1. 第七章 带电粒子和电磁场的相互作用 Interaction of charged particle with electromagnetic field

2. 本章讨论带电粒子与电关场的相互作用。喧 是进一步认识许多物理过程的本质以及物质微观 结构的重要基础。我们将首先在一般情况下讨论 带电粒子产生电磁场 问题，求出作任意运动的带 电粒子产生的电关势表达式。这样，原则上对于 任何带电的体系都可以通过叠加而求得它的热和 场。 本章还要着重讨论带电粒子的辐射以及电磁 场对粒子自自的作用力。

3. 本 章 内 容 任意运动带电粒子产生的电磁场 带电粒子的电磁场对粒子本身的反作用 电磁波的散射和吸收

4. §7.1 任意运动带电粒子产生的电磁场

5. 计算以任意速度相对于某参考系 ∑ 运动的带电粒 子激发的电磁场时，最基本的公式仍然是推迟势。 由于推迟热只与粒子的运动速度有关而不依赖于粒 子的加速度。因此，可以在粒子的静止参考系 与 任意参考系 ∑ 之间，对四维热矢量作 Lorentz 变换。 1 、李纳 — 维谢尔热（ Lienard-Wiechert) 设带电粒子 e 以任意速度 相对于 ∑ 系运动， 粒子的位置矢量为 ，在粒子静止的参考系 看来：

6. 在 时刻 场点 处的推迟势，在形 式上与静止点电荷的势相 同： 式中 e 为粒子的电荷， 在 系上观察者所测量得到 的粒子与场点的距离，即 注意到在 与 ∑ 系之间，粒子到场点的距离 与 r 的 Lorentz 变换是： 粒子 粒子运动轨迹 场点 0

7. 是 ∑ 系中场点的位置矢量， t’ 是粒子激发电磁作 用的时刻， 是在场点观察到电磁作用的时 刻，因此，变换后粒子在 ∑ 系中的势为

9. 即 从而得到

11. 或者写成： 这就是任意运动的带电粒子的李纳一维谢尔势。其 中 都是 t’ 的函 数。

12. 2 、任意运动的带电粒子的辐射 因为 Liénard-Wiechert 势是 t’ 的函数，而场点应 是 t 的函数，因此把势对场点定时坐标 x 和 t 求导数即 可求得电磁场强。由于电磁场由势表示为 而

13. 且 其中

14. 即

15. 由此可见 故有 式中 的单位矢量（方向） 又因为

16. 即 故得

17. 另外还有

19. 于是，根据以上所有条件，我们得到相对于 ∑ 系作 任意运动的带电粒子激发的电磁场：

20. 由此两式可以看出：电场和磁场都是由两部分组成， 其中第一部分场的特点是与距离的平方成反比，这 部分场与电荷联系在一起，它不代表辐射的电磁场， 称之为感应场（或者自有场），即

21. 另一部分是与距离的一次方成反比的项，并且与粒 子运动的速度和加速度有关，故称为辐射场（或者 加速度场），而且 三者满足右手螺旋法则， 即

22. 从而得到瞬时辐射场能流为

23. 在考虑辐射功率时，应当用粒子的辐射时间 dt’ 来计 算，将能流 对以粒子所在点为球心，任意半径为 r 的球面积分，即得到 t’ 单位时间内粒子的辐射功率：

24. 辐射功率角分布为

25. 注意：以上所有结果在低速 运动情况下（即 很 小， ，并且 ），与第五章的结果一致。 3 、轫致辐射（ ） 所谓轫致辐射是指 情况时的辐射，如直 线加速器中的辐射。 a) 场分布情况 把条件 代入到任意运动粒子的电磁场中， 得到

26. b) 辐射能流

27. 式中 为 与 的夹角。 c) 辐射角分布 d) 辐射功率 其中

28. 令 cos = x ，则有

29. 即

30. 则得到 当 时， ，即 x=1 当 时， ，即 x= - 1 因此即有

32. 从而得到： 改用粒子所受的力 来表示辐射功率，即

33. 故功率改写为 下图表示辐射功率角分布： 4 、同步加速辐射 带电粒子作园周运动时速度与加速度总是互 相垂直，此时粒子发出的辐射称为同步加速辐射。 θ

34. 设在 时刻粒子的瞬时速度 沿 z 轴，加速度 沿 x 轴， 与 的夹角为 θ 。 由图可看出 y z P θ x 粒子轨迹

35. 因而

36. a) 场分布 b) 辐射能流

37. c) 辐射功率角分布 d) 辐射功率

38. 当 时 即 最后可以看到辐射功率角分布

39. 由 可看到：

40. 即在 方向无辐射, 辐射集中在范围内， 且 愈大能量分布愈集中。

41. §7.2 带电粒子的电磁场对粒子 本身的反作用 Electromagnetic field of charged particle on counteraction charged particle self

42. 本节将论述的是带电粒子自己产生的场，对 粒子自己的作用包含两个效果：一方面使带电粒 子的惯性增大，即有效质量增加；另一方是当带 电粒子运动的加速度不是常数时，使带电粒子受 到一个力，这个力表示带电粒子在辐射电磁波时 所受到的阻尼力。

43. 1 、电磁质量 (electromagnetic mass) 在电动力学中，粒子自己的场对自己的作用力 不为零，这是因为场不只是某种描述粒子各部分之 间互相作用的一种手段，它本身就是一种客观存在， 因此说粒子自己的场对粒子本身产生了一个作用力。 我们知道，任意运动的带电粒子的电磁场包括 两部分，一部分场量与 r 2 成反比，其能量主要分布于 粒子附近，其能量可以辐射到任意远处，称此为粒 子加速时激发的辐射场。 现在，为了求出粒子的电磁质量，我们从自有 场对粒子的反作用出发。 因为自有场总是和粒子不可分割地联系在一起

44. 的，它的能量不能从粒子运动能量中分离出去。因 此，测出一个带电粒子的总能量和总质量，总是包 含粒子自有场的能量和质量在内。带电粒子的质量 m 是其非电磁起源的那部分质量 m 0 与其自有场质量 m em 之和，即 m=m 0 +m em 为了方便求出带电粒子的电磁质量 m em ，我们作 如下约定： i ）假定带电粒子的电量 e 是一个球状对 称的电荷分布，其半径为 r e ； ii ）粒子的速度远小于 c ； iii ）选择一个参考系，使带电粒子的某一电荷元 dq 对该系是静止的。 在粒子静止的参考系上，粒子的自有场只有库

45. 仑场 ，即为 库仑场的能量为

46. 由相对论质能关系，可以得粒子的电磁质量 对于电子而言， e 即为电子电荷量，如果假设 电子的非 电磁起源的那部分质量 m 0 ≈m em ，则电子的 质量为 从而可估算电子的经典半径

47. 2 、辐射阻尼 (radiative reaction force) 因为一个带电粒子作加速运动时可发射辐射波 其辐射功率为 这表示粒子在单位时间内辐射出去的能量：

48. 可见在 t 1 →t 2 时间内辐射出去的能量为 如果粒子作准周期运动，则在一周期内 (t 1 →t 2 恰好 为一周期），或者在 t=t 1 和 t=t 2 时 。 则在 t 1 →t 2 时间内，粒子辐射出去的能量为：

49. 由于辐射，粒子损失了能量和动量，因而粒子作 阻尼运动，也就是说，粒子受到了阻尼力的作用， 由能量守恒定律可知，辐射出去的能量等于辐射 阻尼力作的功，即

50. 由此可见，辐射阻尼力为 辐射阻尼力也称为 Lorentz 摩擦力，它是以某种近似 的对时间取平均的方法得到的。因此不能代表瞬时 值，而是一种时间平均效应。另外，我们还会看到。 只有在粒子静止的参考系内，当辐射阻尼力比作用 在粒子上的外力小得多时才可以利用辐射阻尼力的 概念。

51. §7.3 电磁波的散射和吸收 Scattering and absorbing of radiation

52. 以上几节研究了一个带电粒子激发的电磁场和 这电电磁场对粒子本身的反作用。本节研究外来电 磁波与带电粒子的相互作用。将具体表现为带电粒 子对电磁波的散射和吸收。

53. 1 、自由电子对电磁波的散射 当一定频率的外来电磁波投射到电子上时，电 磁波的振荡电场作用到电子上，迫使电子以相同的 频率用振动。振动着的电子向外辐射出电磁波，把 原来入射波的部分能量辐射出去。这咱现象称为电 磁波的散射。 散射情况可分为两种：自由电子对电磁波的散 射和束缚电子对电磁波散射。 这里先讨论自由电子对电磁波的散射。 我们先考虑一个自由电子对电磁波的散射，假 定入射波是平面波，即

54. 并设自由电子在入射波作用下，运动速度 v>>c ，则 可略去磁力作用，还可认为电子只是在坐标原点作 振动。于是电子的运动方程为： 即 令 代入上式，即有

55. 故 这里 由此则有

56. 对于一般电磁波来说，入射波长 λ 远大于电子经典 半径 r e ，即 λ>> r e ，故 因此可以略去阻尼力项，在这种情况下有

57. 因而电子作强迫振动为 由此可得电子的加速度 ，进而可求得电子辐射 场 — 即散射波的电磁场以及平均散射能流 和平均 散射功率 P 。 根据低速运动粒子当有加速度 时激发的辐射 电磁场，我们得到电子振动时所辐射的电场强度：

58. 式中 为辐射方向单位矢量，以 β 表示 与入射场强 的夹角，得到散射波的电场强度。 磁场强度为

59. 平均散射能流为 散射波总平均功率为 入射波强度 I 0 定义为平均入射能流

60. 故有 从而有 则定义汤姆逊 (Thomson) 散射截面为：

61. 现在计算散射波角分布，设入射波沿 z 轴方向传 播，其电场强度 与 x 轴夹角为 φ ，观察点 p 在 xz 平面 上， 与 z 轴夹角为 θ ，与 夹角为 β ，即 对于非偏振的入射波，则 x y z P r θ β φ

62. 即平均散射能流为 从而定义单位主体角的散射功率与入射波强度 I 0 之比

63. 称为微分散射截面，记为 即得 汤姆逊散射微分截面为 这里 θ 为入射波矢 与散射波矢 的夹角。 2 、束缚电子对电磁波的散射 对于原子内的束缚电子，可看作固有频率为 ω 0 的谐振子，当入射波电场为 ，振子运动方程 为

64. 即 其中

65. 由此可求向振子的加速度 及散射波的场强，进而 可求得平均散射功率。 散射波电场强度为 β 为散射方向与入射波电场 的夹角。 平均散射能流为

66. 平均散射功率为 散射截面为 当 ω >ω 0 ， 过渡到自由电子散射。 3 、电磁波的吸收 当具有连续谱的电磁波投射到原子中的束缚电

67. 子上时，频率为 ω=ω 0 的入射波引起振子 “ 共振 ” 。这 个频率成份的入射波能量被振子吸收，振幅增大， 直到振子散射出去的能量等于其吸收的能量，振幅 才达到稳定值。 现在计算电子所吸收的入射波能量。设入射波 单位频率间隔入射于单位面积的能量为 I 0 (ω) ，故振 子辐射的总能量为 这里主要贡献来自 ω=ω 0 处，即 I 0 (ω)→I 0 (ω 0 ), 被积函 数中：除 ω 0 —ω 之外，其余 ω 都换为 ω 0 即得

70. 故 共振现象是能量吸收和再辐射过程。