1. CAPITULO VII: LEY MEDIA, LEY DE CORTE Y CURVAS TONELAJE
Universidad Nacional de Cajamarca
Facultad de Ingeniería
Escuela académico profesional de ingeniería de minas
GEOESTADISTICA
CAPITULO VII: LEY MEDIA, LEY DE CORTE Y CURVAS TONELAJE
Docente:
Ing. LOPEZ BECERRA, María
Alumnos:
DELGADO VASQUEZ, Román
HERRERA IRIGOIN, Edilberto
MALIMBA VARGAS, Amós.
ROMERO DIAZ, Bayly
SALAZAR CHAVEZ, Pedro S

2. OBJETIVOS
Los objetivos de este trabajo son:
Comprender el cálculo de la ley media de un yacimiento mineral.
Comprender el cálculo de la ley de corte de un yacimiento mineral.
Analizar las gráficas de tonelaje vs ley de un yacimiento mineral.

3. LEY DE CORTE
DEFINICION 
Es la concentración mínima que debe tener un elemento en un yacimiento para ser económicamente explotable, es decir, la concentración que hace posible pagar los costes de su extracción, su tratamiento y su comercialización. Es un factor que depende a su vez de otros factores, que pueden no tener nada que ver con la naturaleza del yacimiento, como, por ejemplo, su proximidad o lejanía a vías de transporte, avances tecnológicos en la extracción, entre otros.
Es la ley por debajo de la cual un yacimiento no es económicamente explotable.  

4. LEY DE CORTE
La definición de los límites económicos de explotación de un rajo, se basará en un
modelo económico de beneficio nulo al extraer la última expansión marginal.
Esquemáticamente lo podemos ver en la siguiente figura:
B: Beneficio neto esperado de la última expansión marginal
I: Ingresos por venta del producto
C: Costos para obtener el producto

5. LEY DE CORTE
Sabemos que la extracción de M1 nos ha reportado beneficios mayores que cero, la pregunta es: ¿La extracción de M2 nos reportará un beneficio mayor que cero?. Si así fuese significaría que M2 por sí solo permite la extracción de su estéril asociado E2 logró pagar los costos asociados a la extracción de E1. El asunto ahora es evaluar si vale la pena extraer la lonja adicional o la que llamamos la última expansión marginal, así como M1

6. LEY DE CORTE
Teniendo en cuenta lo anterior y recurriendo al formulismo se tiene que:
B1 = I1 - C1 > 0
Con lo que aseguramos que efectivamente el rajo se explotará inicialmente con esos límites
Ahora debemos comprobar si es conveniente realizar o no la expansión marginal, entonces sí:
B2 = I2 - C2 > 0
B2 = I2 - C2 < 0
Se asegura que la última expansión marginal se explotará ampliándose los límites iniciales del rajo
Se asegura que la última expansión marginal NO se explotará y el límite de la explotación queda definido por la explotación de M1

7. CÁLCULO DE LA LEY DE CORTE
MÉTODO ANALÍTICO.
Este método toma como base la ecuación de B = I – C y asume un beneficio igual a cero: B= 0; entonces I = C
𝑳𝑬𝒀 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬= 𝑪𝑴+𝑪𝑷 𝟏𝟎𝟎 [(𝑷𝑽−𝑪𝑪)∗𝑹𝑴∗𝟐𝟐𝟎𝟒.𝟔]
DONDE:
CM: Costo de Mina
CP: Costo de Planta
CC: Costo de Comercialización
RM: Recuperación metalúrgica

8. COSTOS CATEGORIA I CATEGORIA II CATEGORIA III
Costos Directos de Mina (CM) tenemos los siguientes ítems: se expresan en unidades de US$/Ton de mineral tratado
Costo de Perforación.
Costo de Tronadura.
Costo de Carguío.
Costo de Transporte.
Costo de Servicio.
Administración.
Se tiene también un costo de Depreciación de los equipos mineros.
CATEGORIA II
 Costos de la Planta (CP) especificados en el siguiente esquema: se expresan en unidades de US$/Ton de mineral tratado
Costo de tratamiento de mineral.
Costo de Administración central.
CATEGORIA III
 Costos los relacionados con la comercialización del producto (CC), en el cual se incluyen el transporte, seguros, créditos, refinería, etc., y se expresa en unidades de US$/lb.

9. CÁLCULO DE LA LEY DE CORTE
De esta manera la formula queda reducida a la siguiente forma:
𝑳𝑬𝒀 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 (%)= 𝑪𝑨𝑻𝑬𝑮𝑶𝑹𝑰𝑨 𝑰+𝑪𝑨𝑻𝑬𝑮𝑶𝑹𝑰𝑨 𝑰𝑰 𝟏𝟎𝟎 [(𝑷𝑹𝑬𝑪𝑰𝑶−𝑪𝑨𝑻𝑬𝑮𝑶𝑹𝑰𝑨 𝑰𝑰𝑰)∗𝑹𝑴/𝟏𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟒.𝟔]
Algunos autores consideran la expresión para calcular la ley de corte de la siguiente manera:
𝑳𝑬𝒀 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 (%)= 𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐𝑴𝒊𝒏𝒂+𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐𝑷𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂 𝟏𝟎𝟎 [(𝑷𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐−𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐𝐑𝐞𝒇𝒊𝒏𝒐)∗𝑹𝑴∗𝟐𝟐𝟎𝟎]

10. 𝑳𝑬𝒀 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 % = 𝟏.𝟓𝟎+𝟒.𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 [(𝟏.𝟒𝟎−𝟎.𝟒𝟓)∗𝟗𝟎/𝟏𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟒.𝟔] = 0.29%
Se tiene la siguiente información acerca de un proyecto minero que explota cobre
EJEMPLO N° 1
𝑳𝑬𝒀 𝑫𝑬 𝑪𝑶𝑹𝑻𝑬 % = 𝟏.𝟓𝟎+𝟒.𝟎𝟎 𝟏𝟎𝟎 [(𝟏.𝟒𝟎−𝟎.𝟒𝟓)∗𝟗𝟎/𝟏𝟎𝟎∗𝟐𝟐𝟎𝟒.𝟔] = 0.29%

11. Se tiene la siguiente información acerca de un proyecto minero «El Zorro» que explota un mineral «Cu»
EJEMPLO N° 2
Recuperación metalúrgica : 95%.
precio del metal: 0.88 US$ /lb cu
SOLUCION

12. CÁLCULO DE LA LEY DE CORTE
MÉTODO GRÁFICO
Al igual que el método analítico toma como base la ecuación B=I-C ; conociendo los datos de costos y recuperación se logra dar una relación del beneficio en función de la ley, la misma que se grafica para su análisis.
𝑩= 𝑷−𝑪𝒓 ∗ 𝑳𝒆𝒚 𝒎𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒑𝒐𝒏𝒅𝒆𝒓𝒂𝒅𝒂 𝟏𝟎𝟎 ∗𝑹𝑴∗𝟐𝟐𝟎𝟎− 𝑪𝑴+𝑪𝑷
DONDE:
B: Beneficio neto.
P: Precio del metal. (US$/Lb)
Cr: Costo de Refino. (US$/Lb)
RM: Recuperación Metalúrgica.
CM: Costo Mina. (US$/Ton)
CP: Costo Planta. (US$/Ton)

13. EJEMPLO N° 3
Teniendo los valores de costos y recuperación metalúrgica y precio del mineral:
CATEGORIA III
Costo transporte, puerto, créditos, seguros, etc : US$/lb Cu
Recuperación metalúrgica : 90%
Precio del metal : 1.10 US$/lb Cu

14. Reemplazando los valores en la ecuación tenemos:
EJEMPLO N° 3
Reemplazando los valores en la ecuación tenemos:
𝑩= 𝟏.𝟏−𝟎.𝟑𝟖 𝑳𝑬𝒀 𝟏𝟎𝟎 ∗𝟎.𝟗∗𝟐𝟐𝟎𝟎− 𝟏.𝟑𝟗+𝟓.𝟑
ley
Beneficio
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.438
0.6
1.8636
0.7
3.2892
0.8
4.7148
0.9
6.1404 1
7.566
LEY DE CORTE
Se puede apreciar que la ley de corte gráficamente será 0.47%

15. LEY DE CORTE marginal DEFINICION
Es también conocida como ley operacional y es aquella que está bajo la ley de corte pero sobre el material estéril. El material marginal no es llevado a botadero sino que es almacenado en lugares especialmente diseñados ya que pueden ser tratados en tiempos futuros.
Para el cálculo de la ley marginal se tiene la misma fórmula que se emplea para la ley de corte a diferencia que el coste de mina se iguala a cero:
𝑳𝑬𝒀 𝑴𝑨𝑹𝑮𝑰𝑵𝑨𝑳=(𝑪𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒅𝒆 𝑷𝒍𝒂𝒏𝒕𝒂∗𝟏𝟎𝟎)/[ 𝒑𝒓𝒆𝒄𝒊𝒐−𝒄𝒐𝒔𝒕𝒐𝑹𝒆 𝒇𝒊𝒏𝒐 ∗𝑹𝑴∗𝟐𝟐𝟎𝟎

16. ley promedio - ley de corte ley promedio - tonelaje
CURVAS TONELAJE
El cálculo de la curva de tonelaje ley es fundamental, por cuanto nos permite visualizar la distribución del tonelaje con respecto a la ley
Las curvas son herramientas alternativas al histograma para visualizar la distribución de los valores de una variable. Entre ellas, las más importantes son:
tonelaje - ley de corte
ley promedio - ley de corte
ley promedio - tonelaje
cantidad de metal - tonelaje

17. Dos parámetros que tienen una gran influencia sobre la rentabilidad económica de un proyecto minero son el ritmo de producción y la ley de corte.
La elección de una ley de corte en un yacimiento gobierna directamente la cantidad de mineral recuperable que contiene, el ratio estéril/mineral y la ley media de este último

18. Depósitos con distribución de ley normal
Los yacimientos que presentan este tipo de distribución son generalmente los de tipo sedimentario: hierro, fosfato, bauxita, carbón, etc.

19. Depósitos con distribución de ley normal
La ley media esta relacionada con los ingresos unitarios y la ley de corte con los costes unitarios de explotación, de esto puede deducirse claramente que los beneficios proporcionados por grandes operaciones se incrementan para este tipo de yacimientos .
Esta interpretación debe ser moderada por las limitaciones geológicas del depósito.

20. Depósitos con distribución de ley lognormal
Presentan grandes reservas en las leyes bajas y relativamente pocas en las altas. Depósitos de este tipo pueden considerarse que son, los pórfidos cupríferos, los de molibdeno, las areniscas uraníferas, los depósitos filonianos de oro y plata y los de sulfuros masivos, entre otros.

21. Depósitos con distribución de ley lognormal
En estos yacimientos se producen proporcionalmente grandes aumentos de las reservas para pequeñas disminuciones de la ley de corte. Esto hace que la ley media de las reservas tienda a la ley de corte conforme esta disminuye, esta tendencia es aun mas llamativa en yacimientos de metales preciosos.

22. Curvas tonelaje-ley para distintos soportes:
Curvas ley promedio - ley de corte para distintos soportes:
Posición
Densidad
Tipo de Roca
Mineralización
Leyes
Impurezas
Recuperación Met.

23. Curvas ley promedio - tonelaje para distintos soportes
Curvas ley promedio - tonelaje para distintos soportes. La jerarquía entre las curvas indica la pérdida de selectividad al aumentar el soporte.
Curvas metal - tonelaje para distintos soportes. También se aprecia una jerarquía en función del soporte.

24. Ejemplo
Teniendo los datos de las reservas del yacimiento se puede trazar una curva de tonelaje vs ley de corte y ley media.
Esto se logra a través del inventariado de reservas del yacimiento que se encuentran bajo una ley de corte determinada y calculando la ley media de todos los recursos cuya ley es superior o igual a esa ley de corte, obteniéndose dos curvas en un mismo gráfico.
El mismo tratamiento se deberá realizar a las fases de explotación una vez definido el rajo final. De esta forma se obtendrán las curvas correspondientes a las reservas mineras involucradas

25. Si consideramos una alimentación a planta de 80
Si consideramos una alimentación a planta de toneladas al día (360 días al año), con un 90 % de recuperación metalúrgica y junto con la curva tonelaje v/s ley obtenidas, se puede observar la variación de los recursos explotables (minables) como se ilustra en los siguientes ejemplos:

26. Como podemos observar la forma de la curva tonelaje v/s ley nos determina la sensibilidad de nuestro yacimiento respecto a la variación de la ley de corte, ya que su pendiente determina la cantidad de recursos que quedan fuera de la explotación al producirse una variación de la ley de corte.

27. Manejo de la información gráfica.
Por lo general se dispone de gráficos representativos de nuestro yacimiento y del movimiento de la mina, lo cual permite obtener información operacional interesante y una visualización de las características de nuestro yacimiento en explotación.
Por ejemplo:
En este caso se está trabajando a un ritmo de Tcop toneladas al día de mineral con una ley de envío a planta de Lcop. Es decir todo el mineral que está siendo sacado de la mina con una ley menor de que Lcop y mayor que Lcc está siendo enviado a un acopio especial para dicho mineral, ya que no es estéril y solo se envía a planta lo que tenga ley superior o igual a Lcop.

28. Supongamos ahora que se amplía la capacidad de la planta y se requiere enviar más mineral a proceso. Nuestro gráfico podría quedar de las siguientes formas:
En este caso la mina enviará mineral con la nueva Ley L (que será la ley de envío a planta), ya que ésta aumentó su capacidad. La mina enviará mineral a la planta que antes se dirigía a acopios de mineral y todo el mineral con leyes entre Lcc y L se enviará a estos acopios.
En este caso la mina no necesariamente enviará mineral con la nueva Ley L, ya que ésta ley está bajo la ley de corte crítica, y a pesar de que la planta aumentó su capacidad, no podemos enviar estéril a proceso.

29. Fases de la explotación
Las fases de explotación se pueden visualizar en las siguientes fi guras:
Las fases se pueden definir si se varía el precio del producto dentro de la expresión de la relación E/M vs ley media, lo que generará los siguientes límites:

30. CONCLUSIONES
La ley media de un yacimiento, y el tonelaje asociado a dicha ley media, puede ser de gran interés, toda vez que permita construir una curva en la que se relacione directamente estos dos parámetros. Estos cálculos suelen ser muy importantes y necesarios y, de hecho, siempre se llevan a cabo en las estimaciones de viabilidad económica de un proyecto minero
Es la concentración mínima que debe tener un elemento en un yacimiento para ser económicamente explotable, es decir, la concentración que hace posible pagar los costes de su extracción, su tratamiento y su comercialización. Es un factor que depende a su vez de otros factores, que pueden no tener nada que ver con la naturaleza del yacimiento, como, por ejemplo, su proximidad o lejanía a vías de transporte, avances tecnológicos en la extracción, entre otros.
El cálculo de la curva de tonelaje vs ley es fundamental, por cuanto nos permite visualizar la distribución del tonelaje con respecto a la ley. Las curvas son herramientas alternativas al histograma para visualizar la distribución de los valores de una variable.

31. BIBLIOGRAFIA
M. Alfaro: Introducción a la Teoría de las Funciones Aleatorias. Depto. De Ingeniería en Minas, USACH, 2005.
M. Alfaro: Curso de Probabilidades. Departamento de Ingeniería Matemática, U. de Chile, 2007.
H. Cramer: Métodos Matemáticos de Estadística. Aguilar, Madrid, 1955.
A. Journel y Mining Geostatistics. Academic Press, 1978.
J. P Chilés y Geostatistics, Modeling Spatial Uncertainty. Wiley, 2000.