1. SI-2131 Mekanika Fluida dan Hidraulika Pengenalan Analisis Dimensi (26 Oktober 2017) Dr. Eng. Eka Oktariyanto N. Dr. Dhemi Harlan

2. 1. Pengantar Sistem fluida dapat dipelajari dari sudut pandang murni dimensi. Pengetahuan analisis dimensi dapat digunakan untuk mengembangkan asumsi terkait dimana dilakukan untuk menyederhanakan masalah. Selanjutnya alasan penskalaan dan kesamaan yang berdasarkan analisis dimensi, berperan dalam desain percobaan dan interpretasi hasil. Model matematika aliran fluida hanya berlaku jika parameter- parameter yang dinyatakan dalam dimensi-dimensi konsisten dan menggunakan sistem satuan yang sama. Model selanjutnya harus homogen secara dimensi atau konsisten secara dimensi. Bangunan-bangunan hidrolika pada saat ini didesain dan dibangun jika studi model lanjutan telah dilakukan. Aplikasi analisis dimensi dan kesamaan Hidrolika memungkinkan para ahli rekayasa mengelola dan menyederhanakan percobaan2 dan menganalisa hasil2nya. Persoalan-persoalan dalam Mekanika Fluida Cara analisa  Formula Matematis Cara experimental butuh variabel yg mempengaruhi persoalan + hubungan satu sama lain menemui hambatan praktis + ekonomis  proyotype  model ANALISA DIMENSI & KESERUPAAN Dalam Experimental:

3. Dalam Mekanika Fluida, Variabel tsb dapat dikelompokkan menjadi atas: a. Variabel fisik yang ditinjau timbul akibat gerak benda dalam fluida. contoh : gaya, tegangan geser dll. b. Variabel geometri contoh : ukuran panjang, bentuk dll. c. Variabel yang menyangkut gerak benda dalam fluida atau sebaliknya. contoh : kecepatan, percepatan dll. d. Variabel yang menyatakan sifat fluida: contoh : masa jenis, tekanan, viskositas, tengan permukaan dll. e. Variabel yang menyatakan sifat benda. contoh : masa jenis benda, modulus elastisitas. Analisa Dimensi dipergunakan bila variabel2 yang mempengaruhi suatu gejala fisik diketahui tetapi hubungan antara satu dengan yang lainnya belum diketahui Dalam kasus demikian langkah pertama yang harus dilakukan adalah mengenal variabel2 atau parameter2 yang berpengaruh

4. 4 F  1. diameter ( D ) 2. kecepatan ( V ) 3. densitas (  ) 4. viskositas (  ) Jadi : F = f (D, V, ,  ) Masing-masing variabel harus di-ubah2 secara bergantian (satu persatu) untuk mengetahui pengaruh masing-masing terhadap F. Setiap parameter ini mempengaruhi besarnya F Lama Mahal Sulit dipresentasikan pengaruhnya Drag Force

5. Dengan analisa dimensi dapat ditunjukkan adanya hubungan antara kelompok bilangan tak berdimensi sbb. : Dalam hal ini;  1 diukur untuk ber-macam2  2, sedangkan  2 dapat diubah hanya dengan mengubah salah satu dari , V, D atau  Kesimpulan: Eksperimen  Sederhana, Cepat & Murah

6. 2. Prinsip Keserupaan (Sifat Sebangun) Sebangun Geometrik Sebangun geometrik dipenuhi apabila model dan prototip mempunyai bentuk yang sama tetapi berbeda ukuran. Hal ini berarti bahwa perbandingan antara semua ukuran panjang yang bersangkutan termasuk kekasaran antara model dan prototip adalah sama. Perbandingan ini disebut dengan skala geometrik model n L : Semua ukuran yang ada disebarang titik pada model dan prototip harus mempunyai skala yang sama.

7. Sebangun Kinematik Sebangun kinematik terjadi antara prototip dan model jika prototip dan model sebangun geometrik dan perbandingan kecepatan dan percepatan di dua titik yang bersangkutan pada prototip dan model untuk seluruh pengaliran adalah sama. Besaran kinematik seperti kecepatan, percepatan, debit aliran dan sebagainya dapat diberikan dalam bentuk skala panjang dan skala waktu. Sebangun Dinamik Jika prototip dan model sebangun geometrik dan kinematik, dan gaya-gaya yang bersangkutan pada model dan prototip untuk seluruh pengaliran mempunyai perbandingan yang sama dan bekerja pada arah yang sama, maka dikatakan sebagai sebangun dinamik.

8. Merupakan koefisien tekanan (Cp), sering kali digunakan dalam lingkup aerodinamika atau pengujian model yang lain. dimana :  p : tekanan lokal dikurangi tekanan freestream Bilangan EULER (Eu) Dalam analisis dimensional, satuan tak berdimensi adalah satuan yang tidak memiliki unit fisis melainkan hanyalah bilangan. Bilangan itu pada umumnya didefinisikan sebagai produk atau rasio atau satuan yang memiliki unit. 3. Bilangan Tak Berdimensi

11. Contoh 1 : Suatu model kapal dengan skala n = 100 mengalami tahanan 0,01 kg (0,0981 N) apabila kecepatan kapal pada prototip 6 m. Berapakah tahanan pada prototip.

12. Contoh 1 : Suatu model kapal dengan skala n = 100 mengalami tahanan 0,01 kg (0,0981 N) apabila kecepatan kapal pada prototip 6 m. Berapakah tahanan pada prototip.

13. Untuk mendapatkan karakteristik aliran yang dipengaruhi oleh permukaan bebas. Atau dalam bentuk lain dapat ditulis: Note: Fr < 1  aliran subcritical Fr > 1  aliran supercritical Bilangan FROUDE (Fr)

15. Untuk mengkarakteristikkan rejim aliran; apakah laminar ataukah turbulent, dalam bentuk umum ditulis : dimana L : panjang karakteristik yang diukur dalam medan aliran (aliran dalam pipa  L = D) Atau dapat juga ditulis: Bilangan REYNOLDS (Re)

17. Contoh 2 : Perilaku kapal diprediksi dengan membuat model didalam terowong angin. Panjang prototip kapal adalah 350 m sedang panjang model adalah 10 m. Viskositas kinematik udara adalah 1,25 kali air. Kecepatan udara di sekitar model di dalam terowongan angin adalah 35 m/d. Berat jenis udara dan air laut masing- masing adalah 1,235 kg/m 3 dan 1,030 kg/m 3. Penyelidikan menunjukkan bahwa tahanan pada model adalah 50 kg. Hitung kecepatan dan tahanan kapal pada prototip di air.

18. Contoh 2 : Perilaku kapal diprediksi dengan membuat model didalam terowong angin. Panjang prototip kapal adalah 350 m sedang panjang model adalah 10 m. Viskositas kinematik udara adalah 1,25 kali air. Kecepatan udara di sekitar model di dalam terowongan angin adalah 35 m/d. Berat jenis udara dan air laut masing- masing adalah 1,235 kg/m 3 dan 1,030 kg/m 3. Penyelidikan menunjukkan bahwa tahanan pada model adalah 50 kg. Hitung kecepatan dan tahanan kapal pada prototip di air.

19. Untuk mengkarakteristikkan efek kompresibilitas suatu aliran, dalam bentuk umum ditulis : dimana V : kecepatan aliran rata-rata C : kecepatan suara lokal Atau dapat juga ditulis: Bilangan MACH (M)

21. Contoh 3 : Pesawat bergerak dengan kecepatan 650 km/jam melalui udara diam pada 20 o C. Apabila tegangan elastis dan rapat massa udara adalah 21 kg/cm 2 dan 0,126 kg/m 3, hitung angka Mach.

22. Dimana :  = tegangan permukaan [gaya/panjang] Atau dalam bentuk lain dapat ditulis: Bilangan WEBER (W e )

24. 4. Studi Model Studi model banyak digunakan untuk mendukung perencanaan bangunan air. Ada dua tipe model yaitu model matematik dan model fisik. Model matematik dapat digunakan apabila permasalaan yang ada dapat dirumuskan secara matematis. Persamaan matematik tersebut kemudian diselesaikan secara numeris dengan menggunakan bantuan komputer. Model fisik digunakan apabila fenomena fisik dapat direproduksi dengan kesamaan yang cukup dengan memperkecil dimensi bangunan yang sesungguhnya. Kedua tipe model tersebut digunakan untuk tipe permasalahan yang berbeda, meskipun sering untuk suatu permasalahan kedua model tersebut dapat digunakan. Dalam hal yang terakhir, diperlukan pemilihan tipe model yang akan digunakan. Dalam bab ini hanya akan dibahas mengenai model fisik. Model fisik dapat diklasifikasikan dalam dua tipe yaitu model tak distorsi dan model distorsi. Pada model tak distorsi bentuk geometri antara model dan prototip adalah sama tetapi berbeda ukuran dengan suatu perbandingan ukuran atau skala tertentu. Model tak distorsi ini relatif mudah dan hasil-hasil yang diperoleh dari model tersebut dapat dengan mudah ditransfer pada prototip. Sedang pada model distorsi bentuk geometri antara model dan prototip tidak sama. Model ini banyak dilakukan apabila prototip mempunyai dimensi horisontal jauh lebih besar dari dimensi vertikal, seperti sungai, pelabuhan, dan sebagainya. Dalam hal ini apabila skala horisontal dan vertikal adalah sama, maka kedalaman air pada model bisa sangat kecil sehingga sulit untuk melakukan pengukuran di samping juga sifat aliran bisa menjadi tidak sama (aliran di prototip adalah turbulen sedang dimodel menjadi laminer). Untuk menghindari keadaan ini maka skala horisontal dan vertikal model dibuat tidak sama, yaitu skala horisontal lebih kecil dari skala vertikal. Studi model distorsi ini relatif lebih sulit dan hasil yang diperoleh pada model tidak mudah untuk ditransfer ke kondisi prototip.

25. Pembuatan model perlu memperhatikan beberapa faktor berikut ini. 1.Ruangan yang tersedia untuk membuat model. 2.Kemampuan fasilitas suplai fluida (air, minyak, udara atau fluida lainnya). 3.Kemampuan alat ukur. 4.Cakupan dan jangkauan penyelidikan. 5.Ketelitian yang dikehendaki. 6.Ukuran prototip. 7.Pelaksanaan pembuatan model.

26. Model Tak Distorsi Model yang mempunyai skala panjang dan vertikal yang sama disebut model tak distorsi. Analisis model tak distorsi, terutama dalam menentukan skala besaran karakteristik aliran berdasarkan skala geometri yang diketahui. Berikut ini diberikan beberapa contoh aplikasi model tak distorsi. Contoh 4 : Suatu model aliran melalui saluran terbuka dibuat dengan skala geometri n L = n h = 50 (n h adalah skala vertikal). Tentukan skala besaran lainnya yaitu : a. luas dan volume, b. kecepatan aliran, c. debit aliran, d. waktu aliran, e. koefisien Chezy dan Manning.

27. Contoh 4 : Suatu model aliran melalui saluran terbuka dibuat dengan skala geometri n L = n h = 50 (n h adalah skala vertikal). Tentukan skala besaran lainnya yaitu : a. luas dan volume, b. kecepatan aliran, c. debit aliran, d. waktu aliran, e. koefisien Chezy dan Manning.

28. Contoh 4 : Suatu model aliran melalui saluran terbuka dibuat dengan skala geometri n L = n h = 50 (n h adalah skala vertikal). Tentukan skala besaran lainnya yaitu : a. luas dan volume, b. kecepatan aliran, c. debit aliran, d. waktu aliran, e. koefisien Chezy dan Manning.

29. Contoh 4 : Suatu model aliran melalui saluran terbuka dibuat dengan skala geometri n L = n h = 50 (n h adalah skala vertikal). Tentukan skala besaran lainnya yaitu : a. luas dan volume, b. kecepatan aliran, c. debit aliran, d. waktu aliran, e. koefisien Chezy dan Manning.

30. Soal : Suatu model bangunan pelimpah dibuat dengan skala n = Lp/Lm = 30. Prototip mempunyai tinggi 15 m dan tinggi peluapan 1,5 m. a)Berapa tinggi model dan tinggi peluapan pada model b)Jika debit aliran pada model adalah 12 l/detik, berapakah debit aliran pada prototip c)Jika kecepatan aliran pada model adalah 0,66 m/d; berapakah kecepatan aliran pada prototip

31. Soal : Suatu model bangunan pelimpah dibuat dengan skala n = Lp/Lm = 30. Prototip mempunyai tinggi 15 m dan tinggi peluapan 1,5 m. a)Berapa tinggi model dan tinggi peluapan pada model b)Jika debit aliran pada model adalah 12 l/detik, berapakah debit aliran pada prototip c)Jika kecepatan aliran pada model adalah 0,66 m/d; berapakah kecepatan aliran pada prototip

32. Model Distorsi Model yang mempunyai skala horisontal dan vertikal berbeda disebut dengan model distorsi. Model ini digunakan apabila dimensi prototip sangat besar, seperti sungai, pantai dan sebagainya.

33. Contoh : Aliran melalui saluran terbuka seperti contoh 4 diselidiki dengan model distorsi. Skala horisontal dan vertikal adalah n L = 50 dan n h = 20. Tentukan skala besaran lainnya.

35. Soal : Suatu model bangunan pelimpah dibuat dengan skala n L = Lp/Lm = 30 dan skala vertikal Hp/Hm=15. Prototip mempunyai tinggi 15 m dan tinggi peluapan 1,5 m. a)Berapa tinggi model dan tinggi peluapan pada model b)Jika debit aliran pada model adalah 12 l/detik, berapakah debit aliran pada prototip c)Jika kecepatan aliran pada model adalah 0,66 m/d; berapakah kecepatan aliran pada prototip

36. Soal : Sungai seperti pada contoh 6 diselidiki dengan model distorsi. Skala horisontal dan vertikal n L = 250 dan n h = 50. Selidiki kondisi aliran di prototip dan model.

37. Soal : Sungai seperti pada contoh 6 diselidiki dengan model distorsi. Skala horisontal dan vertikal n L = 250 dan n h = 50. Selidiki kondisi aliran di prototip dan model.

38. 5. Analisis Dimensional Ada dua metoda pendekatan yang biasa digunakan dalam analisa dimensi, yaitu metoda Rayleigh dan metoda Buckingham. A. Metoda Rayleigh Dalam metoda ini suatu fungsi dari beberapa variabel diberikan dalam bentuk persamaan berpangkat yang harus mempunyai kesamaan dimensi. Penggunaan metoda Rayleigh untuk analisa dimensi dilakukan dengan prosedur berikut ini : a)Ditulis hubungan suatu fungsi dengan semua variabel yang berpengaruh b)Dibuat persamaan di mana variabel yang berpengaruh dipangkatkan dengan a, b, c,...................., dan seterusnya c)Dibuat persamaan dengan menuliskan semua variabel dalam bentuk dimensi dasar d)Berdasarkan prinsip analisa dimensi dicari nilai pangkat a, b, c,................ dengan menyelesaikan persamaan-persamaan yang berbentuk secara simultan e)Substitusikan nilai pangkat yang telah didapat pada persamaan utama.

39. Contoh 4 : Diketahui bahwa daya suatu pompa (D) tergantung pada debit aliran (Q), berat jenis air (  ) dan tinggi pemompaan (H). Akan dicari bentuk rumus daya tersebut.

40. Soal 1 : Pada aliran melalui pipa, tegangan geser yang terajadi pada dinding pipa merupakan fungsi dari , , V dan dimensi pipa yang diberikan dalam bentuk jari-jari hidraulis. Cari bentuk rumus tegangan geser tersebut.

41. 4. Analisis Dimensional Ada dua metoda pendekatan yang biasa digunakan dalam analisa dimensi, yaitu metoda Rayleigh dan metoda Buckingham. B. Metoda Metode Buckingham Didalam metoda Rayleigh, apabila variabel yang berpengaruh cukup banyak maka penyelesaian dengan metoda tersebut menjadi sulit. Untuk mengurangi kesulitan tersebut, maka dapat digunakan metoda Buckingham. Bunyi teorema Buckingham adalah apabila terdapat n variabel di dalam persamaan kesamaan dimensi, dan jika variabel tersebut terdiri dari m dimensi dasar seperti (M-L-T) maka variabel tersebut dapat dikelompokkan ke dalam (n-m) suku bebas tak berdimensi. Misalkan suatu variabel x1 tergantung pada variabel bebas x2, x3, x4,...........,xn maka fungsi tersebut dapat ditulis dalam bentuk : x1 = k (x2, x3, x4,.........................., xn) Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk : f (x1, x2, x3, x4.........................., xn) = C dengan C adalah konstanta dan  adalah fungsi. Dalam persamaan tersebut terdapat n variabel, dan apabila terdapat m dimensi dasar, maka berdasarkan theorema Buckingham : f1 (  1,  2,  3,  4..........................,  n) = C

42. Didalam penggunaan theorema  Buckingham ini perlu diperhatikan urutan langkah berikut ini. 1.Tulis persamaan yang mengandung n variabel yang berpengaruh di dalam permasalahan yang ditinjau 2.Identifikasi variabel bebas 3.Tentukan m variabel berulang dan tulis bentuk dari masing-masing nilai . Setiap bentuk  terdiri dari variabel berulang dan satu variabel lain. Variabel berulang ditulis dalam bentuk pangkat 4.Dengan bantuan prinsip kesamaan dimensi dicari nilai a, b, c,...... dengan cara yang sama pada metoda Rayleigh 5.Masukkan nilai-nilai pangkat tersebut pada persamaan 6.Sesudah persamaan  ditentukan, tulis hubungan yang dicari Tidak ada aturan yang jelas di dalam menentukan m variabel berulang tetapi perlu diperhatikan beberapa hal berikut ini : 1.Variabel-variabel harus mempunyai dimensi 2.Tidak boleh ada dua atau variabel yang mempunyai dimensi sama 3.Sedapat mungkin variabel berulang adalah variabel bebas. Biasanya variabel berulang yang dipilih adalah sifat zat cair (  ), karakteristik aliran (V), dan karakteristik geometri (L).

43. Contoh 5 : Turunkan persamaan jarak yang ditempuh oleh benda jatuh bebas dengan metoda Buckingham.

44. Contoh 5 : Turunkan persamaan jarak yang ditempuh oleh benda jatuh bebas dengan metoda Buckingham.

45. Soal 2: Turunkan rumus daya pompa sebagai fungsi debit aliran Q, berat jenis zat cair  dan tinggi pompa H dengan metoda Buckingham. D =  (Q, ,H)