1. CO 2 maîtrisé | Carburants diversifiés | Véhicules économes | Raffinage propre | Réserves prolongées © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 Convergence des schémas volume fini de type "O" sur des maillages 2D et 3D en milieux hétérogènes anisotropes L.Agélas, R.Masson, R.Eymard

2. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 2 Plan Introduction Principe des schémas volume fini de type "O" Discrétisation spatiale Définitions de quelques espaces Formulation variationnelle Coercivité Convergence du schéma Conclusion

3. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 3 Introduction MPFA O-méthode, schéma VF largement utilisé dans l’industrie pétrolière pour la discrétisation des flux de diffusion Avantages : flux explicites, solutions linéaires reproduites, adapté aux coefficients de diffusion discontinus MPFA O-méthode est défini sur les maillages où le nombre de faces d’une maille partageant un nœud = d Il existe des variantes Preuves existantes sur maillages particuliers avec coefficients de diffusion lisses Une forme variationnelle  MPFA O-méthode Preuve de convergence sur maillages généraux avec coefficients de diffusion L ∞

4. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 4 Principe des schémas volume fini de type "O" Calcul de "demi" flux autour de chaque sommet : zone d'interaction en "0" u affine dans chaque maille dans la zone d'interaction Calcul de gradients dans chaque maille de la zone d’interaction Flux continu sur chaque arête u continue aux points

5. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 5 Discrétisation spatiale la discrétisation est donnée par, l'ensemble des mailles, l'ensemble des faces, l'ensemble des centres de faces, l'ensemble des nœuds, l’ensemble des faces intérieures au maillage, l’ensemble des faces de bord du maillage

6. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 6 Discrétisation spatiale = les faces de mesure de normale à distance de à

7. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 7 Définitions de quelques espaces muni du produit interne

8. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 8 Définitions de quelques espaces, l'ensemble des fonctions constantes par morceaux sur muni de la norme : Pour tout on définit l’élément défini par les valeurs

9. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 9 Formulation variationnelle on introduit la forme bilinéaire La formulation variationnelle discrète :

10. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 10 Formulation variationnelle La formulation variationnelle discrète est équivalente au schéma volume fini: Où le flux à la face sortant de la maille est la somme des sous flux

11. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 11 Formulation variationnelle

12. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 12 Coercivité La forme bilinéaire est dite coercive si

13. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 13 Coercivité Condition de coercivité : => => son existence et unicité Cas particuliers où la condition est toujours vérifiée :

14. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 14 Coercivité Interprétation de la condition sur un maillage trapèzoïdale avec le tenseur de diffusion constant : La condition de coercivité est équivalente à :

15. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 15 Convergence du schéma

16. © IFP DTIMA - UMLV – Convergence O-schéma – 15/11/2007 16 Conclusion MPFA O-méthode sensible aux mailles très déformées et à l’anisotropie du tenseur de diffusion Perpectives : schéma volume fini convergeant sur des maillages généraux, pour des coefficients de diffusion anisotropes et hétérogènes