第四章 拱桥设计与计算

拱上建筑与主拱的联合作用： 拱桥，实为多次超静定的空间结构，当活载作用于桥跨结构时，拱 上建筑参与主拱圈共同承受活载的作用，这种现象，称为 “ 拱上建筑与 主拱的联合作用 ” 或简称 “ 联合作用 ” 。拱式拱上建筑的联合作用较大，梁 板式拱上建筑的联合作用较小。

一、拱轴方程的建立（实腹拱压力线） 如下图所示，设拱轴线为结构重力压力线，则拱顶截面的内力 为： 弯矩 M d =0 剪力 Q d =0 结构重力推力为 H g 第一节 悬链线拱的几何性质与弹性中心

对拱脚截面取矩，有 : （1）（1）  半拱结构重力对拱脚的弯矩。 对任意截面取矩，有： ( ２） y 1  以拱顶为原点，拱轴线上任意点的坐标； M  任意截面以右的全部结构重力对该截面的弯 矩值。 对式（ 2 ）两边对 x 取两次导数，可得： （３）

由上式可知，为了计算拱轴线（压力线）的一般方程，需首先知道结构 重力的分布规律，对于实腹式拱，其任意截面的结构重力可以用下式表 示： （４）  拱顶处结构重力强度；   拱上材料的容重。 由上式，取 y 1 =f ，可得拱脚处结构重力强度 g j 为： （５） 其中：称为拱轴系数。 这样 g x 可变换为： （６）

将上式代入式（ 3 ），并引参数  : 则： 可得： （7）（7） 令 则 （8）（8） 上式为二阶非齐次微分方程。解此方程，得到的拱轴线（压力线）方程为： （9）（9） 上式为悬链线方程。

其中 ch k  为双曲余弦函数：  对于拱脚截面有：  =1 ， y 1 =f ，代入式（ 9 ）可得： 通常 m 为已知，则可以用下式计算 k 值： （ 10 ） 反双曲余弦函数对数表示  当 m=1 时 g x =g j ，可以证明，在均布荷载作用下的压力线为二次抛 物线，其方程变为：

 由悬链线方程可以看出，当拱的跨度和失高确定后，拱轴线各点的坐 标取 确于拱轴系数 m 。其线线形可用 l/4 点纵坐标 y 1/4 的大小表示： 当时，；代到悬链线方程（ 9 ）有： 半元公式 随 m 的增大而减小（拱轴线 抬高，随 m 减小而增大（拱轴线 降底）。

二、拱轴系数 m 值的确定 （ 1 ）实腹式拱 m 值的确定  拱顶结构重力分布集 度 g d  拱脚结构重力分布集度 g j 其中  拱顶填料、拱圈及拱腹填料的容重  拱顶填料厚度  拱圈厚度  拱脚处拱轴线的水平倾角

由上计算 m 值的公式可以看出，除为未知数外，其余均为已知； 在具体计算 m 值时可采用试算法，具体做法如下： a) 先假设 m i b) 根据悬链线方程（ 9 ）求 ； 将式（ 9 ）两边取导数，有 : 其中 k 可由式（ 10 ）计算 代  =1 ，如上式，即可求得：

c) 根据计算出的 计算出 g j 后，即可求得 m i+1 d) 比较 m i 和 m i+1 ，如两者相符，即假定的 m i 为真实值；如两者相差较大， 则以计算出的 m i+1 作为假设值，重新计算，直到两者相等 （ 2 ）空腹式拱拱轴系数的确定 空腹式拱桥中，桥跨结构的结构重力由 两部分组成，即主拱圈承受由实腹段自重的 分布力和空腹部分通过腹孔墩传下的集中力 （如左图）。由于集中力的存在，拱的压力 线为在集中力作用点处有转折的曲线。但实 际设计拱桥时，由于悬链线的受力情况较好， 故多用悬链线作为拱轴线。 为了使悬链线与其结构重力压力线重 和，一般采用 “ 五点重和法 ” 确定悬链线的 m 值。即要求拱轴线在全拱（拱定、两 1/4l 点和两拱脚）与其三铰拱的压力线重和。 其相应的拱轴系数确定如下

拱定处弯矩 M d =0 ；剪力 Q d =0 。对拱脚取距，由 有：  对拱脚取距，由 有：  对 l/4 截面取距，由 有： （ 11 ） 代上式到式（ 11 ），可得： （ 12 ）  自拱定至拱跨 1/4 点的结构重力对 l/4 截面的力距。

求得 后，即可求得 m 值： 空腹拱的 m 值，需采用试算法计算（逐次渐近法）。 （ 13 ） （ 3 ）悬链线无铰拱的弹性中心 无铰拱是三次超静定结构。对称无铰 拱若从拱定切开取基本结构，多余力 X 1 （弯矩）， X 2 （轴力）为对称， 而 X 3 （剪力）是反对称的，故知副系 数

但任有为了使 ，可以按下图引用 “ 刚臂 ” 的办法 达到。 可以证明当时，

设想沿拱轴线作宽度等于 1/EI 的图形，则 ds/EI 就代表此图的面积，而上 式就是计算这个图形的形心公式，其形心称为弹性中心。 对于悬链线无铰拱有： 其中： 则： 这样：

（ 4 ）空腹式无铰拱压力线与拱轴线偏离产生的附加内力 对于静定三铰拱，各截面的偏离弯矩 值 M p 可以按下式计算： 其中：  y  为三铰拱压力线在该截面 的偏离值 对于无铰拱，由于其是超静定结构， 偏离弯矩将引起次内力，其计算过程 如下： 取左图所示的基本结构，赘余力  X 1 ，  X 2 作用在弹性中心，则有：

（ 14 ） （ 15 ） 任意截面的弯矩为： 其中： y  以弹性中心为原点（向上为正）的拱轴坐标。

拱顶、拱脚处： M p =0 拱顶： 拱脚： 其中， y s  弹性中心至拱顶的距离。 （ 5 ）拱轴系数初值的选定 坦拱： m 值选用较小 陡拱： m 值选用较大

一、等截面悬链线拱桥结构重力（自重）内力计算 结构重力 内力 拱轴线与压力线相符 不考虑弹性压缩 弹性压缩 拱轴线与压力线不相符 拱轴线与压力线不相符产生次内力 不考虑弹性压缩 弹性压缩 1 、不考虑弹性压缩的结构重力内力 1 ）实腹拱 实腹式悬链线的拱轴线与压力线重和，结构重力作用拱的任意截 面存在轴力，而无弯矩，此时拱中轴力可按以下公式计算。 在进行悬链线方程推导时有： 第二节 拱桥内力计算

（ 1 ６） （ 1 ８）  结构重力水平推力 H g ：利用上式有 其中： （ 1 ７）  拱脚的竖向反力：拱脚的竖向反力为半拱的结构重力，即

代到上式，并积分，有 （ 1 － 19 ） 其中  拱圈各截面的轴力 N ：由于不考虑弹性压缩时结构重力弯矩和剪力为零， 有 （ 1 － 20 ）

2 ）空腹拱 在计算空腹式悬链线不考虑弹性压缩的结构重力内力时，可分为两 部分，即先不考虑拱轴线与压力线偏离的影响，假设结构重力压力 线与拱轴线完全重和，然后再考虑偏离的影响，计算由偏离引起的 结构重力内力，二者叠加。  不考虑偏离的影响：此时拱的结构重力推力 H g ，拱脚的竖向反力 V g 和 拱任意截面的轴力可由静力平衡条件得到 （半拱结构重力 重力）  偏离的影响可按式（１４）～式（１５）首先计算出 然后根据静力平衡条件计算任意截面的轴力  N ，弯矩  M 和剪力  Q 。 半拱结构重力对拱脚的 弯矩

（ 1 － 21 ）  在设计中小跨径的空腹式拱桥时可以偏于安全地不考虑偏离弯 矩的影 响。大跨径空腹式拱桥的结构重力压力线与拱轴线一般比中、小跨径偏 离大，一般要计入偏离的影响。

2 、弹性压缩引起的内力 在结构重力产生的轴向压力作用下，拱圈的弹 性变性表现为拱轴长度的缩短。首先将拱顶切 开，假设拱桥圈可以自由变形，并假设弹性压 缩会使拱轴方向缩短  l （右图所示）。由于在 实际结构中，拱顶没有相对水平位移，其变形 受到约束，则在弹性中心处必有一水平拉力  H g 由变形相容方程有： 其中： 代入上式有：  H g 的计算

其中

则：  由  H g 在拱内产生的弯矩、剪力和轴力

 桥规规定，下列情况可不考虑弹性压缩的影响 3 、结构重力作用下拱圈各截面的总内力  不考虑压力线与拱轴线偏离时（实腹式拱） 不考虑弹性压缩结构重力 内力 弹性压缩产生的内力 轴向力： 弯 矩： 剪 力： （ 1 － 22 ）

 考虑压力线与拱轴线偏离时（空腹式拱） 不考虑弹性压缩结构重力内力 弹性压缩产生的内力 计入偏离影响 轴向力： 弯 矩： 剪 力： （ 1 － 23 ） 其中：

（二）活载作用下拱的效应计算 1 、横向分布系数  石拱桥、混凝土箱梁桥荷载横向分布系数 假设荷载均匀分布于拱圈全部宽度上。对于矩形拱，如取单位拱圈 宽度计算，则横向分布系数为： 对于板箱拱，如取单个拱箱进行计算，则横向分布系数为： （ 1 － 24 ） （ 1 － 25 ） 式中： C  车道数 B  拱圈宽度 n  拱箱个数

2 、不考虑弹性压缩影响的活载效应 由于拱桥的活载压力线与拱轴线不重合，可采用效应影响线加载来计算拱的效 应。拱圈是偏心受压结构，常以最大正（负）弯矩控制设计。 首先计算水平力 H 1 、 M 和拱脚的竖向反力 V 。 对于车道荷载： 水平力： 弯 矩： 拱脚竖向反力： 式中： — 车道荷载横向分布系数； 、 — 分别为车道荷载的均布荷载标准值和 集中荷载； — 最大正（负）弯矩影响线面积； 、 — 产生最大正（负）弯矩时对应的水平力 和竖向反力影响线面积；

、 、 、 — 产生最大正（负）弯矩时所对应的水平力、弯矩和竖向反力 影响线的峰值。 轴向力 拱顶 拱脚 其它截面 剪力 拱顶：数值很小，可不考虑 拱脚： 拱顶：数值较小，可不考虑 根据下式计算任意截面轴向力 N 和剪力 Q 。

注意：  、活载弹性压缩产生的内力 活载弹性压缩与结构重力弹性压缩计算相似，也在弹性中心产生赘余水 平力  H ，其大小为： 取脱离体如下图，将各力投影到水平方向 有： 相对较小，可近似忽略，则有：

则： 考虑弹性压缩后的活载推力（总推力）为： 活载弹性压缩引起的内力为： 弯矩： 轴力： 剪力：

（三）等截面悬链线拱其它内力计算 温度变化产生的附加内力 混凝土收缩、徐变产生的附加内力 拱脚变位产生的附加内力 其它内力 1 、温度引起的内力计算 设温度变化引起拱轴在水 平方向的变位为, 与弹 性压缩同样的道理，必须 在弹性中心产生一对水平 力 H t ：

式中：  温度变化值，即最高（或最低）温度与合龙温度之差，温 度上升时为正，下降时为负；  材料的线膨涨系数； 由温度变化引起拱中任意截面的附加内力为： 弯矩 轴力 剪力 2 、混凝土收缩引起的内力  混凝土收缩引起的变形，其对拱桥的作用与温度下降相似。通常将混凝 整体浇筑的钢筋混凝土收缩影响，相当于降低温度 15 0 C  20 0 C 土收缩影响折算为温度降低。  整体浇筑的混凝土收缩影响，一般相当于降低温度 20 0 C ，干操地区为 30 0 C  分段浇筑的混凝土或钢筋混凝土收缩影响， 10 0 C  15 0 C  装配式钢筋混凝土收缩影响， 5 0 C  10 0 C

混凝土徐变的影响可根据实际资料考虑，如缺乏资料，其产生内力可按 下列要求考虑：  温度变化影响力： 0.7  混凝土收缩影响： 、拱脚变位引起的内力计算  拱脚相对水平位移引起的内力 设两拱脚发生的相对位移为： 式中  左、右拱脚的水平位移，自原位置向右移为正。 由拱脚产生相对水平位移 在弹性中心产生的赘余力为：

 拱脚相对垂直位移引起的内力 如拱脚的垂直相对位移为： 式中  左、右拱脚的水平位移， 均 自原位置向下移为正。 由拱脚产生相对垂直位移 在弹性中心产生的赘余力为：

 拱脚相对角变位引起的内力 如下图，拱脚 B 发生转角 ( 顺时针为正 ) 之后，在弹性中心除产 生相同的转脚 之外，还会引起水平位移 和垂直位移 。因此， 在弹性中心会产生三个赘余力 。其典型方程为：

根据上图的几何关系，有： 得：

拱脚引起各截面的内力为： 同理，如为左拱角拱顺时针转动 则有：