1. Activity Networks AOV 網路 AOE 網路

2. AOV 網路 (Activity on Vertx Networks)  為了表示一件工作中，各子工程間的先後 關係，我們可以利用有向圖中的有向邊代 表事情進行的順序，位於一條有向邊終點 的事件必須要等待起點的事情完成後，才 可以進行。  以頂點表示工作項目、以有向邊表示工作 進行順序的圖形被稱為頂點工作網路 (Activity on Vertx Networks) ，簡稱 AOV 網 路。

3.  AOV 網路應該是一個不包含迴路的有向圖 如果網路中有迴路，則會造成死結 (deadlock) 現象。 如果網路中有迴路，則會造成死結 (deadlock) 現象。  在 AOV 網路中，如果不存在迴路，則所有 的事件可以排成一個線性序列，使得每個 事件的所有先驅事件都排在該事件之前， 這種序列稱之為「拓撲序列」。

4. AOV 網路

5. 拓撲排序 (Topology Sort)

6. 定義 假設 G=(V ， E) 中， 對任何 (Vi ， Vj) 為 G 的有向邊， 也就是存在一條有向路徑從 Vi 到 Vj ， 則在走訪 G 中的所有頂點時，頂點 Vi 一定在 Vj 之前，  這種走訪順序為拓撲排序。 其中每一個頂點都可視為一個事件， 其中每一個頂點都可視為一個事件， Vi 就稱為 Vj 的先驅事件， Vi 就稱為 Vj 的先驅事件， Vj 則稱為 Vi 的後繼事件。 Vj 則稱為 Vi 的後繼事件。

7. 演算法則  要建立拓撲序列，主要是重複下列兩大步 驟，直到找不到入分支度為 0 的頂點為止： 選擇一個入分支度為０的頂點輸出 選擇一個入分支度為０的頂點輸出 從網路中刪除該點的所有出邊 從網路中刪除該點的所有出邊

8. 1. 由圖中頂點 C1 、 C2 的入邊數皆為 0 ，所以這二 個頂點都可以輸出，假設選擇頂點 C1 ，則輸出 C1 ，並從網路中刪除邊 (C1,C3) ； 2. 圖中頂點 C2 、 C3 的入邊數皆為 0 ，選擇頂點 C2 輸出，並刪除邊 (C2,C4) ； 3. 再由頂點 C3 、 C4 中，選擇頂點 C3 ，並刪除邊 (C3,C4) 、 (C3,C6) 、 (C3,C7) ； 4. 再依次輸出點 C4 、 C5 、 C6 、 C7 。 最後得到拓撲序列： 最後得到拓撲序列： C1→C2→C3→C4→C5→C6→C7C1→C2→C3→C4→C5→C6→C7

9. 演算法  ＝＞圖解演算法 F =1 ； S = {1} ， V= ｛ 0, 1, 2, 3, 4 ｝ 01234 05020∞75

10. 由陣列 D 中可看出 D(2) = 20 最少，因此將頂點 2 加入到 S 集合中： S = {1, 2 } V – S = {1, 3, 4} 頂點 2 的相鄰頂點有 1 和 3 ，則 D [3] = min(D[3], D[2] +A [2,3] ) = min (∞, 20+10)=30 D [1] = min(D[1], D[2] +A [2,1] ) = min (50, 20+25)=45 此時 D 陣列變成 01234 045203075

11. 從 V – S = {1, 3, 4 } 找出 D 陣列的最小值是 D[3] =30 ， 而頂點的相鄰點為 1 ， 4 將頂點 3 加入 S 中， S = {0, 2, 3} ， V – S = {1, 4} D [1] = min(D[1], D[3] +A [3,1] ) = min (45, 30+10)=40 D [4] = min(D[4], D[3] +A [3,4] ) = min (75, 30+35)=65 此時 D 陣列變成 01234 040203065

12. 從 V – S = {1, 4 } 找出 D 陣列的最小值是 D[1] =40 ， 而頂點的相鄰點為 4 將頂點 1 加入 S 中， S = {0, 1, 2, 3} ， V – S = {4} D [4] = min(D[4], D[1] +A [1,4] ) = min (65, 40+10)=50 繼續將頂點 4 加入 S 中，則 S = {0, 1, 2, 3, 4} ， V – S = {Φ} 此時已完成城市 0 至其他城市的最短距離。 而 D 陣列則變成 01234 040203050

13. ＝＞演算虛擬碼 for ( i = 0; i < n; I ++) { if every vertex has a predecessor { fprintf(stderr, “Network has a cycle, \n”) ; exit (1) ; } else { pick a vertex v that has no predecessors; output v ; delete v and all edages leading out of v from the network ; }

14. ＝＞演算程式碼 void topological ( int count [ ], int vertex, int link [ ], int n) { int top = 0, i, j, k ; for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) if ( count [i] = = 0 ) { count [i] = top ; top = i ; }

15. for ( i = 1 ; i <= n ; i ++) { if ( top = = 0 ) { printf ( “network has a cycle” ); break ; } j = top ; top = count [top] ; printf ( “%d”, j ) ; ptr = link [j] ;

16. while ( ptr != 0) { k = vertex [ptr] ; count [k] = count [k] – 1; if ( count [k] = = 0 ) { count [k] = top ; top = k ; } ptr = link [ptr] ; }

17. 範例  假設 AOV 網路如圖所示，其拓樸排序過程如下：

18.  輸出 V1 ，並刪除 (V1 ， V2) 與 (V1 ， V6) 兩個邊。  此時 V2 和 V6 皆沒有前行者，若輸出 V2 則刪除 (V2 ， V3) 與 (V2 ， V4) 兩個邊。

19.  選擇輸出 V6 ，並刪除 (V6 ， V4) 與 (V6 ， V5) 兩個邊。

20. AOE 網路 (Activity on Edge Networks)

21. AOV 網路

22. 相關的名詞

23. 最早開始／最脕開始時間  在 AOE 網路上所有的活動皆有的時間，  最晚開始時間指一活動在不影響整個計畫 完成之下，最晚能夠開始進行的時間。

24. 臨界路徑  一個計畫所需完成的最短時間，是從起始點到結束 點間最長的路徑來算；而長度最長的路徑為臨界路 徑 (Critical Path) AOE 網路上的活動是可以並行處理的 AOE 網路上的活動是可以並行處理的 臨界路徑 (Critical Path) 可能不止一條 臨界路徑 (Critical Path) 可能不止一條  臨界活動分析的目的 辨別那些路徑是臨界路徑 (Critical Path) ，以便能夠集中資 源在這些臨界活動上，進而縮短計畫完成的時間。 辨別那些路徑是臨界路徑 (Critical Path) ，以便能夠集中資 源在這些臨界活動上，進而縮短計畫完成的時間。  AOE 網路的應用 即是在求得其臨界路徑，進而達到控制或評估專案績效的 目的。 即是在求得其臨界路徑，進而達到控制或評估專案績效的 目的。

25. 計算最早開始時間 ES (j)  每個活動 j 的最早開始時間，計算公式如下： ES(j) = max { ES(j), ES(i) + ( i, j ) 時間 } 其中 i  p ( j ) ，而 p( j ) 是所有與 j 相鄰頂點所成的集合。  再利用拓樸排序，每當輸出一個活動時，就修正 此活動到各活動之最早開始時間。 如果拓樸排序輸出是活動 j ，而活動 j 指向活動 k ，此時的 如果拓樸排序輸出是活動 j ，而活動 j 指向活動 k ，此時的 ES(k) = max { ES(k), ES(j) + ( j, k) 時間 }

26.  現在以下圖的 AOE 網路為例，假設 ES(i) = 0 ， 1 ≦ i ≦ 7 ，如下所示： ES1234567 開始 0000000

27.  由於 1 沒有前行者，故輸出 V1 計算 V1 相鄰頂點 V2,V3,V5 的 ES ： ES(2) = max { ES(2), ES(1) +( 1, 2 ) }=max( 0, 0+3 ) ＝ 3 ES(2) = max { ES(2), ES(1) +( 1, 2 ) }=max( 0, 0+3 ) ＝ 3 ES(3) = max { ES(3), ES(1) +( 1, 3 ) }=max( 0, 0+3 ) ＝ 3 ES(3) = max { ES(3), ES(1) +( 1, 3 ) }=max( 0, 0+3 ) ＝ 3 ES(5) = max { ES(5), ES(1) +( 1, 5 ) }=max( 0, 0+4 ) ＝ 4 ES(5) = max { ES(5), ES(1) +( 1, 5 ) }=max( 0, 0+4 ) ＝ 4 ES1234567 0330400

28.  V3 亦無前行者，故計算其與相鄰的頂點 V ４, V5 的 ES ： ES(4) = max { ES(4), ES(3) +( 3, 4 ) }=max( 0, 3+3 ) ＝ 6 ES(5) = max { ES(5), ES(3) +( 3, 5 ) }=max( 0, 3+2 ) ＝ 5 ES1234567 0336500  V2 亦無前行者，故計算其與相鄰的頂點 V ４的 ES ：  ES(4) = max { ES(4),  ES(2) +( 2, 4 ) }=max( 6, 3+1 ) ＝ 6 ES1234567 0336500

29.  V4 無前行者，故計算其與相鄰的頂點 V5 ， V6 ， V7 的 ES ： ES(5) = max { ES(5), ES(4) +( 4, 5 ) }=max( 5, 6+0 ) ＝ 6 ES(5) = max { ES(5), ES(4) +( 4, 5 ) }=max( 5, 6+0 ) ＝ 6 ES(6) = max { ES(6), ES(4) +( 4, 6 ) }=max( 0, 6+3 ) ＝ 9 ES(6) = max { ES(6), ES(4) +( 4, 6 ) }=max( 0, 6+3 ) ＝ 9 ES(7) = max { ES(7), ES(4) +( 4, 7 ) }=max( 0, 6+9 ) ＝ 15 ES(7) = max { ES(7), ES(4) +( 4, 7 ) }=max( 0, 6+9 ) ＝ 15 ES1234567 03366915  V6 無前行者，故計算其與相鄰的頂點 V7 的 ES ：  ES(7) = max { ES(7),  ES(6) +( 6, 7 ) }=max( 5, 6+9 ) ＝ 15 ES1234567 03366915

30.  V5 無前行者，故計算其與相鄰的頂點 V7 的 ES ： ES(7) = max { ES(7), ES(7) = max { ES(7), ES(5) +( 5, 7 ) }=max( 15, 6+5 ) ＝ 15 ES(5) +( 5, 7 ) }=max( 15, 6+5 ) ＝ 15 ES1234567 03366915

31.  最後輸出 V7 。

32. 計算最晚開始時間 LS (j)  每個活動 j 的最晚開始時間，計算公式如下： LS(j) = min { LS(j), LS(i) - ( i, j ) 時間 } 其中 i  s( j ) ，而 s( j ) 是所有與 j 相鄰頂點所成的集合。  再利用拓樸排序，每當輸出一個活動時，就修正 此活動到各活動之最晚開始時間。 如果拓樸排序輸出是活動 j ，而活動 j 指向活動 k ，此時的 如果拓樸排序輸出是活動 j ，而活動 j 指向活動 k ，此時的 LS(k) = min { LS(k), LS(j) - ( j, k) 時間 }

33.  同樣以前圖的 AOE 網路為例，假設 LS (i) = 15 ， 1 ≦ i ≦ 7 ，如下所示： LS1234567 開始 15

34. 求得臨界路徑  當下列三個條件成立時，便可求出二頂點 Vi 與 Vj 間的路徑是否為臨界路徑： (1) ES( i ) = LS( i ) (2) ES( j ) = LS( j ) (3) ES( j ) – ES(i) = LS( j ) – LS( i ) = a ij