1. 17 I SENTIERI DI CRESCITA NEL TEMPO L’argomento: come varia nel lungo periodo il tasso di crescita del PIL per unità di lavoro Oggi parleremo di:  crescita nel tempo, partendo da un punto qualsiasi  tasso di crescita d’equilibrio  convergenza dei sentieri di crescita

2. Le domande di oggi  C’è una “legge del moto” dei sistemi economici nel tempo ?  Esiste un sentiero di crescita d'equilibrio di lungo periodo ?  C’è una tendenza comune a tutti i sistemi economici a convergere verso tale sentiero ?

3. Cobb-Douglas in forma intensiva : da Y t = A t  L t    K t 1–  abbiamo y t = A 0 (1+  )  k t 1 –  contabilità della crescita:

4. come si determinano  e g(k) — e quindi g — partendo da condizioni iniziali arbitrarie ? g =  + (1-  ) g(k)

5. la dinamica di k t  kt =KtLt  k t + 1 =Kt+1 L t+1 =Kt+St L t 1+n() =11+n() k t +s t () risparmionetto incrementodemografico s t  S t L t

7. è una proporzione costante del reddito medio y t è una proporzione costante del reddito medio y t la dinamica di k t il risparmio medio s t

8. SOSTITUENDO ORA y t … a s t = a  y t parametro la dinamica di k t

9. a s t = a  y t a = a  A t  k t 1–  SOSTITUENDO ORA IN … SOSTITUENDO ORA s t IN k t+1 …

10. la dinamica di k t

11. di transizione funzione di transizione di k t la dinamica di k t

12. una legge dinamica la dinamica di k t per predire il k di domani da quello di oggi

13. la dinamica di k t k t+1 ktktktkt dato k t si trova k t +1

14. transizione SENZA PROGRESSO TECNICO  = 0, A t = A 0 k t  1  k t  a  A 0 k t 1  1  n 

15. k t+1 ktktktkt transizione SENZA PROGRESSO TECNICO k0k0k0k0 dato un valore iniziale arbitrario di k t

16. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 si determina quello del periodo dopo, k t+1 dato un valore iniziale arbitrario di k t k0k0k0k0 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

17. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 si determina quello del periodo dopo, k t+1 quale che sia il periodo iniziale k0k0k0k0 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

18. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 quindi nel periodo 1 k 1 diventa il nuovo livello iniziale k0k0k0k0 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

19. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 quindi nel periodo 1 k 1 diventa il nuovo livello iniziale k1k1k1k1 k0k0k0k0 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

20. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 e il processo si ripete, generando k 2 k1k1k1k1 k0k0k0k0 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

21. k t+1 ktktktkt k1k1k1k1 k2k2k2k2 k1k1k1k1 k0k0k0k0 e il processo si ripete, generando k 2 transizione SENZA PROGRESSO TECNICO e così via

22. transizione SENZA PROGRESSO TECNICO k t+1 ktktktkt 45° k0k0k0k0 k1k1k1k1 k1k1k1k1 k2k2k2k2 k2k2k2k2 k3k3k3k3 k3k3k3k3

23. ktktktkt transizione SENZA PROGRESSO TECNICO k0k0k0k0 k t+1 = k t = k* k*

24. k t+1 ktktktkt k* transizione SENZA PROGRESSO TECNICO 

25. da qualsiasi punto parta il sistema converge verso un particolare sentiero con g* costante (equilibrio di stato stabile) da qualsiasi punto parta il sistema converge verso un particolare sentiero con g* costante (equilibrio di stato stabile) in assenza di progresso tecnico questo sentiero è stazionario ( g* = 0 ) in assenza di progresso tecnico questo sentiero è stazionario ( g* = 0 ) con k e y maggiori se : s è maggiore n è minore con k e y maggiori se : s è maggiore n è minore transizione SENZA PROGRESSO TECNICO

26. k t+1 ktktktkt transizione CON PROGRESSO TECNICO  > 0 la curva di transizione di k t sale nel tempo la curva di transizione di k t sale nel tempo

27. eppure…eppure… transizione CON PROGRESSO TECNICO convergenza anche qui

28. la crescita di A è rappresentata come una crescita equivalente di L la crescita di A è rappresentata come una crescita equivalente di L tecnica analitica  transizione CON PROGRESSO TECNICO

29. è come se crescesse il numero dei lavoratori è come se crescesse il numero dei lavoratori con A costante tecnica analitica  quando A cresce transizione CON PROGRESSO TECNICO

30. ∆ A = increm. del numero di “unità di efficienza” di lavoro di lavoro tecnica analitica  transizione CON PROGRESSO TECNICO

31. Y t  (1  ) t A 0 L t  K t 1  lavoro misurato in in unità di efficienza  A 0 (1  ) t  L t          K t 1  l’algebra dell’idea : transizione CON PROGRESSO TECNICO

32. Y t = A 0 (1  ) t  L 0      K t 1  da ˆ L t =(1  )L 0 t  =(1  ) t L 0 con  (1  )   1 1 abbiamo : L in unità di efficienza (con n = 0  L t = L 0 ) transizione CON PROGRESSO TECNICO

33. capitale per unità di efficienza di lavoro transizione CON PROGRESSO TECNICO

34. PIL per unità di efficienza di lavoro transizione CON PROGRESSO TECNICO

35. S per unità di efficienza di lavoro transizione CON PROGRESSO TECNICO

36. transizione ˆk t  1 = K t  1 ˆ L t  1 = K t  S t 1   ˆ L t =ˆk t  ˆ s t 1  = 1    1ˆ k t  aˆy t  =1    1 aA 0ˆk t  ˆk t 

37. è formalmente identica a quella di k t senza progresso tecnico ( con solo  al posto di n ) transizione CON PROGRESSO TECNICO =1    1 aA 0ˆk t  ˆk t  ˆk t  1

38. ktktktkt k t+1 ^^ k*^transizione CON PROGRESSO TECNICO il sistema converge verso un k*stazionario^

39. il sentiero di crescita DI STATO STABILE � � �   (1+  ) –t k t t t k k � * � k k *^ t t k  k = (1+  ) t · � * � k k * ^ 

40. il sentiero di crescita DI STATO STABILE � y y t t * y y * ^ � y t *  L t L 0 � y * ^^  � (1  ) t � y * ^ 

41. t L n (y) 0  L n (y*) ^ L n y t   L nˆy*  ·t il sentiero di crescita DI STATO STABILE

42. t L n (y) 0  L n (y*) ^ g  CONVERGENZA verso lo stato stabile

43. t L n (y) 0  L n (y*) ^ g  CONVERGENZA verso lo stato stabile

44. R I A S S U M E N D O PREDIZIONE del modello : nei sistemi di mercato la produttività del lavoro ha una tendenza di lungo periodo a crescere ad un tasso costante principalmente determinato dal tasso del progresso tecnico