1. Kombinatoorsete süsteemide disain
L7. Loogikafunktsioonide täpne minimeerimine
L8. Loogikafunktsioonide heuristiline minimeerimine
L9. Mitmevalentne loogika
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

2. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Esitusviisid b c a 1 y z x
Tabelesitus
tõeväärtustabel (truth table)
funktsiooni kõikide mintermide loetelu
implkanttabel (implicant table) e. intervalltabel e. kate (cover)
funktsiooni defineerimiseks piisavate implikantide loetelu b c a 1 - y z x
Algebraline
x = abc+a’c’ / y = b’c+a’b’+a’c / z = abc+a’c’+a’b’
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

3. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Normaalkujud
Disjunktiivne normaalkuju (DNK, DNF)
elementaarkonjunktsioonide (product term) disjunktsioon
z = abc+a’c’+a’b’
Konjunktiivne normaalkuju (KNK, CNF)
elementaardisjunktsioonide (sum term) konjunktsioon
z = (a+b’+c’)(a’+b)(a’+c) [ z’ = a’bc+ab’+ac’ ]
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

4. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Normaalkujud
Täielik DNK (TDNK, CDNF)
z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc
z = 1a,b,c(0,1,2,7)
1-piirkond
Täielik KNK (TKNK, CCNF)
z = (a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c)
z = 0a,b,c(3,4,5,6)
0-piirkond
z’ = a’bc+ab’c’+ab’c+abc’ b c a 1 y z x
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

5. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Kate
Miinimumkate (minimum cover)
kate vähima implikantide arvuga (globaalne optimum)
Minimaalne kate (minimal cover) ehk liiasuseta kate (irredundant cover)
kate, mis ei sisaldu üheski teises kattes
ühtegi implikanti ei saa eemaldada (lokaalne optimum)
Lihtimplikant (prime implicant)
ei sisaldu üheski teises implikandis
Lihtkate (prime cover) – kate lihtimplikantidest
Oluline (essential) lihtimplikant
leidub minterm, mis on kaetud ainult selle lihtimplikandi poolt
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

6. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Kate
(1,1,1)
(0,0,0)     b c a - 1 y x     a b c
(1,1,1)
(0,0,0)   
(1,1,1)
(0,0,0)    
miinimumkate
minimaalne kate
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

7. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Minimeerimine
Põhi-idee – leida võimalikult väike arv implikante, et kõik mintermid oleksid kaetud
Täpsed meetodid
leiavad miinimumkatte
tihtipeale võimatu suurte funktsioonide korral
Quine-McCluskey meetod
Heuristilised meetodid
leiavad minimaalsed katted (miinimumkatte leidmine võimalik)
lai valik meetodeid - MINI, PRESTO, ESPRESSO
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

8. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Minimeerimine
Implikantide leidmine mintermidest
idempotentsus & neeldumis-seadused
s.t. x+x=x & xy+xy’=x või x·x=x & (x+y)(x+y’)=x
lisaks distributiivsus ja assotsiatiivsus-seadused
s.t. (x·y)+x·z=x·(y+z) & (x+y)+z=x+(y+z) või (x+y)·(x+z)=x+(y·z) & (x·y)·z=x·(y·z)
NB! Erinevus täpselt ühes järgus!
korratakse seni, kuni enam “kleepida” ei saa
Näide – x = a’b’c’+a’bc’+abc
x = a’b’c’+a’bc’+abc = a’c’(b’+b)+abc = a’c’+abc 1 a c b x
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

9. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Minimeerimine
x = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c) = [(a+c’)+(bb’)]·[(a’+b)+(cc’)]·(a’+b’+c) = (a+c’)(a’+b)(a’+b’+c)
Pole minimaalne…
x = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b’+c) = (a+b+c’)(a+b’+c’)(a’+b+c)(a’+b+c’)(a’+b+c)(a’+b’+c) = [(a+c’)+(bb’)]·[(a’+b)+(cc’)]·[(a’+c)+(bb’)] = (a+c’)(a’+b)(a’+c) 1 a c b x 1 a c b x
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

10. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Minimeerimine
y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c = a’b’(c’+c)+a’bc+ab’c = a’b’+a’bc+ab’c … ???
y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c = a’b’c’+a’b’c+a’b’c+a’bc+a’b’c+ab’c = a’b’(c’+c)+a’c(b’+b)+b’c(a’+a) = a’b’+a’c+b’c
z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc = a’b’c’+a’b’c+a’b’c’+a’bc’+abc = a’b’(c’+c)+a’c’(b’+b)+abc = a’b’+a’c’+abc 1 a c b y 1 a c b z
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

11. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine
Quine’i teoreem – miinimumkate on lihtkate
miinimumkatte otsimisel võib piirduda lihtimplikantidega
Quine-McCluskey meetod
leia (kõik) lihtimplikandid
implikante omavahel kombineerides
leia miinimumkate
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

12. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine
Leitakse kõikvõimalikud lihtimplikandid
kuni 2n mintermi
neid saab rühmitada
kuni 3n/n lihtimplikanti
osadel funktsioonidel oluliselt vähem
Lihtimplikantide tabel
read - mintermid (1-piirkond)
veerud lihtimplikandid
kiirendamisvõtted
olulised lihtimplikandid peavad kuuluma kattesse
sõltumatud rühmad võib lahendada eraldi
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

13. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine
Kõik lihtimplikandid
y = ‘1’abcd (0,2,5,8,10,14), ‘-’abcd (12,13,15)
kõik mintermid
grupeerimine 1-de arvu järgi
esitus intervallidena või esitus 10-koodidena
Kleepimine
ainult naabergrupid
erinevus ainult ühes järgus või erinevus 2-astme võrra c d b 1 a 3 2 4 2 8 5 10 12 13 14 15 3 1 4
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

14. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine c d b - 1 a 3 2 c d b 1 a 3 2 4 1 b c d - a
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

15. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine c d b - 1 a 3 2 c d b - 1 a 2 1 b c d - a
b’d’ B
ad’ C ab D
bc’d A
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

16. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine 3 1 2
(2)
(8)
(4)
(1) 8 5 10 12 13 14 1 b c d - a 2 8 5 10 12 13 14 15 3 1 4
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

17. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine 3 1 2
(2)
(8)
(4)
(1) 8 5 10 12 13 14 1 b c d - a
(2,8)
(2,4)
(1,2) 8 12 1 2
b’d’ B
ad’ C ab D
bc’d A
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

18. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine
Lihtimplikantide kate
y = ‘1’abcd (0,2,5,8,10,14), ‘-’abcd (12,13,15) 2 5 8 10 14 A B C D
bc’d
b’d’
ad’ ab
[ 5 (8) ]
[ 0 (2,8) ]
[ 8 (2,4) ]
[ 12 (1,2) ] A B C D + + + +
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

19. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Täpne minimeerimine
Lihtimplikantide kate
olulised lihtimplikandid 1 b c d - a 2 5 8 10 14 A B C D +
bc’d
b’d’
ad’ ab
y = bc’d+b’d’+ab
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

20. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Näide #2
x = a’b’c’+a’bc’+abc
x = ‘1’a,b,c(0,2,7)
x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6)
y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c
y = ‘1’a,b,c(0,1,3,5)
y = ‘0’a,b,c(2,4,6,7)
z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc
z = ‘1’a,b,c(0,1,2,7)
z = ‘0’a,b,c(3,4,5,6) b c a 1 y z x
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

21. Näide #2: x - implikandid
x = a’b’c’+a’bc’+abc
x = ‘1’a,b,c(0,2,7)
x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6) 1 3
[ühed] - A B b c a 1 x 1 2
[nullid] 1 a c b x - 1 C D E F
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

22. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7
Näide #2: x - kate
x = a’b’c’+a’bc’+abc
x = ‘1’a,b,c(0,2,7)
x = ‘0’a,b,c(1,3,4,5,6) A B + 2 7
[ühed] 1 - A B + 1 3 4 5 6 C D E F b c a 1 x
[nullid] D E F - 1 C 1 a c b x
x = abc+a’c’
x = (a+c’)(b+c’)(a’+c)
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

23. Näide #2: y - implikandid
[ühed]
y = a’b’c’+a’b’c+a’bc+ab’c
y = ‘1’a,b,c(0,1,3,5)
y = ‘0’a,b,c(2,4,6,7) 1 2 - 1 A B C
Kõik implikandid
on olulised b c a 1 y
[nullid] 1 2 3 1 - 2 D E F 1 a c b y
Kõik implikandid
on olulised
y = a’b’+a’c+b’c
y = (b’+c)(a’+c)(a’+b’)
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7

24. Näide #2: z - implikandid
[ühed]
z = a’b’c’+a’b’c+a’bc’+abc
z = ‘1’a,b,c(0,1,2,7)
z = ‘0’a,b,c(3,4,5,6) 1 3 A - B C
Kõik implikandid
on olulised b c a 1 z
[nullid] 1 1 - 1 E F 2 1 1 D 1 a c b z 1 1 1 1
Kõik implikandid
on olulised
z = abc+a’b’+a’c’
z = (a+b’+c’)(a’+b)(a’+c)
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L7