1. 本章讨论有限自由度结构系统，在给定载荷和初始条件激励下的系统动力响应计算方法。 第 六 章
第六章 离散系统的动力响应
离散系统的动力响应
引言：
本章讨论有限自由度结构系统，在给定载荷和初始条件激励下的系统动力响应计算方法。
第 六 章
这些方法可以分为两类：
振型叠加法（以模态为变换基底）
Ritz向量直接叠加法
坐标变换法：
（以Ritz向量作为空间变换基底）

2. 直接积分法：
线性加速度法
Newmark法
Wilson-θ法
Houbolt法
中心差分法
二循环迭代法
龙贝库塔法
隐式方法
显式方法
离散系统的动力响应
第 六 章

3. 在隐式直接法中：
瞬时的差分方程与运动方程相耦合，需要求解这些方程组才能计算出各瞬时的位移量。
离散系统的动力响应
第 六 章
在显式直接积分法中：
动力响应的诸量直接用已求得的位移、速度与加速度的数值表示出。

4. §6-1质量矩阵[M]和阻尼矩阵[C]的形成方法
引言：[M]和[C]在结构静力分析（有限元方法）中没有讨论，但在结构动力分析中的广义特征问题及二次特征问题中出现[M]，[C]。
本节介绍[M]和[C]的形成方法。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
一、质量矩阵[M]的形成
离散系统动力分析的数学模型：
其中：总质量阵[M]和总刚度阵[K]都是由单元阵集合而成的。集合的方法也相同，对于单元质量阵[Me]的形成一般采用两种方法。

5. 即：把单元内对某节点有贡献的长度、面积、体积的质量看成是集中质量，加在该结点上，形成单元质量矩阵-----称作集中质量矩阵。— 对角阵。
1、集中质量矩阵
（用的较多，缺点：特征向量精度稍差
优点：特征值精度好。）
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
即：把单元内对某节点有贡献的长度、面积、体积的质量看成是集中质量，加在该结点上，形成单元质量矩阵-----称作集中质量矩阵。— 对角阵。
例如：对于空间梁单元，
如仅考虑移动质量，
而略去转动惯量，
则它的单元质量阵为：

6. 空间梁单元（i， j），每个节点有6个自由度，三个移动，三个转动。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
对角阵
空间梁单元（i， j），每个节点有6个自由度，三个移动，三个转动。
可见：[Me]—对角阵；
则： [M]—系统质量阵也是对角阵，
可以是正定的，半正定的；

7. 说明：①由于[M]是对角阵，存储量大大减少（只存 对角元素），计算方便，因此用的较多。 ②采用“集中质量阵”的结果使特征值精度
好, 而特征向量精度差。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
∵有限元方法：相当于给系统加约束，结果使系统“过刚”；而“集中质量”法：使“m稍大”，因此，二者大致抵消，则λi 精度好！
③ 当[M]具有r个零对角元时，就有r个无限大特征值 ！ r重根对应的特征向量不是唯一的，可取为单位向量 ！其中 中“元素1”的位置与 [M] 中零对角元位置对应！

8. 即：与单元刚度矩阵[Ke]采用相同插值函数[N]形成的单元质量矩阵[Me]称作一致质量矩阵。
2、一致质量矩阵
即：与单元刚度矩阵[Ke]采用相同插值函数[N]形成的单元质量矩阵[Me]称作一致质量矩阵。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
采用这种单元质量矩阵[Me] 形成系统质量阵[M] ，一般[M]是对称正定的矩阵，且是带状矩阵，
即 [M]中元素集中在对角线附近的某一带宽内。
且与[K]具有同等带宽。
说明：实践证明两种方法形成的[M]，精度基本一致，差别不大！由于“集中质量阵”计算简单，存储量小，所以在实际中用的较多。

9. 建立阻尼矩阵的目的,是为了近似地估计系统振动时阻尼所损耗的能量。（即：当系统考虑阻尼时用到）在建立阻尼矩阵时，一般都以下面3点假设为基础：
二、阻尼矩阵[C]的形成
建立阻尼矩阵的目的,是为了近似地估计系统振动时阻尼所损耗的能量。（即：当系统考虑阻尼时用到）在建立阻尼矩阵时，一般都以下面3点假设为基础：
（1）线性阻尼假设（1877年Rayleigh提出的）
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
即阻尼力表示为
[C]—阻尼矩阵

10. （2）假设：阻尼矩阵是比例阻尼矩阵 （可使系统方程解耦，求解响应方便！） 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 即 i=1、2……n
的形成方法 即
i=1、2……n
[Φ]—特征向量矩阵
注意：如果采用非比例阻尼，则方程不能
解耦，成为二次特征问题。

11. 根据以上3点假设，在建立阻尼阵[C]时可采用以下两种方法： 法一：Rayleigh阻尼矩阵 即：假设[C]是[M]和[K]的线性组合，即
i=1、2…n实际仅用低阶！
（3）第 i 阶模态阻尼比 可用试验方法
确定，或者由经验给出。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
根据以上3点假设，在建立阻尼阵[C]时可采用以下两种方法：
法一：Rayleigh阻尼矩阵
即：假设[C]是[M]和[K]的线性组合，即
代入比例阻尼假设条件中，即：

12. 展开上式，再利用特征向量正交条件： 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 得 由试验确定； 展开， 固有频率。
的形成方法 得
由试验确定；
展开，
固有频率。
在这n个方程中，仅需要确定两个未知数：α、β，因此仅需两个方程，也即只需要知道两阶固有频率和模态阻尼比，即可确定α、β， 从而确定 [C]= α[M]+ β[K]。

13. 可见：这种建立阻尼矩阵的方法比较方便，但仅仅考虑了二阶模态阻尼。
一般采用对计算响应贡献最大的二阶：
假设已知 w , w , 则 1 2
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
可见：这种建立阻尼矩阵的方法比较方便，但仅仅考虑了二阶模态阻尼。
—前二阶固有频率。
—前二阶模态阻尼比。

14. 若考虑对响应贡献大（例如：m阶）的所有各阶模态阻尼，则方程组：
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
可见：方程数目＞未知量个数（只有2个），
从而上述m个方程成为矛盾方程，这时应“采用最小二乘法”求解。----参考高等代数。
法二：考虑多阶模态阻尼比的方法
由假设（2）

15. 令：
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
两边左乘 右乘 则
由特征向量正交条件 有：

16. 它也是在“假设比例阻尼矩阵”条件下推出的。则
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法
这是考虑了n 阶模态阻尼比的阻尼矩阵。
它也是在“假设比例阻尼矩阵”条件下推出的。
可见：方法二考虑了所有对响应有贡献的模态。
因此精度较好。缺点是：要用到所有特征向量
因此计算复杂。而方法一只用到二阶模态阻尼，
不用特征向量，计算简单，但精度略差。
实际使用时，一般仅仅需要考虑对响应有贡献的若干阶模态阻尼。即考虑最低的m阶。

17. 在求有阻尼振动系统“响应”时，按以上方法考虑阻尼阵[C]，可使系统方程解耦，变成单自由度振动问题，从而方便求响应。
第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C]
的形成方法 即
-----本书方法求出。
------由实验确定。 ——
在求有阻尼振动系统“响应”时，按以上方法考虑阻尼阵[C]，可使系统方程解耦，变成单自由度振动问题，从而方便求响应。

18. 小结 一、质量矩阵[M]的形成 第1节 质量矩阵 [M] 和阻尼矩阵 [C] 1、集中质量矩阵——常采用 2、一致质量矩阵
的形成方法
1、集中质量矩阵——常采用
2、一致质量矩阵
二、阻尼矩阵[C]的形成
法一：Rayleigh阻尼矩阵
法二：考虑多阶模态阻尼比的方法
--常用