1. Metode de interpolare implementate în aplicaţii open source
Florin Iosub

2. Ce este interpolarea?
Interpolarea este procedura de estimare a unei valori într-o locaţie fără măsurători, folosind valorile măsurate în punctele vecine.
Implică găsirea unei funcţii f(x, y) ce reprezintă întreaga suprafaţă a valorilor z asociate cu puncte (x, y) dispuse neregulat. Această funcţie face o predicţie a valorilor z pentru alte poziţii dispuse regulat. [Niţu C., 2005]
Interpolarea poate fi:
Exactă (când modelul obţinut păstrează valoarile datelor iniţiale);
Aproximativă (când valoarile datelor iniţiale sunt alterate);
Locală (sunt luate în considerare doar valorile din punctele vecine);
Globală (sunt luate în considerare toate punctele cu valori cunoscute).

3. Fig.1 Raster obţinut pe baza interpolării unor valori cunoscute
Cu alte cuvinte interpolarea constă în prezicerea valorilor celulelor unui fişier raster pe baza unui număr limitat de măsurători punctuale [ESRI].
Fig.1 Raster obţinut pe baza interpolării unor valori cunoscute

4. Fig.2 Structură de tip TIN
Metode de interpolare
Triangulaţia
Metodă dezvoltată de Peuker şi colaboratorii (1978), ce foloseşte triangulaţia Delaunay.
Rezultatul constă într-o reţea de triunghiuri (structură de tip TIN) perfect circumscrise unor cercuri, lucru ce face ca distanţa dintre punctele care formează vârfurile triunghiului să fie întotdeauna minimă .
Pentru fiecare triunghi se memorează coordonatele şi atributele celor trei vârfuri, topologia precum şi panta şi direcţia de înclinare a suprafeţei triunghiului.
Fig.2 Structură de tip TIN

5. Triangulaţia funcţionează cel mai bine când datele sunt distribuite uniform pe suprafaţa ce urmează a fi interpolată.
Metodă exactă ce foloseşte interpolarea polinomială lineară sau cubică.
Este indicat a se utiliza pentru seturi mari de date, fiind şi destul de rapidă.
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
QGIS (Quantum GIS);
SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses);

6. Fig.3 Interpolare IDW [Mitas, L., Mitasova, H., 1999]
Inverse Distance Weighted
Metoda porneşte de la prezumţia că influenţa unui punct comparativ cu altul descreşte o dată cu distanţa.
Este un interpolator de medie exact sau aproximativ în funcţie de parametrii stabiliţi de utilizator.
Generează aşa-numiţii “ochi de taur”, efectul putând fi redus aplicându-se un filtru de netezire.
Fig.3 Interpolare IDW [Mitas, L., Mitasova, H., 1999]
-„bull's-eyes“ = curbe cu valori Z constante rotunjite în vecinătatea punctelor în care se cunosc valorile Z.
-Parametrul de netezire (valori între 0-2) permite utilizatorului să asocieze datelor de intrare sauiniţiale o anumită incertitudine. Cu cat valoarea acestui parametru este mai mare, scade influenţa oricărei valori Z vecine.

7. În cazul modelării terenului, unde există văi şi vârfuri, acurateţea este scăzută.
Este o metoda rapidă de interpolare.
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
GRASS (Geographic Resources Analysis Support System);
gvSIG;
QGIS (Quantum GIS);
SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses);
Whitebox Geospatial Analysis Tools.

8. Fig.4 Interpolare Natural Neighbor [Wikipedia]
Introdusă de Sibson (1981), se bazează pe o reţea de poligoane Thiessen (dualul unei triangulaţii Delaunay).
Combină caracteristicile optime ale metodelor Nearest Neighbor şi TIN (Webster şi Oliver, 2001).
Fig.4 Interpolare Natural Neighbor [Wikipedia]

9. Algoritmul interpolării Natural Neighbor foloseşte o medie a valorilor observaţiilor învecinate, unde valorile sunt proporţionale cu „suprafaţa împrumutată” [Surfer Help].
Zona asociată cu poligonul Thiessen obţintă dintr-un poligon existent este denumită „zonă de imprumut".
Rapidă şi exactă.
Nu extrapolează valoarea Z.
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses);

10. Atribuie valoarea celui mai apropiat punct neţinând cont de celelalte.
Nearest Neighbor
Atribuie valoarea celui mai apropiat punct neţinând cont de celelalte.
Este utilă când datele sunt deja egal depărtate, dar este nevoie să fie convertite într-un fişier de tip grid.
Alternativ, în cazul în care datele sunt deja într-o reţea cu doar câteva valori lipsă, aceasta metoda este eficientă pentru umplerea lipsurilor.
Rapidă şi exactă.
Nu extrapolează valoarea z.
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
gvSIG
ILWIS (Integrated Land and Water Information System);
SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses);
Whitebox Geospatial Analysis Tools;
Şi aici, ca la toate metodele, nu participă la interpolare toate punctele cu valori Z, ci numai cele care intră intr-o „elipsă de căutare (selecţie)” definită de utilizator, de cele mai multe cazuri un cerc de selecţie cu raza dată.

11. Regular spline with tension
Metoda este implementată în aplicaţia open source GRASS (Geographic Resources Analysis Support System), mai exact modulul v.surf.rst.
Simultan cu interpolarea, acest modul calculează şi o serie de parametri topografici (pantă, aspect, curbură) pe care îi salvează sub formă de rastere.
Metoda poate fi atât exactă cât şi aproximativă în funcţie de parametrii setaţi de utilizator (tension şi smoothing).
Utilizatorul este avertizat atunci când rezultatul conţine anomalii şi trebuie modificaţi parametrii tension şi smoothing.
Are la bază procedeul “quad-tree segmentation” ce permite procesarea unui număr mare de puncte.

12. Poate fi “potrivită” unui set de date folosind o variogramă.
Kriging
Metodă dezvoltată de inginerul D.G. Krige (1951) în încercarea de a estima cât mai precis resursele de minereuri.
Metoda se bazează pe teoria variabilelor regionalizate, ce presupune că variaţia spaţială a fenomenului este omogenă din punct de vedere statistic, pe toată suprafaţa.
Presupune că direcţia şi distanţa existentă între date reflectă o corelare spaţială ce poate fi folosită în explicarea variaţiei acestora.
Poate fi “potrivită” unui set de date folosind o variogramă.
Estimează erorile şi extrapolează valoarea z.
În funcţie de parametrii specificaţi de utilizator poate fi atât o metodă exactă cât şi una aproximativă.
Variograma este o măsură a modului de modificare a valorilor faţă de medie.
Principiul subliniat este acela că in medie, două observaţii alăturate sunt cu mult mai similare decat două observaţii îndepărtate.

13. Tipuri de kriging:
Simple kriging
Ordinary kriging (în cadrul căreia fiecare valoare este tratată individual)
Universal kriging (în care se presupune că variaţia spaţială a valorii z este dependentă de trei componente: o structură/set de date, un component aleator corelat şi o eroare reziduală)
Poate fi utilizată pentru orice set de date, este cea mai flexibilă, însă este lentă când volumul de date este mare.
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
gvSIG;
ILWIS (Integrated Land and Water Information System);
SAGA (System for Automated Geoscientific Analyses);

14. Co-Kriging
Metoda ţine cont de mai multe variabile în procesul de estimare a valorilor necunoscute.
Ia în considerare auto-corelaţia şi cross-corelaţia dintre fiecare variabilă.
Estimările sunt mult mai exacte atunci când volumul de date aparţinând primei variabile este mult mai redus faţă de cel ce aparţine celei de-a doua variabilă.
Tipuri de co-kriging:
Simple co-kriging
Ordinary co-kriging
Standardized ordinary co-kriging
Aplicaţii open source în care această metodă este implementată:
ILWIS (Integrated Land and Water Information System);
GEMS (Geostatistical Earth Modeling Software).

15. Comparaţie între metode
de puncte
2 Gb Ram, Intel Xenon 2.80 GHz (8 miezuri)
Metodă de interpolare
Soft
Timp execuţie
TIN
QGIS
12 sec
SAGA
28 sec
IDW
4 sec
Whitebox GAT
8 sec
gvSIG
20 sec
GRASS
38 sec
60 min 48 sec
Nearest Neighbor
6 sec
14 sec
23 sec
ILWIS
19 min 32 sec
Natural Neighbor
25 sec
Ordinary Kriging
60 sec
out of memory
Regular spline with tension
9 min 43 sec
Tab.1 Timpi de execuţie pentru medodele de interpolare

16. Triangulaţia
Fig.5 SAGA
Fig.6 QGIS

17. Inverse Distance Weighted
Fig.7 GRASS
Fig.8 gvSIG
Fig.9 QGIS
Fig.10 SAGA
Inverse Distance Weighted
Fig.11 Whitebox GAT

18. Nearest Neighbor Fig.12 gvSIG Fig.13 ILWIS Fig.15 Whitebox GAT
Fig.14 SAGA

19. Fig.16 Natural Neighbor (SAGA)
Regular spline with tension
Fig.17 RST (GRASS)

20. Ordinary Kriging
Fig.18 gvSIG
Fig.18 SAGA

21. VĂ MULŢUMESC PENTRU ATENŢIE !