1. BAØI TAÄP chöông 1 1. Veõ taát caû ñoà thò a. 3 ñænh vaø 3 caïnh. b. 4 ñænh, 4 caïnh vaø khoâng coù voøng, khoâng coù caïnh //. c. lieät keâ 4 ñoà thò ñeàu trong 2 tröôøng hôïp treân. d. ñeàu, 4 ñænh, moãi ñænh baäc 3, khoâng voøng, khoâng coù caïnh //. e. ñeàu, 5 ñænh, moãi ñænh baäc 3. 2. Taïi moät caâu laïc boä coù 9 thaønh vieân ngoài aên vôùi nhau moãi ngaøy ôû moät baøn troøn, moãi ngöôøi muoán moãi ngaøy 2 ngöôøi baïn keá beân laø baïn môùi. Söï xaép xeáp keùo daøi trong bao nhieâu ngaøy ?

2. INSTANT INSANITY 3. Cho 4 khoái vuoâng, 6 maët cuûa moãi khoái vuoâng ñöôïc toâ baèng 4 maøu khaùc nhau. Coù theå xaép xeáp 4 khoái thaønh moät coät sao cho moãi maët cuûa coät coù 4 maøu khaùc nhau ?.

3. BAØI TAÄP 4. Moät ñoà thò coù 21 caïnh coù 7 ñænh baäc 1, 3 ñænh baäc 2, 7 ñænh baäc 3, caùc ñænh coøn laïi baäc 4. Ñoà thò coù bao nhieâu ñænh ?. Neáu theâm 6 ñænh baäc 0 thì caâu traû lôøi laø bao nhieâu. 5. Chöùng minh trong ñoà thò ñôn giaûn coù ít nhaát 2 ñænh thì phaûi coù ít nhaát 2 ñænh coù cuøng baäc. 6. Caùc ñoà thò sau coù bao nhieâu ñænh neáu chuùng coù : a. 12 caïnh, taát caû ñænh baäc 2. b. 15 caïnh, 3 ñænh baäc 4, caùc ñænh coøn laïi baäc 3. c. 20 caïnh, caùc ñænh coù cuøng baäc.

4. BAØI TAÄP 7. Soá ñænh lôùn nhaát trong moät ñoà thò 19 caïnh vaø caùc ñænh coù baäc ít nhaát laø 3 laø bao nhieâu ?. 8. Chöùng minh ñoà thò ñôn giaûn v ñænh coù soá caïnh toái ña v(v  1)/2. 9. Neáu ñoà thò ñôn giaûn coù 50 caïnh, soá ñænh nhoû nhaát laø bao nhieâu?. Toång quaùt cho n caïnh. 10. Chöùng minh moät ñoà thò ñeàu baäc leû phaûi coù soá ñænh chaün.

5. BAØI TAÄP 11. Ñoà thò coù v ñænh, taát caû caùc ñænh coù baäc leû ngoaïi tröø moät ñænh. Coù bao nhieâu ñænh baäc leû trong ñoà thò buø cuûa ?. 12. Goïi e laø soá caïnh, v laø soá ñænh cuûa ñoà thò, t(i) laø soá ñænh baäc i. chöùng minh 2e  v =  t(0) + t(2) + 2t(3) +...+ (k  1)t(k).

6. BAØI TAÄP chöông 2 1. Chöùng minh phaàn buø cuûa ñoà thò khoâng lieân thoâng phaûi lieân thoâng. 2. Chöùng minh ñoà thò coù ñuùng hai ñænh baäc leû chuùng phaûi thuoäc cuøng thaønh phaàn lieân thoâng. 3. Chöùng minh moät ñoà thò ñôn giaûn v ñænh, p thaønh phaàn lieân thoâng coù soá caïnh toái ña laø e  (v  p)(v  p+1)/2. 4. Chöùng minh moät ñoà thò ñôn giaûn v ñænh coù soá caïnh nhieàu hôn (v  1)(v  2)/2 laø lieân thoâng.

7. BAØI TAÄP 5. Chöùng minh moät ñoà thò ñôn giaûn v ñænh coù soá caïnh nhieàu hôn (v  1)(v  2)/2 laø lieân thoâng. 6. Laáy, laø hai ñöôøng khaùc nhau noái hai ñænh cuûa ñoà thò. Chöùng minh  laø moät chu trình hoaëc taäp hôïp nhöõng chu trình trong. 7. Chöùng minh moät ñoà thò lieân thoâng coù 2k ñænh baäc leû, khi ñoù taäp hôïp caùc caïnh coù theå ñöôïc phaân hoaïch vaøo k ñöôøng sao cho moïi caïnh ñöôïc duøng ñuùng moät laàn. Ñieàu kieän lieân thoâng coù caàn thieát khoâng hay coù theå thay baèng moät ñieàu kieän yeáu hôn ?.

8. BAØI TAÄP chöông 3 1. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng : ? ?

9. BAØI TAÄP 2. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng : ? ?

10. BAØI TAÄP 3. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

11. BAØI TAÄP 4. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

12. BAØI TAÄP 5. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

13. BAØI TAÄP 6. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

14. BAØI TAÄP 7. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

15. BAØI TAÄP 8. Ñoà thò sau ñaúng caáu vôùi nhau hay khoâng :

16. BAØI TAÄP 9. Tìm caùc ñoà thò ñaúng caáu vôùi nhau.

17. BAØI TAÄP 10. Lieät keâ caùc ñoà thò ñôn giaûn coù 4 ñænh khoâng ñaúng caáu nhau. 11. Xaây döïng ñoà thò 6 ñænh vôùi tính chaát sau : a. 3 ñænh baäc 3 vaø 3 ñænh baäc 1. b. caùc ñænh coù baäc 1, 2, 2, 3, 4, 5. c. caùc ñænh coù baäc 2, 2, 4, 4, 4, 4. Neáu khoâng theå xaây döïng ñöôïc haõy giaûi thích lyù do. 12. Tìm taát caû ñoà thò ñeàu baäc 3 khoâng ñaúng caáu nhau coù : a. 4 ñænh. b. 5 ñænh. c. 6 ñænh. d. 8 ñænh.

18. BAØI TAÄP 13. Chöùng minh hai ñoà thò lieân thoâng v ñænh taát caû caùc ñænh baäc 2 thì ñaúng caáu. 14. Ñoä lieân thoâng ñænh cuûa ñoà thò K v laø bao nhieâu ?. 15. Ñoä lieân thoâng caïnh cuûa ñoà thò K v laø bao nhieâu ?. 16. Chöùng minh ñoà thò lieân thoâng coù 3 ñænh trôû leân coù ít nhaát 2 ñænh khoâng laø ñænh caét. 17. Chöùng minh Ñoà thò khoâng khaû taùch  moïi caëp ñænh thuoäc moät chu trình khoâng giao nhau.

19. BAØI TAÄP 18. Chöùng minh : Moät ñoà thò ñôn giaûn laø khoâng khaû taùch  moïi caëp caïnh trong ñoà thò coù moät chu trình chöùa chuùng. 19. Chöùng minh moät ñoà thò v ñænh coù ñoä lieân thoâng ñænh laø k phaûi coù ít nhaát kv/2 caïnh. Moät tröôøng hôïp ñaëc bieät cuûa keát quaû naøy laø baäc cuûa moïi ñænh trong ñoà thò khoâng khaû taùch ít nhaát laø 2. 20. Moïi ñoà thò ñeàu baäc  3 laø khoâng khaû taùch ?. 21. Xaây döïng ñoà thò coù ñoä lieân thoâng caïnh laø 4, ñoä lieân thoâng ñænh laø 3 vaø baäc cuûa moïi ñònh  5.

20. BAØI TAÄP 22. Cho thí duï hai ñoà thò coù cuøng haïng vaø cuøng ñoä khoâng maø khoâng ñaúng caáu baäc 2. 23. Hai ñoà thò ñaúng caáu caïnh neáu coù moät töông öùng 1- 1treân giöõa taäp caïnh cuûa chuùng sao cho hai caïnh laø keà trong ñoà thò naøy neáu vaø chæ neáu cuõng keà trong ñoà thò kia. 24. Cho moät thí duï ñoà thò ñaúng caáu caïnh nhöng khoâng ñaúng caáu.

21. BAØI TAÄP chöông 4 1. Chæ ra coù 6 caây khoâng ñaúng caáu nhau coù saùu ñænh. a. 2 ñænh baäc 1b. 3 ñænh baäc 1 c. 4 ñænh baäc 1d. 5 ñænh baäc 1 2. Chöùng minh trong caây moïi ñænh coù baäc lôùn hôn 1 laø ñænh caét. 3. Cho ñoà thò vôùi, laø hai caây phuû. Goïi H', K' laø phaàn phuï cuaû H, K. Chöùng minh  x  H  K'   y  H'  K, (H  {x})  {y}, (K  {y})  {x} laø 2 caây phuû.

22. BAØI TAÄP 4. Chöùng minh moïi ñoà thò con cuaû ñoà thò lieân thoâng ñöôïc chöùa trong moät caây phuû naøo ñoù cuaû  khoâng chöùa chu trình. 5. Coù theå xaây döïng moät ñoà thò neáu bieát taát caû nhöõng caây phuû cuûa noù ? taïi sao ?. 6. Chöùng minh ñoà thò coù moïi ñænh coù baäc  2 phaûi chöùa chu trình. 7. Chöùng minh ñoà thò coù n ñænh vaø coù ít nhaát n caïnh phaûi chöùa chu trình.

23. BAØI TAÄP 8. Caây coù 3 ñænh baäc 2, 2 ñænh baäc 3, 1 ñænh baäc 4, nhöõng ñænh coøn laïi baäc 1. Caây coù bao nhieâu ñænh. 9. Chöùng minh moïi chu trình trong lieân thoâng phaûi coù ít nhaát moät caïnh chung vôùi taäp hôïp caùc daây. 10. Tìm hai caây phuû khoâng ñaúng caáu cuaû K 3,3. 11. Ñoä khoâng cuaû ñoà thò K n laø bao nhieâu ?. 12. Chæ raèng ñöôøng Hamilton laø moät caây phuû.

24. BAØI TAÄP 13. Chöùng minh ñoä khoâng cuûa moät ñoà thò khoâng ñoåi neáu ta theâm moät ñænh vaøo giöõa moät caïnh hoaëc noái lieàn thaønh moät caïnh cuûa hai caïnh tôùi ñænh baäc 2. 14. Chöùng minh baát kyø moät caïnh cuûa ñoà thò lieân thoâng laø moät nhaùnh cuaû moät caây phuû naøo ñoù cuûa ñoà thò. Ñieàu naøy cuõng ñuùng ñoái vôùi moät caïnh baát kyø laø moät daây cuûa moät caây phuû naøo ñoù ?. 15. Chöùng minh ñoà thò khoâng khaû taùch coù ñoä khoâng baèng 1  ñoà thò laø chu trình khoâng giao nhau.

25. BAØI TAÄP chöông 5 1. Veõ laïi ñoà thò trong hình sau ñeå mieàn 2 trôû thaønh mieàn voâ haïn.

26. BAØI TAÄP 2. Veõ ñoà thò ñoái ngaãu cuûa ñoà thò sau :

27. BAØI TAÄP 3. Tìm K 5 hoaëc K 3,3 trong caùc ñoà thò sau :

28. BAØI TAÄP 4. Tìm K 5 hoaëc K 3,3 trong caùc ñoà thò sau :

29. BAØI TAÄP 5. Tìm K 5 hoaëc K 3,3 trong caùc ñoà thò sau :

30. BAØI TAÄP 6. Tìm K 5 hoaëc K 3,3 trong caùc ñoà thò sau :

31. BAØI TAÄP 7. Moät ñoà thò ñôn giaûn phaúng toái ñaïi neáu theâm vaøo moät caïnh seõ maát ñi tính chaát phaúng. Chöùng minh moïi mieàn trong ñoà thò ñôn giaûn phaúng toái ñaïi laø tam giaùc. 8. Cho moät thí duï chöùng minh raèng khoâng ñaúng caáu vôùi nhöng ñaúng caáu baäc 2 vôùi ( laø ñoái ngaãu cuaû ).

32. BAØI TAÄP 9. Chöùng minh raèng K 4 laø töï ñoái ngaãu. Cho moät thí duï töï ñoái ngaãu khaùc. 10. Neáu moät ñoà thò phaúng taát caû baäc 4 coù 10 mieàn thì coù bao nhieâu ñænh ?. 11. Chöùng minh ñoà thò phaúng lieân thoâng coù moät ñænh baäc  5. Coù theå toång quaùt hoaù phaùt bieåu treân vaøo tröôøng hôïp ñoà thò phaúng baát kyø (khoâng lieân thoâng).

33. BAØI TAÄP chöông 6 1. Tìm saéc ñoä caïnh cuûa caùc ñoà thò sau : A B C D E F A B C D E

34. BAØI TAÄP 2. Tìm saéc ñoä cuûa caùc ñoà thò sau : A B C D E F G H A B C D E F G A B C D E F G A B C

35. BAØI TAÄP chöông 7 1. Tìm soá löôïng taêng toái ña cuûa moãi doøng sau : S T A B 1,5 3,3 2,4 S T A B 1,5 1,3 2,4 S C A B T 1,5 3,3 0,4 0,3

36. BAØI TAÄP 2. Tìm moät ñöôøng taêng doøng coù giaù trò 136. Coù moät ñöôøng taêng doøng khaùc hay khoâng ?. A D 38,50 S C B 40,40 E T F 36,36 30,30 40,40 40,60 48,48 54,70 13,15 15,15 10,24 20,20 22,22 20,20 12,18 12,12 16,30

37. BAØI TAÄP 3. Trong maïng sau cung AD, BE, CD, ET laø baûo hoøa vaø doøng cuûa caùc cung SA, SB, SC laø nhö nhau. Tìm taát caû caùc doøng bò thieáu. A D ?,2 S C B ?,5 T E ?,9 ?,6 ?,4 ?,7 ?,3 ?,2 ?,4

38. BAØI TAÄP 4. Tìm taát caû ñöôøng taêng doøng vaø giaù trò cöïc ñaïi cuûa chuùng. A D 5,10 S C 8,9 T E 1,1 2,4 7,7 9,10 3,6 2,4 2,5

39. BAØI TAÄP 5. Aùp duïng thuaät toaùn tìm doøng cöïc ñaïi cuûa doøng sau. A D 2,5 S C 4,9 T E 2,7 7,8 7,9 9,10 0,5 2,7 A D 3 S C B 8 T E 9 4 2 8 7 4 9 7 3 5 2 6 5 F

40. HEÁT BAØI TAÄP