего было больше - подаренных открыток или подаренных гвоздик ?

п.39 задача 6 решение : Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Пример: В классе 13 девочек и 15 мальчиков. - подарено открыток 13 ∙ 15 - подарено гвоздик 15 ∙ 13 Вывод: Подаренных открыток и подаренных гвоздик было одинаковое количество. Каждая девочка подарила каждому мальчику открытку, а каждый мальчик подарил каждой девочке гвоздику. Пример: В классе 13 девочек и 15 мальчиков. - подарено открыток 13 ∙ 15 - подарено гвоздик 15 ∙ 13 Вывод: Подаренных открыток и подаренных гвоздик было одинаковое количество.

п.39 задача 7* Второй класс, в котором 23 ученика, но мальчиков меньше, чем девочек, отправился на экскурсию в музей. За время экскурсии каждый мальчик по одному разу дернул за косичку каждую девочку. Сколько мальчиков и сколько девочек в классе, если всего было произведено 132 дергания за косички?

п.39 задача 7* решение : Пусть в классе m мальчиков и n девочек, тогда по комбинаторному правилу умножения число комбинаций – m ∙ n В классе m мальчиков, тогда (23 – m) девочек. Произведено m∙ (23 – m) дерганий за косички, что по условию задачи составляет 132. Составим и решим уравнение: m∙ (23 – m)= 132. Корнями уравнения являются числа 11 и12. По условию задачи мальчиков меньше, чем девочек. Следовательно мальчиков 11, а девочек 12. Ответ: 11 мальчиков и 12 девочек. Пусть в классе m мальчиков и n девочек, тогда по комбинаторному правилу умножения число комбинаций – m ∙ n В классе m мальчиков, тогда (23 – m) девочек. Произведено m∙ (23 – m) дерганий за косички, что по условию задачи составляет 132. Составим и решим уравнение: m∙ (23 – m)= 132. Корнями уравнения являются числа 11 и12. По условию задачи мальчиков меньше, чем девочек. Следовательно мальчиков 11, а девочек 12. Ответ: 11 мальчиков и 12 девочек.

п.39 задача 8* На приеме в посольстве встретились две делегации, в каждой из которых было несколько дипломатов. Каждый дипломат одной делегации пожал руку каждому дипломату второй делегации. Сколько было членов в каждой делегации, если всего произошло 143 рукопожатия ?

п.39 задача 8* решение : Пусть в одной делегации m дипломатов, в другой делегации n дипломатов. По комбинаторному правилу умножения количество рукопожатий будет m ∙ n. Всего произошло 143 рукопожатия, следовательно m ∙ n = 143. Проанализируем данное произведение, рассмотрев делители числа 143. Возможны числа 11 и 13. Ответ: в делегациях было 11 и 13 ( или 13 и 11) дипломатов. Пусть в одной делегации m дипломатов, в другой делегации n дипломатов. По комбинаторному правилу умножения количество рукопожатий будет m ∙ n. Всего произошло 143 рукопожатия, следовательно m ∙ n = 143. Проанализируем данное произведение, рассмотрев делители числа 143. Возможны числа 11 и 13. Ответ: в делегациях было 11 и 13 ( или 13 и 11) дипломатов.

п.40 задача 1 Саша, Ваня и Петя получили номера 1, 2, и 3 для участия в соревнованиях. Запишите в таблицу все возможные способы распределения этих номеров между участниками.

п.40 задача 1 решение: 1 способ2 способ3 способ4 способ5 способ6 способ Саша Ваня Петя Первого человека можно выбрать тремя способами, второго – двумя, а третьего – одним-единственным способом. Таким образом, получили = 6 способов перестановки трех человек или 3! = 6

Дополнительные задачи : Сколькими способами 28 учеников можно выстроить в очередь в столовую ? Ответ : 28! Решение : 1 способ : Сколько существует способов выстроить в очередь первого ученика (28), второго ученика (27), третьего ученика (26) и т. д. ? По правилу умножения получаем 28 ∙ 27 ∙ 26 ∙ 25 ∙ … ∙ 1 = 28! 2 способ : число перестановок 28! Важно помнить, что задачу можно решить не только по формуле, но и воспользовавшись рассуждениями.

Дополнительные задачи Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели. На ней шесть сидений. Одно изображало льва, другое тигра, третье слона, четвертое оленя, пятое медведя и шестое жирафа. Ребята заспорили, кому куда садиться, поэтому решили перепробовать все способы. Сколько раз пришлось им прокатиться на карусели ? (6! = 720) Посчитайте приблизительно сколько времени займет катание на карусели. В семье шесть человек, а за столом на кухне шесть стульев. В семье решили каждый вечер, ужиная, рассаживаться на эти шесть стульев по - новому. Сколько дней члены семьи смогут осуществлять задуманное ? (6! = 720 дней, почти два года )

Дополнительные задачи Проказница Мартышка, Осёл, Козел да Косолапый Мишка задумали сыграть квартет. Стой, братцы, стой ! – кричит Мартышка, - погодите ! Как музыке идти ! Ведь Вы не так сидите. И так, и этак пересаживались – опять музыка не идет на лад. Тут пуще прежнего пошли у них раздоры, кому и как сидеть. Сколько существует способов рассадить музыкантов ? (4! =24) В 8 классе в среду 7 уроков : алгебра, геометрия, литература, физкультура, русский язык, биология, английский язык. а ) Сколько можно составить различных вариантов расписания на среду ? (7! = 5040) б ) В скольких вариантах расписания физкультура будет значиться последним уроком ? (6! = 720)

п.41 задача 1 Найдите вероятность того, что трехзначный номер случайно проезжающей мимо машины состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном порядке.

п.41 задача 1 решение : Общее число равновозможных исходов N= 10∙ 10∙ 10 = 1000; Событие А «трехзначный номер случайно проезжающей мимо машины состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном порядке» Число благоприятствующих событий, при которых событие А появляется N(A) = 3! = 6; Вероятность события А Р(А) = 6⁄1000 = 0,006 Ответ: Р(А) = 0,006 Общее число равновозможных исходов N= 10∙ 10∙ 10 = 1000; Событие А «трехзначный номер случайно проезжающей мимо машины состоит из цифр 0, 4, 5 в произвольном порядке» Число благоприятствующих событий, при которых событие А появляется N(A) = 3! = 6; Вероятность события А Р(А) = 6⁄1000 = 0,006 Ответ: Р(А) = 0,006

п. 41 задача 3 Какова вероятность того, что среди последних четырех цифр случайного телефонного номера : а) встретится цифра 7; б) встретится цифра 2 или цифра 3.

п.41 задача 3 решение : а) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = Событие А – «не встретится цифра 7» N(А) = 9 ∙ 9 ∙ 9. 9 = 6561; Р(А) = 6561/ = 0,6561; Р(А) = 1 – Р(Ā); Р(А) = 1 – 0,6561 = 0,3439. Ответ: Р(А) = 0,3439. а) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = Событие А – «не встретится цифра 7» N(А) = 9 ∙ 9 ∙ 9. 9 = 6561; Р(А) = 6561/ = 0,6561; Р(А) = 1 – Р(Ā); Р(А) = 1 – 0,6561 = 0,3439. Ответ: Р(А) = 0,3439.

п. 41 задача 3 решение : б) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = Событие А – « не встретятся цифры 2 и 3» N( А) = 8 ∙ 8 ∙ 8. 8 = 4096; Р(А) = 4096/10000 = 0,4096; Р(А) = 1 – Р(А); Р(А) = 1 – 0,4096 = 0,5904; Ответ: Р(А) = 0, б) N = 10 ∙ 10 ∙ 10 ∙10 = Событие А – « не встретятся цифры 2 и 3» N( А) = 8 ∙ 8 ∙ 8. 8 = 4096; Р(А) = 4096/10000 = 0,4096; Р(А) = 1 – Р(А); Р(А) = 1 – 0,4096 = 0,5904; Ответ: Р(А) = 0, 5904.

п.41 задача 5 На полке у Миши 6 видеокассет. На дне рождения Миша снял все кассеты с полки. Часть фильмов ребята посмотрели вместе, а когда гости ушли, Миша поставил все кассеты снова на полку в случайном порядке. Найдите вероятность того, что кассеты оказались в том же порядке, что были прежде.

п. 41 задача 5 решение : N = 6! = 720 N(A) = 1 Р(А) = 1/720 ≈ 0,0014 Ответ: Р(А) ≈ 0,0014 N = 6! = 720 N(A) = 1 Р(А) = 1/720 ≈ 0,0014 Ответ: Р(А) ≈ 0,0014

П.41 задача 9 Слово « апельсин » написали на полоске картона и разрезали полоску на буквы. Девочка, играя, выложила их в ряд в случайном порядке. Найдите вероятность того, что это слово « спаниель ».

п. 41 задача 9 решение : N= 8! = N(А) = 1 Р(А) = 1/40320 ≈ 0, Ответ: Р(А) ≈ 0, N= 8! = N(А) = 1 Р(А) = 1/40320 ≈ 0, Ответ: Р(А) ≈ 0,000025

п.42 задача 11, п. 43 задача 5 На билете лотереи « Честная игра » имеется 20 закрытых букв, ровно 10 из них – буквы слова « АВТОМОБИЛЬ ». Буквы разбросаны случайным образом. По правилам лотереи, если владелец билета, открыв ровно 10 букв, откроет все буквы слова « АВТОМОБИЛЬ », то он выигрывает автомашину. а ) Сколько существует способов открыть 10 букв ? б ) Сколько существует способов открыть 10 букв так, чтобы выиграть автомобиль ? Найдите вероятность, открыв случайным образом 10 букв, открыть все буквы слова « автомобиль »

Решение : а) = ; N= б) Событие А « открыв случайным образом все 10 букв, открыть слово «автомобиль» N(A) = 1 Р(А) = 1 / Ответ: Р(А) = 1/ а) = ; N= б) Событие А « открыв случайным образом все 10 букв, открыть слово «автомобиль» N(A) = 1 Р(А) = 1 / Ответ: Р(А) = 1/184756

п. 43 задача 1 Для участия в телевикторине случайным образом выбирают 3 игроков из 8 претендентов. Какова вероятность того, что будут выбраны 1- ый, 4- ый и 8- ой игроки ?

Решение : N =56 Событие А « будут выбраны 1-ый, 4-ый и 8-ой игроки» N (A) = 1 Р (А) = 1/56 = 0,018 Ответ: Р(А) = 0,018 N =56 Событие А « будут выбраны 1-ый, 4-ый и 8-ой игроки» N (A) = 1 Р (А) = 1/56 = 0,018 Ответ: Р(А) = 0,018

п. 43 задача 6 ( в, г ) Найдите вероятность того, что все буквы « о » окажутся на своих местах, если случайным образом перемешать и выстроить в ряд все буквы слова в ) « околоток » г ) « обороноспособность »

п. 43 задача 6( в, г ) решение : в) «околоток» N = N(A) = 1 P(A) = 1/70 =0,014 г) « обороноспособность» N = N(A) = 1 Р(А) = 1/31824 = 0, в) «околоток» N = N(A) = 1 P(A) = 1/70 =0,014 г) « обороноспособность» N = N(A) = 1 Р(А) = 1/31824 = 0,

п. 43 задача 10* В магазин привезли 10 синих и 10 коричневых костюмов. Продавщица случайным образом выбирает 8 из них, чтобы выставить на витрине. Найдите вероятность того, что будет отобрано 3 синих и 5 коричневых костюмов.

Решение : N = N(A) = Р(А) = 30240/ =0, 24 Ответ: Р(А) = 0,24. N = N(A) = Р(А) = 30240/ =0, 24 Ответ: Р(А) = 0,24.

п. 43 задача 12* Иван Иванович купил билет лотереи « Спортлото 5 из 36». На билете изображены 36 номеров от 1 до 36. нужно вычеркнуть ровно 5 из них. При розыгрыше случайным образом выбираются 5 выигрышных номеров. Какова вероятность того, что Иван Иванович, зачеркнув 5 чисел, угадает : а ) ровно 5 выигрышных номеров ; б ) ровно 4 выигрышных номера.

Решение : а)N = = N(А) = 1 Р(А) = 1/ = 0, б) N(A) = = 155 N = Р(А) = 155/ = 0, 0004 а)N = = N(А) = 1 Р(А) = 1/ = 0, б) N(A) = = 155 N = Р(А) = 155/ = 0, 0004