1. Bir veri setini meydana getiren elemanlar ortalama değer etrafında belirli bir dağılış gösterirler. Gözlem değerleri arasındaki farklılıktan ileri gelen bu durum istatistik olarak serinin önemli karakteristiklerinden biridir. Bilindiği gibi ortalamalar serinin merkezi noktasını belirlemeye yarayan ölçülerdir. Dağılma ölçüleri ise gözlem değerlerinin bu merkezi noktadan uzaklaşma durumunu ortaya koyan ölçülerdir. Aynı ortalamaya sahip seriler farklı dağılış gösterebilirler. Bu yüzden bir seriyi sadece ortalama değere göre tanımlamak yanlış olur. Bunun yanı sıra dağılışının da bilinmesi gerekir. Bir seride ortalamanın temsil kabiliyeti ile dağılma ölçüleri arasında ters bir ilişki vardır. Dağılışı az olan serilerin ortalamaları daha temsili oldukları halde, dağılışı fazla olanların ortalamaları seriyi daha az temsil eder. Bu sayede veri setindeki dağılışın tespiti ortalamanın temsil kabiliyeti hakkında da bilgi verecektir. II. Sapma ölçüleri

2. II.1. Mutlak Dağılma Ölçüleri Mutlak dağılma ölçüleri ilgili değişkenin kendi ölçüldüğü birim cinsinden (kg, cm, TL vs) sonuç verir. Bu sebeple mutlak dağılma ölçüleri olarak adlandırılırlar. 1.1. Değişim Aralığı Gözlem değerlerinin en büyük ve en küçük değeri arasındaki fark olup, verilerin ne kadarlık bir aralıkta değiştiğini gösterir. R = Xmax – Xmin Xi : 12,15,20,30,50,52,58,70,90 olan bir serinin değişim aralığı R=90-12 =78 olur. Yani gözlem değerleri 78 birimlik bir aralıkta değişme göstermektedir. Bu dağılım ölçüsü oldukça basit ve anlaşılır olmasına karşılık sadece iki uç değere bağlı olması sebebiyle serideki aşırı değerlerin etkisi altında kalması zayıf yönünü oluşturur. Sadece iki uç değeri dikkate alması diğer gözlem değerlerinin dağılımının hiç dikkate alınmamasına sebep olmaktadır.

3. 1.3. Ortalama (mutlak) Sapma Bilindiği gibi sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) toplamı sıfıra eşittir. Bu durumda sapmalar serisinin ortalaması da sıfır olacağından bir sapma ölçüsü elde etmek mümkün değildir. Serinin toplamını sıfır olmaktan kurtarabilmek için mutlak sapmalar dikkate alınabilir. Çünkü mutlak sapmalar serisinin toplamı sıfırdan büyük olacaktır Böylece mutlak sapmalar serisinin ortalaması alınarak yeni bir sapma ölçüsü elde edilebilir. Bu sapma ölçüsü diğer iki sapma ölçülerinin aksine serinin bütün değerlerini dikkate almaktadır. Bu sebeple daha kullanışlı ve daha temsili bir sapma ölçüsü elde edilmiş olmaktadır.

4. Ortalama (mutlak) sapma formülleri Ortalama sapmayı şöyle formüle edebiliriz. Basit Seride Tasnif Edilmiş Seride Gruplanmış Seride

5. Örnek: Bir atölyede üretim hattında günlük olarak üretilen mamul sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Günlük üretimin ortalama sapmasını bulunuz. Mamul Sayısı (X i ) Gün Sayısı (fi) fi.X i 33266-3,57 345170-2,512,5 359315-1,513,5 36301080-0,515 37207400,510 38166081,524 3951952,512,5 4031203,510,5 Toplam903286105 Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 1,167 adet/gün

6. Örnek: Bir ağrı kesicinin insanlar üzerinden ne kadar süre ile etkili olduğunu belirlemek için yapılan araştırmada, ağrı kesicinin etkinlik süresinin aşağıdaki gibi dağıldığı gözlenmiştir. Bu verilere göre etkinlik sürenin ortalama sapmasını bulunuz. Ortalama sapma serinin sapmasını iyi bir şekilde ölçmektedir. Ancak mutlak işlemler gerektirmesi bu sapma ölçüsünün aritmetik işlemlere elverişsiz olmasına sebep olmaktadır. Bu sebeple istatistik analizde kullanılması mümkün olamamaktadır. Aritmetik ortalama Ortalama sapma OS = 2,68 saat Etkin.Sür (saat) Hast.Saymifi.mi 2 - 5103,535-5,858 5 - 8306,5195-2,884 8 - 1250105000,735 12 - 2016 2566,7107,2 Toplam106986284,2

7. 1.4-Standart Sapma Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmaları (sapmalar serisi) toplamı sıfır idi. Bu durumu daha önce mutlak değer almak suretiyle önlemiş olduk. Ancak bu yol aritmetik işlemler için elverişli olmamaktadır. Mutlak işlemler yerine kare alma yolu ile sapmalar serisi toplamı sıfır olmaktan kurtarılabilir. Böylece yeni bir sapma ölçüsü elde edilmektedir. Standart sapma, sapmalar serisinin (aritmetik ortalamadan sapmalar) kareli ortalamasıdır. Yani gözlem değerlerinin aritmetik ortalamadan sapmalarının kareli ortalamasına standart sapma denir. Standart sapmanın karesine varyans adı verilir. Kütle ve örnek standart sapması için aşağıdaki formüller kullanılır.

8. Standart sapma formülleri Aşağıda farklı seri ve veri türü için standart sapmanın formülleri verilmiştir. Yukarıdaki formüllerde örnek verileri için standart sapma formüllerinde paydada (n-1) serbestlik derecesi kullanılmıştır. Örnek hacmi büyük olduğunda bu düzeltmeye ihtiyaç kalmaz. Basit seriKütleÖrnek Tasnif edilmiş seri KütleÖrnek Gruplanmış seri KütleÖrnek

9. Örnek: Bir beyaz eşya servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin dağılımı ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. Bu verilere göre servis merkezine gelen günlük servis isteklerinin aritmetik ortalamasını ve standart sapmasını bulunuz. Servis isteği 3-416 4-39 5-24 700 1039 13636 ∑X i =42∑74 Aritmetik ortalama: Standart sapma s = 3,85

10. Örnek: Doğru, yanlış şeklinde cevap şıkları olan 10 soruya öğrencilerin verdikleri doğru cevap sayılarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Bu serinin standart sapmasını ve varyansını bulunuz. Doğru Cevap. Sayısı Öğr. Sayısı (f i ) fi.Xi 224-4,6943,99 3412-3,6954,46 4520-2,6936,18 51050-1,6928,56 620120-0,699,52 7302100,312,88 8201601,3134,32 910902,3153,36 103303,3132,87 Toplam104696296,15

11. Çözüm: Yukarıdaki verileri kütle verisi olarak kabul ederek çözelim. Çözüm için önce aritmetik ortalamanın hesaplanması gerekir. Aritmetik ortalamadan farklar serisi oluşturularak standart sapma elde edilir. Yukarıdaki verileri örnek kabul edersek standart sapma şöyle olur. Örnek hacmi büyük olduğundan kütle ve örnek varyansları arasında önemli bir fark çıkmamıştır.

12. Örnek: Bir liseden mezun olan ve ÖSS sınavına giren öğrencilerin puanlarının dağılımı aşağıda verilmiştir. Buna göre öğrenci puanlarının standart sapmasını bulunuz. ÖSS PuanlarıÖğr.Sayısımifi.mi 90-110101001000-37,914364,1 110-130301203600-17,99612,3 130-1505014070002,1220,5 150-17025160400022,112210,25 170-210519095052,113572,05 Toplam1201655049979,2

13. Standart sapmanın kısa yoldan hesaplanması ifadesi açılarak yazılırsa; şeklinde yazılabilir. Bu ifade ayırarak yazılırsa olduğuna göre; olur. Buna göre; Standart sapma kısa yoldan şeklinde yazılır. Şu halde varyans kareli ortalamanın karesinden aritmetik ortalamanın karesinin farkına eşit olup, bunun kare kökü standart sapmaya eşit olur.

14. Örnek: Yukarıdaki ÖSS örneği için standart sapmayı kısa yoldan hesaplayınız. Aritmetik ortalama Kareli ortalama Standart sapma ÖSS Puanları Öğr.Sa yısı mifi.mifi.mi 2 90-110101001000100000 110-130301203600432000 130-150501407000980000 150-170301604800768000 170-190201803600648000 190-210102002000400000 Toplam 150220003328000

15. Standart sapmanın kısa yoldan hesabı Kütle verisi için standart sapma (kısa yol formülünün farklı yazılışı) Basit seride Tasnif edilmiş seride Gruplanmış seride Örnek verisi için standart sapma hesaplamak için payda N-1 serbestlik derecesi ile bölünür.

16. Örnek: Bir çekme halatının kopma kuvveti için yapılan deneyde aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Kopma kuvvetinin standart sapmasını yukarıdaki formülden hesaplayınız. Kopma kuvveti Halat sayısı mimi fimifimi mi2mi2 fimi2fimi2 5 – 7361836108 7 – 9785664448 9 – 1110 100 1000 11 - 1351260144720 Toplam252342276

17. Standart Sapmanın Özellikleri: Matematik işlemler için uygun bir dağılma ölçüsüdür. Bu sebeple en yaygın kullanılan ölçüdür. Standart sapmada aritmetik ortalama gibi istatistik analiz için temel ölçülerden birisidir. Genel olarak standart sapma ortalama sapmadan daha büyüktür. (OS <  ) N 1 ve N 2 gözlemden oluşan iki serinin ortalamaları aynı ve sırayla varyansları  1 2 ve  2 2 olsun. Bu iki serinin birleştirilmiş ortak varyansı. şeklinde olur.