1. DIDAKTIKA MATEMATIKE 2005/2006 RP 3
DIDAKTIKA MATEMATIKE / RP 3. letnik: zimski: PR 15, SV 30 letni: PR 15, EV letnik zimski: PR 15, EV 30 letni: PR 15,SV 15 Dr. Alenka Lipovec, docentka za didaktiko matematike 02/ , Govorilne ure: Torek Četrtek 13-14

2. Obvezna literatura
Labinowicz,E.(1989) Izvirni Piaget:mišljenje-učenje-poučevanje, DZS:Ljubljana.
Žakelj, A. (2003) Kako poučevati matematiko : teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava.Ljubljana : Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
Cotič, M. , Primc, H. (1999) Matematični problemi v osnovni šoli 1-5; teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana : Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
Cotič, M. (1999) Obdelava podatkov pri pouku matematike 1-5 :teoretična zasnova modela in njegova didaktična izpeljava. Ljubljana : Zavod Republike Slovenije za šolstvo.
Učni načrt, učbeniški kompleti.
(dodatno) Skemp, R.R. (1991) Mathematics in the Primary School. London:Rutledge.

3. Obveznosti: 80% udeležba na vajah
udeležba in aktivno sodelovanje na predavanjih
izdelava štirih projektov (Didaktična ponazorila, Diferenciacija, Otrok in kombinatorika, Preverjanje znanja) ocene
seminarska naloga ocena
mini nastop ocena
prisotnost na 4 hospitacijah učiteljic + 2 pisni analizi
nastop v paru + analiza ocena
samostojni nastop + analiza ocena
6 hospitacij nastopov kolegic + prisotnost na analizah
opravljena praksa, ocena

4. Pričakovanja??

5. POVZETEK TEORIJE UČENJA RAZVOJ MATEMATIČNIH POJMOV MATEMATIČNI PROCESI
Matematični problemi, problemska znanja, problemski pouk, problemski pristop
Planiranje
Matematične sposobnosti-diferenciacija
Taksonomija in preverjanje

6. Cilji poučevanja matematike
“Kadar ne vemo, kam gremo, pogosto končamo na povsem napačnem mestu-in se tega niti ne zavedamo”
(Jerome Bruner)
Površinski razlogi
Globlji razlogi
Gatekeeper?
CILJI

7. Kaj je učenje? proces spreminjanja miselnih struktur
Instrumentalno in relacijsko učenje (pot od hotela do pošte… raziskovanje mesta)
- pogoj za uspešno (na) učenje matematičnega znanja je tudi učenčeva miselna zrelost (ustrezna stopnja miselnega razvoja)

8. TEORIJE UČENJA
VEDENJSKA (BEHAVIORIZEM)
KOGNITIVNA
KONSTRUKTIVIZEM

9. Behaviorizem majhni koščki, od lažjega k težjemu
takojšnja povratna informacija
Rutinska proceduralna znanja, priklic postopkov in dejstev

10. Kognitivna pomen predznanja Kognitivna mreža pojmov
Diskusija, ki pojme usklajuje
Temeljna konceptualna znanja

11. refleksija
Predhodno znanje
novo
znanje
izkušnja
napoved
AKTIVNOST

12. Kognitivni zemljevidi

13. SAIL: Structured Activities for Intelligent Learning
Simboli koncepti
1,2,3… naravna števila
Relacije med simboli relacije med koncepti
(je levo od) (je večje od)
5 5
SAIL: Structured Activities for Intelligent Learning

14. Konstruktivizem KOGNICIJA (Piaget)
Učencem omogočimo samostojno iznajdenje postopkov, ki jih navežemo na dogovorjene postopke.
KOMUNIKACIJA (Vigotsky)
Pri pouku učenci izražajo svoja razumevanja znanja in jih soočajo z razumevanji drugih učencev
KOMUGNICIJA (Ana Sfard)
Učitelj mora vedeti ne samo kaj se učenec uči, ampak KAKO se učenec uči
Poudarjanje predhodnega znanja.
Ozaveščanje o lastnih predsodkih, stališčih, čustvih
Upoštevanje stopnje kognitivnega razvoja
Učenci organizirajo informacije, ki se jih učijo;učitelji pomagajo
Učenec mora biti miselno aktiven

15. Kaj je izvor matematičnega spoznanja?
Platon:matematično znanje je prirojeno.
Montessori: do matematičnega znanja vodi čutno spoznavanje
Skinner: matematično znanje lahko dosežemo z vajo

16. Jean Piaget (1896-1980) Znanja o svetu ODKRIVAMO ob
aktivnostih z objekti.
Socialnih znanj se UČIMO ob
interakciji z ljudmi
Logično matematična znanja IZNAJDEMO ob aktivnostih z objekti

17. MERJENJE GEOMETRIJA ALGEBRA ARITMETIKA OBJEKTI
Didaktična ponazorila (pripomočki, mediatorji,…)
MERJENJE
Link kocke (unifix cubes)
krožci
modeli likov
modeli teles
GEOMETRIJA
geoplošča
tangram
ALGEBRA
Cuisenairove paličice (rods)
Kocke za vzorčke (pattern blocks)
ARITMETIKA

18. Razvojna obdobja po Piagetu

19. Razvojne stopnje se nanašajo na kvalitativno različne prevladujoče načine mišljenja SPORNOST: metodologija,
Senzo-motorično obdobje
z besedami logične misli ne zna izraziti; otrokova inteligenca se izraža predvsem preko senzo-motoričnega aparatar
Predoperacijsko obdobje
Otrok uporablja miselne reprezentacije objektov, vendar operacije lahko izvaja le nad fizičnimi objekti
MATEMATIKA: POJMI, DEJAVNOSTI S PREDMETI
Konkretno-operacijsko obdobje
Otrok lahko izvaja miselne operacije nad reprezentacijami konkretnih objektov.
MATEMATIKA: ŠTEVILO, OPERACIJE S ŠTEVILI, PLOŠČINA, KONKRETNI ULOMKI, KONKRETNE KOLIČINE
Formalno-operacijsko obdobje
Otrok lahko izvaja miselne operacije le nad abstraktnimi pojmi.
MATEMATIKA: SPREMENLJIVE KOLIČINE, ULOMKI, ALGEBRA

20. Klasifikacija razvrščanje oz
Klasifikacija razvrščanje oz. združevanje predmetov na osnovi podobnosti
Razvrščamo lahko glede na različno mnogo lastnosti.
razred: ena lastnost (prim. diagrame)
a) Ploščice razvrsti po barvi.
Ploščice razvrsti po obliki.
Sam poišči tretjo možnost za razvrščanje (velikost)
b) Izloči vse rdeče kape
1. Razvrščamo (klasifikacija):
Predmete
Telesa
Like
Števila
Oblikujemo množico
Razvrstitev prikažemo z različnimi diagrami
2. Že klasificirane (lahko tudi grafično ponazorjene) množice
Odkrijemo in ubesedimo lastnost

21. Predoperacionalna stopnja:
Težave pri dojemanju povezav med skupinami na različnih nivojih v klasifikacijskem sistemu
Primer: Telesa: kocka, kvader?
Iz česa so gumbki? Plastični
Kakšnih barv so?
Zeleni in rumeni
Če dam zelene v škatlo, ali jih bo še kaj ostalo?
Da. Dva rumena
Ali je več zelenih ali plastičnih?
Zelenih
Razredna inkluzija:
Ne zna naenkrat primerjati podrazreda z razredom. Osredotoči se lahko le na posamezne skupine.

22. Konkretne operacije: rože marjetice druge rumene bele
V prisotnosti predmetov gradijo hierarhijo in razumejo razredno inkluzijo.
“Iz česa lahko naredimo večji šopek, iz vseh marjetic ali iz rumenih marjetic;
iz vseh rož ali iz vseh marjetic?”
“Ali lahko daš marjetice v škatlo z napisom ROŽE?”
“Če vzameš iz škatle z napisom ROŽE vse marjetice, ali bo potem notri še kaj rož?”
Poseben primer
posplošitev
rože
marjetice
druge
rumene
bele
Težave pri odgovarjanju na
podobna vprašanja, če konkretni
predmeti niso prisotni.
(do let)

23. Stopnja formalnih operacij
Lahko klasificira v odsotnosti predmetov tj. klasificira hipotetične predmete npr. premice.
Lahko izvede klasifikacijo klasifikacijskih sistemov.
Primer: Klasifikacijski sistem, ki vsebuje kot kategorijo klasfikacijske sisteme A, B, C,…
Klasifikacija A: Uporabiti kalkulator, pisni ali ustni algoritem
Klasifikacija B: Uporabiti izpis podatkov, podčrtovanje podatkov, grafični prikaz podatkov
Klasifikacija C: Uporabiti posebni primer, protiprimer, posplošitev ali analogijo.

24. Seriacija urejanje oz odnosi vrstnega reda,tranzitivnost
A<B in B<C potem A<B<C
Predoperacionalna faza
Primerja le pare
Faza konkretnih operacij
7-8 let: sposobni usklajevati pare primerjanih paličic.
8-9 let: sposobni razvrščanja v dveh dimenzijah (velikost in barvna intenziteta)
9-10: težave pri verbalno podanih nalogah:
Če ima Eva temnejše lase kot Lili in ima Eva svetlejše lase kot Suzi, katera ima najtemnejše lase?
Čeprav bi nalogo bil sposoben rešiti s pomočjo pomagal, se ob verbalnem zapisu povrne na predoperacionalno stopnjo. Njegove primerjave proizvajajo le nize neusklajenih parov.

25. Stopnja formalnih operacij
“Če..potem” sklepa tudi ob odsotnosti objektov.
Sposobnost:
propozicionalne logike
hipotetično-deduktivno mišljenje
Učence v tem obdobju očara logika tipa R. Smullyan (matematik, pianist, čarovnik, izdelovalec teleskopov)

26. 2.RAZVOJ MATEMATIČNIH POJMOV
Značaj pojmov
Empirični (izkustveni) pojmi
Nastajajo ob opazovanju objektov skozi proces empirične abstrakcije in posploševanja čutno zaznavnih skupnih značilnosti
npr. barva
Teoretični (relacijski) pojmi
Nastajajo skozi opazovanje strukture različnih pojavov in dejavnosti skozi proces relacijske abstrakcije in posploševanja bistvenega odnosa
npr. krožnica
Če reprezentacija pojma v učečem vključuje dejavnost imenujemo proces inkapsulacija.

27. Strukture matematičnih pojmov
Pojem, podan s primeri
Pojem, podan s prototipi
Pojem, podan z definicijo
Pojem kot inkapsulacija
Množica točk v ravnini, ki so enako oddaljene od fiksne točke
Vrtnar si bo začrtal okroglo gredo

28. Brunerjeva klasifikacija reprezentacij
Enaktivna reprezentacija
Je reprezentacija preteklega dogodka z namišljenimi ali dejanskimi motoričnimi odzivi.
2. Ikonična reprezentacija
Omogoča povzemanje dogodkov s selektivno organizacijo in naknadno transformacijo dražljajev/podob.
3. Simbolična reprezentacija
Se nanaša na reprezentacijo (izpeljanih pojmov) v (umetnem) simbolnem svetu.
Matematiko lahko intelektualno pošteno učimo z vsako izmed treh reprezentacij
Pogosto ni vprašljiva učenčeva zrelost ali predznanje ampak reprezentacija, ki ne sme biti ne prelahka in ne pretežka
Resnično razumevanje dosežemo, ko lahko fluentno prehajamo med vsemi tipi reprezentacij

29. Didaktične aplikacije 1. Operativno usmerjen pouk matematike
Otrokove dejavnosti:
odkriva oz predpostavlja medsebojne odnose
Preizkuša svoje hipoteze
Opisuje svojo dejavnost
Nove vsebine se
vgrajujejo v že obstoječe kognitivne mreže (izpopolnjevanje ali prestrukturiranje le-teh)
oblikujejo nove kognitivne mreže
Posebno pomembno vlogo igra motivacija.
Teoretično oblikovanje matematičnega pojma
Hevristično (samostojno) raziskovanje
Kompleksno mišljenje (nazorno+abstraktno)
Procesi abstrakcije in posploševanja vodijo k asimilaciji tj. “ponotranjenju” zunanjih, na konkretne predmete vezanih dejavnosti

30. 2.Procesno didaktični pristop
Amalija Žakelj: Kako poučevati matematiko
Matematike se učimo v nastajanju
Aktivno učenje (prepletanje modelov: delcelota in celotadel po Fink)
Izkustveno učenje
a) opazovanje (reflektiranje)
b) aktivnosti preko dejavnosti (npr. predstavitev pojmov z diagrami, predstavitev rešitev,…)
Kognitivni konflikt (pravokotnik-paralelogram)

31. Učenje je osredotočeno na:
memoriranje postopkov,
Učenje matematičnih dejstev,
Pri reševanju problemov se osredotočimo na KAKO rešiti določen tip problema
Učenci sledijo učitelju.
Poudarek na usvajanju resnic in končnih dejstev.
Učenje je abstraktno, prehod od konkretnega k abstraktnim situacijam razmeroma hiter, manjše povezave z realističnimi situacijami

32. Učenec nove pojme usvaja skozi različne procese, kot sta izkustveno učenje in dialog, s poudarkom na interakciji med konkretno in miselno aktivnostjo.
Učenje prek kognitivnega konflikta in socialno-kognitivnega konflikta pri učencih spodbuja notranjo motivacijo.
Učitelj se zaveda, da morajo biti pojmovne sheme učenca, njegov kognitivni razvoj in čas vpeljave konceptov usklajeni.

33. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop ČAS
Potrebujemo mnogo časa
Časovno racionalno

34. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop sodelovanje/individualno delo
Poudarjeno sodelovanje
Pretežno individualno delo, osredotočeno na lastno razmišljanje

35. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop MOTIVACIJA
Ponotranjenja ni, če učenci ne začutijo pomena in smiselnosti vsebin
Temelji na notranji
Zadovolji se tudi s samo zunanjo

36. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop NALOGE/PROBLEMI
V ospredju kompleksni, odprti problemi
Pomembne so strategije reševanja, ne le rezultati.
Preprostejše računske naloge, uporaba pravil in zakonov, zaprti problemi.
Poti reševanja so manj pomembne, važen je predvsem rezultat.

37. 8.11.2005 Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop VLOGA UČITELJA
Zaveda se, da je raziskovanje osebna aktivnost posameznika.
Upošteva čas vpeljave konceptov s kognitivnim razvojem učencev.
Učitelj pokaže, učenci vadijo. Pouk je podoben treningu.
Cilj navadno določi učitelj
Pogosta metoda je predavanje.

38. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop MATEMATIČNI PROBLEM-NAMEN REŠEVANJA
Poudarek na procesih in strategijah.
Pristop k reševanju je enako pomemben kot rezultati.
Cilj je rešiti problem.

39. Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop NAČIN REŠEVANJA MAT
Procesno-didaktični pristop transmisijski pristop NAČIN REŠEVANJA MAT. PROBLEMA
Učenci samostojno ali ob delni pomoči oblikujejo raziskovalno vprašanje
Individualno, v parih ali skupinah iščejo strategijo za reševanje problema
Predstavijo rezultate/utemeljujejo
Učitelj poda navodila, (včasih) tudi korake reševanja, (včasih) demonstrira reševanje.
Učencem daje natančne povratne informacije
Ideje in poti reševanja so enolično določene, zato zadostuje predstavitev rezultata.

40. KOMUNIKACIJSKI
Razlaganje,
Spraševanje,
Strinjanje
MISELNI
Analiza,
Analogija
Diskusija Indukcija
MATEMATIČNI PROCESI
OPERACIJSKI Zbiranje
Urejanje Razvrščanje
DOKUMENTACIJSKI
Pisanje
Risanje
Tabeliranje

41. Načini matematičnega mišljenja = miselni procesi 1
Načini matematičnega mišljenja = miselni procesi 1. Analiza in sinteza 2. Indukcija in dedukcija 3. Analogija

42. Analiza in sinteza
Analitičen miselni razplet izhaja iz končnega vprašanja. Je pot od neznanega k znanemu; od tistega, kar moramo določiti, k danim podatkom.
Sintetična pot vodi od znanega k neznanemu, od enostavnega k sestavljenemu, od danih podatkov k podatkom, ki jih iščemo.
Sosedovi so potovali 4 dni v 965km oddaljen kraj. Prvi dan so prevozili 218km,drugi dan 12km manj kot prvi dan, tretji dan pa so prevozili 32km več kot drugi dan.

43. 2. Indukcija in dedukcija Pri indukciji splošen zaključek izpeljemo iz posameznih primerov, pri dedukciji izhaja sklepanje iz splošne ugotovitve in se prenese na posamične primere. Kot dokaz zaključka je matematično veljavna matematična ali popolna indukcija. V osnovni šoli se zadovoljimo z nedokazanimi posplošitvami oz. nepopolno indukcijo. VZORCI oz.ALGEBRA 1
1+3
1+3+5
Primer: Vsota lihih števil na geoplošči
• • • • • • • • • • • • • • • • • • •

44. 3.Analogija
Eden izmed vidikov ustvarjalnosti, do zaključka pridemo spričo podobnosti z že znanimi primeri. Analogija je močno ustvarjalno sredstvo, a hkrati se v njej skriva mnogo pasti. Analogen zaključek je namreč vedno potrebno PREVERITI.
Primer: Če je prva daljica enako dolga kot druga in druga enako dolga kot tretja…
Če je prvo število manjše kot drugo število in drugo število manjše kot tretje število, potem…
Če je prva premica pravokotna na drugo premico in druga premica pravokotna na tretjo premico,potem….

45. Problemski pouk 1. Problem 2. Problemska znanja 3. Problemski pouk

46. Problemska znanja (znanje, ki je uporabno v drugačni situaciji od učeče) Primer: opis poteka dela problemski pouk (pouk z reševanjem problemov) Primer: Problem of the day problemski pristop (mnogo več kot reševanje problemov) Primer:Preiskave

47. Problem določajo 3 komponente (po Jaušovec, Moates, Schumacher)
v    nezaželeno začetno stanje,
v    zaželeno končno stanje,
v    ovira.
(po Frobischer)
v    začetno stanje,
v    cilj,
v    pot.
Primer: 3.b gre na končni izlet

48. Če je pot znana oz. reševalec pozna strategijo reševanja 
problem-vaja (rutinski problem)
Rutinske naloge so potrebne pri poučevanju matematike, vendar pa je neopravičljivo,
če učencev ne navajamo tudi na reševanje »resničnih« problemov.
Primer: Bencinska črpalka, natočiti želim poln rezervoar, ali imam dovolj 6530 SIT?
Avtentičnost???

49. Matematični problemi Frobisher (1996), Cotič(1999)
-   problemi z zaprto potjo in zaprtim ciljem,
Na geoplošči 3x3 obliku kvadrat, ki ima stranico dolgo 1 enoto in eno oglišče v spodnjem desnem kotu.
-  problemi z odprto potjo in zaprtim ciljem,
Koliko različnih (paroma neskladnih) trikotnikov lahko oblikuješ na geoplošči 3x3?
-   problemi z odprto potjo in odprtim ciljem, (problem-preiskava)
Raziskuj trikotnike na geoplošči 3x3.
Dodatno smo pozorni na:
problemi, ki nimajo zadostnega števila podatkov za rešitev,
problemi, ki imajo več podatkov kot je potrebnih za rešitev,
problemi v katerih so podatki nasprotujoči oz. nimajo rešitve.

50. Kategorije matematičnih problemov
Besedno postavljen problem, ki mu je treba konstruirati (ne rutinski del problema) matematični model z uporabo že izdelanega matematičnega znanja. Sledi rutinska metoda (računanje, reševanje enačb ipd.) Rezultat interpretiramo v kontekstu originalnega problema.
Besedilne naloge ali tudi uporabna matematika
2. Matematična naloga, ki je sama po sebi ne-rutinske vrste, a jo lahko rešimo z uporabo že izdelanega matematičnega znanja.
Čista matematika ali tudi matematične puzle
3. Naloga čiste ali uporabne matematike za katero matematično znanje še ni razvito
(ZPD..Zone of Proximal development (Frontier Zone)
Učenca, ki se enako odrežeta na ekstercih, a kasneje različno napredujeta.

51. Strategije reševanja matematičnih problemov
Pogoji za uspešno učenje
Zastavitev primernih problemov (otroku so blizu,primerni njegovi razvojni stopnji, izhajajo iz resničnega sveta)
Motivacija
Problem najprej rešuje učitelj skupaj z učenci.
Vsako učno metodo lahko problematiziramo!
Metoda razlage: izstopi naj problemsko ogrodje,namen in oblika dokazovanja naj postaneta postopek reševanja
Metoda razgovora: problemska vprašanja
Metoda raziskovanja: sama po sebi problemsko naravnana
Bolj kot sami rezultati naloge je z didaktičnega vidika za učence pomemben proces, skozi katerega gredo v fazi reševanja.

52. Problemska znanja - priprava, spoznavanje in razumevanje problema
Hevristike in strategije
priprava, spoznavanje in razumevanje problema
inkubacija, podzavestno razmišljanje
zastavljanje zamisli načrta za rešitev
navdih, iluminacija ali realizacija načrta
vrednotenje oz. analiza reševanja
Poenostavljeno:
preberi nalogo,
razmisli o danih podatkih in iskanih rezultatih,
napravi načrt reševanja,
izvedi načrt,
preveri svojo rešitev.
Baza znanja
5. Stališča,predsodki in čustva
Miselne veščine in procesna znanja
Organizacijski in dokumentacijski procesi
(beleženje, razporejanje, razvrščanje…)
Komunikacijski procesi
(usklajevanje,poslušanje, branje,..)
Višji miselni procesi
(indukcija, dedukcija, vizualizacija, kritično razmišljanje,…)
Metakognitivna znanja
sposobnost predvidevanja, načrtovanja reševanja, nadzorovanja, ocenjevanje poteka reševanja, kognitivni nadzor,..
Kaj počneš sedaj? Zakaj to počenš? Kako ti bo to pomagalo?

53. Pred učencem je več belih kot črnih krožcev.
Problemska znanja kot vidik ustvarjalnosti oz. divergentnega razmišljanja
1.     Fluentnost (sposobnost, da samostojno poišče več možnosti pravilnih rešitev)
Na mizi imaš več krožcev. Z njimi lahko na različne načine oblikuješ manjše skupine. Na primer tako:
  
Pokaže učitelj.
Nadaljuj sam še drugače.
2.     Fleksibilnost (nekonvencionalen, nekonformističen in bolj elastičen pristop k reševanju problemov)
  Pred učencem je več belih kot črnih krožcev.


Kaj moraš storiti, da bo razlika med številom belih in črnih krožcev še večja kot sedaj?
Kreativno ravnanje
Sposobnost razvijanja hevrističnih strategij

54. Problemska znanja in ure aktivnosti
Načrtovanje in opis poteka dela
izbira primernega orodja/tehnologije
sistematično beleženje
predvidevanje in preverjanje
posebni primeri in posplošitev
razbitje problema na podprobleme
strategija poskušanja, sistematičnega poskušanja in »premišljenega« poskušanja
pisna predstavitev matematične obravnave
strategija izboljševanja rešitve oz. postopka
hipotetiziranje, protiprimeri
Načina učenja problemskih znanj:
Vzporedno z obravnavo drugih vsebin
(učitelj naj bo pri obravnavi tekoče snovi pozoren na problemska znanja)
Učenje ob urah aktivnosti
(7 ur/letno)

55. Matematična kreativnost
Ustvarjalnost kot sposobnost ustvarjanja nepričakovanih originalnih del, ki so uporabna in prilagodljiva (Sternberg in Lubart, 2000).
Uporabnost dokaza zadnjega Fermatovega izreka?
Matematika: logična, abstraktna, natančna, neustvarjalna?
Matematična ustvarjalnost je gonilna sila matematike kot znanosti.

56. Matematična kreativnost
Matematično ustvarjalnost kot izbira (Poincare,1948).
Do katere mere je matematika na elementarni stopnji še lahko ustvarjalna ter pri tem ostane matematika? (Sfard, 2000).
Didaktični petkotnik-kompromis metakomponent.

57. Povprečno število prostih asociacij

58. Delež otrok, ki so podali nekonvencionalne asociacije

59. Odnos do matematike

60. Popotnica učitelju
Kognitivna fleksibilnost naj postane eden izmed pomembnejših ciljev,
če fleksibilnost ni v ospredju, se osredotočite na metakognicijo,
priskrbite si bogate in zanimive naloge,
natančno opazujete stopnjo frustracij pri učencih zato, da ohranite motivacijo.
J.H. Doolittle

61. Matematika
ustvarjanje
vesolje
fizika
Logika
prof. dr. Sandi Klavžar

62. ki poskuša rešiti težek problem in piscem
Med učencem,
ki poskuša rešiti težek problem
in piscem
izvirnega matematičnega članka
je razlika le
v formalni izobrazbi
Polya, 1954

63. Problemski pouk pri usvajanju novih vsebin
Odkrivajoče vodenje
postopno odkrivanje odnosov, pravil, zakonitosti pod učiteljevim direktnim vodstvom
Usvajanje novih znanj pod učiteljevim indirektnim vodstvom
Samostojno odkrivanje
ob samostojnem reševanju problemov učenec sam odkriva novo znanje in poti do njega (če že ima izkušnje in določena predznanja)

64. Problemski pristop Problem učitelja
“Kmačka pamet” ni dovolj potrebujemo teorijo
(železo potoneArhimedladje iz ojačanega betona?)
Relacijsko razumevanje in instrumentalno razumevanje
Kako pridem od PeF do železniške postaje?
3. Obvoz
pes, kokoš
hrana

65. Oblikovanje matematičnih konceptov in konstrukcija matematičnega znanja
Ponazorila koncepta s čim manj nepotrebnimi informacijami
Večje število primerov koncepta, ki so časovno blizu
Vpeljava le enega koncepta naenkrat
Povezava novega konepta s shemo (Kako priti od toledota do žel- postaje?)
Simboli so izomorfno povezani s koncepti

66. Matematika kot reševanje problemov Matematika kot komunikacija
NCTM Standardi in principi (National Council of Teachers of Mathematics)
Enakost
Kurikulum
Poučevanje
Učenje
Zadolžitve
Tehnologija
Matematika kot reševanje problemov
Matematika kot komunikacija
Matematika kot sklepanje
Matematika kot kognitivna mreža
Vsebinski standardi

67. Preiskava Opis Razlaga Izziv 2. Postavitev vprašanja 6. Predstavitev
formuliranje pravil
Predstavitev pravil
Razlaga
podkrepitev ugotovitve z dodatnimi primeri
Utemeljitev ugotovitve
6. Predstavitev
izdelava poročila
Ustno poročanje o delu, izdelava plakata ipd.
Izziv
(Kmetič, S in Frobisher L. Izzivi za mlade matematike)
2. Postavitev vprašanja
razumevanje problema
Začetni premislek
Preučitev posebnega primera ali protiprimera
postavitev izhodišč in ciljev
Izvedba
izdelava načrta dela
sistematično zbiranje informacija, primerov,..
Predstavitev, urejanje in analiziranje podatkov
Ugotavljanje pravilnosti (vzorcev, zakonitosti)

68. Planiranje Letni načrt primerjaj z učnim načrtom
Cilje načrtuj glede na učni načrt in glede na taksonomske stopnje (PROCESNI CILJI)
PRIPRAVA učne ure
Zastavitev ciljev
Vsebinska priprava (opredelitev etap in vsebine posameznih etap; izgradnja mat. pojma; diferenciacija)
Didaktična priprava (metode, oblike,..) Tehnični okvir (učni pripomočki, viri)
IZVEDBA učne ure (etape učne ure)
Slediti zastavljenim ciljem
Konstruktivna dimenzija učitelja (izvedbo prilagoditi dani situaciji)
ANALIZA učne ure
Povratna informacija učitelju.

69. Pomembni vidiki načrtovanja pouka
Motivacija-kognitivni konflikt:
Spremeni napačne ali nepopolne konceptne predstave (tesalacija; pravokotnik-paralelogram)
Uvidi smiselnost učenja novih vsebin
Naveže nove vsebine na obstoječo mrežo znanja
Povezuje znanje (znotraj predmeta in medpredmetno)
2. Aktivno učenje
Sklepanje preverjanje
Izkušnja eksperiment
Komunikacija diskusija
Ustvarjalnost notranja konzistentnost
3. Pomen procesnih znanj (del problemskih znanj; strategije za reševanje)
4. Sodelovanje

70. Načrtovanje učnega sklopa
Cilji (načrt+taksonomske stopnje:Gagne, Marzan)
vsebinski cilji
procesni cilji
2. Vsebinski in časovni okvir
3. Opredelitev ključnega vprašanja (zakaj je novo znanje pomembno, kje je uporabno, kako se navezuje na predznanje, kako se povezuje z drugimi matematičnimi in nematematičnimi znanji)
4. Standardi znanja: minimalni, temeljni, (zahtevnejši)
5. Medpredmetno povezovanje
6. Izvedbeni pogoji ( pripomočki ipd.)
7. Domače naloge
8. Refleksija

71. Dejavnosti/aktivnosti učencev in učiteljev za uresničitev zastavljenih ciljev učnega sklopa
Navezovanje na predznanje
načrtovanje ciljev preverjanja
Aktivnosti
2.1. Izkušenjsko učenje:
uporaba modelov (poiskati matematično reprezentacijo za nematematični objekt ali proces),
izdelovanje modelov
Iskanje analogij
Iskanje primerov in protiprimerov
Samostojno reševanje odprtih problemov
Eksperimentiranje
Izvajanje meritev v učilnici ali naravi
Zbiranje podatkov
Ob uporabi geometrijskih modelov reflektiranje geometrijskih znanj
Predstavitev pojmov z ikoničnimi reprezentacijami
Ocenjevanje, približno računanje
Samostojno iskanje virov
Iskanje podobnosti, razlik ter povezav med pojmi in dejstvi,..

72. 2.2. Dialog:
predstavitev izdelkov,
Postavljanje vprašanj,
Utemeljevanje
Diskusija
Izmenjava mnenj
Postavljanje ugotovitev
3. Preverjanje znanja med obravnavo tematskega sklopa
raven znanja: taksonomske lestvice
Vrsta znanja: področja spremljanja
(pojmi in postopki, sporočanje (uporaba matematičnega jezika), problemsko znanje (sposobnosti obravnave in reševanja problemov)

73. Načrtovanje učnega procesa
OBLIKE načrtovanja
globalno po posameznih predmetih
VSEBINSKO načrtovanje
profil šole
ČASOVNO načrtovanje
letno (140,140,175,175,140 ur/leto)
tedensko (35 tednov, efektivno 30 tednov)
dnevno (1 ura 4x na teden)

74. STRUKTURA UČNEGA PROCESA
Etape v učni uri (po Ana Tomič):
Uvajanje
Usvajanje novih vsebin
Urjenje
Ponavljanje
Preverjanje

75. POTEK DELA UVAJANJE UČITELJ: odpira problem
Aktualizira izkušnje učencev
Išče logične zveze s prejšnjo vsebino
Predstavlja cilje učne ure
Opravlja organizacijsko-tehnične priprave
Daje navodila
UČENCI:
Sprejemajo problemsko znanje, ga dopolnjujejo
Usklajujejo, diskutirajo
Aktivirajo predznanje
Osmišljajo naloge, jih dopolnjujejo
Se tehnično pripravljajo
Iščejo dopolnitve pravil

76. 2.USVAJANJE NOVIH VSEBIN
UČITELJ
Vodi razgovor (razlaga)
Usmerja učence k različnim virom
Z vprašanji spodbuja opazovanje
Predstavlja metodologijo spoznavanja
Sproža polemiko o nerazčiščenih problemih
Postavlja probleme in hipoteze
Usmerja ekperimentiranje učencev

77. UČENCI
Sprašujejo
Opazujejo
Sprejemajo informacije
Zbirajo dejstva
Postavljajo hišpoteze in jih preizkušajo
Rešujejo probleme
Navajajo primere za pojme
Analizirajo, sintetizirajo, posplošujejo, vrednotijo, delajo povzetke

78. 3.URJENJE UČITELJ Izvaja etape operacije ali operacijo v celoti
Nadzoruje proces urjenja
Daje povratne informacije
Preverja rezultate
Predlaga korektivno urjenje
Spodbuja učence

79. UČENCI:
Spoznavajo kritična mesta
Izvajajo operacije
Primerjajo novo operacijo s starimi
Menjajo Opazujejo in analizirajo operacijo
tehniko učenja in učne pripomočke
Urejajo gradivo po novih kriterijih
Oblikujejo problemem
Izražajo ideje
Preverjajo
Spreminjajo vidike opazovanja
Ocenjujejo rezultate
Iščejo dopolnilne informacije

80. 4. PONAVLJANJE
UČITELJ
Postavlja vprašanja in naloge za reproduktivno in produktivno ponavljanje
Spodbuja učence, da si sami izbirajo nove naloge
Oblikuje probleme
Vodi razgovor med analizo, sintetiziranjem in vrednotenjem

81. UČENCI:
Primerjajo vsebino in ugotavljajo podobnosti in razlike
Sistemizirajo vsebino po drugem kriteriju
Odkrivajo nove primere
Analizirajo podatke, odkrivajo nove zveze in odnose
Uporabljajo zakonitosti v novih situacijah
Konkretizirajo s svojimi primeri
Na novo definirajo pojme
Ocenjujejo odgovore in postopke
Kritizirajo dokaze
Povezujejo vsebine v okviru istega predmeta in z drugimi predmeti

82. 5. PREVERJANJE
UČITELJ
Izbira tehniko in način preverjanja znanja, spretnosti in navad
Preverja razumevanje pojmov, zakonitosti, tabelarnih pregledov
Spodbuja samokontrolo
Razpravlja z učenci o rezultatih
Navaja na samoocenjevanje in ocenjevanje dela drugih

83. UČENCI:
Rešujejo naloge, postavljajo vprašanja
Sodelujejo pri popravljanju in inbterretaciji izdelkov
Spremljajo lastni uspeh in napredovanja odpravljajo napake
Analizirajo svoje izdelke in jih primerjajo z objektivnimi kriteriji
Ocenjujejo dosežene rezultate
Načrtujejo nadaljnje delo

84. PRIPRAVA NA VZGOJNO IZOBRAŽEVALNO DELO
Kandidat:
Razred:
Učna tema:
Učna sklop:
Učna enota:
Učni cilji:
Globalni:
Etapni:
Vzgojni:
Psiho-motorični:
Učne oblike:
Učne metode:
 Učila in učni pripomočki:
Didaktična struktura ure:
Etape:
 Viri:

85. Komponenete učne ure PRIPRAVA učne ure Zastavitev ciljev
Vsebinska priprava (opredelitev etap in vsebine posameznih etap)
Oblika izvedbe (oblike, metode)
Tehnični okvir (učni pripomočki, viri)
IZVEDBA učne ure (etape učne ure)
Slediti zastavljenim ciljem
Konstruktivna dimenzija učitelja (izvedbo prilagoditi dani situaciji)
ANALIZA učne ure
Pomemben sestavni del

86. Analiza vzgojno izobraževalnega dela
V čem smo uspeli in v čem ne?
Kaj so bili vzroki za to?
Kako v bodoče bolje?
ELEMENTI ZA ANALIZO
VRSTA UČNE URE(uvodna, ura usvajanja novih vsebin, ura utrjevanja, ura preverjanja)
ARTIKULACIJA UČNE URE (postavitev načrta, sledenje/odstopanje od načrta)
Ali so spremembe upravičene?
METODE(načrtovanje, prepletanje, izbran pravi tretnutek, individualni pristop)
Čemu je podrejena izbira?
URESNIČITEV CILJEV(načrtovanje,min-max, posamezniki-vsi, nad/pod sposobnostmi)
AKTIVNOST UČENCEV (kaj/koliko delajo, gibalno/intelektualno/ustvarjalno)
DELOVNA ATMOSFERA(vzdušje, tišna, dvigovanje rok, intervencije učitelja, problemi z disciplino)
ZAPISI (kaj,kako, kam, kdo, vizualna slika)
Zapis kot vir učenja?
OSEBNOST UČITELJA(komunikativnost, potrpežljivost, strokovnost, avtoriteta, govor)

87. Didaktična načela Načelo nazornosti in abstraktnosti
Načelo aktivnosti in razvoja (fizična aktivnost, miselna aktivnost)
Načelo sistematičnoti in postopnosti
Načelo diferenciacije in integracije
Načelo primerljivosti in akceleracije
Načelo individualizacije in socializacije
Načelo racionalizacije in ekonomičnosti
Načelo historičnosti in sodobnosti

88. Učne oblike
Frontalna
Skupinske
tandem
individualna

89. Učne metode (načini dela, ki vodijo do realizacije VI smotrov)
Izbor pogojuje:
- učna snov,
- otrokova razvojna stopnja,
- predznanje,
- učni pripomočki,
- učni cilji.
NE: najboljša/najslabša metoda
DA: primerno/neprimerno izbrana metoda
( v dani situaciji dobra/slaba)
Najpogosteje izbrane učne metode:
Metoda demonstriranja,
Metoda praktičnih del,
Metoda risanja,
Metoda pisanja,
Metoda branja in dela s tekstom,
Razvojno- razgovorna metoda,
Metoda ustnega razlaganja,
Produktivno raziskovalna metoda

90. Razgovorna metoda
Učenec na osnovi izkustvenih spoznanj in posredovanih dejstev dokoplje oblikuje nova spoznanja
Delo vodi učitelj, ki učence spodbuja in usmerja z vprašanji.
Za učitelja je problem navidezen, za učence pa resničen.
Pri pogosti uporabi so učenci preveč vodeni; ne razvija samostojnega mišljenja; osnovo ima v nerealni situaciji.
Pomembna vloga pri problemskem pouku (“odkrivajoče vodenje”)

91. Vprašanja pri pouku matematike
Klasifikacije (Razdevšek,Uran,1992):
Po dejanskem zanimanju za vprašanja
(npr. divergentno vprašanje “Na koliko načinov lahko izračunaš..?”)
Po odprtosti ali po strukturiranosti
(npr. povsem odprto divergentno vprašanje “Kaj vse lahko izračunamo iz danih podatkov..?” in alternativno vprašanje “Ali je vsota sodih števil sodo število?”
Po sestavljenosti
Npr. kratka enopomenska vprašanja, spominska vprašanja
Po vključenosti nekognitivnih procesov
Npr. vprašanja, ki zahtevajo vrednotenje, opredeljevanje
Po ravni kognitivnih procesov, ki jih vprašanja izzovejo
Npr. lahko spodbujajo višje psihične procese npr. sklepanje ali ustvarjalnost.
Vprašanja, ki preverjajo obstoječe znanje in vprašanja, ki pomagajo pri nastajanju novega znanja

92. Kognitivna vprašanja delimo na:
Vprašanja nižje kognitivne ravni:
(alternativna, enopomenska spominska, sugestivna)
Vprašanja višje kognitivne ravni:
(konvergentna, divergentna)
Zahtevajo razumevanje, analizo, sintezo, uporabo in vrednotenje.
Npr. Ali spada kvadrat med pravokotnike? Zakaj? Kaj imata skupnega in po čem se razlikujeta?

93. Učitelj postavlja vprašanja da: pritegne pozornost otrok,
Dobi povratno informacijo,
Vodi otroke do rešitve problema,
Organizira delo v razredu
Obvladovanje tehnike spraševanja:
opogumljanje otrok,
Potrpežljivost,
Prilagajanje zahtevnosti vprašanja,
Zadosten čas za razmislek
Razmerje med odprtimi in zaprtimi vpr.
Zaprta imajo le en pravilen odgovor.
Na odprta lahko posredujemo več pravilnih informacij
Odprta so primernejša za učence s specifičnimi učnimi težavami.

94. Postavljanje vprašanj
Vprašanja morajo biti :
slovnično in stilno pravilna (kratka in jasna)
vsebinsko logična (enoznačna)
psihološko ustrezna (večina otrok jih razume)
Izogibajmo se sugestivnih ali alternativnih vprašanj.
Vprašanje zastavimo samo enkrat
Odgovorov ne ponavljajmo
Ne odgovarjajmo na lastna vprašanja
Ne bodimo nestrpni (ne priganjajmo)
Učenca ne smemo pozovati pred postavitvijo vprašanja
Zahtevamo natančne kratke odgovore.

95. Želena strategija (potek) pri postavljanju vprašanj:
Vprašanje
Premor
Poziv učenca
Učenčev odgovor
Povratna informacija

96. Produktivno-raziskovalna metoda (metoda reševanja problemov;eksperimentalna metoda)
osrednja metoda; izjemnega pomena za matematiko;
Problem:
učitelj dobro razmisli o tem kateri problem ponuditi kot izhodiščno situacijo (upošteva matematično gradivo in izkušnje ter predznanje učencev)
Problem lahko zastavi učitelj (metoda razgovora) ali ga učenci sami izluščijo iz problemske situacije
Po zastavitvi problema se dejavnost prenese na učence
Učenci se navajajo na samostojno učenje (svoje znanje samostojno kognitivno oblikujejo)
Učitelj tak način dela uvaja postopno (stopnjevanje zahtevnosti problemov)-pri tem mora biti potrpežljiv, vztrajen in pri pomoči skop.
Delo po tej metodi podpira pouk orientiran, k dejavnosti(dejavnostno-orientiran)
Omogoča teoretično izgradnjo matematičnih pojmov.
Primer: Izzivi

97. Pouk, orientiran k dejavnosti
Je sicer empirično obarvan, a v osnovi teoretično naravnan
Bistvena je postopna simbolizacija (postopni prehod na višje nivoje abstrakcije)
IZKUŠNJE (izhodiščna dejavnost)
GOVOR (verbalni opis dejavnosti)
SLIKA(ikonični/shematski opis dejavnosti)
SIMBOL (dejavnost opišemo s simboli)

98. Primer:
Pojem deljenje
Pred tabo so vrtnice, poveži jih v 4 enako velike šopke.
Opiši kako si razvrščal (“enega meni-enega tebi”).
A) SLIKA
B) SHEMA | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | |
: 4=6
dogovorjeni matematični znak (abstrakt)

99. Motivacija pri pouku matematike
Oblike motivacije:
1. ZUNANJA (pohvala, graja,ocenjevanje)
MAT: individualizacija motivacijskih postopkov
2. NOTRANJA (težnja po spoznavanju
sveta, samostojno odkrivanje, ustvarjalno
delovanje, razvijanje otrokovih zmožnosti)
MAT: buditi interes za matematiko (zanimive in uporabne naloge, uganke, rebusi, poučne igre)
2.1. Doživljanje zadovoljstva ob intelektualnem uspehu
2.2. Smiselnost matematike v vsakdanjem življenju
2.3. Matematika v privlačnem okvirju (npr. didaktične igre)
Uspešnost pri matematiki
na začetku: inteligenčne, kognitivne sposobnosti
nadaljevanje: predznanje, motivacijski dejavniki

100. Povratna informacija učencem
Po samostojnem delu učenca
Po individualnem ali skupinskem delu učenca
Povratna informacija po samostojnem delu (najpogostejša oblika po anketi učiteljev)
Učenci poročajo, učitelj projicira pravilne rešitve
Učenci berejo, učitelj potrjuje
Učitelj spremlja delo učencev in sproti podaja pov. Inf.
Učenci rešitve berejo, učitelj/učenci jih sproti zapisujejo na tablo ali na prosojnico
Učenci rešitve preverijo sami s pomočjo učnega lista
Učenci zamenjajo zvezke
Učenec-učitelji le implicitno
Primernost odvisna od organizacije dela pri uri
Po individualnem/skupinskem delu učenca
Oblikovanje kriterijev naj vključuje učence

101. Povratna informacija učitelju
Čemu?
-da oceni ustreznost svojega dela
da načrtuje pouk (minimum, sestava skupin, dodatna utrjevanja..)
Primeri:
- direktna inf. tipa “Koliko vas je imelo eno napako..?”
individualne tabele (semaforji, sončki,..)
skupinske tabele
nivojske aplikacije (primernejše za nižje razrede)
Pazimo, da ne vzpodbujamo pretirane tekmovalnosti.

102. Transfer pri pouku matematike Prenos učnega učinka: s prejšnjega na nadaljnje učenje, z enega predmetnega področja na drugo, iz znanih okoliščin v nove.
KATERE VRSTE?
POZITIVNI TRANSFER
pozitivni učinki prejšnjega na nadaljnje učenje (poštevankapisno množenje)
IN NEGATIVNI TRANSFER (proaktivna inhibicija)
prejšnje znanje ovira in otežuje novo učenje (pravokotnik, kvadrat v začetnem in kasnejšem učenju)
2. VERTIKALNI TRANSFER
(znotraj istega predmetnega področja)
vzporednost premicopis pravokotnika
I IN HORIZONTALNI TRANSFER(po Ausublu)
(med predmetnimi področji)
branje z razumevanjembesedilne naloge
KAKO?
1. TEORIJA FORMALNIH DISCIPLIN
(trenirati spomin in mišljenja: latinščina in matematika)
poštevanka reševanje problemov??
  2. TEORIJA IDENTIČNIH ELEMENTOV
(transfer možen le med področji, ki imajo skupne elemente)
liki telesa!!
3. TEORIJA POSPLOŠEVANJA
( z razumevanjem naučena pravila in posplošitve, ki pomagajo pri reševanju mnogih strukturno podobnih problemov)

103. Matematične sposobnosti
Komponente matematične sposobnosti:
dobra prostorska predstavljivost,
sposobnost abstrakcije,
sposobnost posploševanja,
sposobnost analiziranja, kritičnost,…
v  Za strategije reševanja nalog pri matematično sposobnejših otrocih je tipična dejavnostna orientiranost. Tudi pri splošno zastavljenih problemih postopek posploševanja temelji na konkretnih (ali zamišljenih) dejavnostih
Splošna struktura naloge ni preprosto odčitana, ampak je konstruirana skozi dano situacijo smiselne (oz. možne) dejavnosti (konkretne ali zamišljene) oz. operacije (tj. dejavnosti z abstraktnimi objekti)

104. Diferenciacija Učna diferenciacija: didaktično utemeljeno razvrščanje učencev v skupine.
3 modeli:
A Notranja diferenciacija
B Fleksibilna diferenciacija (4.-9.) (within-class grouping).
- najmanj en, največ trije (SLJ; MAT; TJ)
- pouk je kombinacija temeljnega in nivojskega pouka
- temeljni pouk v heterogeni skupini v matičnih oddelkih
- nivojski običajno homogene skupine (utrjevanje in poglabljanje vsebin)
C Delna zunanja diferenciacija (8.-9.)
Pravilnik o podrobnejših pogojih za organizacijo nivojskega pouka v 9-letni OŠ
fleksibilna diferenciacija je namenjena utrjevanju in ponavljanju oz. poglabljanju in razširjanju učne snovi
v 4. Razredu v zadnjem ocenjevalnem obdobju
skupno št. ur je manjše od četrtine letnega št. ur
Raziskava:
domnevani negativni psihološki učinki skupinskega grupiranja so zanemarljivi;

105. Uspešnega učenja ni brez:
Nekaj tipičnih lastnosti mat. sposobnejših otrok:
rad rešuje uganke in probleme
sprejema predvsem logične razlage
svoje delo zna razporediti
vedno išče vzorce
vedno ugotavlja odnose med stvarmi
nalog in problemov se loteva po korakih
Uspešnega učenja ni brez:
dobrega pomnjenja shem raziskovanja in dokazovanja,
Obvladovanja tipičnih postopkov in metod reševanja
Pomnjenja bistvenih relacij, lastnosti in posledic

106. Diferenciacija Prva triada notranja Druga triada  fleksibilna
Ure utrjevanja, kombinirano s skupinsko obliko dela
Dodatni pouk + dopolnilni pouk

107. Individualizacija in diferenciacija
Učna diferenciacija je pretežno organizacijski ukrep, s katerim demokratično usmerjamo učence po njihovih določenih razlikah v občasne ali stalne homogene in heterogene učne skupine, da bi tako šola z bolj prilagojenimi učnimi cilji, vsebinami in didaktično-metodičnim stilom dela bolje uresničevala socialne in individualne vzgojno-izobraževalne namene.
Učna individualizacija: Skladna in dopolnilna z učno diferenciacijo je učna individualizacija didaktično načelo, ki zahteva od šole in učitelja, da odkrivata, spoštujeta in razvijata utemeljene individualne razlike med učenci, da skušata sicer skupno poučevanje in učenje čimbolj individualizirati in personificirati, se pravi prilagoditi individualnim vzgojnim in učnim posebnostim, potrebam, željam in nagnjenjem posameznega učenca ter mu omogočiti kar se da samostojno učno delo.

108. Razlogi za uvajanje fleksibilne diferenciacije in individualizacije
²      Slab učni uspeh.
²      Nizka učna motiviranost in delavnost
²      Neuspešnost dopolnilnega in dodatnega pouka,  

109. Modeli fleksibilne učne diferenciacije
Ø       Sukcesivno kombiniranje temeljnega (jedrnega) in nivojskega učnega dela
Individualno načrtovani pouk
Ø       Projektno učno delo
Ø       Programirani in računalniški pouk Ø       Teamski pouk
Ø       Izbirna učna diferenciacija in individualizacija
Ø       Interesne vzgojno-izobraževalne dejavnosti so prostovoljne ter manj neposredno povezane s poukom in učno storilnostjo učencev.
Ø       Dopolnilni pouk
Ø       Dodatni pouk.
Šolska akceleracija

110. Dobre strani fleksibilne diferenciacije
J   temeljne učne zahtevnosti so deležni vsi učenci, s čimer je zagotovljena večja učna pravičnost,
J homogene učne skupine so kratkotrajnejše,
J kriteriji grupiranja so širši,
J    J med skupinami različne zahtevnosti je večja prehodnost,
J    J spodbujanje šibkejših učencev je bolj načrtno,
J     J zagotovljena je večja učna uspešnost, … .
Slabe strani fleksibilne diferenciacije
  L ne more povsem preprečiti stabiliziranja nivojskih učnih skupin,
L       L težko usklajuje temeljno in dodatno učno zahtevnost,
L      L   organizacijsko je zelo zapletena (največkrat se tu omenja premalo učiteljev, prevelike skupine, slab urnik, pomanjkanje učnih pripomočkov, največji problem pa je usklajevanje učne snovi)
L       L za učitelje je veliko bolj obremenjujoča, saj se težko prilagajajo različno zahtevnim učnim skupinam,
L       L kriteriji ločevanja so nezanesljivi,
L       L vzgojni cilji težko dosegljivi,
L       učni predmeti, pri katerih učenci niso diferencirani, so v očeh učencev, staršev in učiteljev manj vredni, … .

111. Skupinski pouk

112. Besedilne naloge

113. Povzetek: - Zgodba (ilustracija, demonstracija)  besedilo
Tekstne naloge uvajamo v pouk že v 1. razredu, ko učenci spoznajo števila do 5
! problem: branje (v začetku 1. razreda otroci še ne znajo brati); rešitev: slikovni materiali, ob katerih otroci oblikujejo zgodbo in vprašanje
-         besedilo  reševanje
otroci naj sami sestavijo račun: aktivna vloga učencev (napaka: učitelj pokliče enega pred tablo: učenci so pasivni)
-         ilustracije  oblikovanje besedila  reševanje
-         besedilo  reševanje
-         simbolični zapis (račun)  prirejanje besedila
(katere naloge so primerne. izoblikovanje smiselnega besedila, ki je vezano na račun)

114. Primeri:
1.)
V VAZI JE 10 ROŽ. OVENELE SO 4. KOLIKO ROŽ JE ŠE SVEŽIH ?
RAČUN:_____________________________
ODGOVOR:__________________________
_____________________________________
2.)
OČE JE IZ SADOVNJAKA PRINESEL ___ JABOLK, ___ HRUŠK IN ___ SLIV. KOLIKO KOSOV SADJA JE PRINESEL ?
3.) TOMAŽ IMA 12 ZNAMK. MATEJA MU PODARI 8 ZNAMK. KOLIKO ZNAMK IMA SEDAJ?
RAČUN:___________________________________________________________________
ODGOVOR:________________________________________________________________
4.) MAJA JE DOBILA OD DEDKA 7 BONBONOV, OD BABICE PA 5. POJEDLA JE 4. KOLIKO BONBONOV ŠE IMA ?
5.)        14 – = 
SESTAVI BESEDILO NALOGE !

115. PRIMERI BESEDILNIH NALOG ZA NIŽJE RAZREDE OSNOVNE ŠOLE
PRVI RAZRED=RAČUNSKE ZGODBICE-brez besedila---oblika stripa
1.        Znana sta seštevanca, iščemo vsoto.
Alenka ima 5 svinčnikov, Borut pa 3. Koliko svinčnikov imata oba?
2.        Znana sta zmanjševanec in odštevanec, iščemo razliko
Alenka in Borut sta kupila 8 svinčnikov. Borut je kupil3, koliko pa Alenka?
3.        a) Znana sta vsota in seštevanec, iščemo drugi seštevanec.
Pred šolo so 3 smreke, ostalo so hrasti, skupaj 8 dreves. Koliko je hrastov?
b) Znana sta vsota in drugi seštevanec, iščemo prvi seštevanec.
V košaro položimo jabolka in hruške. Koliko položimo jabolk, če smo položili 6 hrušk, obojih
pa je 7?
c)       Znana sta razlika in zmanjševanec, iščemo odštevanec.
Na drevesu je bilo 9 vrabcev. Koliko jih je odletelo, če so na drevesu ostali 4 vrabci?
d)       Znana sta razlika in odštevanec, iščemo zmanjševanec.
Koliko tolarjev je imel Jure, čeje dal sestrici 3 tolarje, ostalo mu je pa še 7 tolarjev?

116. DRUGI RAZRED
1.        Nadaljujemo s problemskimi situacijami, kjer si učenci ob določenem besedilu sami zastavljajo
vprašanja.
Alenka ima 25 svinčnikov, Borut pa 13. Kaj lahko izračunamo?
2.        Učenci računom prirejajo ustrezna besedila.
3.        Učenci ob sliki sestavijo besedilo in nalogo rešijo.
4.        »več kot (manj kot)« oz. »več (manj)«
Peter ima 38 orehov, Mojca pa 7 orehov manj.
5.       Miselno zahtevnejše naloge
Brat in sestra imata 9 orehov. Brat ima 3 orehe več kot sestra. Koliko orehov ima brat in koliko sestra?

117. TRETJI RAZRED
Nalogam, ki smo jih omenili v 1. in 2. razredu, se pridružijo še naslednje
1.        Množenje in deljenje
a) Znana oba faktroja, iščemo zmnožek.
V vsakem od 5 zavojev imamo 8 knjig. Koliko je vseh knjig?
b)       Znana sta prvi faktor in zmnožek, iščemo drugi faktor.
24 krožnikov želimo položiti na 6 miz, na vsako mizo enako. Koliko krožnikov položimo na
vsako mizo?
c)       Znana sta drugi faktor in zmnožek, iščemo prvi faktor.
V hiši so 3 nadstropja, v vsakem nadstropju je enako število oken. Vseh oken je27. Koliko
Oken je v vsakem nadstropju?
d)       Znana sta deljenec in delitelj, iščemo količnik
36 bonbonov si razdeli 9 učencev tako, da dobi vsak enako. Koliko dobi vsak?
e)       Znana sta deljenec in količnik, iščemo delitelj.
42 zvezkov položimo na klopi tako, da položimo na vsako klop 6 zvezkov. Na koliko klopi položimo zvezke?
f)        Znana sta delitelj in količnik, iščemo deljenec.
Koliko lešnikov moramo imeti, da jih damo 4 učencem in jih vsak dobi 8?
2.        Sestavljene naloge, ki vključujejo poleg seštevanja in odštevanja še množenje in deljenje
Kokoši so znesle vsak dan 8 jajc. Koliko jajc so znesle v enem tednu? Mama jih je porabila 29. Koliko jajc je ostalo?
3.        Razlika med »za koliko večji (manjši)« in »kolikokrat večji (manjši)«
Aleš ima za 34 cm daljši trak kot Branka. Njen trak meri 54 cm. Koliko meri Alešev trak?
Aleš ima trikrat daljše ravnilce kot Branka. Njeno ravnilce meri 9 cm. Koliko meri Aleševo ravnilce?
4.        Razlika med »trikrat več« in »za trikrat več«.
5.        »Po«
V vsaki vrsti je posajenih po 7 jablan. Koliko jablan je v sadovnjaku, ki ima 8 vrst.
6.        Zahtevnejše naloge
V prvem zaboju je štirikrat toliko limon kot v drugem, v obeh zabojih je pa 35 limon. Koliko limon je v prvem in koliko v drugem zaboju?

118. ČETRTI RAZRED 1. Računanje postaja vse bolj pisno
2.        Naloge lahko otežimo na naslednje načine:
·       Dodamo lahko odvečne podatke
Učenec plača za knjigo 150 SIT, za zvezke pa 110 SIT. Koliko plača za oboje, če ima s seboj 300 SIT?
·       Vprašanje lahko povežemo s podatki
Koliko krompirja je na drugem kupu, na katerem ga je 129 kg manj kot na prvem, kjer ga je 428 kg?
·       Uporabimo formulacijo, ki učence na videz zavaja v nasprotno in neprimerno računsko
operacijo.
V nedeljo smo kupili 11 jabolk. To je 4 več kot v ponedeljek. Koliko smo jih kupili v ponedeljek?
3.        Deli celote
Ko avtomobilist pripelje po 40 minutah v kraj B, je kolesar prevozil šele eno četrtino te poti. Koliko minut potrebuje kolesar za vso pot?

119. PETI RAZRED
1.        Prevladujejo sestavljene naloge. Do rešitve lahko pridemo
a)       z rešitvijo dveh ali več neodvisnih operacij
Učenec kupi 5 enakih zvezkov in knjigo. Za knjigo plača 800 SIT, za vse skupaj pa 1070 SIT. Koliko stane en zvezek?
b)       Z rešitvijo dveh ali več odvisnih operacij
Aleš kupi 8 enakih svinčnikov, Branka pa 5 prav takih svinčnikov kot Aleš. Plačala je 29 SIT manj kot Aleš. Koliko stane en svinčnik?
2.        Miselno zahtevnješe naloge
V treh dneh smo pobrali kg jabolk. V prvih dveh dneh skupaj smo jih nabrali 4820 kg , v drugih dveh dneh skupaj pa 5040 kg. Koliko smo jih nabrali vsak dan?

120. Diferencirano delo-primer učnih listov
- vsi učenci enake naloge  individualizirano delo (delo ni enako za vse)
1.  1.  Nivo (običajno imenovan A); učenci naj bodo poimenovani smiselno njihovi razvojni stopnji
besedilo + ilustracija
-         številski obseg do 10
-         zapis z velikimi črkami (pri obsegu do 20 je zapis lahko tudi z malimi črkami)
NA VEJI SEDIJO 4 VRABCI. PRILETIJO ŠE 3 VRABCI. KOLIKO JE VSEH?   
OTROCI SO NAREDILI 6 SNEŽAKOV. 3 SO SE STOPILI. KOLIKO SNEŽAKOV ŠE STOJI?
 NA VEJI VISITA 2 OKRASKA. ANA JIH BO DODALA ŠE 6. KOLIKO BO VSEH OKRASKOV?
 IVO JE PRIPRAVIL 10 KEP. VRGEL JE 4 KEPE. KOLIKO KEP JE OSTALO?

121. NA VEJI SEDIJO ___ VRABCI. KOLIKO JIH PRILETI, ČE JE VSEH 7 ?
2.     nivo: (B nivo)   -         ista vsebina nalog (besedilo + ilustracija); ista slika -         drugačno oblikovanje zapisa (vsebine): oblika naloge (besedilo) je miselno zahtevnejše (ob isti sliki) – za povprečne učence
 NA VEJI SEDIJO ___ VRABCI. KOLIKO JIH PRILETI, ČE JE VSEH 7 ?   
OTROCI SO NAREDILI 6 SNEŽAKOV. KO SE JIH NEKAJ STOPI, OSTANEJO 3. KOLIKO SE JIH JE STOPILO ?
NA VEJI VISITA ___ OKRASKA. KOLIKO JIH BOŠ DODAL, DA JIH BO 8 ?
 IVO JE PRIPRAVIL 10 KEP.NA KUPU JIH JE ŠE 6. KOLIKO KEP JE VRGEL?
3.      Nivo: (najzahtevnejši) -         iste slike ohranimo; učenci besedilo oblikujejo sami in samostojno oblikujejo tudi ustrezne račune in odgovore -         (pričakujemo besedila iz prvega nivoja! – ustvarijo jih sami!)

122. Klasifikacije matematičnih nalog
Vogrinc (1976)
A: po namenu
uvajalne,
raziskovalne,
naloge za vadenje računskih operacij,
naloge s konkretnim materialom,
besedilne naloge.
B: po načinu izvedbe
pisne ali ustne,
šolske ali domače,
individualne ali skupinske.
C: po zahtevnosti
enostavne ali sestavljene,
speljane ali nespeljane.
Prim. Mailaret (1969) in Frobisher (1996)

123. Učenci s posebnimi potrebami: 1. Nadarjeni učenci 2
Učenci s posebnimi potrebami: 1.Nadarjeni učenci 2. Učenci s splošnimi in specifičnimi učnimi težavami
Nadarjeni učenci so učenci s posebnimi potrebami, ki zraven običajnih učnih programov potrebujejo tudi njim prilagojen pouk in dejavnosti.
Kažejo visoke dosežke ali potenciale na intelektualnem področju.
Miselno – spoznavno področje:
-razvito divergentno mišljenje (fleksibilnost, originalnost, fluentnost),
-razvito logično mišljenje (analiza, analogija, posploševanje)
- nenavadna domišljija,
- natančnost opazovanja,
- dober spomin,
- smisel za humor.
Učno – storilnostno področje:
- široka razgledanost,
-  motorična spretnost in vzdržljivost,
-  hitro branje. 

124. Motivacija:
- radovednost,
- visoke aspiracije in potreba po doseganju odličnosti,
- visoka storilnostna motivacija,
-  vztrajnost pri reševanju nalog,
-  raznoliki in močno izraženi interesi,
-  uživanje v dosežkih.
Socialno – čustveno področje:
-         nekonformizem,
-         močno razvit občutek za pravičnost,
-         sposobnost vodenja in vplivanje na druge,
-         neodvisnost in samostojnost,
-         izrazit smisel za organizacijo,
-         empatičnost.

125. Učno neuspešni nadarjenih učencih -
nezainteresiranost za šolo in udeležbo v šolskih dogajanjih,
strah pred spraševanjem,
nizka samopodoba,
-     nesposobnost tvornega delovanja pri skupinskem delu,
-    učenca ni možno motivirati z običajnimi spodbudami (dobra ocena, nagrado, navdušenjem učitelja),
-         slaba pozornost,
-         hiperaktivnost,
-         čustvena in socialna nezrelost
Te učence prehitro označimo za učence z učnimi težavami!!
Metode in oblike dela z njimi postanejo diametralno napačne!

126. Odkrivanje nadarjenih učencev
Odkrivanje nadarjenih učencev se praviloma izpelje v prvi in drugi triadi ter se po potrebi ponovi še v tretji triadi.
Pri odkrivanju nadarjenih učencev sodelujejo vsi pedagoški delavci in šolska svetovalna služba.
Procesi odkrivanja nadarjenih učencev so naslednji:
evidentiranje,
identifikacija,
seznanitev in
pridobitev mnenja
Prva triadi temelji na evidentiranju ter seznanitvi in pridobitvi mnenja staršev.
Druga triada pa se izvede identifikacija in seznanitev ter pridobitev mnenja staršev.

127. Merila:
učni uspeh,
dosežki učenca pri različnih dejavnostih,
rezultati tekmovanj,
nadpovprečni rezultati pri t. i. hobi dejavnostih učenca,
mnenje učitelja,
mnenje svetovalne službe.
Evidentirani učenci, učenci, ki izpolnjujejo vsaj eno od meril, so vključeni v proces identifikacije, ki poteka s pomočjo :
posebne ocenjevalne lestvice za učitelja,
ustreznega testa sposobnosti ter testa ustvarjalnosti (šolski psihologi.)
Kot nadarjeni so spoznani vsi tisti učenci, ki so vsaj na enem od testov dosegli nadpovprečen rezultat. Test inteligentnosti pa je pokazal, da je IQ enak ali večji od 120.
Identifikacija se izvede v drugi triadi. Identifikaciji sledi seznanitev in pridobitev mnenja staršev o otroku.
Šola poskrbi za pripravo individualiziranih programov dela in za stalno spremljanje razvoja.
Starši, ki imajo v družini nadarjenega otroka velikokrat delajo napake

128. Delo z nadarjenimi učenci
Prva triada:
v okviru matičnega razreda (notranja diferenciacija)
individualne zadolžitve učencev,
individualiziran pouk,
skupinsko delo,
posebne domače zadolžitve,
dnevi dejavnosti,
občasno ločevanje nadarjenih učencev iz razreda,
dodatni pouk
interesne dejavnosti
priprave na tekmovanja. .

129. Druga triada:
fleksibilna diferenciacija. (pol ure individualne in skupinske pomoči na oddelek.) .
dodatni pouk,
individualizirani programi
vzporedni programi,
obogatitveni programi,
interesne dejavnosti,
dnevi dejavnosti,
kreativne delavnice,
raziskovalni tabori,
priprava za udeležbo na tekmovanju,
programi za razvijanje socialnih spretnosti, programi za osebni in socialni razvoj,
seminarske naloge,
raziskovalne naloge,
svetovanje nadarjenim pri izbiri poklica.
Potrebno je soglasje starša, v drugi triadi tudi učenca

130. Dodatni pouk Od učitelja zahteva; nenehno poglabljanje znanja,
izkušnje pri delu z nadarjenimi učenci
splošno razgledanost.
Oblike in metode dela:
sproščajo ustvarjalnost učencev,
raziskovalni nemir in
samopotrjevanje ob uspehih.
Pomembno je, da predstavlja dodatni pouk za učitelja radost in ustvarjalnost.
Vloga učitelja: usmerjevalec, svetovalec in organizacijsko – operativnega izvajalca, ki zavestno prenaša delovne pobude na učenca.
Klasičnega frontalnega pouka pri dodatnem pouku ni, razen v uvodnem in sklepnem delu; prevladuje samostojno delo učencev.

131. Vodilne intence didaktičnega petkotnika:
Didaktični petkotnik (učenci-učitelji-starši-študenti-didaktiki) oz. Povezava teoretičnih spoznanj in empiričnih izkušenj pri izobraževanju učiteljev razrednega pouka na področju dela z matematično sposobnejšimi učenci (\, Uroš Drnovšek)
Vodilne intence didaktičnega petkotnika:
vključevanje študentov v okoliščine, kjer se jim odpirajo možnosti za povezovanje teoretičnih spoznanj s praktičnimi izkušnjami,
ustrezna oskrba matematično sposobnejših otrok,
dodatno izobraževanje učiteljev in staršev na področju dela z matematično sposobnejšimi učenci in raziskovanje učinkovitih strategij in vsebin poučevanja sposobnejših učencev v matematiki
opazovanje napredka tako na strani študentov kot tudi učencev, ki so vključeni v program dela z matematično sposobnejšimi učenci.

132. Didaktični petkotnik Alenka Lipovec - Pedagoška fakulteta Maribor
Helena Bezgovšek - Pedagoška fakulteta Maribor

133. povezava teoretičnih spoznanj in empiričnih izkušenj
Didaktični petkotnik
izbrani študenti
razrednega pouka
povezava teoretičnih spoznanj in empiričnih izkušenj
mlajši matematično
sposobnejši učenci
didaktiki
učitelji
starši

134. Začetni cilj:
potrebe matematično sposobnejših učencev;

135. Trenutni cilji: potrebe matematično sposobnejših učencev;
vključenosti bodočih učiteljev v realne situacije;
povezava didaktikov s partnerskimi šolami;
delo s starši.

136. Izbira študentov relacijsko razumevanje, minimalna anksioznost,
odgovornost in pripravljenost.

137. Izbira učencev Izbira razredni učitelj,
nagnjenost k divergentnem razmišljanju na matematičnem področju,
prostovoljna odločitev,
privolitev staršev.

138. Program Konstruktivistični pristop Dobro strukturirane aktivnosti
Poudarjen motivacijski del
Refleksivna praksa

139. Organizacija: 2004/2005 3 partnerske šole 8 študentov zadnjega letnika
82 matematično sposobnejših otrok
67 srečanj

140. Učenci s posebnimi potrebami specifične učne težave
Janet Lerner (2003) Learning Disabilities, Theories, Diagnosis, and Teaching Strategies. Houghton Mifflin Company:Boston, NY.
Rockefeller-disleksija
Thomas Edison, August Rodin, Woodrow Wilson, Albert Einstein
Splošne učne težave: pomanjkanje motivacije, predznanja, socialno-ekonomski faktorji ipd.
Specifične učne težave:
povezava z nevrološkimi faktorji npr. minimalna disfunkcija cerebralnega aparata;
Neenakomeren razvojni vzorec in deficit na psihološkem področju
Težave pri nalogah, ki zahtevajo učenje
Protislovje med potenciali in dosežki
Izključitev drugih vzrokov (šolski sistem ipd.)
Otroke odkrivajo svetovalne službe s standardiziranimi testi na predlog učitelja!
Matematika:
Težave pri računstvu
Težave pri razmišljanju (sklepanju, razumevanju,…ang. reasoning)

141. Specifične učne težave pri matematiki-diskalkulija
6-7% populacije ima specifične učne težave na področju aritmetike
(Badian,1999; Fuchs&Fuchs,2001;Miller,Butler& Lee,1998;Rivera,1997)
Diskalkulija: specifična motnja, ki nastopi pri učenju matematičnih konceptov in je povezana z CNSD(central nervous sysem dysfunction)
ne zamre brez pomoči!
Pomanjkljivosti VI dela:
premajhna pozornost predznanju;
prehiter tempo vpeljevanja novih konceptov;
povezanost matematičnih strategij in struktur je premalo poudarjena;
slaba komunikacija in pomanjkanje jedrnatosti;
premalo vodenih aktivnosti;
premalo “pogleda nazaj” (ne drila!)

142. Kako prepoznamo učence z diskalkulijo?
1. Slabo obvladajo prirejanje, klasifikacijo in seriacijo;
2. prostorski odnosi:
spodaj-zgoraj;levo-desno;blizu-dale
(ni konstruktorskih igrač) Je 3 bližje 4 ali 6?
3. Občutek za sliko telesa (glavonožci?)
4. Slabe sposobnosti tipa “visual-motor” in “visual-perception”
a) štetje z dotikanjem,
b) ne vidijo skupin objektov:
Skupini treh in štirih elementov združimo. Otroci s težavami štejejo 1,2,3,.. Namesto 4,5,6,7.)
c) ne dojamejo geometrijskih oblik
Kvadrat vidijo npr. kot štiri nepovezane črte.
d) ne dojamejo simbolnih zapisov
1 in 4 sta enaki, saj vidijo le ravno črto;2 in 3 sta enaki, saj vidijo le zgornji del.
5. Težave s koncepti smeri in časa
6. Slabe sposobnosti memoriziranja (ne spomni se poštevanke)

143. Karakteristike Težave pri obdelovanju informacij
pozornost pisni algoritmi; sledenje razlagi;
“visual-spatial” ne znajde se na učnem listu;ne vidi razlik med simboli;ne zna pisati v ravni črti; težave z orientacijo;ne zna uporabljati številskega traku;
Verbalizacija (verbalno spremljanje psotopkov; štetje “ od naprej”)
Spomin in priklic (ne pozna dogovorov,pozabi na korake znotraj rešavanja, čas)
Motorika (slab zapis števk;geometrijske konstrukcije)
Bralno napisovalne motnje
Strategije učenja matematike (ne zna si vizualizirati; ne ugotovi kaj problem sploh zahteva,..)
Neracionalen (čustveno obarvan) strah pred matematiko (Učitelj naj bo pozoren na:
previdno s tekmovanji (naj tekmujejo raje sami s sabo)
jasna navodila (prepričajte se, da jih učenci razumejo)
izogibajte se nepotrebnemu časovnemu pritisku (domače naloge, zmanjšati število nalog);
vadite kontrolne.

144. Teorije učenja matematike , ki so primerne za učence z diskalkulijo
Konstruktivizem
Veriženje (behaviorizem)
Učenje strategij
Reševanje problemov

145. Principi poučevanja učencev z diskalkulijo
Pozornost predznanju
(klasifikacija, itemizacija do 3, štetje, število, ki pride za.., zapis števk do 10 v pravilnem zaporedju, prirejanje 1-1, ocenjevanje časa in dolžine, seriacija, operacije do 10 brez konkretnih pomagal) V nasprotnem primeru individualna pomoč!
2. Postopnost od konkretnega k abstraktnemu
2.1. Konkretno:učenec manipulira z realnimi predmeti
2.2. Ikonično; grafične reprezentacije objektov
oo ooo
2.3. Simbolno: 2+3=5
3. Mnogo priložnosti za vajo sz povratno informacijo
4. Pozornost temu kako sposobnost uporabiti v novih situacijah
5. Matematična terminologija (seštevanci itd.)

146. Primeri aktivnosti Klasifikacija, grupiranje in urejanje
a) Ploščice razvrsti po barvi.
Ploščice razvrsti po obliki.
Sam poišči tretjo možnost za razvrščanje (velikost)
b) Izloči vse rdeče kape
c) Itemizacija: domine ali “Ugani koliko bom položila na grafoskop?”
d) “Vojna”, kjer so števila predstavljana s pikami (radirka na svinčniku je dober pečat)
Število, ki je pred, za
Uredi po velikosti, teži, prostornini
Številski trak (hodimo, skačemo)
Igre z vzorci (nadaljuj vzorec)
Odnosi med koncepti velikosti in dolžine (Ali bo predmet zapolnil prostor..Cuisenaire rods)
3. Prirejanje-bijekcija
a) Štetje z motorično aktivnostjo (pripni ščipako in štej, skoči in štej, poslušaj boben, zapiši znak in štej) štetje z dotikanjem, kasneje štetje oddaljenih predmetov
b)Prepoznavanje simbolnih vidikov števila (7 in sedem; barvne opore; mnemotehnični pripomočki kot npr. slika mačke)
c) Konzervacije pri npr. kuhanju

147. 4. Računanje
4.1.Seštevanje
do 10 od konkretnega k abstraktnemu
do 20:
najprej dvojčke (8+8); dopolnjevanje do 10;
4.2. Odštevanje
Cuisenairove paličice
4.3. Množenje
Brez poštevanke ne moremo nadaljevati z deljenjem; pristopi: “trikrat po dve” “ dve in dve in dve”, “številski trak”, “pravokotniški pristop”
4.4. Deljenje
Merjenje, razdeljevanje, množice, skakanje po številskem traku
4.5. Ulomki
Zaporedja razpolavljanja so lažja ½,1/4,1/8
5. Reševanje problemov
5.1. Zgodbice
5.2. Vizualna ponazorila
5.3. Poenostavljanje
5.4. Samostojno obnavljanje problema
5.5. Dovolj časa za razmišljanje
5.6. Koraki pri reševanju sestavljenih problemov
6. Uporaba tehnologije
6.1. Kalkulatorji v urah, ki razvijajo reasoning in ne računskih spretnosti
6.2. PC

148. Ocenjevanje Sodobna pedagogika 1.št 2004
premik od (izključne teže) končnih ocenjevanj k večjemu upoštevanju deleža učenčevih sprotnih aktivnosti in izdelkov;
Veča se aktivna vloga, udeležba in sodelovanje učencev (samoocenjevanje, vzajemno ocenjevanje);
Implicitni kriteriji ocenjevanja postajajo vse bolj eksplicitni
Ocenjevanje in preverjanje postaja organski del (čim bolj avtentične) učne izkušnje
Tekmovalnost in primerjanje med učenci se uravnovešata s sodelovalnostjo (ocenjevanje skupinskih projektov in izdelkov) ter spremljanjem lastnega napredka;
Delni rezultati, izdelki, dosežki ipd. se zbirajo v “mapah dosežkov” ali portfelju
Poleg usvojenih vsebin se vse bolj upošteva in preverja tudi obvladanje različnih kompetenc in spretnosti (spoznavnih, komunikacijskih, učnih, praktičnih,…)
Učencem se ponuja vse več izbire pri npr. temah referatov
Krepi se funkcija preverjanja kot specifične in uporabne povratne informacije
Večji je poudarek na celostnih načinih v primerjavi z analitičnimi načini ocenjevanja, bolj se gleda na kakovost (npr. globina razumevanja, uporabnost) kot na samo količino reproduciranega znanja.

149. Preverjanje in ocenjevanje matematičnega znanja Gagnejeva taksonomija (1985) Matematika v šoli št. 1-2, 2004
Matematično znanje
Poznavanje osnovnih znanj in vedenj
Intelektualne spretnosti
Konceptualno znanje
Proceduralno znanje
Problemsko znanje
Poudarja relacijsko razumevanje
Pomembna je integracija in prehajanje med tipi znanja

150. Poznavanje osnovnih znanj in vedenj:
Poznavanje pojmov in dejstev ter priklic znanja (seštevanec, seštevanec, poimenuj lik,…)
Konceptualno znanje
Razumevanje pojmov in dejstev.
prepoznava pojma (npr. lik kot mejna ploskev telesa),
predstava (npr. mreža kocke je iz šestih kvadratov).
Proceduralno znanje
Poznavanje in učinkovito obvladovanje algoritmov in procedur=metod oz. postopkov (standardni računski postopki, strategije reševanja sestavljenih nalog)
Problemsko znanje
Uporaba obstoječega znanja v novih situacijah

151. Tematski sklop (npr. pisno deljenje 5.razred)
Cilji preverjanja
Osnovno znanje
Konceptualno znanje
Proceduralno znanje
Problemsko znanje
1.cilj
poimenuje člene v računu deljenja x
2.cilj
Pisno deli z dvomestnim deluiteljem brez ostanka
3.cilj
Izvede preizkus pri deljenju zbrez
Ostanka
4.cilj
Pisn odeli z dvomestnim deliteljem z ostankom
5.cilj
Izvede preizkus pri deljenju z osztankom
6.cilj
Znanje uporabi ob reševanju enostavne besedilne naloge
7.cilj
Znanje uporabi ob reševanju sestavljene besedilne naloge
8.cilj
Znanje uporabi ob problemski avtentični situaciji

152. Primeri nalog:
Taksonomija: konceptualno znanje
Cilj: Na sliki prepoznati pojem simetrale.
Reprezentacija: slikovna
Naloga: Katera slika prikazuje vse simetrale pravokotnika
Taksonomija:konceptualno znanje
Cilj: Ugotoviti/preveriti številske predstave pri dleih celote
Reprezentacija: simbolna
Naloga: Zapiši nekaj ulomkov, ki so večji od 2/7.

153. Taksonomija: proceduralno znanje
Cilj: rešiti preprosto enačbo s premislekom, brez uporabe pravil
Naloga: Reši enačbi 2·x= x+20=40
Taksonomija: problemsko znanje
Cilj: uporabiti geometrijsko znanje v realističnih situacijah. Učenje različnih strategij reševanja problemov.
Naloga: Samo bi rad zavezal trak okoli škatle, ki ima obliko kvadra z dolžino 4 cm, širino 8 cm in višino 10cm. Za pentljo mora prihraniti 25 cm traku. Koliko dolg trak potrebuje? Predstavi več različnih možnosti.
Primeri TIMSS nalog:
Japelj Pavešić, Barbara - urednik // Čuček, Mojca - urednik NASLOV : Matematične in naravoslovne naloge za nižje razrede osnovne šole IMPRESUM : Ljubljana : Pedagoški inštitut, 2004

154. Opisno ocenjevanje Cveta Razdevšek-Pučko(1995) Opisno ocenjevanje : teoretična izhodišča in praktični napotki za opisovanje dosežkov pri posameznih predmetih. Novo mesto:Pedagoška obzorja.
ZA:
Ø     Konstruktivistično pojmovanje učenja v nasprotju s transmisijskim modelom.
Ø     Pomen otrokove samopodobe.
Ø     Sodobni pristopi k pouku (integriran pouk, projektno delo).
Ø     Različnost dosežkov učencev (izdelki, plakati,….)
Ø     Poudarjena zveza med preverjanjem, učenjem in znanjem.
PROTI:
Ø     Večja obremenjenost učitelja (REŠITEV: ekonomične tehnike opazovanja in beleženja npr. ček liste).
Ø     Prehod na številčno ocenjevanje.
Ø     Slaba usposobljenost učiteljev.
Ø     Konflikt med pričakovanji in izkušnjami staršev.
Ø     Poznejše zaznavanje učnih težav.

155. Prepoznavanje števil do 5:
Primer:
Seštevanje do 10:
na pamet s prsti z računalom brez ponazoril
Delo s ploščicami:
oblika barva razumevanje grafičnih navodil
Prepoznavanje števil do 5:
Prepozna šteje količinska predstava
Reševanje nalog z besedilom:
Samostojnost reševanja zahtevnost nalog natančnost-točnost

156. Temeljno načelo: planiranje ciljev
Operativno oblikovani učni cilji
Organizacija učnih situacij   
Opazovanje in spremljanje dejavnosti učencev
Sprotno beleženje
Preverjanje znanja
Opisovanje dosežkov

157. TRI vrste zapisov:
1.     Sprotno, analitično beleženje učenčevih dosežkov (doseganje ciljev, tempo, morebitne težave)
2.     Sprotni komentarji k izdelkom
3.     Sintetični zapisi o učenčevih dosežkih
Zapisi pri matematiki naj NE vsebujejo le rezultatov, ampak tudi
·        Pristope k reševanju,
·        Fleksibilnost v mišljenju
·        Vztrajnost pri reševanju
·        Izvirnost
·        Neobičajne poti
·        Drugačnost odgovorov
·        Spretnost pri uporabi geometrijskega orodja
·        Ustvarjalnost
·        Reakcije pri napakah…

158. Zapisi so najpogosteje:
1.     Premalo konkretni, večkrat ni razvidno za katere matematične cilje gre
2.     Premalo dokumentirani
3.     Presplošni
4.     Nepopolni, ker ne dajejo dovolj jasne informacije, ali je otrok dosegel cilje, ki so potrebni za napredovanje
1.     Premalo natančni in razumljivi za kasnejšo uporabo

159. Pogrešamo predvsem: a) v zapisih za učiteljevo rabo
·        opis doseženosti oz. nedoseženosti ciljev za vse matematične vsebine, ne le za aritmetiko in algebro.
·        Opis načinov reševanja, izvirnost, vztrajnost reševanja, neobičajne poti, fleksibilnost v razmišljanju,
·        Individualno načrtovane cilje, ki upoštevajo učenca, njegove sposobnosti in spretnosti
·        Več konkretnih, natančnih in razumljivih opisov
·        Opis, kaj je učenec že dosegel in kako dobri so njegovi dosežki glede na individualno zastavljene cilje
·        Zapis potrebne in nudene pomoči
·        Opis napredka glede na nudeno pomoč.

160. a)    v sporočilih učencu
·        razumljivo napisan komentar npr. doseženost točk pri pisnem preverjanju: 18 točk od 20 točk, ne 90% ali samo 18
·        kriterij točkovanja npr. ob vsaki nalogi (računu), skupno število točk, učenec naj ve (razume) zakaj je dobil določeno število točk, kriterij točkovanja besedilnih nalog, sestavljenih računov,..
·        konkretne nasvete in napotke kako izboljšati znanje in odpraviti vrzeli v znanju npr:
Iskanje neznanega seštevanca v 5+=9
Jože, malo si pozabil, koliko skokov narediš od 5 do 9, nariši si, lahko poskočiš. Izračunaj še 6+=10
Izračunaj =
Ana, najprej seštej dve števili 12+5=17, potem izračunaj še Kaj boš vpisala v okence?Izračunaj še na drug način! Lahko si pomagaš s kroglicami (številskim trakom)
·        v koliki meri je učenec že usvojil načrtovane cilje, kaj mora še dodati npr. Jure, številki 6 in 9 ti še malo nagajata. Izdelaj ju iz plastelina in si ju dobro oglej. Številki tudi zapiši.
·        Komentarji bi lahko imeli več konkretnih pohval, s katerimi bi učence spodbujali in bi hkrati razvijali naše sporazumevanje z njimi npr.:Tina, uživala sem ob tvoji nalogi. Tvoj način reševanja me je razveselil. Le tako naprej! Sestavi kakšno zanimivo nalogo in jo reši na več načinov.

161. Za učiteljico
Sporočilo učencem
Milena:
Računamo od 10 do 20 (90,42%), drobne napake, reševalaprizadevno in hitro. Lep napredek(marec)
Prehod 23/29: ne obvlada zapisa na daljši način (april)
Milena, pridna si, samo teh drobnih napak ne bi bilo treba. Še bolj pazi in drugič bo vse prav. 66 točk, 90,42%
Milena, prepričana sem, da znaš tudi bolje. Malo boš še vadila, kajne?
David:
David je delal s prstki in paličicami 12/20
David, še kar nekaj dela naju čaka. Tudi nalog z besedilom se bova lotila.
Miha:
PISNO: ne pozna števil(sept), zelo rad prepisuje(okt), negotov pri reševanju nalog, slabo utrjena snov(jan), računa do 20 s ponazorili, pri raznovrstnih nalogah se ne znajde(mar), samostojen pri reševanju, pomaga si s ponazorili, rezultati so večinoma pravilni(maj)
USTNO: vse računa s ponazorili, tu in tam na pamet(jan), delno na pamet(maj)
BESEDILNE NALOGE:
Ne razume besedila(jan), preproste reši(maj)
ŠTEVILSKE PREDSTAVE: do 10, pomaga si s ponazorili(jan), do 20 s ponazorili (mar), oblikovane(maj)
Miha, veliko že znaš. Bolje bi iblo, če bi naloge šenekoliko natančneje pregledal (apr)
Miha! Bravo! Danes si naloge res dobro rešil. Čestitam, ker si se veliko naučil (maj)

162. (ocenjevanje znanja po vzgojno-izobraževalnih obdobjih)
Zakonske določbe
Pravilnik o preverjanju in ocenjevanju znanja ter napredovanju učencev v 9-letni osnovni šoli (Ur.l. RS, št. 61/1999, 64/2003, 75/2004)
3. člen
(preverjanje znanja)
S preverjanjem znanja se zbirajo informacije o tem, kako učenec razume učne vsebine. Učitelj preverja znanje učenca pred, med in ob koncu obravnave novih učnih vsebin./…/    Učiteljevi zapisi, pridobljeni pri preverjanju znanja, se ne smejo pretvoriti v ocene.
4. člen
(ocenjevanje znanja)
Ocenjevanje znanja je ugotavljanje in vrednotenje doseženega znanja. Ocenjevanje znanja določene učne snovi se med šolskim letom opravlja po tem, ko je bila učna snov posredovana, utrjena in je bilo preverjeno, da so jo učenci razumeli ter osvojili.
13. člen
(ocenjevanje znanja po vzgojno-izobraževalnih obdobjih)
V prvem vzgojno-izobraževalnem obdobju se znanje učencev ocenjuje z opisnimi ocenami.     V drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju se znanje učencev med šolskim letom ocenjuje z opisnimi in številčnimi ocenami, na koncu pouka v šolskem letu pa s številčnimi ocenami.     V tretjem vzgojno-izobraževalnem obdobju se znanje učencev ocenjuje s številčnimi ocenami.
14. člen
(ocene)
Opisna ocena je z besedami izražen napredek učenca glede na doseganje v učnih načrtih opredeljenih ciljev oziroma standardov znanja.     S številčnim ocenjevanjem se oceni znanje učencev na lestvici od 1 do 5. Številčne ocene so: nezadostno (1), zadostno (2), dobro (3), prav dobro (4), odlično (5).     Ocena nezadostno (1) je negativna, druge ocene so pozitivne. Z negativno oceno je ocenjen učenec, ki ne doseže minimalnih standardov znanja, določenih v učnih načrtih.
29. člen
(napredovanje učencev v prvem in drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju)
Učenci v prvem in drugem vzgojno-izobraževalnem obdobju razredov ne ponavljajo.     Ne glede na določbo prejšnjega odstavka lahko učenec zaradi slabšega učnega uspeha, ki je posledica daljše odsotnosti, zaradi bolezni, preselitve, ali zaradi drugih opravičljivih razlogov, izjemoma ponavlja razred, če to zahtevajo njegovi starši. Zahteva staršev mora biti podana najkasneje do konca pouka v šolskem letu.     Učenec ponavlja razred tudi na predlog učitelja in šolske svetovalne službe v soglasju s starši. Šola mora starše o predlogu za ponavljanje obvestiti najkasneje mesec dni pred zaključkom pouka v šolskem letu.     Odločitev o ponavljanju sprejme učiteljski zbor šole.

163. Razdevšek Pučko, C. (1999). Opisno ocenjevanje.
“Tisti hip, ko bi hoteli individualizirano opisno oceno nadomestiti z lestvicami, šablonskimi sodbami ali vzorci besednih zvez, bi se torej odpovedali bistvu opisnega ocenjevanja.”
Zakon o osnovni šoli
61. člen
(načini ocenjevanja)
Znanje učencev se v osnovni šoli ocenjuje opisno oziroma številčno.
 V prvem obdobju osnovne šole se učenčevo znanje ocenjuje opisno.
V drugem obdobju osnovne šole se učenčevo znanje pri vseh predmetih ocenjuje številčno in opisno.
 V tretjem obdobju osnovne šole se učenčevo znanje ocenjuje številčno.

164. Učiteljeva “opravila” pri opisnem ocenjevanju
0. Organizacija pouka, ki omogoča opazovanje in sprotno beleženje (dobro načrtovanje ciljev in primernih dejavnosti)
1. Sprotno beleženje na ekonomičen način
2. Zbiranje informacij o dosežkih v portfelju
3. Oblikovanje sprotnih povratnih informacij
4. Pisanje medletnih sporočil staršem in pisanje končnih opisnih ocen

165. Opisno ocenjevanje je oblika ocenjevanja, kjer je mnenje o učenčevem znanju in izdelku izraženo v besedni-opisni obliki. V tem mnenju je poudarjeno, KAJ UČENEC ZNA ALI OBVLADA, ČESA MOREBITI ŠE NE OBVLADA IN KAJ MORA ŠE NAREDITI (sam ali z učiteljem/ico in starši), DA BO MOREBITNE POMANJKLJIVOSTI ODPRAVIL
Opisne ocene so analitične. (učenčevo znanje je razčlenjeno)
spoznavno področje (kaj zna, razume, kako primerja, uporablja,…)
psihomotorično področje (kako piše, nariše, naredi, izvaja,…)
motivacijsko-čustveno področje( kako si prizadeva, kaj ga zanima, kako presoja,…)
socialno področje(sodeluje, pomaga, daje spodbude,…)
Lastnosti, ki jih razvija šola: ustvarjalnost, samostojnost, vodenje in usmerjanje drugih, vztrajnost, natančnost, pomoč drugim, sodelovanje, dajanje pobud,..

166. Opazovanje, beleženje, spremljanje
KAJ? Doseganje ciljev, pri čemer smo pozorni na PROCESE IN REZULTATE
KAKO IN KAM? RAZLIČNI MODELI
Primer: Tine
OBLIKOVANJE OPISNE OCENE:
Opis doseženih ciljev
Opozorilo na morebitne pomanjkljivosti ali težave
Primerjava s prejšnjimi ali običajnimi dosežki
Usmeritve za nadaljnje delo

167. Novak, M. (2004). Primeri vprašanj, nalog in dejavnosti za poučevanje, preverjanje in ocenjevanje znanja (razredni pouk) ZRSŠ Geometrijski liki

168. Pisni preizkusi-ocenjevani
Zapišemo cilje, taksonomske stopnje in standarde znanja
Primer: Seštevanje do 100 (3.r)
Cilji: - poišče vsoto (proceduralni;minimalni)
- določi neznani člen (konceptualni;temeljni)
- reši neenakost (konceptualni;simbolni;temeljni)
- reši enostaven problem(konceptualno simbolni in konceptualni slikovni;temeljni)
- reši sestavljen problem (problemski; zahtevnejši)

169. 2. Izberemo naloge, ki jih kasneje dopolnjujemo in popravljamo
naloga
Izračunaj! 24+47=…… 4 računi
2. naloga
Koliko jabolk je v pokriti košari?
(slika tehtnice, na desni 17 jabolk v košari in pokrita košara, na levi 36 jabolk v košari)..slikovna reprezentacija pojma
3. Naloga
Izračunaj +56=84….2 računa
4. naloga.
Vstavi znak <,>,= O (možna rešitev z lastno strategijo)..2 odnosa
5. naloga
V nedeljo smo kupili 53 jabolk, kar je 27 jabolk manj kot v ponedeljek. Koliko smo jih kupili v ponedeljek.
6. naloga
Matej je nabral 17 jabolk, Andrej 28 in Tine 14 jabolk. Marko je nabral 17 jabolk več kot Tine. Koliko jabolk so nabrali skupaj?
7. Naloga
Zapiši besedilno nalogo z računom 17+36=53

170. 3. Preverimo časovni okvir in grobo taksonomsko razdelitev
Časovni preizkus:
a) Prvo reševanje…1.razred..x 8-10
3.razred…x 5-6
5.razred….x 3
b) 1. razred max 15 min
3.razred max 25 minut
5 razred max 40 minut
Navodila..reševanje…povratna informacija. Goljufanje?
Uteženo točkovanje:
Problemsko 10 do 20%
konceptualno 30 do 60%,
proceduralno 30 do 50%
Enota = točka = enostaven račun

171. 4. Naloge točkujemo, sproti preverjamo ustreznost in jih dopolnjujemo
naloga Izračunaj! 24+47=……
4 računi…..…4 točke..
2. naloga Koliko jabolk je v pokriti košari? (slika tehtnice, na desni 17 jabolk v košari in pokrita košara, na levi 36 jabolk v košari)..slikovna reprezentacija pojma
Nastaviti enačbo: .operacija….neznani člen….levo-desno(p)…3 točke
Rešiti enačbo: izbrati operacijo…izračunati račun….2 točke
3. naloga Izračunaj +56=84….
2 računa po 1,5 točke ….3 točk
4. Naloga. Vstavi znak <,>,= O34+29 (možna rešitev z lastno strategijo)…2 odnosa…
vsak račun točka..velikostni odnos 0,5 točke=2 ·2+2 ·0.5=5 točk
5. naloga V nedeljo smo kupili 53 jabolk, kar je 27 jabolk manj kot v ponedeljek. Koliko smo jih kupili v ponedeljek.
Nastaviti račun..2 točki
Izračunati račun… 1 točka
Podati odgovor …1 točka…..4 točke
6. Naloga Matej je nabral 17 jabolk, Andrej 28 in Tine 14 jabolk. Koliko jabolk so nabrali skupaj?
Nastaviti račun/računa… 2 točki
Izračunati račun/račune… ….2 operaciji…2 točki
Podati odgovor 1 točka
5 točk
7. Naloga Zapiši besedilno nalogo z računom 17+36=53
…..5 točk; pravilna računska operacija (3 točke), številska smiselnost, jezikovna smiselnost.

172. 5.Pregled taksonomskih stopenj
proceduralni
konceptualni
problemski
skupaj 1. 4 1 2. 3 5 3. 2 6 4. 5. 6. 7.
14..41%
13..38%
5…18% 34

173. 6. Lestvica ocenjevanja Standardi a) Minimalni standard:
Cilji, ki jih naj dosežejo vsi učenci;cilji, ki pogojujejo napredovanje (zd 2) 14 proceduralnih točk + velikostni odnosi….50%
Točke, ki so potrebne za oceno 2 morajo biti pokrite z minimalnimi cilji
b) Temeljni standard:
Cilji, ki jih doseže večina učencev (ocena3-4)
c) Zahtevnejši standard: ocena 5…
90%- 100%
2. Kriterij, ki upošteva normalno razporeditev (Gaussova krivulja povprečne populacije 9letnikov)
50-60%…zd 2
61-75%…db 3
76-90%…pdb 4
90%-100%..odl 5
3. Izhodiščni točkovnik
zd 2
db 3
pdb4
odl 5
4. Naknadna ekvilibracija testirane populacijeprirejen kriterij

174. 7. Pregled doseženosti ciljev
1. poišče vsoto
2. določi neznani člen
3. reši neenakost
4. reši enostaven problem
5. reši sestavljen problem
dosežen
Delno dosežen
Ni dosežen 1. 2. 3. 4. 5.

175. (v desno pomaknjen Gauss) delež popolnoma rešenih nalog
8. Analiza
Statistični kazalci:
- povprečna ocena,
razpršenost ocen
(v desno pomaknjen Gauss)
delež popolnoma rešenih nalog
analiza nalog

176. Doseženost taksonomskih stopenj in standardov znanja

177. Matematika ko jezik Matematika = Angleščina ?? Karakteristike jezika
simboli 3,4,5,+,-,..
slovnica… izrazi
definicije jezika (je jezik govorjen ali pisan?)
(Chomsky..poenostavljen).. Jezikovna sposobnost je notranja sposobnost, ki izkušnjo spremeni v sistem znanja.
(Colling)..medij interakcije med ljudmi
Standardi NCTM pozivajo k večji verbalni komunikaciji pri urah matematike!

178. 2. Matematika kot zapisan jezik
matematika je simbolični jezik ?(enako število simbolov v matematiki in angleščini, manj kot v kitajščini
Jeziki si “izposojajo” besede:
operacija, predhodnik, naslednik, tetiva, površina, telo ipd morajo biti posebej natanko definirane (prediskutirane, da dosežemo postopek usklajevanja)
Trikotnik si je slovenščina izposodila od matematike
Včasih se ne zavedamo v katerem jeziku govorimo (CD? Ang?)
Kateri stavki vsebujejo števila in kateri ne? (recimo, da so zapisani v kontekstu dnevnega časopisja)
Silvija ima tri brate
Boby je prvi v vrsti
Moja telefonska številka je
Stanujem v Makedonski ulici 32 (sodost, lihost..stran ulice?)
Pica stane 10.95$ (denar<>matematike?)
Polovica senatorjev je volila Timija.
V 80ih letih se je povečal delež študentov, ki jih je zanimala znanost. (interval od povečati je matematični termin)

179. algebra?
3+=25 3+x=25 algebra-aritmetika?
Izmislite si število, ter si ga zapišite. Prištejte mu dve. Rezultat delite z izbranim številom. Sedaj rezultat pomnožite s 5, ter od dobljenega odštejte 5. Povejte mi vaš rezultat, pa vam po vem, katero število ste izbrali
Rezultat=5( (a+2)/a)-5=5(1+2/a)-5=10/a
A=10/rezultat

180. 4. Matematika kot slikovni jezik
3. Matematika kot govorjeni jezik
najtežje se otroci naučijo imen (verbalnih) za števila (enajst, dvanajst, trinajst <>ena_in_dvajset, sedem_in_šestdeset);
Branje matematičnih zapisov je bistvenega pomena za memorizacijo.
1.razred 1<7..število 1 je manjše od števila 7
5. Razred p|| q…premica p je vzporedna s premico q
4. Matematika kot slikovni jezik
a)oznaka točke
b)prikaz premice
c)deli celote
d) Diagrami
Tudi glasba ima to lastnost (note!) Podobno hieroglifi.
5. Matematika kot tuji jezik
doma ne govorimo “matematično”
Melodija jezika se najlažje uči zelo rano (npr. ang. Th..artikli v nem.)
Z učenjem matematike je pametno začeti zelo zgodaj, čeprav ne moremo pričakovati relacijskega razumevanja.

181. 6. Matematika kot mrtvi jezik
“Čemu se to učimo?”..znak za alarm..matematika=latinščina tj. razmeroma neuporabna.
pisno deljenje jemrtvo
Pisno množenje umira
Kalkulatorji in grafična računala rišejo diagrame
Če učimo matematiko brez reference na uporabnost učimo mrtev jezik!
7. Matematika kot jezik nesmislov
poštevanka brez razumevanja je nesmiselna. Otrok, ki ve, da je 6x9=54, a ne ve koliko je 5x9 ali 7x9 se (z njegovega stališča) uči nesmislov.
Človeški um se lahko uči nesmislov, a priklic je mnogo manjši kot v smiselni razporeditvi.
Primerjaj priklic podatkov o zlogih
o to ri no la rin go log in
Log o to ri rin no go
Kognitivne mreže vladajo!

182. 8. Matematika kot abstrakten jezik
poštenost, sila, čast,..so abstraktni pojmi, a ne predstavljajo težav.O poštenosti učimo preko primerov in protiprimerov, tako učimo tudi npr. “lik”. Abstrakcija v “poštenost” ali “lik” je tem boljša več kot je doživela uskladitev.
9. Matematika kot materni jezik
Matematika je jezik kot vsak drug¨, a se jo napak uči (kot mrtev jezik, jezik nesmislov ali abstrakten jezik)
10letnik, ki govori slovensko, nemško in angleško ni nič posebnega (dodamo še “matematično”?)
“Boš pupal in papal in bubal in ajal” ??????
Premice so črte ??????
Čeprav otrok napak črkuje, lahko piše zelo dobre spise.
Če uspemo: matematika ne bo več vratar in matematiki ne bodo več pametni!

183. PREGLED VSEBIN PRI POUKU MATEMATIKE

184. Letne priprave DZS http://vedez.dzs.si/dokumenti/dokument.asp?id=472
Rokus
Modrijan
Letna priprava je UNIKATNI izdelek določenega učitelja za določeni razred!

185. Kurikulum-matematika
Globalni cilji:
seznanjanje z matematiko v vsakdanjem življenju,
Razvijanje matematičnega izražanja,
Razvijanje matematičnega mišljenja,
Razvijanje matematičnih spretnosti,
Doživljanje matematike kot prijetne izkušnje.
Matematika kot sredstvo komunikacije
Matematika kot orodje v vsakdanjem življenju
Vezi med otrokovim doživljanjem sveta in matematičnimi strukturami
Sistematično in kreativno delo
Razvijanje zaupanja v lastne matematične sposobnosti
Poznavanje pomembnih matematičnih tehnologij
Matematika kot univerzalna in stabilna interpretacija sveta

186. Cilji: Otrok spoznava grafične prikaze, jih oblikuje in odčitava,
Otrok spoznava odnos med vzrokom in posledico
Otrok se seznanja z verjetnostjo dogodkov in uporablja izraze za opisovanje verjetnosti dogodka
Otrok išče, zaznava in uporablja različne možnosti reševanja problemov
Otrok preverja smiselnost dobljene rešitve problema
Matematični pojmi in simboli
Matematični koncepti
Matematične veščine
Matematični procesi in strategije
Odnos do dela in matematike

187. 1. razred: 140 ur
2. razred: 140 ur
3. razred: 175 ur
4. razred: 175 ur
5. razred: 140 ur

188. SPLOŠNI CILJI POUKA MATEMATIKE
Matematika kot sredstvo komunikacije.
Matematika kot orodje v vsakdanjem življenju
Sistematično in kreativno delo
Poglabljanje matematičnih znanj (pomembnih matematičnih vsebin, procesov in nadzornih znanj)
Razvijanje zaupanja v lastne matematične sposobnosti
Poznavanje pomembnih matematičnih tehnologij
Matematika kot univerzalna in stabilna interpretacija sveta

189. SPECIFIČNI CILJI POUKA MATEMATIKE
1. Matematični pojmi in simboli
Osnovna matematična abeceda:
Matematična terminologija (npr. imena števil, likov, operacij, večji, manjši, enak),
matematični simbolizem (npr = 7),
matematične konvencije (npr. standardne merske enote, upoštevanje prednosti operacij),
določeni rezultati (memoriranje računa npr. učencu pomaga pri izračunu 6 + 7)

190. 2. Matematični koncepti
osnovni matematični koncepti in strukture npr. seštevanje, odštevanje, pravilnost,…
ne le kot samostojne enote, ampak v povezavi z drugimi matematičnimi koncepti in strukturami.
obravnavani tudi v kontekstu izvenmatematičnih znanj in okolij ter v različnih učnih situacijah.

191. osnovne računske operacije, praktične veščine (npr. merjenje),
3. Matematične veščine
osnovne računske operacije,
praktične veščine (npr. merjenje),
osnove matematične komunikacije
uporaba različnih tehnologij (ustni in pisni algoritmi, uporaba različnih računskih pripomočkov).

192. 4. Matematični procesi in strategije
Procesi so npr.:
iskanje vzorcev,
ocenjevanje rezultata,
razgraditev kompleksnega problema na posamezne naloge,
utemeljevanje,
oblikovanje in preverjanje hipotez,
posploševanje.
Strategije lahko razumemo kot zaporedje miselnih procesov.

193. 4. Odnos do dela in matematike
Rešitev matematičnih nalog in nasploh matematično znanje
NI stvar sreče ali posebnega daru,
TEMVEČ plod
predhodnega znanja,
refleksije,
delavnosti in
motiviranosti.

194. ŠTEVILA IN RAČUNSKE OPERACIJE-obseg do 10
Koncept števila
Predštevilsko obdobje (subitizacija)
Ordinalni vidik števila
Kardinalni vidik števila
Relativna velikost števila
Simbolni vidik
Operacije
Seštevanje
Odštevanje

195. 1. Predštevilsko obdobje
Subitizacija
(hitro prepoznavanje števila oz. direktno perceptualno razumevanje kardinalnosti množice)
Poznamo dva tipa:
Perceptualna subitizacija
Prepoznati število brez uporabe matematičnih procesov
Konceptualna subitizacija
Uporablja urejenost vzorcev npr. domina 6=3+3
Pred 6-mesečnim otrokom visijo 3 slike: na prvi je ena pika, na drugi so tri pike in na tretji sta dve piki. Otrok sliši tri udarce po bobnu. Pogleda sliko s tremi pikami.
Nekateri šolski otroci ne prepoznajo števila pik na igralni kocki.

196. Subitizacija in štetje
7letnik:
Ko sem bil star približno 4 leta, sem bil v vrtcu. Vse kar sem znal je bilo štetje. In tako sem npr. štel: 1,2,3,4,5,6,7,8,9 kar sem znal na pamet. Tako sem počel tudi ko sem bil star 5 let. Potem pa sem naenkrat poznal devet na pamet in bilo je točno takšno
Raziskave: najlažji so pravokotni vzorci, sledijo linearni, krožni. Na koncu so neurejene množice.
Subitizacija je pomembna matematična veščina. V šolah vzpodbujamo konceptualno subitizacijo ker:
Razvija koncept števila (konzervacija, štetje, razstavljanje, sestavljanje števil)
Je komponenta vizualizacije
Razvija domišljijo
Povezuje prostorsko prestavo z aritmetičnimi sposobnostmi
Vzorci in relacije so prvi algebraični pojmi
Vzpodbuja ocenjevanje

197. Aktivnosti Preluknjaj in kaži na grafoskopu Hitra slika
Konstruiranje hitre slike
Memory, Črni Peter
Poišči pravo karto (verbalni, simbolni ključ)
Napovej število, ki je za ena manjše ali za ena večje od pokazane “hitre slike”
Principi slik:
Skupine naj ne bodo vpete v slikovni kontekst
Preproste oblike (krogi, kvadrati) naj predstavljajo enoto
Pravilne razporedtive naj se poudarjajo
Dobri kontrasti

198. Subitizacija kot vizualizacija seštevanja
Različne razporeditve istega števila
Subitizacija kot vizualizacija seštevanja

199. 2. Ordinalni vidik Razumejo proces štetja
Ne povezujejo še procesa štetja z njegovim rezultatom tj. da je zadnje našteto število enako velikosti množice in da je kot takšno invariantno

200. 3. Kardinalni vidik
Smiselno dobro štejejo: prirejajo in povežejo ordinalni in kardinalni vidik
Sposobni so prirediti množici število
Niso sposobni obratnega procesa: ne zmorejo primerjati množic glede na vrstni red pripadajočih kardinalnih števil

201. Osnovni principi štetja, ki jih mora otrok dojeti preden lahko trdimo, da šteje:
Prirejanje (bijekcija, 1-1)
Omogoči otroku, da priredi besedo za štetje objektu, ki ga trenutno prešteva.
2. Princip trdne ureditve
Omogoča otroku mehanično navajanje besed za števila v običajnem vrstnem redu
3. Kardinalni princip
Dojemanje tega principa je centralno za otrokovo zmožnost seštevanja ali odštevanja
4. Princip abstrakcije
Število je lahko skupna lastnost različnih predmetov; otrok lahko npr. označi množico “stvari na mizi” kot “štiri stvari”.
5. Princip irelevantnosti vrstnega reda
Omogoči otroku pričetek štetja pri kateremkoli predmetu.

202. 4. Relativna velikost števil (5 let)
Razlikujejo med velikostmi dveh množic (do 10)

203. Ne vpeljujmo simbolnega zapisa prehitro!!
5. Simbolni vidik
verbalno znanje je dovolj za reševanje preprostih problemov
Prepoznavanje simbolov za števila
Zapisovanje in branje števil
Pravilen zapis števil
Ne vpeljujmo simbolnega zapisa prehitro!!
Navodila za zapis števk:
Groba motirika (s rstom po zraku, z barvnimi kredami po tabli, z različnimi pisali na velike površine, pri čemer številke večkrat prevlečemeo
Fina motorika ( s prstom po mizi, po majhni radirki, po notranji strani druge roke)
Zvezek ali učni list (s prstom sledimo zapisni številki, s pisalom brez prekinitve prevlečemo številko, v kvadratke pišemo samostojne številke)
Dodatne vaje (gnetenje številk, oblikovanje številk iz žice, volne, pisanje številk z zaprtimi očmi, številke napisane z lepilom posipljemo z zdrobom ipd., pisanje po pesku, mnemotehnične slike: 1=žirafa, 2=raca, 3=snežak, 4=miš, 5=jabolko, 6=muca, 7=dinozaver, 8= piščanček, 9=dojenček, 10=polž)

204. 6. Seštevanje in odštevanje
Konkretno razumevanje (3-5 let)
Razvoj strategij (6-8 let)
Otrok mora:
Poznati pomen operacije v konkretnih situacijah
Znati izvajati računsko operacijo
Razumeti strukturne posebnosti operacije

205. a)pomen operacije v konkretnih situacijah
Diskretni model
3+2=5
5-3=2
5-2=3

206. ii) Zvezna dolžina
3+2=5
5-3=2
5-2=3

207. Unija
John ima 3 velike avtomobilčke in dva majhna. Koliko avtomobilčkov ima skupaj?
Primerjanje
John ima 3 avtomobilčke. Jane ima 2 avtomibilka več kot John. Koliko avtomobilčkov ima Jane?
Komplementarno odštevanje
John da 2 avtomobila Jane. Ostali so mu 3. Koliko jih je imel na začetku?
Vektorsko odštevanje
To jutro je John izgubil 2 avtomobilčka. Popoldan je imel 3 avtomobilčke več kot pri zajtrku. Koliko avtomobilčkov je našel popoldan?
SEŠTEVANJE
Prištevanje
John ima 3 avtomobilčke, kupi še 2. Koliko jih ima?

208. Seštevanje Primerjanje
John ima 3 avtomobilčke. Jane ima 2 avtomobilčka več kot John. Koliko avtomobilčkov ima Jane?
Statično
Stanje-odnos-stanje
Komplementarno odštevanje
John da 2 avtomobila Jane. Ostali so mu 3. Koliko jih je imel na začetku?
Odvzemanje
Dinamično
Stanje-transformacija-stanje
Unija
John ima 3 velike avtomobilčke in dva majhna. Koliko avtomobilčkov ima skupaj?
Del-del-celota
Statično
Stanje-stanje-stanje
Prištevanje
John ima 3 avtomobilčke, kupi še 2. Koliko jih ima?
Združevanje
Dinamično
Stanje-transformacija-stanje 3 +2 3 2 +2 3 -2 3

209. Odvzemanje, dodajanje, izničevanje
Vektorsko odštevanje
To jutro je John izgubil 2 avtomobilčka. Popoldan je imel 3 avtomobilčke več kot pri zajtrku. Koliko avtomobilčkov je našel popoldan?
Odvzemanje, dodajanje, izničevanje
Vektorsko, ker imamo nasprotne znake, ki se izničijo
Transformacija-transformacija-transformacija -2 +3

210. ODŠTEVANJE Vektorsko odštevanje
John je danes izgubil 5 avtomobilčkov. Dopoldan je izgubil 3. Koliko jih je izgubil popoldan?
ODŠTEVANJE
Vzemi stran
John ima 5 avtomobilov. Izgubi 3. Koliko mu jih je ostalo?
Primerjanje
Jane ima 5 avtomobilčkov in John ima 3.
Koliko avtomobilčkov več ima Jane kot John
Koliko manj avtomobilčkov ima John kot Jane
Kakšna je razlika med številom avtomobilčkov, ki jih ima Jane in številom avtomobilčkov, ki jih ima John?
Komplementarno seštevanje-unija
John ima 5 avtomobilčkov. Veliki so 3. Koliko je majhnih?
Komplementarno seštevanje-došteti
John ima nekaj avtomobilčkov. Kupil je še 3. sedaj jih ima 5. Koliko jih je imel na začetku?
Komplementarno seštevanje-prišteti
John želi 5 avtomobilčkov. Ima že 3. Koliko jih še potrebuje?

211. c)Razumeti strukturne posebnosti operacije
1. Nevtralen element
Število se ne spremeni, če mu dodamo ali odvzamemo 0.
2. Komutativnost
Seštevanje lahko izvajamo v obratnem vrstnem redu, odštevanja ne moremo.
3. Asociativnost
Če izvajamo več operacij seštevanja hkrati jih lahko poljubno kombiniramo v pare. Za odštevanje to ne velja.
4. Invariantnost
Enaki števili se ne spremenita, če na njima izvedemo identično operacijo
3+5=2+6  (3+5)-4=(2+6)-4
5. Inverzna operacija
3+5=8 je ekvivalentno 8-5=3
8-3=5
Če so na levi strani gugalnice 3 rdeči in 5 modrih lončkov, na desni pa 2 rdeča in 6 modrih, je gugalnica v ravnovesju. Kaj se zgodi, če na obeh straneh vzamem 4 katerekoli lončke stran?

212. Postopna simbolizacija
x x
Enaktivni nivo-verbalizacija
Ikonični nivo-verbalizacija
Simbolni nivo-verbalizacija

213. Števila v drugi desetici
Poudarjen mestnovrednostni zapis!
11=10+1
12=10+2
13=10+3
14=10+4
15=10+5
Izkušnje iz vsakdanjega življenja:
Makedonska 32
100 ljudi
Milijon stvari
Brez občutka za velikost 1 1 10
Predznanje:
Povprečni 5 letniki štejejo do 20

214. Ideja grupiranja:
Iščemo velikost množice:
Najprej jo preoblikujemo v:
Kar nam omogoči zapis 15=10+5

215. Vaja: Mama je kupila pepermint bonbone
Vaja: Mama je kupila pepermint bonbone. Nekatere je zavila kot darilce na zabavi.
Mama na zabavi odda
Koliko bonbonov ji je ostalo?
Le 40% 8-9 let starih otrok vpraša “pravo” vprašanje, za ostale je problem nerešljiv.

216. Zapisovanje in branje
V slovenščini se števila do 20 berejo “nepravilno”: enajst, dvanajst, trinajst, štirinajst,..
Namesto: desetena, desetdve,…
Če velikosti števila na moremo prepoznati v hipu, jo moramo ovrednotiti od desne proti levi.
Ginsburg:
faza: Otrok zapisuje število pravilno, a ne ve zakaj
faza: Zave se, da so drugi zapisi napačni (npr. 31 za trinajst)
faza: Zapis poveže z razumevanjem mestne vrednosti (npr. 1 pomeni deset in 3 pomeni tri, desetin tri je trinajst).
25% 15 letnikov še ne doseže 3.faze (petstotritisočdve)
Število 0 drži mestno vrednost v zapisu (npr. 10..enkrat deset in 0krat 1)

217. Preden preidemo na števila v drugi desetici mora otrok:
Poznati kardinalnost števil od 0 do 9 (npr. pokažemu mu 5 objektov, otrok reče “pet” in obratno)
Šteti do 10.
Poznati in pisati simbole za števila od 0 do 9 in jih povezati z množicami
Aktivnosti:
Povezovati svinčnike v snopič po deset in ostanek; polagati kroglice v vrečke po deset;
Nanizati kroglice na vrvice po deset
Dienesove kocke
Cuisenairove kocke (desetica nima oznak za enice)
Uporaba objekta, ki predstavlja “deset” in se od objekta za “ena” razlikuje le v npr. barvi.
Pozicijsko računalo (šele na koncu tj. v 2. razredu!!)

218. Prehod
Ustni algoritem (algoritem je mehanična operacija, ki jo izvajamo korak za korakom); lahko je pisni (4.razred), ustni (2.in 3. razred) ali samo miselni (1. razred).
Učenci se mnogokrat ne zavedajo, da obstajajo različne strategije za računanje, saj jim je predstavljen le en model (npr. dopolnjevanje do desetice).
Dokler otroci ne razumejo mestnovrednostnega zapisa je algoritem le seznam pravil, ki so nepovezana z vsakdanjim življenjem.
Učimo koncept seštevanja in ne algoritem seštevanja!

219. Računanje v drugi desetici
Simbolni nivo
“Majhni računi” =2
“Veliki računi” =6
Miselna dejavnost postaja rutinskamnemotehnična sredstva (barva, pozicija ipd.)
VERBALIZACIJA
Kako računamo?
Odštejemo lahko samo “enice” tj. zadnji števki. ZAKAJ? Ker “veliko skupino” odštejemo v celoti in je torej 10-10=0. “Enka”=desetica torej vedno izgine
Enaktivni nivo
“Problem of the day”
Mojca in Tinka imata skupaj 18 kock. Tinka ima 12 kock več kot Mojca.
VERBALIZACIJA
Kaj smo počeli?
Najprej smo dali na stran kocke, ki so prav gotovo Tinkine, nato smo….
Učitelj usmeri pozornost samo v ta del
Ikonični nivo
Narišimo kocke
Narišimo vedno bolj abstrahirane reprezentacije.
Ponazorimo MISELNO POT
Narisali smo 18 kock. (Kako?) Skupino 10ih in skupino 6ih. Nato smo jih 16 prečrtali. (Kako?) Celotno skupino 10h in še 2.

220. Dopolnjevanje do desetice5
Aktivirati predznanje:
razdruževanje števil 7=□+ □
dopolnjevanje do deset 3+ □ =10
Zakon o združevanju na konkretnem nivoju
Prištevanje enic k deset
Škatle z jajci
Postopna simbolizacija
Zapis miselne poti
= = = 15 3

221. 21.11 1. Razširitev obsega števil do 100.
Spoznajo novo desetiško enoto: stotica (S)
in odnose med znanimi desetiškimi enotami 1S=10D
1S=100E
Ponazoriti, zapisati prebrati števila
snopiči paličic, stolpiči link kock, Cuisenairove paličice, kocke za ponazarjanje desetiških enot, čepki,
razredno računalo s kroglicami,…
Opomba: pišemo najprej D, potem E
beremo najprej E potem D
Pripomoček za urjenje zapisovanja in branja do 100: št. trak in stotični kvadrat.
Faze: 1. Desetična števila (10,20,30,40,…)
2. Poljubna dvomestna števila

222. Števila urejamo po velikosti
Ob pripomočku
Ob shematični ponazoritvi
Ob simbolnem zapisu
ZAKLJUČEK:
“Najprej primerjam desetice in šele nato enice”

223. Poiščemo predhodnik in naslednik
Ob številskem traku in stotičnem kvadratu
Lahko ju tudi izračunamo
Posebna pozornost “težjim” primerom

224. Nadaljujemo preprosto zaporedje
2,4,6,8, ???
1,3,5,7, ???
1,3,6,10,??? Trikotna števila
4,9,16,25,??? Kvadratna števila
1,3,5,7,???

225. Seštevanje in odštevanje v obsegu do 100-2.razred
2.1. Seštevanje desetic
2.2. Odštevanje desetic
2.2. Prištevanje enic k deseticam 20+4
2.3. Prištevanje enic k dvomest.
številom brez prehoda
2.4. Odštevanje do desetičnega
števila
2.5. Seštevanje do desetičnega
števila
2.6. Prištevanje destic k dvomest.
številu
2.7. Seštevanje dvomestnih števil
brez prehoda
2.8. Odštevanje dvomestnih števil
brez prehoda

226. Seštevanje in odštevanje v obsegu do 100-3.razred
3.1. Prištevamo enice s
prehodom
3.2. Seštevanje dvomest.
števil s prehodom
3.3. Odštevanje enic od
desetičnih števil
3.4. Odštevanje enic s
prehodom

227. Primerni pripomočki Škatle po 10 jajc Gumbi, zamaški, krožci…v vrečkah
Denar
Jakopeta
Niz 100 kroglic
Paličice v snopičih
Računalo
Link kocke
Plošča s čepki
Stotični kvadrat
Številski trak

228. Seštevanje in odštevanje desetic
Povezava z računanjem v prvi desetici
3+2= E+2E=5E
30+20=50 3D+2D=5D
Izhajamo iz ustrezne ponazoritve
Cilj: učenci računajo na pamet brez ponazoril

229. Prištevanje in odštevanje enic brez prehoda
30+7 (izhodišče za zapis dvomestnih števil)
32+4 (zakon o združevanju)
32+4=(30+2)+4=30+(2+4)=30+6=36
(miselna pot!!)
ODŠTEVANJE
40-4 težji primer

230. Seštevanje in odštevanje desetic in poljubnih dvomestnih števil
Izhajamo iz seštevanja in odštevanja desetic
Učenci iz ustreznega problema izluščijo račun in ga ponazorijo

231. Seštevanje in odštevanje dvomestnih števil brez prehoda
Učenci nove zapise primerjajo z že znanimi
Ugotavljajo da sta obe števili, s katerimi računajo, sestavljeni iz D in E
Dani primer ponazorijo, predlagajo računski postopek
Dogovorimo se za:
23+34= =53+4=75
68-25= =48-5=43
OPOZORILO: preprečiti “napačno pisno” računanje

232. Prištevanje in odštevanje enic s prehodom
Znanje, pridobljeno ob prehodu čez 10 posplošimo
Ponazarjamo z ustreznimi pripomočki
28+6=28+2+4=30+4=34
54-9=54-4-5=50-5=45

233. Seštevanje in odštevanje dvomestnih števil s prehodom
38+15= =48+5=48+2+3=
=50+3=53
42-14= =32-4=32-2-2=
=30-2=28

234. Množenje Uvajamo z razumevanjem, težimo k avtomatizaciji
Najprej spoznajo koncept množenja, znak krat in poimenovanje faktor, faktor, produkt
Oblikujejo enako močne množice
Opisujejo sliko in ji priredijo račun (konceptualno 3•5 ni enako kot 3•5)
Vsoto enakih seštevancev zapišejo kot produkt

235. Deljenje Uvedemo ga z dvema vrstama problemov:
V obeh primerih je podano število predmetov pred dejavnostjo.
RAZDELJEVANJE (partitivno deljenje, porazdeljevanje, Grouping-by-Divisor condition )
MERJENJE (kvocientno deljenje, poravnavanje, Grouping-by-Quotient condition)

236. Merjenje Iščemo število enakomočnih množic
Mama razdeli 12 jabolk na krožnike tako, da na vsakega položi po 4 jabolka.
Slikovna ponazoritev: obkrožanje
Ponavljajoče se odštevanje

237. Razdeljevanje Iščemo število članov v eni izmed množic
Mama razdeli 12 jabolk pravično na 3 krožnike.
Slikovna ponazoritev:
“enega meni-enega tebi”
Bolj razširjena psihološka predstava o deljenju

238. Poštevanka in količniki vezani nanjo
Poštevanka in večkratnik sta nova pojma
Poštevanka števila A je seznam desetih računov množenja, kjer je drugi faktor fiksno število A, prvi faktor pa je 1..10
Večkratniki števila A so zmnožki iz poštevanke števila A
Zapiši poštevanko števila 7, večkratnike števila 2 in povej katero število je petkratnik števila šest!
Poštevanka in deljenje se prepletata
Najprej obravnavamo poštevanko, sledi deljenje s tem številom. POZOR: merjenje razdeljevanje!!
Vrstni red obravnave 2,4,10,5,3,6,8,9,7,1
Obravnava naj bo pestra (vaje..problemski pristop)

239. Deljenje brez ostanka s preizkusom Deljenje z ostankom s preizkusom 14:4=3,ost.2 ker je 14=3.4+2
Pri uvedbi izhajamo iz konkretne dejavnosti
Preizkus je zagotovilo za razumevanje Piaget(1952) trdi, da morajo biti operacije usklajene, da bi jih resnično asimilirali.
Pogoj je dobro znanje poštevanke
Nov pojem: ostanek
Cilj:deljenje z ostankom obvladajo na abstraktnem nivoju Kako računamo?Poiščemo najbližji večkratnik št.4. To je 12. Kolikokrat po 4 je 12? Trikrat 4 je 12. Koliko je še potrebno do 13? To je naš ostanek.
V začetku naj bodo delitelji majhni (do 5)

240. Sestavljeni računi oz. prioritete računskih operacij
Enostavni računi…sestavljeni računi (ena/dve računski operaciji)
V 1. razredu seštevanje in odštevanje
V 3. razredu spoznajo račune, ki vsebujejo množenje/deljenje ter seštevanje/odštevanje
ZAKAJ ima množenje prednost???
V 4. /5. razredu številski izrazi brez/z oklepaji + oznako x v preprostem izrazu zamenjati z danim številom in izračunati vrednost (spremeljivke)

241. Števila in računske operacije-obseg do 1000
Razširitev številskega obsega do 1000
Seštevanje in odštevanje
Enačbe
Množenje in deljenje
Deli celote
Pisno računanje

242. 856…osemsto šestinpetdeset
Razširitev številskega obsega do Ponazoriti, zapisovati in brati 2. Nova desetiška enota 3. Urejati po velikosti 4. Poiskati predhodnik in naslednik 5. Nadaljevati preprosto zaporedje
Faze: 1. Stotična števila (100,200,300,400,…)
2. Desetična števila (310,320,330,…)
3. Poljubna trimestna števila
1. Ponazoriti: kocke za ponazarjanje števil s pomočjo desetiških enot, denar, pozicijsko računalo
Zapisovati: s simboli in z besedo
Opombe: Pišemo od leve proti desni, zapis šele ,ko je celo število prebrano; KORELACIJA z jezikom
856…osemsto šestinpetdeset
2. Stotica (S) in odnosi
1S=10D 1S=100E
3. Števila urejamo po velikosti (pripomoček, shematična ponazoritev, simbolni zapis)
ZAKLJUČEK: “Najprej primerjam stotice, nato desetice in šele nato enice”
4. Poiščemo predhodnik in naslednik (številski trak, pozicijsko računalo, računamo)
5. Nadaljujemo preprosto zaporedje
Npr. 200,400,600,…
325,330,335,…

243. Računske operacije-seštevanje in odštevanje
3.1. Seštevanje in odštevanje stotic
3.2. Prištevanje in odštevanje enic
3.3. Seštevanje in odštevanje desetic
3.3. Prištevanje in odštevanje desetic
brez prehoda, , prehod v novo stotico, ,
prehod čez stotico ,
3.4. Prištevanje in odštevanje dvomestnih števil
brez prehoda ,852+18,
s prehodom , ,
3.5. Seštevanje in odštevanje trimestnih števil
brez prehoda
4. razred
brez prehoda
s prehodom ,

244. Enačbe Enačba….matematični zapis enačenja
Izhodiščna dejavnost…enačenje
Primer: Otroci so pobirali sadje. Tonček je nabral v košaro 26 jabolk. Košaro je položil na mizo. Mojca in Ana sta svoji košari postavili na skupno mizo. V Mojcini košari je 18 jabolk, Anina košara je pokrita.
SLIKA:
SIMBOLI:
Najprej se učenci morajo naučiti nastaviti enačbo, šele nato računamo
Primer: Na tehtnici imamo jabolka, levo je vrečka z 12 jabolki, desno vrečkas 5 jabolki in neprozorna vrečka. Tehtnica je v ravnovesju.
12 = 5+a
12-5 = 5+a-5
7 = a
Pomembno:
zapis enačbe na podlagi enačenja
uvedba pojma neznanka (oznaka za neznano število)
4. razred
postopek reševanja-algoritem (preizkus!)
Vrste enačb:
enačbe seštevanja/odštevanja/množenja/deljenja

245. Zakonitosti pri množenju in deljenju:
Množenje in deljenje
Poznajo poštevanko (množenje enomestnih števil v obsegu do 100 in deljenje dvomestnih števil z enomestnimi števili v obsegu do 100)
Dodamo:
Zakonitosti pri množenju in deljenju:
1.1. Množenje z 0 in 1, število 0 pri deljenju
a · 1=a,
a · 0=0,
0 : a = 0, a različen od 0

246. 1.2. Zakon o združevanju (3·4 )· 6= 3·(4 · 6)
Najprej enomestna 3·4 · 6, nato tudi 3 · 4 · 12
Problemska situacija npr. Mama ima v kleti 3 omare, v katere zlaga kozarce z marmelado. V vsaki izmed omar so po 4 police, na vsako polico gre 6 kozarcev.
način računanja: Koliko je polic?
način računanja: Koliko je kozarcev v eni omari?
Zakon o združevanju za odštevanje in deljenje ne velja.
Uporaba:”pametno računanje”
2·17 ·5

247. 1. 3. Zakon o razčlenjevanju
Otroci so se igrali s krožci. V eno vrsto so postavili 2 bela in 4 črne krožce. Naredili so 3 take vrstice.
Način računanja: Koliko krožcev v eni vrstici?
Način računanja: Koliko belih/črnih krožcev?
Ob primernih problemih tudi: 3 · (9-5), (9-3) ·4, (16+8):8
Uporaba: “pametno računanje”
4 · (37+63), (195-45):5
a:(b+c)=???

248. 2. Deljenje z desetičnimi števili z ostankom 140:60=
1. Množenje z desetičnimi števili (“velika poštevanka”)
15·10= 3·70=
2. Preverimo ali poznajo deljenje z ostankom v obsegu do 100
(45:6=7,ost.3poštevanka)
2. delitelj je vedno večji od ostanka.
3. “število je deljivo.”
Kdaj je ostanek 0? Kadar je deljenec večkratnik delitelja. Vsako število lahko delimo z…. Ni pa vsako število deljivo z..
4. Delimo z 10 (brez in z ostankom)
5. Delimo z ostalimi destičnimi števili.

249. 3. Reševanje enačb množenja in deljenja
Znova enačimo:
Na tehtnici je levo 27 jabolk, desno pa 3 enako velike skodelice. Koliko jabolk je v vsaki skodelici?
Lahko abstraktno ob čemer utrjujemo matematično terminologijo
npr. Poišči delitelj,če je deljenc 215 in količnik 43.)

250. 4. Soda, liha števila Ulica s hišami. 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Ali ta števila poznamo (večkratniki št. 2).
Številom, ki so deljiva z 2, pravimo soda (parna) števila.
Števila, ki niso deljiva z 2, so liha (neparna) števila.
Štejmo naprej!
Postavimo 34 krožcev v dve enako dolgi vrsti! Sedaj pa 35,36,37,…!
Veliko število? Pomembne so le enice!
Igrajmo se raz-par-či.

251. Pisno računanje 214+827=214+800+27…. Zapis ustnega seštevanja
Tudi, ko že računamo pisno, je treba gojiti ustno računanje (do 100 vedno!)
Uvajamo ga v 4. razredu.
Spoznajo algoritme za izvajanje +,-,*,:
Spoznajo da se vsi algoritmi, razen deljenja, začenjajo pri enicah
Algoritem najprej utemeljimo, kasneje avtomatiziramo.
Okvir:
Račun:
Ocena:
Pisni račun:

252. Pisno seštevanje
brez prehoda
z enim/dvema prehodoma
Vrstni red:
Za destiško enoto (npr. E)
Ponazarjanje: Kocke za ponazarjanje destiških enot
Shematizacija:
Pozicijsko računalo
Razpredelnica desetiških enot
Zapis z desetiškimi enotami
3. Simbolizacija:
Dogovor: črta pomeni enačaj
Pozor: podpisovanje (karo zvezki). Zapisujejo naj račune po nareku, da vadijo podpisovanje (tudi z večimi seštevanci)

253. 2. Pisno odštevanje
osnova: zmanjševancu in odštevancu prištejemo enako število-razlika se ne spremeni
(a+c)-(b+c)=a-b
(tudi primeri kjer c ni le 10 ali 100)
Nujno potrebno je poznavanje strategije “in koliko” (odštevanje z dopolnjevanjem)
Opozoriti: vselej je treba odštevati od zmanjševanca (otroci odštevajo od večjega števila)
NE!
342
125 56

254. Pisno množenje
najprej z enomestnim številom,
nato še z dvomestnim (4. Razred)
podpisovanje
pika drži mesto
pod drugi faktor
- primeri, kjer število vsebuje števko 0

255. Deli celote pojma: celota, del celote ENAKI deli celote (polovica,…)
Dva vidika:
Geometrijski
Aritmetični (2/3 od 27)
Osnove racionalnih števil(okrajšani ulomki)

256. Števila in računske operacije-obseg do 1 000 000
Množica naravnih števil do milijon
Ulomki
Seštevanje in odštevanje do milijona (pisno in ustno)
Množenje in deljenje do milijona
Potenca
množenje in deljenje z 10,100 in 1000
pisno množenje
- Množenje z enomestnim faktorjem (brez prehoda, s prehodom)
- množenje z deseticami in stoticami
- množenje z dvomestnim številom
- množenje s tromestnim številom
pisno deljenje
- deljenje z enomestnim deliteljem brez ostanka (z ostankom)
- deljenje z desetičnimi števili brez ostanka (z ostankom)
- deljenje z dvomestnim deliteljem (5. razred)

257. Širitev številske množice do 1 000 000
najprej širimo po tisoč do , nato po Dt
ponazarjanje: denar, riž, prebivalstvo,… korelacija z okoljem; pripomočki: kocke za ponazarjanje desetiških enot (do ), nato pozicijsko računalo
- izjemno pomemben postane MESTNOVREDNOSTNI zapis (vaje: iz števk 3,4,2,7 sestavi največje število, račun odštevanja z najmanjšo možno razliko ipd.)
sledi verbalni zapis (tristo dvaindvajset tisoč pet), šele nato simbolni( ). Učencem zapise narekujemo (0 v mestnovrednostnem zapisu)
- vaje: zmanjšaj/povečaj za desetiške enote (polovico destiške enote): predpriprava za seštevanje

258. Potenca
Med vsemi zgodbami o nastanku šaha je najbolj znana tista, ki jo je zapisal rabski matematik in filozof Averroe. V tej zgodbi je šahovsko igro izumil veliki vezir Sassa ibn Dahir okoli leta 500. Igra je imela kvadratno ploščo, razdeljeno na 64 enakih polj. Plošča je predstavljala bojno polje za 16 belih in prav toliko črnih figur. Simbolizirala je boj dveh sovražnih armad, v katerem sta bila kralja resda najpomembnejši figuri, vendar brez pomoči ostalih nista mogla doseči zmage. Vezir je novo igro predstavil tudi svojemu vladarju, kralju Indije Šihramu. Zdolgočasenega indijskega kralja je nova igra v trenutku očarala in je svojemu vezirju ponudil nagrado, kakršno koli si pač zaželi. Želja prebrisanega vezirja je bila na videz zelo, zelo skromna:
"O, moj kralj! Na prvo šahovsko polje mi položite eno pšenično zrno, na drugo dve,
na tretjo štiri, na četrto osem... "
Kralj Šihramu je bil nad vezirjem razočaran, saj je menil, da je zelo neumno izbral.Poklical je služabnike, naj prinesejo vrečo pšenice in izpolnijo nenavadno vezirjevo željo.Vendar so vrečo pšenice zelo kmalu popolnoma izpraznili.Kralj se je začel krohotati in v smehu zahteval še eno vrečo pšenice. Tudi ta ni bila dovolj, saj so jo izpraznili na naslednjem šahovskem polju.Kralj se je v hipu zresnil. Dal je poklicati dvorne matematike in astronome in zahteval, naj rešijo nastali problem. Modreci so staknili glave skupaj, računali, premlevali in na koncu kralju rekli:
"O, presvetli kralj! Vezirjeva želja vendar presega vse tvoje bogastvo!
Toliko pšenice ne bi zraslo v tisoč letih, pa če bi bilo tvoje veliko kraljestvo
posejano samo s pšeničnim klasjem!“
1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192, 16384, 32768, 65536, , , , , …
Silos 100m x 100m ima 1845 km višine!

259. povezava mat. struktur: Seštevanje  množenje
Množenje  potenca (krajši zapis računa množenja z enakimi faktorji)
Potenca:
stopnja 3
2 = 8 vrednost potence
osnova
Stopnje ne beremo kot vrstilni števnik.
NE dve na tretjo
DA dve na tri (kub)
Stopnja nam pove koliko faktorjev množimo, osnova nam pove kateri faktor množimo
Vaja ( da utrdijo, da ne gre za množenje osnove in stopnje): V mestu trinomi so tri ulice, v vsaki ulici so tri hiše, v vsaki hiši tri nadstropnja in v vsakem nadstropju živijo tri tročlanske družine. Nariši prebivalce
Hišna muha izleže 120 jajc, od katerih se jih polovica razvije v samice. V koliko generacijah muhe presežejo populacijo člove\šva (6.5· )? (8.generacija)
Banka znanja celotnega človeštva se podvoji vsaka 3 leta.
Naj sedaj debelina lista papirja (0.2mm) prestavlja trenutno banko znanja. Vprašajmo se, kako visok bo kup papirja, ko dosežemo 90 let? (26.8km)

260. Ulomki Računamo tudi npr.
7/8 od 64= 7· (64 : 8 ) = ponazarjamo s sliko!

261. Množenje z 10, 100 in 1000 Het.sk.1 Het sk.4 Het. sk. 3 Het.sk. 2
Teme kjer odkrivajo pravilo učenci sami
lahko iščejo vzorec s čisto računsko dejavnostjo, lahko se oprejo na življenske izkušnje (denar)
Primer “sodelovalnega učenja”:
Kalkulatorji, realne situacije
PROBLEMSKI POUK!!
Množenje dvomestnih števil z 100
Množenje trimestnih števil z 100
Het.sk.1
Het sk.4
Het. sk. 3
Het.sk. 2
Množenje štirimestnih števil z 100
Množenje štirimestnih števil z 100

262. GEOMETRIJA IN MERJENJE
Geometrija (orientacija, geometrijske oblike, transformacije, uporaba geometrijskega orodja.)
Merjenje (količine: denar, dolžina, čas, ploščina, prostornina, masa)
1. razred: odnosi v prostoru; oblike teles, likov,črt; simetrične oblike, ravnilo-črta; dolžina-nestandardna enota, masa-primerjanje, prostornina-primerjanje.
2.razred: odnosi v prostoru; točka, vrste črt, liki, telesa; simetrični liki; šablona-risanje likov; dolžina (m, dm, cm) ;masa (kg), denar(SIT)
3. razred: orientacija na krti, večkotniki, oglišče, stranice, telesa:ploskev, rob, oglišče); masa(dag); prostornina(l,dl),čas(dan, teden,ura,minuta)
4.razred: ravne črte:daljica,premica, poltrak; pravokotnik, kvadrat, krožnica,; medsebojna lega premic; skladnost, simetrala lika, skladnost daljic, geotrikotnik; dolžina (km); masa(g,dag,t);prostornina(hl);čas(sekunda)
5.razred: liki- pravilni šestkotnik, enakostranični trikotnik; telesa:kvader, kocka, mreža;ravnina; odnosi med točko,ravno črto,krožnico in krogom; prostornina(cl,ml); masa(mg); ploščina(mm², cm²,dm²,m²);šestilo.
6.razred: koti, deli kroga;ploščinske in prostorninske kubične enote; kotne mere;

263. Geometrijske oblike Telo ----odtisnemo---- lik ----odtisnemo--- črta
---sekamo---
točka
Čeprav objekti nastajajo s pomočjo dejavnosti iz višje dimenzionalnih objektov, ne smemo pozabiti, da gre za samostojne elemente (tj. likov ni le na telesu, točk ne le na presečiščih)
Izkustva okolja klasificiramo s pomočjo formalnejših geometrijskih opisov
Delo močno vezano na konkreten prostor.
Ustrezna ponazorila pogosto pripravlja učitelj skopaj z učenci
Posebna pozornost povezovanju mat. konceptov.
Tudi empirične zaznave ustvarjajo objekte (ploskev-ravna roka, rob-vlečemo s prstom, točka-dodaknemo se s prstom)

264. Točka
točka je samostojni geometrijski objekt (vpeljemo empirično z opazovanjem ponazoril-riž ipd.),
točka v kateri se črti sekata, se imenuje presečišče,
(križišča, zemljevidi,..)
točke označimo s križcem, krožcem, ravno črtico(le če so na črtah) in poimenujemo z velikimi tiskanimi črkami (brez šumnikov)
točka na liku (telesu) se imenuje oglišče
črte vsebujejo mnogo točk(krožnicageoplošča)

265. Črta ravne-krive;sklenjene-nesklenjene črte;
ponazarjamo s paličicami, volno, žico;
ravne črte rišemo z ravnilom (tudi učitelj!).
sklenjena črtaobmočjezunaj, znotraj, na robu (žabe in štorklje);

266. Daljica
na obeh straneh omejena ravna črta ali ravna črta med dvema točkama;
najkrajša razdalja med dvema točkama (življenske situacije);
začetno in končno točko imenujemo krajišče;
- označimo in poimenujemo (x-točke, AB)
na daljici je mnogo točk, le označene niso;
lomljena črta SESTAVLJENA iz ravnih črt(daljic);
daljica na liku se imenuje stranica; na telesu rob; v krožnici tetiva (kaj je polmer?);
grafično seštevanje in odštevanje daljic (predhodna uporaba šestila…povezava z aritmetiko)

267. Premica na obeh straneh neomejena ravna črta;
abstraktne vsebine: poljubno, neskončno, neomejeno (ponazarjati na limitni način…razvijamo vrvico, podaljšujemo črto) šele nato ponazarjanje (okenski okvir in pot letala)
premica je natanko določena z dvema točkama;
izhodišče obravnave je daljica, ki se podaljšuje;

268. vzporednice, sečnice, pravokotnice-(premici v različnih legah);
pojma kot NI(pravokotni položaj pri švz, urini kazalci v položaju četrt)
spoznajo načrtovalni postopek (opis in uporaba geotrikotnika)
pravokotnost odličen primer za netranzitivno relacijo;
uporaba pri načrtovanju pravokotnika in kvadrata (vrstni red ni pomemben-učenec naj opiše potek dela)
- uporaba pri načrtovanju mreže kocke oz. kvadra

269. Poltrak
NI polovica premice (kvadrat-pravokotnik; kvadrat ima VSE lastnosti pravokotnika; definicija z zožitvijo; smreka ni listavec z iglicami)
laserski žarek (izhodišče in smer) poltrak AB se v točki A začne in gre skozi točko B v neskončnost
Opišite sliko (dopolnilni poltrak!)
C A B

270. Krožnica
krog-lik;črta, ki omejuje krog-krožnica (sklenjena kriva črtakatere so posebnosti oz. lastnosti točno te določene sklenjene krive črte?)
vrtnar (inkapsulacija);
geoplošča;
Šestilo (opis, poimenovanje delov, način uporabe-kako šestilo konkretizira bistveno lastnost krožnice?);
vedno najprej središče (načrtovanje vedno govorno spremljati:opis dela);
črta kot množica točk;
- krožnica je množica točk, ki so enako oddaljene od središča.
polmer je DOLŽINA daljice, ki povezuje središče s točko na krožnici. (Nariši krožnico s polmerom 3cm)
premer je dolžina daljice, ki povezuje točki na krožnici in poteka skozi središče.
- samostojno raziskovanje:premer-polmer

271. Definicije? “Definicije” = verbalizacija matematičnega znanja
pri krožnici se prvič srečamo z opredelitvami v obliki definicij
“definicijo” lahko uporabimo če:
So učenci dovolj psihološko zreli (formalno razmišljanje)
Se da pojem natančno opredeliti z “definicijo”
“definicij” si na RP ne zapisujemo in se jih ne učimo!
definicija je samo tehnični pripomoček pri dokazovanju,
definicija pojma (kriterij pripadnosti kategoriji) : slika pojma (kar v človekovi zavesti označuje pojem)….težimo k čim večji povezanosti (na RP predvsem z dovolj raznolikimi primeri)
Liki? pravokotnici? Koordinatni sistem?

272. Liki-območja (KORELACIJA LVZ)
Odtiskujemo telesa- nastane lik oz. območje (1.rz);
obrisujemo ploščice-narišemo sklenjeno črto-pobarvamo(2rz)-nastane območje oz. lik;
kvadrat-pravokotnik (izogibati se mat. slabo definiranim nalogam)
- večkotniki-stranica, oglišče, poimenovanje (samostojno raziskovanje)
skladni liki (lika sta skladna če se natanko prekrijetadef;
Skladna lika imata enako obliko in enako velikost izrek)
kako načrtamo (kaj pomeni načrtati?) enakostranični (enakokraki) trikotnik in pravilni šestkotnik (5.razred)
simetrija pri likih;
somernice(simetrale)-premice (! Preko lika) pri likih; Ali je vsaka črta, ki lik razpolavlja njegova simetrala?
Previdno: somerni lik je sestavljenih iz dveh skladnih polovic.. (So vsi somerni liki skladni? Ali so vsi skladni liki somerni?)

273. Telesa Telo zavzema prostor (vanj lahko nekaj shranimo, nalijemo,…)
modeli morajo slediti temu osnovnemu principu (ne žičnati, prozorni)
- izdelovanjeteles iz gline-korelacija (previdno pri poimenovanju- matematična telesa imajo ravne robove)
- oblika teles (vključiti tudi prizme, piramide, elipsoide..samo opazujemo..ne poimenujemo)
opisujemo: kotali se, ima ravne/krive ploskve (položaj roke)
pozor: kocka je “lep” kvader (poimenovanje šele v 2.razredu)
3. Razred: rob, oglišče, ploskev ( raziskovalno-različna telesa)
povezati z merjenjem
slikovne ponazoritve oz. prostorska predstava kasneje
Koliko kock je v gradu?

274. Merjenje
Količina (ocenjevanje, primerjanje, merjenje z nestandardno enoto)ž
Enote (izhodiščna dejavnost merjenje)
3. Naprave
4. Odnosi (izhodiščna dejavnost primerjanje)

275. Praksa Poročilo: 1. Izdelek v katerega sem vložil največ truda.
2. Dokaz, da sem izgradil novo spretnost.
3. Opis dejavnosti, ki sem jo opravil z največjo težavo.
4. Opis dejavnosti, ki sem jo opravil z največjim užitkom.
5. Izdelek, ki sem ga najbolj dovršeno oblikoval.
6. Opažanja, ugotovitve, zamisli, vprašanja,…
7. Zapis o opravljenih obveznostih ((datum, tema, globalni cilj, podpis)
Hospitacije (dva dni pri mentorju učitelju, po eno uro pri kolegih študentih:skupaj 8)
Nastopi: dva nastopa pri matematiki (usvajanje, utrjevanje)
Strnjen pouk(dva dneva):
Prisotnost na šoli
Učitelji specialnih didaktik:obiskujejo, organizirajo razgovor po praksi, ovrednotijo prakso.
Uspešno opravljena pedagoška praksa je pogoj za napredovanje v višji letnik oz. absolutorij.
Če študent pedagoške prakse ne opravi uspešno, jo po dogovoru z učiteljem specialne didaktike v celoti ali delno ponovi.

276.                        
Problemi Zlatniki
V sobani je 10 vreč, v vsaki izmed njih pa 10 kovancev. Le v eni vreči so pravi zlatniki, ki tehtajo po 10g. Ostali kovanci imajo dodane primesi in so lažji, tehtajo po 9.9g. Z enim samim tehtanjem (tehtnica pokaže dejansko maso) določi vrečo s pravimi zlatniki.
Recimo, da gre za 6to vrečo. Tehtnica pokaže
9.9( )+10·6=10( )-0.1· ( ) = · ( )+0.1 · 6=495.6

277. Štirice Z uporabo štirih štiric zapiši števila do deset! 44-44 44/44
4/4+4/4
(4+4+4)/4
4+(4-4)/4
(4•4+4)/4
(4+4)/4+4
44/4-4
(44-4)/4

278. Sodi Trije prijatelji dobijo za trop ovac 21 sodov odličnega vina:
7 polnih
7 na pol polnih
7 praznih
Sedaj bi si radi te sode razdelili tako, da bi vsak dobil enako količino sodov in enako količino vina.
Sedem in sedem polovic je enako mnogo kot
14polovic in 7polovic je enako mnogo kot
21 polovic.
Vsak torej dobi 7 polovic. Analitičen razmislek:pregled vseh možnosti.
3sodi in pol soda (2+3X1/2)+ (2+3X1/2)+(3+1/2)
ali 2 soda in 3 krat pol soda (2+3X1/2)+ (2+3X1/2)+(3+1/2)
ali 1 sod in 5 krat pol soda ((1+5x1/2)+(3+1/2)+(3+1/2))
ali 7krat pol soda ni izvedljivo, ker ostanek ni razdeljiv

279. Druge vsebine 1. Obdelava podatkov 2. Logika in jezik
Logika in jezik nista ločeni vsebini, ampak imata svoje pomembno mesto v vseh matematičnih vsebinah.
Z vsebinami tega sklopa:
spodbujamo otrokov kognitivni razvoj,
učimo pravilnega in natančnega izražanja.

280. 2.razred 5 3.razred 4.razred / 5.razred 8
Logika in jezik cilj: kognitivni razvoj+ pravilno in natančno izražanje
razred
Št.ur
1.razred 25
2.razred 5
3.razred
4.razred /
5.razred 8
vsebine
Množica kot rezultat razvrščanja
Predstavitve množic
Klasifikacija, seriacija, relacije
Množica, osnovna množica, podmnožica, unija, presek (pojmi in simboli)

281. Pregled vsebin (Logika in jezik)
Razred (25ur)
Vsebina: množice; predstavitve množic, relacije
Cilji:
klasifikacija, seriacija, prirejanje: glede na eno dve lastnosti; prim: diagrami
b) Vzorci
Uporaba matematičnega jezika (sporočanje)
Diagrami (puščični, drevesni, Carrolllov, Euler-Vennov)
2. Razred (5ur)
Cilji: dve lastnosti
3. Razred (5 Ur)
Cilji: poglabljanje in utrjevanje
4. Razred (0 ur)
5. Razred (8 ur)
Vsebina:
Množice in operacije z množicami (množica, podmnožica, unija, presek, prazna množica)
predstavitve množic in operacij ( diagrami)
Simbolika
- pojmi se obravnavajo na nivoju jezika. Ne gre za formalne operacije med množicami.

282. 5. Oblike preverjanja znanja (pisni preizkusi, ustno preverjanje znanja, pregledna ponovitev snovi v obliki domače naloge, posebni izdelki npr. plakati, seminarske, samostojno izdelani modeli, zbirke nalog, ki jih pripravijo učenci sami, samostojna ali skupna pregledna ponovitev snovi, reševanje odprtih problemov na začetku ali ob koncu učnega sklopa “problem of the day”.
6. Domače naloge (sprotne, za daljše obdobje)
7. Ocenjevanje znanja
časovna opredelitev;
Oblike ocenjevanje: ustno, pisno, mapa učenčevih izdelkov, preiskava, izdelki,
Postavitev in predstavitev kriterijev ocenjevanja
Oblikovanje ocene
8. Ocena
opisna ocena odraža kvaliteto doseženega znanja. Pri oblikovanju opisne ocene si pomagamo z opisnimi kriteriji.
Za oblikovanje številčne ocene si pripravimo točkovnik ter ocenjevalno lestvico.