2. روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II روش عناصر محدود غیرخطی II Nonlinear Finite Element Procedures II کریم عابدی کریم عابدی

3. فصل دوم : تحليل غیرخطی عناصر محدود ( بخش چهارم )

4. - در اين فصل، مباني نظريه پلاستيسيته با نگرش به سوي ايجاد و توسعة يك روش عمومي عددي براي محاسبه تنش ارائه مي شود. بعد از يك مقدّمه مختصر بر مفاهيم اساسي پلاستيسيته، مدل مصالح von Mises تعريف مي شود. ايجاد، توسعه و كاربرد نظريّات پلاستيسيته براي مسائل مهندسي با كارهاي پيشگامانة Tresca (1864) ؛ St. Venant (1870) ؛ Levy (1870) آغاز گشته و با كارهاي برجسته و اصلي von Mises (1913) ؛ Prandtl (1924) و Reuss (1930 ) ادامه پيدا كرد. در حالت كلّي، نظريه هاي پلاستيسيته را به دو رده مي توان تقسيم كرد : 1 - نظريات ميكرومكانيكي 2 - نظريات ماكرومكانيكي 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8- مبانی بنیادی پلاستیسیته

5. نظريات ميكرومكانيكي، تغيير شكل هاي پلاستيك را در سطح ميكروسكوپي تحليل كرده و در پي تشريح شرايطي در كريستال ها و بلورهاي فلزات هستند كه منجر به جريان پلاستيك مي شود. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 1-4-8 - مقدمه نظريات ماكرومكانيكي پلاستيسيته ( كه نظريات رياضي نيز ناميده مي شوند ) ، تغيير شكل هاي پلاستيك را از نقطه نظر پديدارشناسي، در سطح ماكروسكوپي، توصيف نموده و روابطي را بين كميت هاي مكانيكي ماكروسكوپي ( نظير تنش ها، كرنش ها و جز آنها ) برقرار مي كند. اين روابط بر اساس اصول عمومي مكانيك و مشاهدات تجربي استوار مي باشند.

6. روش هاي حل اوليه براساس قضاياي وردشي استوار هستند. اين روش هاي حل وردشي، قضاياي كران پايين و بالا را براي ظرفيت نهايي باربري سازه ها فراهم مي آورند. ظرفيت باربري نمونه ها را مي توان با استفاده از روش مشخصه نيز محاسبه نمود. با استفاده از اين روش هاي كلاسيك، يافتن يك پاسخ الاستوپلاستيك كه كل تاريخچة تغيير شكل را از حالت ارتجاعي تا حالت بارحدّي به دست دهد، عملاً بسيار دشوار و حتي غيرممكن است. در فضاي امروزين مهندسي، انجام تحليل با جزئيات كامل براي سازه هايي كه داراي هندسة بسيار پيچيده اي مي باشند، الزامي است. اين تحليل ها بايد تاريخچة كامل پاسخ را از شرايط ارتجاعي تا شرايط پلاستيك، از جملة گسترش تغيير شكل هاي بزرگ و الاستوپلاستيك تا وقوع محتمل خرابي را دنبال نمايند. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 1-4-8 - مقدمه

7. مفاهيم لازم براي فرمول بندي يك مدل مصالح در محاسبة پاسخ مصالح در حين تغيير شكل هاي پلاستيك عبارتند از : 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 2-4-8 - پلاستيسيتة ايزوتروپيك 1 - سطح تسليم يا تابع تسليم شرايط تسليم را مشخص مي كنند. 2 - قاعدة سخت شدگي تغيير سطح تسليم در حين تغيير شكل را نمايش مي دهند. 3 - قاعدة روابط تنش ـ كرنش پلاستيك مصالح در ارائه اين مفاهيم بنيادي، دو روش را اتخاذ خواهيم كرد : از مشاهدات تجربي شروع كرده و سپس روابط رياضي براي مدل سازي اين مشاهدات را ارائه خواهیم کرد. روابط رياضي مبتني بر اصول مكانيكي را ايجاد نموده و نتايج تجربي كه مؤيد اين روابط هستند، ارائه می شوند.

8. - آزمايشات اساسي : نتايج تجربي حاصل از آزمايش تك ­ محوري كشش / فشار يك فلز مطابق با [Smith and Sidebottom (1965)]. اگر يك نمونة فولادي با كربن بالا و بازپخت شده تحت اثر كشش و سپس فشار باشد، كه شامل باربرداري نيز خواهد بود، رفتار تنش ـ كرنش آن به صورت زیر است : 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك اين شكل همچنين هنگامي كه نمونه ابتدا تحت اثر فشار و سپس كشش قرار مي گيرد، رفتار تنش ـ كرنش مشابهي را نشان مي دهد. نتايج مشابهي براي ساير فلزات به دست آمده اند. بحث خود را از داده های تجربی آغاز خواهیم کرد که نقش مهمی را به عنوان یک پایه و اساس برای ایجاد و توسعه روابط ریاضی برای نمایش رفتار یک، دو و سه بعدی ایفا می نمایند.

9. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك براساس اين داده هاي آزمايشگاهي، مدل هاي مصالحي را براي تغييرشكل الاستوپلاستيك يك فلز در بارگذاري تك محوري تعريف مي نمائيم : در بررسي هاي تجربي، منحني تنش ـ كرنش تك محوري به صورت رابطه اي بين تنش حقيقي ( تنش Cauchy ، نيرو در واحد سطح كنوني ) و كرنش حقيقي ( كرنش لگاريتمي كه در آن و به ترتيب طول هاي كنوني و اوّلية نمونة مصالح مورد نظر مي باشند ) رسم مي شود. كرنش در شكست ( نقطة شكست F در منحني ) مي ­ تواند 50 % يا بيشتر باشد.

10. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك در اين فصل ، شرايط كرنش هاي كوچك كمتر از چهار درصد مدنظر است. در اين حالت، مي توان در ايجاد و توسعة مدل مصالح، تنش را كه به صورت نيرو در واحد سطح اوليه تعريف مي شود ( تنش kirchhoff) و كرنش مهندسي بي نهايت كوچك e( تغییر طول به طول اولیه ) را، استفاده كرد. نمودار در شكل ( ب ) نشان داده شده است. منحني تنش ـ كرنش تك ­ محوري در شكل ( ب ) ، نمايشگر منحني بنيادي در كرنش هاي كوچك و تغيير مكان هاي بزرگ، به عبارت ديگر شرايط تغيير شكل كرنش كوچك مي باشد. منحني تنش Cauchy ـ ‌ كرنش لگاريتمي در شكل ( الف ) نيز منحني بنيادي در تحليل هاي كرنش بزرگ را نمايش مي دهد. نقطة مهم در نمودارها براي روش هاي حل الاستوپلاستيك، حد ارتجاعي يا نقطة تسليم است ( نقطة A ). اگر تنش، پايين تر از تنش تسليم باشد، در اين صورت در اثر باربرداري، مصالح به بافتار تغييرشكل نيافتة خود برمي گردد. قسمت OA نمودار، ميدان ارتجاعي مصالح را نشان مي دهد. در حالت بارگذاري در بالاتر از تنش تسليم، كرنش پلاستيك دائمي بعد از باربرداري باقي مي ماند.

11. كل كرنش e متناظر با تنش عبارت است از : E مدول يانگ است كه كرنش الاستيك e و تنش را به همديگر ربط مي دهد. كرنش پلاستيك در تنشِ متناظر با وقوع تسليم، يعني در تنش تسليم ، شروع مي گردد. آن قسمت از منحني كه بين نقاط A و B قرار دارد، رفتار مصالح در ميدان پلاستيك را مشخص مي نمايد. در ضمن شكل ( ب ) قبل، مماس بر منحني را بين نقاط A و B نشان مي دهد كه به عنوان مدول مماسي تعريف شده و فرض بر اين است كه بزرگ تر از صفر مي باشد. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك

12. از منحني تنش ـ كرنش مدل تك محوري، رابطة بنيادي زير را كه در شكل بعدی نشان داده شده است، مي توان تعيين نمود : و یا به صورت زیر که نمایشگر شرط تسليم در بارگذاري تك محوري مي باشد : به این رابطه شرط تسلیم گفته می شود. شكل فوق نشان مي دهد كه تنش با تغيير شكل پلاستيك افزايش مي يابد. اين مشخصة مصالح، به عنوان سخت شدگي كرنشي ناميده مي شود كه يك بخش مهم در توصيف رفتار مصالح در منطقة پلاستيك به شمار مي رود. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك سخت شدگي آني در يك نقطة مشخص در منحني تسليم به وسيلة مدول پلاستيك در يك تراز مشخص كرنش پلاستيك توصيف مي شود : مي توان را برحسب مدول مماسي آني و مدول يانگ E به صورت زير بيان نمود : يك حالت خاص رابطة تنش ـ كرنش، رابطة دوخطي با شيب E در منطقة ارتجاعي و ثابت در منطقه پلاستيك است. براي برخي مصالح شكل پذير، مي توان از سخت شدگي صرف نظر نمود ( به عبارت ديگر، به ازاي هر داريم : و ). در اين صورت مصالح به عنوان مصالح كاملاً پلاستيك در نظر گرفته مي شود ( به گونه خطوط چين در شكل نشان داده شده است ).

13. منحني مذكور از آزمايش يك بعدي به دست مي آيد، با اين حال ملاحظه خواهيم كرد كه اين منحني به عنوان رابطه بنيادي مصالح براي توصيف تغيير شكل هاي الاستوپلاستيك دوبعدي و سه بعدي پيچيده نيز مورد استفاده قرار خواهد گرفت. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك كه در آن يك تنش مر جع است ( معمولاً از تنش تسليم استفاده مي شود. و ثابت هاي مصالح هستند كه از داده هاي آزمايشگاهي به دست مي آيند. اغلب، عبارات تحليلي براي توصيف منحني تسليم در پلاستيسيتة فلزي به كار مي روند. در اينجا به فرمول Ramberg-Osgood كه استفاده از آن رايج است اشاره مي كنيم : یا كه در آن است. مقادیر و n ثابت هاي مصالح هستند که مقادير غيرمنفي مي باشند. توجه : در حالت پلاستيسيتة كامل، از رابطه فوق استفاده خواهيم كرد. لذا اين رابطه قابل كاربرد نمي باشد.

14. در مدل مصالحي توصیفی قبلی، بارگذاري يكنواخت در كشش يا فشار در نظر گرفته شد. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك فرض كنيد كه مصالح در ابتدا در كشش به طور پلاستيك تغيير شكل مي دهد و سپس تحت فشار قرار مي گيرد. دربرخي مصالح، ” تنش تسليم جديد “ در فشار بعد از باربرداري، تنشي است كه در آن باربرداري رخ داده است. ولی عموماً، ” تنش تسليم جديد “ كوچكتر از تنش تسليم حاصل در كشش مي باشد. اين پديده به عنوان اثر Bauchinger معروف است و مي توان آن را از طريق تغييرات در ميكروسازة فلزي كه ناشي از تغيير شكل پلاستيك مي باشد تشريح نمود. توجه : به طور مشابه نیز، در هنگامي كه مصالح ابتدا تحت فشار و سپس تحت كشش قرار مي گيرد، تنش تسليم بعدي در كشش كمتر از تنش تسليم حاصل در فشار مي باشد.

15. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك مدل هاي ساده سازي شده، با در نظر گرفتن اثر Bauschinger مدل هاي سخت شدگي ايزوتروپيك در فرض سخت شدگي ايزوتروپيك، از اثر Bauschinger صرف نظر مي شود و در حين بارگذاري چرخه اي، از منحني تسليم يكساني در كشش و فشار استفاده مي شود. در فرض سخت شدگي سينماتيك، تغيير تنش براي شروع تسليم در بارگذاري معكوس، مساوي با دو برابر تنش تسليم اوليه است. مدل هاي سخت شدگي سینماتیک مدل هاي سخت شدگي آمیخته توجه : در نظر گرفتن اين اثر براي مسائلي كه شامل بارگذاري چرخه اي مي باشند، بسيار حائز اهميت است. مدل هاي مصالحي كه رفتاري بين اين دو مدل فوق را به نمايش مي گذارند، مدل هاي سخت شدگي آميخته ناميده مي شوند. براي همة مدل هاي ساده سازي شدة مذكور، منحني هاي سخت شدگي در هنگامي كه بارگذاري معكوس مي شود، شكل مشابهي دارند، ولي از تنش هاي تسليم متفاوتي آغاز مي گردند. مدل هاي سخت شدگي سينماتيك و آميخته يك ناهمگوني غيرايزوتروپيك را به رفتار فرض شدة مصالح وارد مي كنند.

16. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 3-4-8 - تغيير شكل تك محوري الاستوپلاستيك در مدل هاي سخت شدگي ایزوتروپیک مسير تنش ـ كرنش، OABFF1F2 مي باشد. در مدل هاي سخت شدگي سینماتیک مسير تنش ـ كرنش، OABCC1C2 مي باشد. در مدل هاي سخت شدگي آمیخته مسير تنش ـ كرنش، OABDD1D2 مي باشد. تنش تسليم در نقطة C ، ، عبارت است از : رابطه تنش ـ كرنش تك ­ محوري شماتيكِ يك فولاد نرم براي نرخ هاي متفاوت كرنش

17. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8 - شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي در اينجا، مفهوم تسليم اوليه را به شرايط چندمحوري تنش براي يك مصالح ايزوتروپيك اوليه بسط مي دهيم كه در آن همة مؤلفه هاي تنش مي توانند غيرصفر باشند. مي خواهيم يك شرط را براي تسليم اوليه به فرمِ زير ايجاد كنيم : كه در آن ، تابع تسليم و معادله شرط تسليم ناميده مي شوند. بنابراين، تا هنگامي كه شرط تسليم ارضاء نشده است، ما صرفاً كرنش هاي ارتجاعي را داريم. ملاحظات عمومي : براي تعيين يك فُرمِ مناسبِ تابع تسليم، از مصالحي استفاده مي كنيم كه به تسليم اوليه به طريقه اي ايزوتروپيك مي رسد؛ به عبارت ديگر مصالح در هر راستايي به طريقه اي يكسان رفتار مي كند. از آن جا كه مؤلفه هاي تنش با دستگاه مختصات مورد استفاده تغيير مي كنند، از اين رو براي ارضاي شرط ايزوتروپي، تابع تسليم صرفاً مي تواند تابعي از ناورداهاي تنش و و باشد ( كه مستقل از دستگاه مختصات مورد استفاده است ):

18. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8 - شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي اين تابع تسليم به هرگونه مصالح ايزوتروپيك اوليه قابل اعمال است. در فلزات، به طور تجربي مشاهده شده است كه غالباً مي توان از اثر نخستين ناوردا، ، يا تنش ميانگين و نيز اثر ناورداي سوم ، در تسليم صرف نظر كرد : بنابراين، مي توان تابع تسليم را به گونه اي تعريف كرد كه صرفاً به و يا معادل آن صرفاً به دومين ناورداي تنش هاي انحراف دار، ، كه به صورت زير تعريف مي شوند، بستگي داشته باشد : دلتای Kronecker

19. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8 - شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي براي ارائه يك تابع مشخص ، از يك روش بنيادي بنام فرضية انرژي اعوجاج استفاده می نماییم. فرضية انرژي اعوجاج براساس اين فرضیه،كه مصالح فلزي هنگامي به حد ارتجاعي خود رسيده و شروع به تغيير شكل پلاستيك مي كند كه انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج به مقدار معين بحراني برسد. فرضية انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج در حالت عمومي تنش / كرنش را مي توان برحسب تنش هاي انحراف دار به صورت زير بيان نمود : برای شرايط بارگذاري تك محوري ( كشش يا فشار )

20. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8 - شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي فرض مي كنيم كه در آغاز تسليم، انرژي كرنشي ارتجاعي اعوجاج، داراي مقدار يكساني براي تمام شرايط بارگذاري باشد. در اين صورت بايد داشته باشيم : و یا بر حسب ناورداي دوم بايد داشته باشيم : اين معيار تسليم، شرط ايزوتروپي را ارضاء نموده و براساس اصل هم ارزي انرژي اعوجاج استوار است. اين فرم، به عنوان تابع تسليم Von Mises معروف است و مصالحي كه از اين شرط تسليم ” تبعيت “ مي كنند مصالح Von Mises ناميده مي شوند. شرط تسليم Von Mises رايج ترين شرط تسليم است كه براي فلزات مورد استفاده قرار مي گيرد.

21. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 4-4-8 - شرط تسليم براي تغيير شكل هاي سه بعدي عمومي صحت سنجي تجربي شكل بعدی نتايج تجربي به دست آمده توسط Taylor و Quinney در سال 1931 براي سه فلز را نشان مي دهد كه تحت اثر كشش و برش قرار گرفته اند. آزمايشات در روي لوله هاي جدار نازك، تحت اثر بارگذاري محوري و پيچش انجام شدند. در اين شكل ديده مي شود كه شرط تسليم Von Mises (” قانون Von Mises “) به نحو مطلوبي نتايج تجربي را نمايش مي دهد. شرايط تسليم ديگري نيز براي فلزات پيشنهاد شده ­ اند كه يكي از مهم ترين آنها مربوط به Tresca مي باشد. در شرط تسليم Tresca ، فرض بر اين است كه تنش برشي ماكزيمم در هر صفحه اي بر تسليم مصالح حاكم است. كاربرد عملي اين معيار بسيار دشوارتر از كاربرد معيـار Von Mises است.

22. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي روابط تنش ـ كرنش پلاستيك كه در اينجا ارائه خواهند شد، براساس مشاهدات تجربي استوار مي باشند. در ابتدا بحث خود را با تحليل يك آزمايش ساده تك محوري آغاز مي کنيم، سپس شرايط بارگذاري عمومي چند محوري مصالح را در نظر مي گيريم. يك نمونة ‌ فلزي در شکل بعد، تحت اثر يك بارگذاري تك محوري در شرايط كرنش هاي كوچك قرار گرفته است. اگر تنش از تنش تسليم تجاوز كند، در اين صورت مصالح به صورت پلاستيك تغيير شكل مي دهد. براي تعيين تغيير شكل هاي دائمي، باربرداري كرده و تغيير مكان را اندازه مي گيريم. ( شكل بعد ) نتايج آزمايشگاهي نشان مي دهند كه كرنش هاي انقباضي دائمي جانبي وجود دارند كه عملاً با نصف كرنش پلاستيك كه در راستاي طولي اندازه گرفته مي شوند مساوي هستند.

23. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي بنابراين مي توان فرض كرد كه : کرنش حجمی بنابراين تغيير شكل پلاستيك يك فرايند بدون تغيير حجم مي باشد. اين نتيجه گيري با مطالعة نتايج آزمايشگاهي ديگري نيز به دست مي آيد كه نشان مي دهند كه تسليم تحت اثر تنش ميانگين قرار نمي گيرد. مؤلفه هاي تنش انحراف دار كه موجب اين كرنش هاي دائمي پلاستيك مي شوند. باز هم با در نظر گرفتن حالت بارگذاري تك محوري عبارتند از :

24. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي بنابراين يك تناسبي بين مؤلفه هاي كرنش پلاستيك و مؤلفه هاي تنش انحراف دار متناظر كه موجب اين كرنش ها مي شوند، وجود دارد. با تعریف يك اسكالر مثبت : تناسب بين كرنش هاي پلاستيك و تنش هاي متناظر در آزمايش برش خالص و نيز در آزمايشات بسيار پيچيده نظير [ Pugh and Robinson (1978) ] شکل زیرمشاهده مي شود. در يك جمع بندي، براساس نتايج تجربي حاصل از آزمايشات ساده در روي فلزات، مي توان روابط تنش ـ كرنش را به صورت زير فرض نمود : اين روابط متناظر با نظرية تغيير شكل پلاستيسيته مي باشد.

25. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي وابستگي كرنش هاي پلاستيك به تاريخچة ‌ بارگذاري در يك مثال ساده زیر نشان داده شده است. فرض مي كنيم كه مدل مصالح الاستوپلاستيك تك محوري به وسيله يك منحني دوخطي تنش ـ كرنش با سخت شدگي ايزوتروپيك تعريف مي شود. درحالت كلّي، تغيير شكل پلاستيك وابسته به تاريخچة بارگذاري مي باشد. اين بدين معني است كه مقادير كرنش هاي پلاستيك به ازاي تنش هاي كنوني انحراف دار در يك نقطة مادي، بستگي به نحوة تغيير تنش ها پيش از رسيدن به مقادير كنوني دارند.

26. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي مصالح تحت اثر دو نوع بارگذاري مي باشد : 1) اعمال كشش تا تنش ، سپس بارگذاري معكوس تا تنش فشاري ( با فرض ) و سپس بارگذاري مجدد تا تنش كششي 2 ) اعمال فشار تا تنش ، سپس بارگذاري معكوس تا تنش کششي و سپس باربرداري تا تنش كششي روشن است كه حالت تنش متناظر با مقادير مختلف كرنش پلاستيك براي دو شرايط بارگذاري مذكور مي باشد. براي تاريخچه بارگذاري ( 1 ) داريم : براي تاريخچه بارگذاري ( 2 ) داريم :

27. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي مشاهدات مذكور در مورد وابستگي كرنش هاي پلاستيك به تاريخچة ‌ بارگذاري منجر به اصلاح و تعميم سازي رابطه مي شود. كرنش هاي پلاستيك به طور نموّي افزايش مي يابند، از اين رو بايد در پي به دست آوردن رابطه اي براي محاسبات كرنش پلاستيك نموي باشيم كه در حالت خاص مورد نظر پيشين به صورت رابطة در مي آيد. با اين حال، اين رابطه بايد كرنش هاي پلاستيك را در حالت شرايط بسيار عمومي تنش نيز، از جمله بارگذاري چرخه اي، به دست دهد.

28. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي نظريه نموّي يا نظريه جريان پلاستيسيته فرض كنيد كه در يك حالت تنش معلوم در مصالح، يك تغيير كوچك در بارگذاري منجر به جريان پلاستيك شود. در اين صورت در حين تغيير تنش ها، نموّهاي كرنش پلاستيك را خواهيم داشت. مطابق با روابط تناسب ، فرض بر اين است كه در حين تغيير بارگذاري، هر مؤلفه غيرصفر تنش انحراف دار موجب يك نمو در مؤلفة كرنش پلاستيك متناظر مي شود. نموهاي كرنش پلاستيك متناسب با كُلّ تنش هاي انحراف دار كنوني مي باشند نتايج ثابت مي كنند كه در حالت كلّي رابطه معتبر است، در حالي كه رابطه صرفاً هنگامي داراي اعتبار است كه تنش ها به طور متناسب افزايش يابند.

29. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال 1 : در چه حالتی رابطه برقرار است؟ فرض كنيد در حالت بارگذاري متناسب، تنش در يك زمان ( يا تراز بار ) مشخص را مي توان به صورت زير بيان نمود : متغيري است كه با زمان افزايش مي يابد تنش هاي مرجعِ متناظر با يك حالت ارتجاعي اوليه مي باشند مقادیر ثابت در قبل داشتیم امّا اين رابطه، صرفاً زماني ارضاء مي شود كه رابطة صادق باشد. از انتگرال گيري آخرين معادله، خواهيم داشت :

30. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال 2 : مثال نقضی برای عدم برقراری همیشگی رابطه آورید؟ به عنوان مثال، شرايط الاستوپلاستيك كشش ـ پيچش يك لوله جدار نازك با مصالحي داراي يك نوع سخت شدگي، را در نظر بگيريد كه در صحت سنجي تجربي شرط تسليم von-Mises مورد استفاده قرار گرفته است ( شكل زیر ). فرض كنيد در حالت بارگذاري فرض كنيد كه با توجه به روابط به طور غيراستدلالي بگوئيم كه نموهاي كرنش پلاستيك بايد با نموهاي تنش متناسب باشند. فرض كنيد كه يك حالت خاص تنش داريم كه با تنش هاي نرمال و تنش برشي تعريف شده است. اگر تنش ها را ثابت نگه داريم، در اين صورت جريان پلاستيكي وجود نخواهد داشت. اگر به عنوان مثال، تنش برش ناشي از پيچش را افزايش داده و تنش نرمال را ثابت نگه داريم، در اين صورت جريان پلاستيك ادامه پيدا خواهد كرد و در خواهيم يافت كه علاوه بر نمو كرنش برش پلاستيك، ، مؤلفه هاي نرمال ، و نيز غيرصفر خواهند بود، اگرچه نموهاي تنش هاي نرمال مساوي صفر مي باشند. یعنی : همچنین

31. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سوال 2 : مثال نقضی برای عدم برقراری همیشگی رابطه آورید؟ در واقع، نموهاي ، و متناسب با ، و مي باشند. البته در اين آزمايش، اگر لوله تحت اثر كشش نباشد، ، در اين صورت خواهيم داشت : سرانجام، به این نكته در مورد روابط كه در كاربرد آنها حائز اهميت است اشاره مي شود که در هنگام استفاده از اين روابط، در ابتدا به ازاي يك تغيير در تنش ها كه موجب جريان پلاستيك مي شوند آزموني انجام مي دهيم. در اين صورت روابط هنگامي قابل كاربرد مي باشند كه جريان پلاستيك رخ دهد.

32. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي روابط در ابتدا به وسيله Prandtl (1924) براي تغيير شكل هاي كرنش مسطح پيشنهاد شد. سپس براي شرايط سه بعدي توسط Reuss (1930) تعميم داده شد. اين روابط به معادلات Prandtl-Reuss مشهور هستند. فُرم اولية معادلات مذكور، به صورت زير مشخص مي شود : از نقطه نظر تاريخي، نخستين روابط تنش ـ كرنش در پلاستيسيته توسط St.Venant (1870 ) معرفي شد، وي پيشنهاد كرد كه راستاهاي اصلي نموّهاي كرنش كلّي منطبق بر راستاهاي اصلي تنش ها مي باشند. روابط عمومي به شكل ،امّا با نموهاي كرنش كلّي به جاي ، به وسيله Levy (1870) و نيز به طور مستقل توسط Von Mises (1913) پينشهاد گرديد؛ اين روابط به عنوان معادلات Levy-Von Mises معروف هستند.

33. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 5-4-8 - روابط تنش ـ كرنش پلاستيك سه بعدي سرانجام به نتايج يك صحت سنجي تجربي معادلات Prandtl-Reuss براي يك شرط بارگذاري بسيار عمومي اشاره مي نماييم. Quinney و Taylor (1913) لوله هاي جدار نازك را تحت اثر تركيب كشش و پيچش با شرايط بارگذاري غيرمتناسب قرار داده و با اندازه گيري هاي مناسب، متغيرهاي Lode را محاسبه نمودند : اگر روابط Prandtl-Reuss معتبر باشند، در اين صورت بايد داشته باشيم : در شكل بعد، نتايج آزمايشگاهي براي سه فلز نشان داده شده اند. يك انحراف جزئي از خط مستقيم كه به وسيله معادله تعريف مي شود، به چشم مي خورد، ولي اين انحراف براي تحليل هاي عملي مهندسي قابل قبول مي باشند.

34. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي براي تعريف سخت شدگي يك فلز، در فرايند جريان پلاستيك، بعد از رسيدن به شرط تسليم اوليه، از فرض هم ارزي كار پلاستيك استفاده كرده، سپس پي آمدهاي آن را ارائه مي نمائيم. سپس برخي نتايج تجربي كه اين پيامدها را تأئيد مي نمايند ارائه مي شوند. در اين بخش فرض مي كنيم كه در سرتاسر تاريخچة بارگذاري از منحني تسليم يكساني استفاده مي شود. ابتدا سخت شدگي ايزوتروپيك و سپس رفتار مصالح كاملاً پلاستيك را به عنوان يك حالت خاص سخت شدگي در نظر مي گيريم.

35. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي فرض هم ارزي كار پلاستيك طبق این فرض، كار پلاستيك نموي كه در حين تغييرشكل هاي پلاستيك در شرايط بارگذاري عمومي انجام مي گيرد مساوي با كار پلاستيك است كه در شرايط بارگذاري تك محوري انجام مي شود، به عبارت ديگر داريم : با استفاده از معادلات Prandtl-Reuss ، براي شرايط بارگذاري عمومي داريم : توجه : كار متناظر با اعوجاج هاي دائمي مصالح بوده و برگشت ناپذير مي باشد. از سوی دیگر، براي حالت تك محوري داريم : كه در آن از ، و اين شرط كه تسليم مصالح به طور پيوسته ادامه پيدا مي كند استفاده نموده ايم. بنابراين، در شرايط بارگذاري تك محوري در حين فرايند بارگذاري، به طور پيوسته خواهيم داشت : بنابراين پيامدهاي فرض هم ارزي كار پلاستيك را مي توان به صورت زير بيان نمود :

36. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي با در نظر گرفتن هر حالت جريان پلاستيك در شرايط بارگذاري عمومي، مي توان يك تنش تسليم را در منحني تسليم يك بعدي متناظر با حالت تنش داده شده شناسايي نمود. ملاحظه مي شود كه اساساً در حين تغييرشكل پلاستيك، معيار خرابي Von Mises ، به طور پيوسته ارضاء مي شود كه در آن متناظر با منحني تسليم يك بعدي تغيير مي كند. فرض هم ارزي كار پلاستيك در تطابق با فرض انرژي اعوجاج مورد استفاده در بخش قبلی مي باشد. به عبارت ديگر، با در نظر گرفتن انرژي اعوجاج به عنوان معياري از مقاومتِ مصالح در برابر تغييرشكل و با در نظر داشتن اين نكته كه اين فرض، در حين جريان پلاستيك نيز معتبر است، مي توان معادله زير را نوشت :

37. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي سمت چپ معادله، نمايشگر در شرايط بارگذاري عمومي بوده و سمت راست معادله نيز متناظر با حالت بارگذاري تك محوري مي باشد. عبارات نخست در هر دو سمت معادله، متناظر با تغييرشكل ارتجاعي مي باشند. در نوشتن معادله فوق از اين شرط استفاده كرديم كه براي شرايط بارگذاري تك محوري، نموهاي كرنش كلّي با مجموع كرنش هاي ارتجاعي و كرنش هاي پلاستيك مساوي هستند. همچنين از اين نكته كه كرنش هاي ارتجاعي حجمي تأثيري بر انرژي اعوجاج ندارند، استفاده نموديم.

38. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي شرط تسليم Von Mises منحني تسليم با دو نقطة M1 و M2 در روي منحني و تنش هاي تسليم و در شكل الف نشان داده شده اند. سطح تسليم ، در فضاي تنش اصلي ، و به وسيله يك استوانه با محور ” هيدروستاتيك “ و با شعاع ، در شكل ( ب ) نشان داده شده است.

39. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي شرط تسليم Von Mises در صفحة ‌ انحراف دار با بردار عمود بر صفحه و محورهاي ، و ( تنش هاي انحراف دار اصلي ) ، سطح تسليم به وسيله يك دايره به شعاع R نمايش داده مي شود. توجه : همة ‌ نقاط تنش در صفحه انحراف دار و واقع بر سطح تسليم به شعاع R ، متناظر با يك نقطه در منحني تسليم با مي باشند. به عنوان مثال، تمام نقاط تنش در صفحه انحراف دار كه در روي دايرة قرار دارند، به نقطه M1 در منحني تسليم نگاشت مي شوند. بنابراین، تغيير در تنش هاي انحراف دار در صفحة انحراف دار متناظر با كمان M1M2 در منحني تسليم مي باشد.

40. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي شكل ديگري نيز از شرط تسليم Von Mises در متون پلاستيسيته مورد استفاده قرار مي گيرد. كميت تنش معادل ، كه تنش مؤثر يا تنش Von Mises ناميده مي شود، به صورت زير تعريف گردد : نمايشگر شدت S ( يا نُُرم اقليدسي ) در اين صورت شرط تسليم عبارت است از : هنوز قانوني را براي تغيير سطح تسليم ارائه نداده ايم. براي به دست آوردن اين قانون يا قاعده، براساس مشاهدات تجربي رفتار مصالح و ملاحظات نظري، نخست اين شرط را اعمال مي كنيم كه براي مصالح مورد نظر در اينجا، كار پلاستيك بايد مثبت باشد :

41. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي گام بعدي در ايجاد و توسعة يك قاعدة سخت شدگي، ارائه نمو كرنش پلاستيك مؤثر مي باشد كه متناظر با تنش مؤثر است، به گونه اي كه نمو كار به صورت زير تعيين مي گردد : از آنجا كه كار پلاستيك براي شرايط بارگذاري عمومي با کار پلاستیک در حالت بارگذاري تك محوري مساوي است، از اين رو خواهيم داشت : در اين رابطه در حين تسليم از استفاده نموده ايم. سرانجام، با تعریف برحسب و با استفاده از معادلات Prandtl-Reuss ، و نیز از جايگذاري در روابط فوق، نتيجة زير حاصل مي شود : و در نهایت، عبارت زير را براي نموّ كرنش پلاستيك مؤثر برحسب نموهاي مؤلفه هاي كرنش پلاستيك به دست مي آوريم :

42. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي توجه 1 : حالت بارگذاري تك محوري، داريم : توجه 1 : براي حالت برش خالص دوبعدي خواهيم داشت : شرايط تسليم نشان مي دهد كه منحني تسليم در كشش ساده همزمان نمايشگر منحني تسليم عمومي زير نيز مي باشد : نمو كرنش برشي پلاستيك مهندسي که در آن كرنش پلاستيك مؤثر انباشته به صورت زیر است :

43. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي از مباحث بالا نتايج زير حاصل مي شوند : 1) سخت شدگي مصالح Von-Mises به وسيله منحني تسليم تعريف مي شود. شرط تسليم را مي توان به صورت زير نوشت : 2 ) عامل تناسب در معادلات Prandtl-Reuss به وسيلة تعريف مي شود. اين عامل را مي توان از منحني تسليم محاسبه كرد. از آنجا كه تنش تسليم به صورت تابعي از كرنش پلاستيك مؤثر مشخص مي شود، از اين رو در متون پلاستيسيته، غالباً از واژة سخت شدگي كرنش استفاده مي شود. نتايج مذكور براساس دو اصل بنيادي پلاستيسيته استوار مي باشند : هم ارزي كار پلاستيك براي شرايط تنش يك و چندبعدي واقعيت فيزيكي كه كار پلاستيك بايد مثبت باشد؛ به عبارت ديگر.

44. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگي مدل مربوط به رفتار سخت شدگي در شكل زیرنمايش داده شده است : شكل نشان مي دهد كه در حالت بارگذاري تك محوري كششي ـ فشاري كرنش پلاستيك نخست افزايش و سپس كاهش مي يابد، در حالي كه كرنش پلاستيك مؤثر و تنش تسليم در حين جريان پلاستيك به طور مداوم افزايش مي يابند. حالت شرايط بارگذاري اندازه سطح تسليم در حين جريان پلاستيك افزايش مي يابد.

45. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي نمايش هندسي مربوط به رفتار سخت شدگي دو حالت متوالي تنش 1 - حالت بارگذاري تك محوري كششي ـ ‌ فشاري 2 - حالت بارگذاري عمومي، به وسيلة نقاط مشابه M1 و M2 در روي منحني تسليم نمايش داده مي شوند. به دليل سخت شدگي، اندازة هر سطح تسليم جديد، بزرگتر از سطح پيشين است. از اين رو نتيجه مي شود كه سطح تسليم كنوني، محدودة ميدان ارتجاعي را كه در حين جريان پلاستيك افزايش مي يابد مشخص مي كند. به عبارت ديگر، اگر در حين تسليم، به تنش تسليم برسيم، و تنش بعدي به مقدار زير برسد : در اين صورت جريان پلاستيك ادامه پيدا نخواهد كرد و لذا با حالت باربرداري ارتجاعي مواجه هستيم. نقطه تنش متناظر با اين حالت در داخل سطح تسليم قرار دارد؛ به عبارت ديگر اين نقطه در نمودار ، در روي خط و زير منحني تسليم قرار دارد. حالت بارگذاري بعديِ برگشت به ، نمايشگر بارگذاري ارتجاعي مي باشد. يك تغيير ديگر تنش ولي با حفظ شرط ، بارگذاري خنثي را تعريف مي نمايد. كه بدون جريان پلاستيك است. سطح تسليم در حين بارگذاري خنثي تغييري نمي كند و نقطه تنش در شكل بالا در روي سطح تسليم باقي مي ماند ولي موقعيت آن مي تواند روي سطح تغيير نمايد. اين نقطه در روي منحني تسليم ثابت مي باشد. توجه : هر حالت تنش در خارج از سطح تسليم يا بالاي منحني تسليم غيرممكن است.

46. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل رفتار مصالحِ كاملاً پلاستيك تاكنون فرض كرديم كه مصالح داراي سخت شدگي مي باشد. اكنون مدل رفتار مصالحِ كاملاً پلاستيك ( ) را در نظر مي گيريم كه براي كاربردهاي عملي حائز اهميت است، زيرا براي برخي مصالح مي توان از سخت شدگي كرنش صرف نظر كرد. شكل زیر، دو حالت متوالي تنش در حالت شرايط بارگذاري عمومي را نشان مي دهد كه متناظر با نقاط M 1 و M 2 در روي منحني تسليم مي باشند. داريم : متناظر با يك سطح تسليم با اندازة ‌ ثابت داريم : تمام حالات تنش در حين تسليم مصالح، صرفاً با يك سطح تسليم نمايش داده مي شوند و ميدان ارتجاعي نيز به دليل جريان پلاستيك تغيير نمي كند. در حالت جريان پلاستيك تحت اثر شرايط بارگذاري عمومي، هنگامي كه تسليم گسترش مي يابد، يك نقطة تنش M حركت مي كند، امّا همواره در روي سطح تسليم باقي مي ماند، نقطة تصوير آن در امتداد خط تسليم حركت كرده و صرفاً كرنش پلاستيك مؤثر مي تواند افزايش يابد.

47. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي اكنون حالات ديگر تغيير شكل در شرايط بارگذاري تك محوري را نيز در نظر گرفته و اين حالات را با استفاده از طرق زير نمايش مي دهيم : (i) صفحه انحراف دار، (ii) رابطه تنش ـ كرنش پلاستيك تك محوري ، (iii) منحني تسليم در ابتدا، تنش تك محوري σ افزايش مي يابد تا اينكه تسليم رخ دهد. (i) نقطة تنش در امتداد خط OA در صفحة انحراف دار حركت مي كند، (ii) نگاشت آن در امتداد OA در شكل ( ب ) حركت مي نمايد، (iii) نگاشت آن در امتداد OA در شكل ( پ ) حركت مي نمايد.

48. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي با افزايش كرنش مصالح، كرنش پلاستيك تك محوري و كرنش پلاستيك مؤثر در امتداد خط AB افزايش يافته، ولی با اين حال، نقطه تنش در صفحة انحراف دار در نقطه A ثابت باقي مي ماند. با تغییر راستاي بارگذاري، نقطه تنش در امتداد خط BC حركت کرده تا به نقطه C روي سطح تسليم برسد. در طي اين تغيير شكل ارتجاعي ( باربرداري ارتجاعي ) ، كرنش پلاستيك و كرنش پلاستيك مؤثر تغيير نمي كنند. با افزایش كرنش در همان راستا جريان پلاستيك ادامه مي يابد و نقطة تنش در همان موقعيت C در روي صفحة ‌ انحراف دار باقي مي ماند كه توأم با كاهش و افزايش مي باشد. توجه : در حين جريان پلاستيك معكوس، كار پلاستيك همچنان مثبت است.

49. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي در متون پلاستيسيته، از واژة ” سخت شدگي كار “ نيز استفاده مي شود. يك معيار سخت شدگي با استفاده از كار پلاستيك تعريف مي شود كه به طور هندسي با سطح زير منحني تسليم مشخص مي شود. چرا كه رابطة با استفاده از منحني تسليم تعريف مي شود. در حالت پلاستيسيتة كامل، داريم : به عبارت ديگر سخت شدگي وجود ندارد و از اين رو كار پلاستيك به طور ساده يك معيار كلي تغيير شكل پلاستيك در يك نقطة مادي است؛ البته كرنش پلاستيك مؤثر نيز مشابه آن معيار مي باشد.

50. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي صحت سنجي تجربي در گذشته بررسي هاي تجربي فراواني براي ارزيابي درستي فرض انجام شده است. شكل زير نتايج آزمايشات بر روي لوله هاي مسي را نشان مي دهد كه تحت اثر بارگذاري محوري و فشار داخلي قرار گرفته اند. در هر آزمايش، بارها به طور متناسب با يك نسبت ثابت بين تنش هاي اصلي و افزايش داده شده اند. نتايج با نسبت هاي مختلف بين 0 تا 1 و با نمادهاي متفاوت در شكل نشان داده شده است.

51. نتايج نشان داده شده در شكل ( 15-2-3 ) ، از طريق اعمال متوالي كشش و برش به مصالح حاصل شده اند. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي صحت سنجي تجربي شكل ( 16-2-3 ) ، متناظر با حالتي است كه در آن علامت بارگذاري عوض مي شود.

52. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته در بخش هاي پيشين، ابتدا يك مدل مصالح تك محوري را ارائه داده و سپس آن مدل را به مدل سه بعدي تعميم داديم. اين تعميم سازي يكي از مهم ترين و بنيادي ترين گام ها در نظريه پلاستيسيته مي باشد. اگرچه مدل سه بعدي ارائه شده، توافق مطلوبي با مشاهدات تجربي دارد، ولی در برخي فلزات، پاسخ مصالح را در شرايط بارگذاري پيچيده با دقت كافي ندارد، نظير بارگذاري چرخه اي كه در آن اثر Bauschinger مي تواند قابل ملاحظه باشد. اينك يك مدل نسبتاً عمومي رفتار مصالح الاستوپلاستيك را ارائه می دهيم. يك مصالح را در نظر مي گيريم كه در ابتدا ايزوتروپ مي باشد. يك مدل نسبتاً عمومي از نوع Von Mises در پلاستيسيتة فلزات ايزوتروپ، مدل مصالح Von Mises با فرض سخت شدگي آميخته است.

53. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته از جمله سطوح تسليمی که به طور تجربي تعيين مي شوند، داده هاي تجربي است که در [Pugh and Robinson (1978)] براي فولاد به دست آمده اند. سطوح تسليم اوليه و بعدي براي مصالحي كه تحت اثر شرايط متنوع بارگذاري متناسب قرار گرفته اند تعيين گرديده اند. در شكل بعد مشاهده مي شود كه اندازه، موقعيت و شكل سطوح تسليم تغيير مي كنند. عامل اصلي اين تغييرات، اثر Bauschinger مي باشد.

54. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته شرط تسليم Von Mises را که قبلاًارائه داديم، اندازة سطح تسليم مطابق با تغيير مي يابد ولی، همان گونه كه در بالا اشاره شد، اين توصيف، اثر Bauschinger را در نظر نمي گيرد. براي تعميم سازي منحني هاي تسليم يك بعدي، شرط تسليم را به صورت زير ارائه مي دهيم : مؤلفه هاي تنش برگشت مي باشند كه موقعيت سطح تسليم را توصيف مي نمايند. با توجه به شکل بعدی، تنش تسليم مي باشد. توجه : مؤلفه تغيير اندازه و موقعيت سطح تسليم به صورت ساده سازي شده اي در فضاي تنش در نظر گرفته مي شوند و از تغيير شكل سطح مذكور صرف نظر مي شود.

55. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته شرط تسليم را می توان به صورت زیر نوشت : و یا روابط بالا را به صورت های قبلی می نویسیم : مؤلفه هاي شعاع سطح تسليم مي باشند. تنش مؤثر كاهش يافته است. توجه : مؤلفه شدت يا نرم مي باشد.

56. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته مطابق با فرض سخت شدگي آميخته، نموهاي كرنش پلاستيك را مي توان به دو قسمت ايزوتروپيك و سينماتيك تقسيم نمود، به عبارت ديگر : ساده ترين روش براي ارتباط و انتخاب يك ثابت M به صورت زير است : ثابت M ، كه يك مشخصه مصالح است، پارامتر سخت شدگي آميخته ناميده مي شود. ثابت M ، معياري براي نمايش اثر Bauschinger است كه در شرايط تغيير شكل هاي تنش تك محوري تعيين مي گردد. توجه شود كه M=1 و M=0 به ترتيب متناظر با سخت شدگي ايزوتروپيك و سينماتيك مي باشند. از اين تعريف نتيجه مي شود كه نمو كار پلاستيك به دو قسمت ايزوتروپيك و سينماتيك تقسيم مي شود. اين دو قسمتِ كار پلاستيك همانند كرنش هاي و در نسبت يكساني رخ مي دهند. با فرض سخت شدگي آميخته، تنها قسمت سخت شدگي ايزوتروپيك از نموِ كرنش پلاستيك مؤثر، بر اندازة سطح تسليم تأثير دارد : بنابراين، تنش تسليم تابعي از است :

57. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته گام بعدي در تعريف مدل مصالح، مشخص نمودن روابط تنش ـ كرنش پلاستيك است. براي نيل به اين هدف، توجه شود كه اينك معادلات Prandtl-Reuss ، به صورت زير در مي آيند : یک ماتریس همانی 3×3 است. براي مشتق گيري از نسبت به از تعريف مربوط به تنش هاي انحراف دار استفاده كرده ايم كه حاصل آن يك فرم ماتريسي از مشتقات به صورت زير مي باشد : معادلات فوق نمايشگر قاعده جريان يا اصل متعارفي در پلاستيسيته است كه يكي از بنيادي ترين روابط در تئوري جريان پلاستيسيته به شمار مي رود.

58. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي مدل مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته براي تكميل فرمول بندي، ما نياز به يك قانون سخت شدگي براي تنش برگشت داريم. براي اين كار، از قاعدة سخت شدگي Prager به صورت سادة زير استفاده مي كنيم : كه در آن C يك مدول سخت شدگي سينماتيك است. فرض مي كنيم كه تغيير مكان سطح تسليم در راستاي عمود بر سطح تسليم مي باشد. مدول C از سطح تسليم، با در نظر گرفتن بارگذاري تك محوري مصالح و شرايط سخت شدگي آميخته، تعيين مي گردد. در شرايط تك محوري كششي، شرط تسليم به صورت زير درمي آيد :

59. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي و یا به طور نموی : در گام بعدي اين شرط را اعمال مي كنيم كه تنش به ازاي هر مقدار M ، منحني تسليم را به دست مي دهد. همچنين تنش تسليم بايد مطابق با قانون سخت شدگي ارائه شده تغيير نمايد. که در آن ها مدول های پلاستیک زیر را داریم : از جایگذاری روابط فوق داریم :

60. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي در گام اگر منحني تسليم را به وسيلة فرمول Ramberg-Osgood نمايش دهيم، در اين صورت خواهيم داشت : اين روش متناظر با روش ” تفكيك ­ كرنش پلاستيك “ است كه در [Bathe and Montans (2004)] توصيف شده است. البته به عنوان يك روش جايگزين، مي توان از روش ” تفكيك مدول پلاستيك “ نيز استفاده كرد. در حالت رابطه تنش ـ كرنش دوخطي ( كه در آن ثابت است ) و در حالت سخت شدگي سينماتيك، داريم :

61. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي در يك جمع بندي، روابط اصلي كه مدول مصالح Von Mises با سخت شدگي آميخته را توصيف مي نمايند عبارتند از : 1. شرط تسليم با استفاده از تعريف مي شود. 2. شرط روابط تنش ـ كرنش پلاستيك براساس قاعده جريان وابسته استوار بوده و با استفاده از به دست مي آيند. اندازه سطح تسليم مطابق با بستگي به قسمت ايزوتروپيك كرنش پلاستيك مؤثر دارد. 3. سخت شدگي مطابق با فرض سخت شدگي آميخته و با پارامتر سخت شدگي آميختة M تعريف مي شود، كه براي تفكيك كل نمو كرنش پلاستيك به قسمت هاي ايزوتروپيك و سينماتيك مورد استفاده قرار مي گيرد.

62. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي 5. مشخصات سخت شدگي به وسيله منحني تسليم كه به طور تجربي از شرايط تنش تك محوري مصالح به دست مي آيد تعريف مي شوند. مدل Von Mises با استفاده از فرض هاي سخت شدگي سينماتيك يا ايزوتروپيك ونيز مدل پلاستيسيتة ‌ كامل ( بدون سخت شدگي ) ، حالات خاصي از مدل سخت شدگي آميختة ‌ مذكور هستند. 4. قاعده سخت شدگي Prager ، بر تغيير مكان سطح تسليم حاكم است.

63. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي براي مدل نمودن شرايط سخت شدگي سينماتيك، از پارامتر سخت شدگي استفاده مي نمائيم. در اين صورت فرض مي كنيم كه سطح تسليم داراي اندازة ‌ ثابتي مي باشد، به عبارت ديگر، و سطح تسليم قابل كاربرد نمي باشند. در طي جريان پلاستيك، موقعيت سطح تسليم در فضاي تنش تغيير مي كند و بنابراين كار پلاستيك صرفاً در اثر تغيير مكان سطح تسليم انجام مي شود. روابط تنش ـ كرنش پلاستيك به صورت مي باشند و قاعدة Prager ، بر تغيير مكان سطح تسليم حاكم است. بنابراين، فقط از منحني تسليم كه به طور تجربي در يك آزمايش كشش تك محوري ثبت شده است براي تعيين مدول c استفاده مي شود. مدل von Mises با سخت شدگي سينماتيك براي يك فلز با اثر قابل توجه Bauschinger كفايت مي ­ كند.

64. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي در حالتي كه مي توان از اثر Bauschinger صرف نظر كرد، رفتار مصالح سخت شدگي ايزوتروپيك را فرض مي نمائيم. در اين صورت از پارامتر سخت شدگي استفاده مي نمائيم، شرط تسليم به صورت باشد و روابط تنش ـ كرنش پلاستيك با استفاده از روابط شخص مي شوند. شرايط پلاستيسيتة كامل متناظر با رفتار مصالح بدون سخت شدگي در حين جريان پلاستيك است. در اين صورت يك تنش تسليم ثابت همچون را از پيش در نظر مي گيريم و شرط تسليم به صورت در مي آيد. روابط تنش ـ كرنش پلاستيك به صورت مي باشند.

65. 8 - کاربرد روابط مشخصه (Constitutive Relations) 4-8 - مبانی بنیادی پلاستیسیته 6-4-8 - سخت شدگي در حالت سه بعدي سرانجام، پاسخ مصالح را در حالتي كه تحت اثر بارگذاري تك محوري كششي و فشاري مي باشد، با استفاده از مدل سخت شدگي آميخته كه در بالا تعريف كرديم، نشان مي دهيم. شكل هاي ( الف ) و ( ب ) به ترتيب روابط و را نشان مي دهند. مي توان مشاهده كرد كه در رژيم بارگذاري AB ، پاسخ مصالح به ازاي همة ‌ مقادير M يكسان است، ولي هنگامي كه علامت بارگذاري عوض مي شود، در اين صورت پاسخ مصالح وابسته به M خواهد بود.