1. AHP فرایند تحلیل سلسله مراتبی

2. پیشگفتار یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( Analytical Hierarchy process-AHP ) که اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد. که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد. یکی از کارآمد ترین تکنیک های تصمیم گیری فرایند تحلیل سلسله مراتبی ( Analytical Hierarchy process-AHP ) که اولین بار توسط توماس ال ساعتی در 1980 مطرح شد. که بر اساس مقایسه های زوجی بنا نهاده شده و امکان بررسی سناریوهای مختلف را به مدیران می دهد.

3. انواع حالت های تصمیم گیری تصمیم گیری فضای پیوسته تک معیاره معیار کمی معیار کیفی چند معیاره معیار کمی معیار کیفی معیار کمی - کیفی فضای گسسته تک معیاره معیار کمی معیار کیفی چند معیاره معیار کمی معیار کیفی معیار کمی - کیفی

4. اصول فرایند تحلیل سلسله مراتبی اصل 1. شرط معکوسی ( Reciprocal Condition ) اصل 2. همگنی ( Homogeneity ) اصل 3. وابستگی ( Dependency ) اصل 4. انتظارات ( Expectation )

5. شرط معکوسی اگرترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر n /1 خواهد بود. اگرترجیح عنصر A بر عنصر B برابر n باشد ترجیح عنصر B بر عنصر A برابر n /1 خواهد بود.

6. همگنی عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل قیاس باشند. به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد. عنصر A با عنصر B باید همگن و قابل قیاس باشند. به بیان دیگر برتری عنصر A بر عنصر B نمی تواند بی نهایت یا صفر باشد.

7. وابستگی هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالاترین سطح می تواند ادامه داشته باشد. هر عنصر سلسله مراتبی به عنصر سطح بالاتر خود می تواند وابسته باشد وبه صورت خطی این وابستگی تا بالاترین سطح می تواند ادامه داشته باشد.

8. انتظارات هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد. هر گاه تغییر در ساختمان سلسله مراتبی رخ دهد پروسه ارزیابی باید مجددا انجام گیرد.

9. فرایند تحلیل سلسله مراتبی در یک نگاه ► ساخت سلسله مراتبی ► مقایسه های زوجی ► ترکیب وزنها ► تحلیل حساسیت ► روش رتبه بندی

10. مثال تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,C یکی را انتخاب کنیم چهار معیار : راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد. حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم : تصور کنید که از بین سه اتومبیل A,B,C یکی را انتخاب کنیم چهار معیار : راحتی ، قیمت ، مصرف سوخت، مدل مطرح می باشد. حل این مثال را طی قدمهای زیر تشریح می کنیم : ساختن سلسله مراتبی محاسبه وزن سازگاری سیستم

11. ساختن سلسله مراتبی انتخاب بهترین اتومبیل

12. محاسبه وزن ترجیحات ( قضاوت شفاهی ) مقدار عددی کاملا مرجح یا کاملا مهم تر یا کاملا مطلوب تر Extremely preferred Extremely preferred9 ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت خیلی قوی Very strongly preferred 7 ترجیح با اهمیت یا مطلوبیت قوی Strongly preferred 5 کمی مرجح یا کمی مهم تر یا کمی مطلوب تر Moderately preferred 3 ترجیح یا اهمیت یا مطلوبیت یکسان Equally preferred 1 ترجیحات بین فواصل قوی 8،6،4،28،6،4،28،6،4،28،6،4،2

13. محاسبه وزن نسبی اتومبیل ها از نظر راحتی A اتومبیل A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 128 B اتومبیل 1/216 C اتومبیل 1/81/61

14. قدم اول : مقادیر هر یک از ستون ها را با هم جمع می کنیم. A اتومبیل A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 128 B اتومبیل 1/216 C اتومبیل 1/81/61 جمع هر ستون 13/819/615

15. قدم دوم : تقسیم هر عنصر از ماتریس به جمع کل ستون همان عنصر ( نرمالایزکردن ) A اتومبیل A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 8/1312/198/15 B اتومبیل 4/136/196/15 C اتومبیل 1/131/191/15

16. قدم سوم : محاسبه متوسط عناصر در هر سطر A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل متوسط سطر A اتومبیل 0.6150.6310.5330.593 B اتومبیل 0.3080.3160.4000.341 C اتومبیل 0.0770.0530.0670.066 جمع کل 1111

17. ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به قیمت A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 11/31/4 B اتومبیل 311/2 C اتومبیل 421

18. ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 11/41/6 B اتومبیل 411/3 C اتومبیل 631 مصرف مصرف

19. A اتومبیل B اتومبیل C اتومبیل A اتومبیل 144 B اتومبیل 317 C اتومبیل 1/41/71 ماتریس مقایسه زوجی برای سه اتومبیل نسبت به مدل

20. وزن اتومبیل ها برای معیار های ، و قیمتمصرفمدل A اتومبیل 0.1230.0870.265 B اتومبیل 0.3200.2740.655 C اتومبیل 0.5570.6390.080 قیمتمصرفمدل

21. ماتریس مقایسه زوجی معیارها قیمتمصرفراحتیمدل قیمت1322 مصرف 1/311/4 راحتی 1/241 مدل 421

22. وزن هر یک از معیارها 0.398 قیمت 0.085 مصرف 0.218 راحتی 0.299 مدل

23. وزن اتومبیل ها نسبت به معیارها قیمتمصرفراحتیمدل A اتومبیل 0.1230.0870.5930.265 B اتومبیل 0.3200.2740.3410.655 C اتومبیل 0.5570.6390.0660.080

24. محاسبه وزن نهائی اتومبیل وزن نهائی اتومبیل A 0.398*0.123+0.085*0.087+0.218*0.593+0.299*0.265=0.265 وزن نهائی اتومبیل B 0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421 0.398*0.320+0.085*0.274+0.218*0.341+0.299*0.655=0.421 وزن نهائی اتومبیل C 0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314 0.398*0.557+0.085*0.639+0.218*0.066+0.299*0.080=0.314

25. اولویت نهائی اتومبیل ها وزناتومبیلاولویت 0.431B1 0.314C2 0.265A3

26. ساختن سلسله مراتبی سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد. سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : سلسله مراتبی یک نمایش گرافیکی از مساله پیچیده واقعی می باشد که در راس آن هدف کلی مساله و در سطوح بعدی معیار ها و گزینه ها قرار دارند ، هر چند یک قاعده ثابت و قطعی برای رسم سلسله مراتبی وجود ندارد. سلسله مراتبی ممکن است به یکی از صورت های زیر باشد : هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ زیر معیار ها _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها هدف _ معیارها _ عوامل _ زیر عوامل _ گزینه ها

27. یک نمونه کلی از ساختمان سلسله مراتبی تصمیم کلی مساله ( هدف ) معیار 1 معیار 2n معیار 1 زیر معیار 2 زیر معیار n زیر معیار n گزینه 2 گزینه 1 گزینه...

28. سلسله مراتبی انتخاب یک مدرسه آموزشهای جانبی : L آمادگی برای دانشگاه :K نظم :V استاندارد کلی دانش آموزان :F کیفیت آموزشی :S انتخاب بهترین مدرسه آموزشیاجتماعیفرهنگی SLKVF C BA

29. محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی محاسبه وزن در فرایند تحلیل سلسله مراتبی در دو قسمت جداگانه زیر مورد بحث قرار می گیرد :  وزن نسبی ( local priority (  وزن نهایی ( overall priority)

30. روشهای محاسبه وزن نسبی 1. روش حداقل مربعات 2. روش حداقل مربعات لگاریتمی 3. روش بردار ویژه 4. روشهای تقریبی

31. ( least squares method )روش حداقل مربعات یا ها )i و j در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه یا ها )i و j در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i و j در حالت ناسازگاری ( حداقل برای یک ) یا i و j در حالت ناسازگاری ( حداقل برای یک St:

32. برای حل مساله فوق ، معادله لاگرانژی آن به صورت زیر در نظرگرفته می شود. مشتق بگیریم خواهیم داشت : w l اگر از معادله فوق نسبت به باشد ، داریم : n=2 اگر

33. مثال A= نشان می دهیم ماتریس مقایسه ، ناسازگار است. 1) 2) وزن هر معیار را با روش حداقل مربعات به دست می آوریم. ماتریس مقایسه زوجی زیر را در نظر بگیرید :

34. اگر رابطه برای یکی از i,j,kها برقرار نباشد ماتریس ناسازگار خواهد بود. از حل دستگاه فوق خواهیم داشت :

35. روش حداقل مربعات لگاریتمی (logarithmic least squares method) یا ها )i و j در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه یا ها )i و j در حالت سازگاری ( به ازاء کلیه ) یا i و j در حالت ناسازگاری ( حداقل برای یک ) یا i و j در حالت ناسازگاری ( حداقل برای یک میانگین هندسی این اختلافات برابر است با:

36. در حالت سازگاری در حالت ناسازگاری

37. )Eigenvector Methodروش بردار ویژه ( ترجیح عنصر ام بر ام است و وزن عنصر ام و یک عدد ثابت است.

38. ام طبق تعریف قبل برابر است با:iوزن عنصر دستگاه معادلات فوق را به صورت زیر می توان نوشت: که همان ماتریس مقایسه زوجی{ یعنی }و بردار وزن و یک اسکالر است.

39. مثال برای ماتریس زیر، بردار و مقدار ویژه را محاسبه می کنیم. حل: برای حل این دستگاه می توان نوشت:

40. که خواهیم داشت : با قرار دادن مقادیر در دستگاه فوق و با استفاده از رابطه ، بردارهای ویژه به شکل زیر خواهند بود. رابطه بین بردار ویژه و مقدار ویژه به صورت زیر است:

41. در روش بردار ویژه برای محاسبه وزنها ، طبق مراحل زیر عمل می کنیم: 1. ماتریس A را تشکیل می دهیم. 2. ماتریس را مشخص کنید. 3. دترمینان ماتریس را محاسبه کرده و آن را مساوی صفر قرار داده و مقادیر را محاسبه کنید. 4. بزرگترین را نامیده و آن را در رابطه قرار داده و با استفاده ازرابطه مقادیر ها را محاسبه نمایید.

42. مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی به صورت زیر باشد وزن معیارها را با استفاده از روش بردار ویژه بدست می آوریم. حل:

43. بعد از حل معادله قبل، محاسبه می گردد. معادله ماتریسی را تشکیل داده و ها را محاسبه می کنیم. را تشکیل داده و ها را محاسبه می کنیم. معادله را به دستگاه فوق اضافه می کنیم. نتیجه زیر حاصل می شود.

44. قضیه : برای یک ماتریس مثبت و معکوس ، همچون ماتریس مقایسه زوجی ، بردار ویژه را می توان از رابطه زیر بدست آورد. که در آن می باشد.

45. ابتدا را محاسبه می کنیم. بطور مثال برای k =1 داریم : حال حاصل عبارت را محاسبه می نماییم :

46. مثال اگر ماتریس مقایسه زوجی برای چهار عنصربه صورت زیر باشد : محاسبه ون عناصر با استفاده از قضیه قبل به صورت زیر است :

47. حل : در تکرار اول داریم : = بردار حاصل از جمع سطری ماتریس A

48. در تکرار دوم داریم : بنابر این خواهیم داشت :

49. مقدار نهایی W در تکرارسوم و چهارم و پنجم به صورت زیر است :

50. )Approximation Method( روشهای تقریبی 1. مجموع سطری 2. مجموع ستونی 3. میانگین حسابی 4. میانگین هندسی

51. مثال ماتریس مقایسه زوجی زیر در دست است. با چهار روش ذکر شده بردار وزن را محاسبه می کنیم.

52. مجموع عناصر هر سطر بردار نرمالیزه مجموع سطری :

53. مجموع ستونی : مجموع عناصر هر ستون بردار نرمالیزهبردار معکوس

54. میانگین حسابی : نرمالیزه ی ستونها میانگین سطری

55. میانگین هندسی : نرمالیزه ی ستونها میانگین هندسی

56. محاسبه وزن نهایی وزن نهایی هر گزینه در یک فرایند سلسله مراتبی از مجموع حاصلضرب اهمیت معیارها در وزن گزینه ها بدست می آید.

57. مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی X و Y یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از : قابلیت رهبری و هدایت ( L ) تواناییهای شخصی ( P ) وتواناییهای اداری ( A ) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی X و Y یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از : قابلیت رهبری و هدایت ( L ) تواناییهای شخصی ( P ) وتواناییهای اداری ( A ) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. ) L قابلیت رهبری ( ( P تواناییهای شخصی( ( A تواناییهای اداری( معیارها

58. حل : ابتدا سلسله مراتب مربوطه را رسم می کنیم. Y X L P A هدف

59. محاسبه وزن یعنی داریم :

61. محاسبه وزن نهایی : توجه داشته باشید که بنابر این گزینه یا شخص Y انتخاب می گردد.

62. محاسبه نرخ ناسازگاری : ► ماتریس سازگار و خصوصیات آن ► ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس ► الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی

63. ماتریس سازگار و خصوصیات آن اگر n معیار به شرح داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : اگر n معیار به شرح داشته باشیم و ماتریس مقایسه زوجی آنها به صورت زیر باشد : که در آن ترجیح عنصر را بر نشان می دهد. چنانچه در که در آن ترجیح عنصر را بر نشان می دهد. چنانچه در این ماتریس داشته باشیم : این ماتریس داشته باشیم : آنگاه می گوییم ماتریس A سازگار است. آنگاه می گوییم ماتریس A سازگار است.

64. مثال C اهمیت نسبی عناصر نسبت به B اهمیت نسبی عناصر نسبت به

65. طبق تعریف می توان گفت مقدارویژه این ماتریس ( ) ازرابطه زیر به دست می آید : که حاصلضرب برابر است با : بنابراین خواهیم داشت :

66. هر ماتریس سازگار دارای خصوصیات زیر است : 1. مقدار وزن عناصر برابر مقدار نرمالیزه هر عنصر می باشد. 2. مقدار ویژه برابر طول ماتریس است ( ). 3. مقدار ناسازگاری دراین ماتریس صفر است.

67. ماتریس ناسازگار و خصوصیات آن قضیه یک – اگر مقادیر ویژه ماتریس مقایسه زوجی A باشد مجموع مقادیر آنها برابر n است : قضیه دو – بزرگترین مقدار ویژه همواره بزرگتر یا مساوی n است ( در این صورت برخی از ها منفی خواهند بود.)

68. قضیه سه – اگر عناصر ماتریس مقدار کمی از حالت سازگاری فاصله بگیرد ، مقدار ویژه آن نیز مقدار کمی از حالت سازگاری خود فاصله خواهد گرفت. که در آن به ترتیب بردار ویژه و مقدار ویژه ماتریس A می باشد. یک مقدار ویژه برابر n بوده ( بزرگترین مقدار ویژه ) و بقیه آنها برابر صفر هستند. بنابراین در این حالت می توان نوشت : در حالتی که ماتریس مقایسه زوجی A ناسازگار باشد طبق قضیه 3 ، و

69. کمی از n فاصله می گیرد که می توان نو شت : کمی از n فاصله می گیرد که می توان نو شت : شاخص ناسازگاری شاخص ناسازگاری

70. الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک ماتریس 1. ماتریس مقایسه زوجی A را تشکیل دهید. 2. بردار وزن W را مشخص نمایید. 3. آیا بزرگترین مقدار ویژه ماتریس A ( یعنی مشخص است ؟ اگر پاسخ مثبت است به قدم چهارم بروید. در غیر این صورت با توجه به قدم های زیر مقدار آن راتخمین بزنید : 1-3 - با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی ازبه دست آورید 1-3 - با ضرب بردار W در ماتریس A تخمین مناسبی ازبه دست آورید 2-3 - با تقسیم مقادیر به دست آمده برای بر W مربوطه تخمین هایی از را محاسبه نمایید. 2-3 - با تقسیم مقادیر به دست آمده برای بر W مربوطه تخمین هایی از را محاسبه نمایید. 3-3 - متوسط به دست آمده را پیدا کنید. 3-3 - متوسط به دست آمده را پیدا کنید. 4. مقدار شاخص ناسازگاری را از رابطه زیر محاسبه می کنیم : 5. نرخ ناسازگاری را از فرمول زیر به دست آورید :

71. برای ماتریس مقایسه زوجی زیر نرخ ناسازگاری را محاسبه کنید. حل قدم 1 و 2: با استفاده از روش میانگین حسابی داریم : مثال

72. قدم 3: از آنجا که مقدار مشخص نمی باشد ، باید آن را طبق قدم های زیر تخمین بزنیم. قدم 3-1- تخمین قدم 3-1- تخمین قدم 3-2- محاسبه ها قدم 3-2- محاسبه ها قدم 3-3- محاسبه میانگین ها قدم 3-3- محاسبه میانگین ها

73. قدم 4: محاسبه شاخص ناسازگاری قدم 4: محاسبه شاخص ناسازگاری قدم 5: محاسبه نرخ ناسازگاری قدم 5: محاسبه نرخ ناسازگاری نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017 است که کمتر از 0.1 بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد. نرخ ناسازگاری این ماتریس برابر 0.017 است که کمتر از 0.1 بوده بنابراین سازگاری آن مورد قبول می باشد.

74. الگوریتم محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم. این حاصل جمع را می نامیم. همچنین وزن عناصر را در ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم. حاصل تقسیم برای محاسبه نرخ ناسازگاری یک سلسله مراتبی شاخص ناسازگاری هر ماتریس را در وزن عنصر مربوطه اش ضرب نموده و حاصل جمع آنها را به دست می آوریم. این حاصل جمع را می نامیم. همچنین وزن عناصر را در ماتریس های مربوطه ضرب کرده و مجموعشان را نامگذاری می کنیم. حاصل تقسیم نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد. نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را می دهد.

75. مثال مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی X و Y یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از : قابلیت رهبری و هدایت ( L ) تواناییهای شخصی ( P ) وتواناییهای اداری ( A ) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. مدیر عامل کارخانه ای قصد دارد از بین دو نفر به اسامی X و Y یکی را به عنوان مدیر بخش بازاریابی انتخاب نماید معیار های مورد نظر او عبارتند از : قابلیت رهبری و هدایت ( L ) تواناییهای شخصی ( P ) وتواناییهای اداری ( A ) ماتریسهای مقایسه زوجی زیر در این مورد بدست آمده اند. ) L قابلیت رهبری ( ( P تواناییهای شخصی( ( A تواناییهای اداری( معیارها

76. در این مثال نرخ ناسازگاری سلسله مراتبی را محاسبه می نماییم : YX L P A هدف YX YX

77. با به کارگیری روش میانگین حسابی وزن های محلی عبارتنداز : یعنی داریم :

78. وزن های نهایی هر کدام از این گزینه ها برابر است با : برای ماتریس داریم :

79. به همین ترتیب برای ماتریس های می توان نوشت :

80. در این سلسله مراتبی میزان ناسازگاری کمتر از 0.1 بوده و قابل قبول است و نیازی به تجدید نظر در قضاوت ها نیست.

81. THE END