1. 2. Green’s Functions Intro:
- chap present the general Green’s function method of solving
Possion’ equation
- How to construct Green’s functions for differential equations of the
Sturm-Liouville type
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2. 2.1 Green’s Functions For Poisson’s Equation
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3. < 3차원 공간에서의 Green’s function >
three-dimensional Green’s functions for Possion equations.
Green’s second
identity
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4. < 2차원 공간에서의 Green’s function >z V
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5. 2.2 Modified Green’s Functions
실제 Boundary 문제에서는 표면 S상에서 Green’s functions 을 풀기위
해 알아야할 가 모두 주어지지 않기 때문에 다음과 같이 3가지
경우로 나누어 문제를 푼다.
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6. EM LAB 이정한

7. The property of Symmetric Green’s function
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8. 2.3 Sturm-Liouville Equation
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9. Weighting function과 eigenfunction이
orthogonal 함을 알 수있다.
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10. Fourier series-type coefficiencts
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11. 2.4 Green’s Function G(x,x’)
(1)
(2)
Eq(2)에 G에관한 함수를 대입후, (2) 에서 (1)을 뺀다.
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12. X ’ x G X
Unit step
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13. EM LAB 이정한

14. EM LAB 이정한

15. EM LAB 이정한

16. EM LAB 이정한

17. 2.5 Solution Of Boundary-Value Problems
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18. Sturm-Liouville Operator
Null
space
Source
Space S D R
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19. EM LAB 이정한

20. EM LAB 이정한

21. EM LAB 이정한

22. Adjoint operator
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23. Self-Adjoint operator & Non-self-adjoint operator
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24. 2.6 Multidimensional Green’s Functions and
Alternative Representations [2.10], [2.13], [2.14]
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25. EM LAB 이정한

26. 1. Cauchy’s Integral Theorem
Complex Integration
1. Cauchy’s Integral Theorem
1) A simple closed path C
Simple Not simple
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27. 2) A simply and multiply connected domain
Simply connected domain double connected domain
3) A analytic function
A function f(z) is said to be analytic in a domain D if f(z) is defiend
and differentiable at all points of D.
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28. Cauch’s Integral Theorem
If f(z) is analytic in a simply connected domian D, then for every simple closed path C in D
Analyticity Sufficient, Not necessary
Simple Connectedness Essential
3/2
1/2 C
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29. Cauchy-Riemann Equations
A analytic function 증명
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30. Cauchy’s Integral Formulaz0 z
F(z0)
F(z) x y u v
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31. C C z z0 K K
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32. Derivatives of Analytic Functions
Cauchy’s Inequality
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33. Liouville’s Theorem
If an entire function is bounded in absolute value in the whole complex plane, then this function must be a constant
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34. Ex) C
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35. One-dimensional Green’s functions
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36. Green’s Function for Two-Dimensional Laplace’s Equationb y
x’,y’ x
line charge along z-axis
2차원 그린함수는 1차원 그림함수의 곱 형태로 표현할 수 있다.
1차원 그림함수는 method I과 method II 를 통해 구할 수 있다.
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37. Proof)
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38. 2차원 그림함수의 해를 1차원 그린함수의 해의 곱으로 구해보자.
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39. EM LAB 이정한

40. EM LAB 이정한

41. EM LAB 이정한

42. 2.7 Green’s Function For A Line Source In A Rectangular Waveguide.b y x z’ z
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43. EM LAB 이정한

44. EM LAB 이정한

45. C for z>z’
C for z<z’
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46. Br. point z
Br.line(cut) z
Br.line(cut)
Br. point
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47. Contour is infinite blue-line Contour is finite red-line
1) 적분 경로를 Cx로 택할 경우
Contour is infinite blue-line
Contour is finite red-line
Br.cut for Gz
Br.point
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48. 2) 적분 경로를 Cz로 택할 경우
Br.cut for Gz
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49. EM LAB 이정한

50. EM LAB 이정한

51. Waveguide에서 TE mode일때
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52. EM LAB 이정한

53. EM LAB 이정한

54. EM LAB 이정한 #include"calc.h" #include <fstream>
#include <math.h>
#define xnum 200
#define znum 200
void main() {
        
        Complex G1,G2;
        double x1,z1; // 관측점의 위치
        double x2,z2; // 전류 source의 위치
        int i,j,n,N,s,t,q;
        double f,Ig,l;
        double a=5.1e-2,b=2.1e-2; // width 와 height (단위는 m)
        const double mu0=4.*pi*1.e-7; //
        const double c=3.e+8;
        double k0; // wave number
        // rectangular waveguide의 length는 10cm
        f = 4.3e9; // rammda=2*a=c/fc , fc= (3.e+8)/(2*5.1e-2)=3Ghz,  따라서 fc보다 높은 주파수를 보내야 전파가 진행된다.
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55. VC++로 사각형 도파관에서의 TE10 mode의 전파가 어떻게 진행되는지
Green 함수를 계산하여, Ey 필드를 계산하고 그것을 matlab으로 plot하여
본다.
VC++ code
Matlab code
Matlab figure
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56. EM LAB 이정한 k0=(2.*pi*f)/c; Ig = 2.; // 전류 소스의 크기
        
        x2=2.5e-2; // 전류 source의 위치
        z2=1.5e-1; //전류 source의 위치
        Complex gamma; // 반사계수
        Complex hab;
        Complex Ey[znum][xnum]; // Ey=-I*2*pi*f*mu0*Ig*G
        double x_length(a), z_length(10.);
        for(x1=0.,i=0;i<xnum;i++,x1+=x_length/double(xnum)){
                for(z1=0.,j=0;j<znum;j++,z1+=z_length/double(znum)){
                        
                        hab=0;
                        for(n=1;n<10;n++){
                                
                                gamma=sqrt(Complex( pow( n*pi/a,2 )-pow(k0,2) ));
                                G2=(1./gamma)*sin(n*pi*x1/a)*sin(n*pi*x2/a)*(exp(-gamma*fabs(z1-z2)));
                                //if (n==1) G2+=(1./Tn)*sin(n*pi*x1/a)*sin(n*pi*x2/a)*0.5*exp(Tn*(z1-z_length));
                                //cout<<Tn<<"\t"<<G2<<"\n";
                                hab+=G2;
                        }
                        G1=(1./a)*hab;
                        Ey[j][i]=-I*2.*pi*f*mu0*Ig*G1;       // E-field를 구했음
                }
                
        }
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57. EM LAB 이정한 fstream fw; fw.open("waveguide.txt",ios::out);
        fw << znum <<" "<< xnum <<"\n";
        for(z1=0.,j=0;j<znum;j++,z1+=z_length/double(znum)) fw  <<z1<<"\t"; // z축 매틀랩에서 읽어들임
        fw<<"\n";
        for(x1=0.,i=0;i<xnum;i++,x1+=x_length/double(xnum))     fw  <<x1<<"\t"; // x축을 매틀랩에서 읽어들
        for(t=0;t<znum;t++)
        {
                
                for(s=0;s<xnum;s++){
                        
                        fw  <<10.*log10(norm(Ey[t][s])+EPS)<<"\t"; }
                fw<<"\n";
        }
        
        fw.close();        }
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58. EM LAB 이정한 % waveguide data read clear; clf;
fid = fopen('waveguide.txt','r');
M=fscanf(fid,'%g',1);
N=fscanf(fid,'%g',1);
x1=fscanf(fid,'%g',[M, 1]);
z1=fscanf(fid,'%g',[N, 1]);
C=fscanf(fid,'%g',[N,M,]);
fclose(fid);
[X,Y]= meshgrid(x1,z1);
% Ey를 그렸음
s=[10,70];
%surfl(X,Y,Z,C,s);
surf(X,Y,C);
%axis('equal');
rotate3d on;
COLORBAR('vert');
%axis equal;
%axis image;
box on;
%shading interp;
shading flat;
colormap jet;
%caxis([-150,-40]);
%view([-0,90]);
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59. TE10 mode에서 Ey field 는 maxwell 방정식에서도 알 수 있는 것 처럼, sin파 형태를 띄며 z축으로 전파 되는 모습을 보여준다.
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60. 2.8 Three-Dimensional Green’s Function
Rectangular coordinate system
Cylindrical coordinate system
Spherical coordinate system
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61. 2.9 Green’s Function As A Multiple-Reflected Wave Series
A line source radiating between two cylinders
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62. EM LAB 이정한

63. Bessel Equation Bessel Equation Bessel Function Hankel Function
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64. Bessel Equation은 Sturm-Liouville equation과 같은 모습이다.
따라서, Bessel Equation의 해를 Sturm-Lioville equation의 해를 구하여 구할 수 있다.
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65. Wronskian determinant
우선 처음에는 경계조건을 고려 하지 않고 생각한다.
Wronskian determinant
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66. 경계조건을 생각하지 않았을때
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67. 경계조건을 생각해보자 (반사파를 고려)
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68. EM LAB 이정한

69. EM LAB 이정한

70. EM LAB 이정한 #include"calc.h" #include <fstream>
//#include <math.h>
#define r_num 100
#define theta_num 50
#define  Hn1(q,w) Complex(_jn(q,w),_yn(q,w))
#define  Hn2(q,w) Complex(_jn(q,w),-_yn(q,w))
/*Complex Hn1(int q, double w) // Henkel 의 first 함수(n order) {
  return _jn(q,w)+I*_yn(q,w);
  }
        Complex Hn2(int q, double w) // Henkel 의 second 함수(n order)
        
          {
          return _jn(q,w)-I*_yn(q,w);
         
}*/
// Henkel함수를 만들어줘야 계산 할 수 있음
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71. void main() {
        //double x,y,z; // 관측점의 위치. 이 관측점을 변화시켜가면서 필드를 계산할 것이다.
        
        // 전류 source의 위치는 고정.
        // r을 vector가 아닌, 값으로 해야함. 왜냐면 밑에서 계산에 들어갈 것이 값이기 때문에
        double r, r1=3.6e-2; // 관측점 (r), source (r1)의 위치
        //source는 a와 b 두 실린더에 위치하고 있고 z축으로 무한하게있음.
        double theta;                             // 관측점 (theta)의 위치
        int i,j,n,s,t,m;
        double Ig=1.0;    // Ig는 전류소스의 크기
        double f = 10.e9;          // fc=8.685Ghz,  따라서 fc보다 높은 주파수를 보내야 전파가 진행된다.
        double a=2.1e-2, b=5.1e-2;          // (단위는 m) cylinder의 반경
        const double mu0=4.*pi*1.e-7;   // (H/m)
        const double c=3.e+8;                      // (m/s)
        double k0=(2.*pi*f)/c;                       // wave number
        double En; //epsilon
        Complex hab,hab1; // for문에서 시그마 합을 위한 변수
        //Complex An=-(I*En/8.)*Hn2(n,k0*r1), Bn=-(I*En/8.)*Hn1(n,k0*r1); // An 과 Bn
        //      Complex gamma_a=-Hn1(n,k0*a)/Hn2(n,k0*a), gamma_b=-Hn2(n,k0*b)/Hn1(n,k0*b); // 반사계수
        Complex gamma_a, gamma_b; // 반사계수
        Complex Ey[r_num][theta_num+1]; // Ey=-I*2*pi*f*mu0*Ig*G
        double r_length(b), theta_length(2*pi);
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72. for(r=0.,i=0 ; i<r_num ; i++, r+=r_length/double(r_num)){ //r 방향으로 관측점 변화
                
                for(theta=0. ,j=0 ; j<=theta_num ; j++, theta+=theta_length/double(theta_num)){ // theta 방향으로 관측점 변화
                        
                        if(r>=0. && r<a){
                                Ey[i][j]=0;
                        }
                        else{
                                
                                Complex G1,G2,G3,G04,G14=0.,Gtot;                   
                                for(n=0;n<20;n++){
                                        gamma_a=-Hn1(n,k0*a)/Hn2(n,k0*a);
                                        gamma_b=-Hn2(n,k0*b)/Hn1(n,k0*b); // 반사계수
                                        
                                        if(n==0){
                                                
                                                En=1.;
                                                if(r<r1){
                                                        
                                                        G1=(-I*En/8.)*Hn1(n,k0*r)*Hn2(n,k0*r1); 
                                                }
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73. EM LAB 이정한 else{ G1=(-I*En/8.)*Hn1(n,k0*r1)*Hn2(n,k0*r); } hab1=0.;
                                                }
                                                
                                                hab1=0.;
                                                /*for(m=1;m<11;m++){ // 반사파를 계산하기 위함. 반사파는 m번 왔다갔다 함.
                                                        
                                                        G2=pow(gamma_a*gamma_b,m-1)*( gamma_b*(gamma_a*Hn2(n,k0*r1)+Hn1(n,k0*r1))*Hn1(n,k0*r) +
                                                                gamma_a*(gamma_b*Hn1(n,k0*r1)+Hn2(n,k0*r1))*Hn2(n,k0*r) );
                                                        hab1+=G2;
                                                */
                                                G3=-(I*En/8.)*hab1;
                                                G04=(G1+G3)*cos(n*theta);
                                        }
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74. EM LAB 이정한 else{ En=2.; if(r<r1){
                                                
                                                En=2.;
                                                if(r<r1){
                                                        
                                                        G1=(-I*En/8.)*Hn1(n,k0*r)*Hn2(n,k0*r1); 
                                                }
                                                else{
                                                        G1=(-I*En/8.)*Hn1(n,k0*r1)*Hn2(n,k0*r);
                                                hab1=0.;
                                                /*for(m=1;m<11;m++){ // 반사파를 계산하기 위함. 반사파는 m번 왔다갔다 함.
                                                        G2=pow(gamma_a*gamma_b,m-1)*( gamma_b*(gamma_a*Hn2(n,k0*r1)+Hn1(n,k0*r1))*Hn1(n,k0*r) +
                                                                gamma_a*(gamma_b*Hn1(n,k0*r1)+Hn2(n,k0*r1))*Hn2(n,k0*r) );
                                                        hab1+=G2;
                                                */
                                                G3=-(I*En/8.)*hab1;
                                                G14=(G1+G3)*cos(n*theta);
                                        }
                                        
                                }
                                
                                Gtot=G04+G14;
                                Ey[i][j]=-I*2.*pi*f*mu0*Ig*Gtot;      // E-field를 구했음
                                cout<<Ey[i][j]<<"\n";
                        }
                        
                }// theta 에 관한 for문 닫기
                
        } // r에 관한 for문 닫기
EM LAB 이정한

75. EM LAB 이정한 fstream fw; fw.open("cylinder.txt",ios::out);
        fw << theta_num+1 <<" "<< r_num <<"\n";
        
        for(theta=0.,j=0;j<=theta_num;j++,theta+=theta_length/double(theta_num)) fw  <<theta<<"\t"; // z축 매틀랩에서 읽어들임
        fw<<"\n";
        for(r=0.,i=0;i<r_num;i++,r+=r_length/double(r_num)) fw  <<r<<"\t"; // x축을 매틀랩에서 읽어들
        for(t=0;t<r_num;t++)
        {
                
                for(s=0;s<=theta_num;s++){                 
                        fw  <<10.*log10(norm(Ey[t][s])+EPS)<<"\t";
                }
                fw<<"\n";
        }
        fw.close();        };
EM LAB 이정한

76. EM LAB 이정한 % waveguide data read clear; clf;
fid = fopen('cylinder.txt','r');
theta_num=fscanf(fid,'%g',1);
r_num=fscanf(fid,'%g',1);
phi=fscanf(fid,'%g',[theta_num, 1]);
r=fscanf(fid,'%g',[r_num, 1]);
C=fscanf(fid,'%g',[theta_num,r_num]);
%C = C';
fclose(fid);
for i=1:theta_num
for j=1:r_num
X(i,j) = r(j)*cos(phi(i));
Y(i,j) = r(j)*sin(phi(i));
end
%[X,Y]= meshgrid(x1,z1);
% Ey를 그렸음
s=[10,70];
%surfl(X,Y,Z,C,s);
surf(X,Y,C);
%axis('equal');
rotate3d on;
COLORBAR('vert');
%axis equal;
%axis image;
box on;
%shading interp;
shading flat;
colormap jet;
%caxis([-150,-40]);
%view([-0,90]);
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77. Cylinder waveguide 에서 전파의 모습을 관측할 수 있었다.
반사파 없을때 반사파있을때
Cylinder waveguide 에서 전파의 모습을 관측할 수 있었다.
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78. a b y X’ x
경계조건을 생각하지 않았을때
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79. a b y X’
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80. 이 위의 식과 아래의 식을 이용하여, 지난번 프로그램시와 마찬가지로 다시 프로그램 해본다.
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81. 2.10 Free-Space Green’s Dyadic Function
The dyadic Green’s function is symmetric
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82. 2.11 Modified Dyadic Green’s Function
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83. S V J
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84. S V J
EM LAB 이정한

85. EM LAB 이정한

86. EM LAB 이정한

87. EM LAB 이정한

88. EM LAB 이정한

89. 2.12 Solution For Electric Field Dyadic Green’s Function
Free space에서 electric field dyadic Green’s function의 해를 구해보자.
EM LAB 이정한

90. EM LAB 이정한

91. EM LAB 이정한

92. EM LAB 이정한

93. r >> r’ 일 때, 즉 무한히 멀리 떨어진 지점에서의 Green 함수를 구해보자.
면 적분 부분이 0이 된다
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94. 그런데, r << r’ 일 때는 Green 함수가 좀 다른 성향을 띈다.Vo r0
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95. EM LAB 이정한

96. Vo r0 V
앞의 (116) 식과 결과는 같지만 (112)는 구하는 과정이 훨씬 어렵다. (112)은 주로 cavity 나 waveguide에서의 field 를 구할 때 사용된다.(eigen function or mode expansion)
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