1. Homographic Functions
avril 09
纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions

2. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
Basic type (Review 1)
A > 0
when x  +∞ then y  0 (+)
when x  -∞ then y  0 (-)
x-axis y = 0 is an asymptote for (H)
when x  0 (+) then y  +∞
when x  0 (-) then y  -∞
y-axis x = 0 is an asymptote for (H)
The vertex of the Hyperbola is the point (√A,√A) on the Axis (y=x).
The function is an odd function
O is the center of symetry of (H).
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3. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
Basic type (Review 2)
A < 0
when x  +∞ then y  0 (-)
when x  -∞ then y  0 (+)
x-axis y = 0 is an asymptote for (H)
when x  0 (+) then y  - ∞
when x  0 (-) then y  + ∞
y-axis x = 0 is an asymptote for (H)
The vertex of the Hyperbola is the point (-√(-A),√(-A) on the Axis (y=-x).
The function is an odd function
O is the center of symetry of (H).
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4. First transformation (1)
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5. First transformation (1)
h = +2
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6. First transformation (2)
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7. First transformation (2)
h = +2
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8. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
2nd transformation (1)
A > 0
A > 0
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9. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
2nd transformation (1)
A > 0
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10. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
2nd transformation (2)
A < 0
A < 0
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11. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
2nd transformation (2)
A < 0
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12. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
3rd transformation
A > 0
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Homographic Functions

13. Change of center and variables
Let X = x – l and Y = y – h
then the equation becomes
which means that, with respect to the new center 0’(l,h), the graph of the function is the same as the original.
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14. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
Limits & Asymptotes
when x  +∞ or x  - ∞ then y  h (±) the line y = h is an asymptote for (H)
when x  l (±) then y  ±∞ the line x = l is an asymptote for (H)
The point (l,h) intersection of the two asymptotes is the center of symmetry of the hyperbola.
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15. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
General case
It’s easy to check that all functions in the type of can be changed into the form of f5(x).
Example :
Problem : prove that all functions defined by : can be transformed into the previous one.
Example :
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16. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
General case
In this example l = 1, h = 4, A = 9
«Horizontal» Asymptote : y = 4
«Vertical» Asymptote : x = 1
Center : (1;4).
A > 0  function is decreasing.
Only one point is necessary to be able to place the whole graph !
Interception with the Y-Axis : (0,-5) or
Interception with the X-Axis :
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17. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
General case
Formulas : l = and h =
In fact one can find the asymptotes by looking for the limits of the function in the original form.
Then it’s not necessary to change the form to be able to plot the graph.
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18. 纪光 - 北京 景山学校 - Homographic Functions
祝好运 谢谢 再见
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