1. MATEMATIKA S STATISTIKO
UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM
LABORATORIJSKA BIOMEDICINA
1. LETNIK

2. ŠTEVILA IN FUNKCIJE Računanje s približki Realna števila Funkcije
Limite
Zvezne funkcije

3. Približne količine
Avogadrovo število je 6.023x1023 molekul/mol. Kaj to pomeni?
V enem molu snovi je natanko molekul?
Seveda ne, vse količine, ki jih dobimo z merjenjem so približne.
decimalna mesta
pravilna mesta
Število decimalnih mest je odvisno od zapisa:
203.55=2.0355x102=2035.5x10-1
število pravilnih mest pa je vedno enako.

4. Pomemben dogovor:
v zapisu obdržimo le značilna mesta, tj. če zapišemo N0=6.0230x1023 pomeni, da je tudi zadnja ničla značilna.
Vsaka količina je rezultat zaokrožanja. Pri tem števke 0,1,2,3,4 zaokrožamo navzdol, 5,6,7,8,9 pa navzgor.
PRIMER
= zaokroženo na tri decimalke
= zaokroženo na dve decimalki
Zato N0=6.0230x1023 pomeni
x1023 ≤ N0 < x1023, oziroma ( ± )x1023
medtem ko N0=6.023x1023 pomeni
6.0225x1023 ≤ N0 < x1023 oziroma (6.023 ± )x1023

5. Računanje s približnimi količinami
( ) / 13.14=?
kalkulator:
Katere decimalke je smiselno obdržati?
praktična pravila:
natančnost rezultata ne more biti večja od natančnosti podatkov
pri seštevanju in odštevanju naj bo število decimalnih mest rezultata enako najmanjšemu številu decimalnih mest faktorjev
(npr =23.00 in ne )
pri množenju in deljenju naj bo število značilnih mest rezultata enako najmanjšemu številu značilnih mest faktorjev
(npr /13.14= in ne 1.75 ali )

6. PRIMERI
S titracijo smo 25 cm3 raztopine NaOH nevtralizirali z cm3 raztopine HCl. Izračunaj koncentracijo NaOH, če je koncentracija HCl mol/dm3.
( x )/24.995=
( x )/25.005=
c = (12.21 x )/25.00 =
Upoštevamo tri značilna mesta ⇒ c = mol/dm3
Koliko železa nastane, če se pri redukcijski reakciji
Fe2O3 + 3 CO  2 Fe + 3 CO2
porabi 503 g ogljikovega monoksida? (Fe g/mol, CO g/mol)
m = 503/28.01 x 2/3 x =
Števila molekul, ki nastopajo v reakciji (2 Fe, 3 CO) so cela, tj. točna, zato štejemo, da je število značilnih decimalk neskončno.
m = 669 g

7. Realna števila
Realna števila so vsa (končna in neskončna) decimalna števila.
Realna števila so teoretični konstrukt, ki nam omogoča, da točno izrazimo vse količine.
Ker ni mogoče napisati neskončnega zaporedja decimalk, sloni zapis in računanje z realnimi števili na približkih.
Le nekatera realna števila (npr. koreni, število π ...) so podana implicitno in z njimi lahko računamo točno, brez zaokroževanja (npr. √2 x√3 =√6).
Če na premici označimo enotsko dolžino, lahko točke premice enačimo z množico realnih števil ℝ.
(pravimo, da smo na premici vpeljali koordinate)

8. FUNKCIJE Topnost kisika v vodi pri tlaku 760 mmHg
Premier League
Final table
Chelsea 95
Arsenal 83
Manchester United 77
Everton 61
Liverpool 58
Bolton Wanderers
Middlesbrough 55
Mancester City 52
Tottenham Hotspur
Aston Villa 47
Charlton Athletic 46
Birmingham City 45
Fulham 44
Newcastle United
Blackburn Rovers 42
Portsmouth 39
West Bromwich Albion 34
Crystal Palace 33
Norwich City
Southampton 32
7,04 35
9,37 17
7,13 34
9,56 16
7,22 33
9,76 15
7,32 32
9,98 14
7,42 31
10,20 13
7,53 30
10,43 12
7,64 29
10,67 11
7,75 28
10,92 10
7,86 27
11,19 9
7,99 26
11,47 8
8,11 25
11,76 7
8,25 24
12,06 6
8,38 23
12,37 5
8,53 22
12,70 4
8,68 21
13,05 3
8,84 20
13,40 2
9,01 19
13,77 1
9,18 18
14,16
Kisik (mg/L)
Temperatura (oC)
Topnost kisika v vodi
pri tlaku 760 mmHg
Angleška 1. liga

9. f: x ↦ f(x) x je argument, f(x) je funkcijska vrednost.
Funkcija je pravilo, ki vsakemu argumentu priredi eno funkcijsko vrednost.
Funkciji f in g lahko sestavimo, če so vrednosti f vsebovane med argumenti g.

10. Grafična predstavitev funkcije
Grafična predstavitev je smiselna, če nam nekaj pove o zvezi med argumenti in funkcijskimi vrednostmi.

11. Podajanje s formulo linearna funkcija pot pri prostem padcu
razdalja točke do izhodišča
Herenova formula
povprečna vrednost
Formula je lahko odvisna od ene, dveh ali več spremenljivk.
Definicijsko območje formule tvorijo tisti nabori spremenljivk, za katere lahko izračunamo formulo.

12. Graf Graf f je množica točk v ravnini, ki so oblike (x, f (x)) za x∈A.1

13. Graf funkcije dveh spremenljivk
Graf f je množica točk v prostoru, ki so oblike (x, y, f (x,y)) za (x,y)∈A.
Plinska enačba
PVT-diagram realne snovi
PVT-diagram idealnega plina
(odsekoma definirana funkcija)

14. Značilnosti grafa odražajo naravo funkcijske zveze.
PRIMERI
V posodo točimo vodo iz pipe. Kateri graf prikazuje spreminjanje gladine h vode v odvisnosti od časa t ? t h A t h B t h C t h D
Ker so stene posode navpične, gladina narašča enakomerno - linearno.

15. Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.
Kateri graf ponazarja kinetično energijo E telesa, ki se giblje s hitrostjo v? v E A v E B v E C v E D
Kinetična energija je sorazmerna kvadratu hitrosti, E=mv2/2.

16. Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.
Kateri graf prikazuje spremembo prostornine V zraka v posodi ob spreminjanju pritiska p? p V A p V B p V C p V D
Boyle-Mariottov zakon: pV=konst., zato je V~1/p.

17. Kateri graf ponazarja nihanje strune na kitari?y A t y B t y C t y D
Nihanje napete strune je primer dušenega nihanja:
moč zvoka hitro upade, višina pa ostane nespremenjena.
Fizikalno: amplituda eksponentno pada, frekvenca se ne spreminja.
Matematično: y=e-at sin(bt), a je dušenje, b je frekvenca nihanja.

18. Kateri graf prikazuje spremembo temperature T ogrevane posode v odvisnosti od časa t, če je posoda prazna, in kateri, če je posoda polna vode? t T A t T B
prazna posoda
posoda z vodo t T C t T D
Posoda se ogreje do temperature vira toplote. Hitrost segrevanja je sorazmerna razliki temperatur (Newtonov zakon), zato razlika temperatur eksponentno upada. Temperatura polne posode se ne povečuje dokler vsa voda ne povre.

19. Kateri graf ponazarja število sekund, ki ga kaže sekundni kazalec na uri?B t D t C

20. Definicijsko območje in zaloga vrednosti1
Definicijsko območje Df je ‘senca’ (tj. slika projekcije) grafa na osi x, zaloga vrednosti Zf pa je senca na osi y.

21. Naraščanje in padanje funkcije
naraščajoča
padajoča
Pri stalni temperaturi je tlak padajoča funkcija prostornine.

22. Lokalno naraščanje in padanje funkcije
pri a je funkcija padajoča a b
pri b je funkcija naraščajoča

23. Globalni ekstremi
(globalni) maksimum
(globalni) minimum

24. ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov
Lokalni ekstremi
lokalni maksimum
ravnovesne lege so tipični primeri lokalnih ekstremov
lokalni minimum

25. Konveksnost in konkavnost
Funkcija je konveksna, če se njen graf krivi navzgor in konkavna, če se graf krivi navzdol.
konveksna
konkavna
konveksnost grafa ponazarja pospeševanje procesa
konkavnost grafa ponazarja pojemanje procesa

26. Prevoji
Prevoji so točke, pri katerih funkcija preide iz konveksne v konkavno, ali obratno.
Prevoj je točka, pri kateri proces preide iz pospeševanja v zaviranje ali obratno.
Kritična točka snovi je prevoj na kritični izotermi.

27. Asimptote Vodoravna asimptota
npr. temperatura posode, ki se segreje le do temperature vira
npr. dušeno nihanje

28. Linearna asimptota
Vsiljeno nihanje, asimptota je sinusoida

29. Periodičnost in simetrija
liha
soda

30. Predstavitev značilnosti funkcije na grafu
Definicijsko območje, zaloga vrednosti
Naraščanje in padanje, ekstremi
Ukrivljenost
Trend na robu definicijskega območja
Periodičnost in simetrije

31. Elementarne funkcije Polinomi Racionalne funkcije Algebrajske funkcije
Eksponentne in
logaritmske funkcije
Kotne in ločne funkcije

32. Elementarne funkcije dobimo s pomočjo računskih operacij in sestavljanja iz osnovnih funkcij.
Osnovne funkcije:
potence
eksponentna ex
logaritemska ln x
koreni
sinus sin x
arkus sinus arcsin x
arkus tangens arctg x

33. Polinomi povsod definirani
polinom n-te stopnje ima največ n ničel in n-1 ekstremov
trend je določen z najvišjo potenco
vsote sodih potenc so soda funkcija, vsote lihih potenc pa liha funkcija

34. Racionalne funkcije definirane povsod, razen v ničlah imenovalca
ničle števca so ničle funkcije, ničle imenovalca so poli
če je stopnja števca največ za ena večja od stopnje imenovalca dobimo asimptote z deljenjem

35. Algebrajske funkcije
koreni lihe stopnje so definirani povsod, koreni sode stopnje pa le za nenegativne argumente
koren je bližje številu 1 kot njegov argument
asimptote dobimo z limitami...

36. Eksponentna funkcija f(x)=ex
povsod definirana, zavzame le pozitivne vrednosti (nima ničel)
za negativne argumente asimptota y=0, za pozitivne argumente zelo hitro narašča 1

37. Logaritemska funkcija f(x)=ln x
definirana za pozitivne argumente zavzame vse realne vrednosti, ničla pri x=1
pol pri x=0, zelo počasi narašča 1

38. Kotne funkcije sin(x), cos(x)
povsod definirane, zaloga vrednosti je interval [-1,1]
periodične, sin(x) je liha, cos(x) pa soda funkcija
sin(x) ima ničle pri x=kπ, cos(x) ima ničle pri x=π/2+kπ
cos(x)=sin(π/2-x), sin2x+cos2x=1 1 -1

39. sinusno nihanje: A sin(ω x+d)
A: amplituda, ω: frekvenca, d: fazni premik (zakasnitev)

40. Funkcija tangens tg(x)
definirana povsod, razen za x=π/2+kπ, zaloga vrednosti so vsa realna števila
periodična, liha
ničle pri x=kπ, poli pri x=π/2+kπ
tg(x)=sin(x)/cos(x), 1+tg2x=1/cos2x

41. je bijektivna. Obratna funkcija je
Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)
arc sin(x) ‘arkus sinus’
inverzna funkcija glavne veje funkcije sin(x)
definirana na intervalu [-1,1], zaloga vrednosti interval [-π/2,π/2 ]
je bijektivna.
Obratna funkcija je

42. 1 1 -1

43. je strogo naraščajoča, ima vodoravni asimptoti y=±π/2 Obratna funkcija
Ločne funkcije (ciklometrične funkcije)
f(x)= arc tg(x) ‘ arkus tangens’
inverzna funkcija glavne veje funkcije tg(x)
definirana povsod, zaloga vrednosti interval (-p/2,p/2)
asimptoti y=-p/2, y=p/2
Zožitev
je bijektivna.
je strogo naraščajoča, ima
vodoravni asimptoti y=±π/2
Obratna funkcija

44. -1 1

45. LIMITE in ZVEZNOST Pišemo . Pišemo .
Število L je limita funkcije f pri točki a če velja naslednje:
za vsako pozitivno število ε obstaja interval I okoli točke a, da je | f(x)-L|<ε za vse x iz I.
Pišemo .
Število L je limita funkcije f v neskončnosti, če velja naslednje:
za vsako pozitivno število ε obstaja število n,
da je | f(x)-L|<ε za vse x>n.
Pišemo .

46. Računska pravila za limite
(če je L2≠0)
Pravila smemo uporabiti le kadar limite obstajajo!

47. L je limita funkcije f, ko x narašča čez vse meje
PRIMERI
y=f(x) L
L je limita funkcije f, ko x narašča čez vse meje

48. l je limita funkcije f, ko x narašča proti ad
y=f(x)
l je limita funkcije f, ko x narašča proti a
d je limita funkcije f, ko x pada proti a

49. a
y=f(x)
Funkcija f je zvezna v točki a, če je leva limita pri a enaka desni limiti pri a in sta obe enaki funkcijski vrednosti.

50. z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)
Računanje limit
če je f elementarna funkcija preoblikujemo izraz in po potrebi uporabimo osnovni limiti
za splošne funkcije izračunamo funkcijsko vrednost v točki, ki je dovolj blizu a
z uporabo odvodov (L’Hospitalovo pravilo)
(eksponentne in logaritemske)
(kotne in ciklometrične)

51. Primeri

52. Asimptote Primer Premica y=kx+l je asimptota funkcije f(x), če je
asimptota je:

53. ZVEZNE FUNKCIJE
Funkcija f je zvezna, če je za vsak a, kjer je definirana funkcijska vrednost f(a) enaka levi in desni limiti pri a.
Intuitivno, f je zvezna, če je njen graf nepretrgan nad vsakim intervalom, ki je v celoti vsebovan v definicijskem območju.

54. Grafi zveznih funkcij

55. Grafa nezveznih funkcij

56. Lastnosti zveznih funkcij
Osnovne funkcije
so zvezne.
Vse elementarne funkcije so zvezne.
Vsota, razlika, produkt in kvocient zveznih funkcij je zvezna funkcija.
Kompozitum zveznih funkcij je zvezna funkcija.

57. Zvezna funkcija na intervalu [a,b] zavzame vse vmesne vrednosti med f(a) in f(b).
Kdor se vozi po avtocesti od Ljubljane do Postojne gre v nekem trenutku mimo Vrhnike.
Če vzamemo poln 100 litrski sod in ga izpraznimo, potem je v nekem trenutku med praznenjem bilo v sodu natanko 35 litrov tekočine.
Če je etanol pri 40oC tekoč, pri 80oC pa plinast, potem pri neki vmesni temperaturi vre.
Če je bila jutranja temperatura 6oC, opoldanska pa 15oC, potem je tisto jutro bilo tudi 10oC.

58. Bisekcija - določanje ničel zveznih funkcij3 6
5.25
4.67
4.80
4.5
4.76
4.85
Ničla je ≈ 4.78

59. PRIMER Enačbo x=e-x reši na dve decimalki natančno. y=e-x y=x
Prevedemo na: x-e-x=0
y=x-e-x

60. Iščemo ničlo funkcije f(x)=x-e-x
f(0)=-1, f(0)=1-1/e≈0.63, torej ima f ničlo na intervalu [0,1]
f(0.5)=-0.106, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,1]
f(0.75)=0.277, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.75]
f(0.62)=0.082, zato nadaljujemo na intervalu [0.5,0.62]
(ker iščemo rešitev na dve decimalki natančno, ni potrebno računati f(0.625))
f(0.56)=-0.011, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.62]
f(0.59)=0.035, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.59]
f(0.57)=0.004, zato nadaljujemo na intervalu [0.56,0.57]
Prvi dve decimalki vseh števil na intervalu [0.56,0.57] se ujemata, zato lahko postopek bisekcije ustavimo in za približno rešitev vzamemo x=0.56 .
(natančnejša rešitev je x = – računanje z bisekcijo bi zahtevalo še dodatnih 25 korakov)

61. Zvezna funkcija na zaprtem intervalu zavzame minimum in maksimum.b
max
min
Na intervalu, ki ni zaprt se lahko zgodi, da funkcija ne zavzame ekstremov.