1. Kombinatoorsete süsteemide disain
L2. Arvusüsteemid ja kahend-loogika
L3. Loogikafunktsioonide esitamine ja teisendamine
L4. Digitaalsüsteemid, andme- ja juht-osa, modelleerimise alused
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

2. Abstraktsioonitasemed
kümnendarvud
sümbolid /
Kasutajaliides
Operatsiooni-
süsteem
Pooljuhid:
Si, GaAs & Co
reaalarvud
Rakendus-
programmid
Progr.
keeled
Transistorid /
traadid
Assembler /
binaarkood
Loogika-
elemendid
kahendarvud /
kahendloogika
Arvutisüsteem:
CPU + RAM
RTL:
ALU & Co
Loogika-
funktsioonid
Protsessor
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

3. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Arvusüsteemid
J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices”
Positsionaalsed arvusüsteemid
väärtus = numbrite kaalutud summa
173.4 = 1· ·10 + 3·1 + 4·0.1
173.4 = 1· · · ·10-1
D =  di·ri, i = -n, …, p-1
dp-1 dp-2 … d2 d1 d0 . d-1 d d-n
r - baas (radix)
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

4. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Kahendarvud
Binary numbers
D =  di·2i, i = -n, …, p-1
= 1·4 + 0·2 + 1·1 + 0· · ·0.125 =
MSB - most significant bit
vanim järk
LSB - least significant bit
noorim järk
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

5. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
8- ja 16-arvud
Octal numbers – D =  di·8i
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
= = 43168
Hexadecimal numbers – D =  di·16i
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F
= = 1DBA916
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

6. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
8- ja 16-arvud
Püsikomaarvud
= =
= = 2.B2C16
8-arv (16-arv) -> 2-arv
1 byte - 8 bits, 1 nibble - 4 bits
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

7. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Teisendamine
Teisendus üle 10-süsteemi
Üldistatud teisendus
dp-1 dp-2 … d2 d1 d0
D =  di·ri ( i = 0, …, p-1) = dp-1·rp-1 + dp-2·rp-2 + … + d2·r2 + d1·r1 + d0·r0 = ((( … ((dp-1)·r + dp-2)·r + …)·r + d2)·r + d1)·r + d0
rekurssiivne jagamine
jääk annab koha väärtuse
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

8. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Teisendamine – näited
D =  di·ri ( i = 0, …, p-1) = ((( … ((dp-1)·r + dp-2)·r + …)·r + d2)·r + d1)·r + d0
F1AC16 = (((15)·16+1)·16+10)·16+12 = 61868
61868 / 16 = 3866 jääk 12
3866 / 16 = 241 jääk 10
241 / 16 = 15 jääk 1
5410 = ??13 (Kui palju on 6x9?)
54 / 13 = 4 jääk 2
5410 = 4213
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

9. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Hulgad
hulk on elementide (objektide) kogum
[Georg Cantor, ]
hulk - set ,      element - element, member
x  A - element x kuulub hulka A
|A| , N(A) - hulga võimsus (kardinaalsus)
lõplikud (finite) ja lõpmatud (infinite) hulgad
loenduvad (countable) hulgad
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

10. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Hulgad
P  Q   - alamhulk (subset)
hulk P on on hulga Q alamhulk kui iga hulga P element on ka hulga Q element
ühisosata hulgad (disjoint sets)
tühi hulk (empty set) - 
universaalhulk (universal set) - I
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

11. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Tehted hulkadega
ühend (union)
A  B = { x | xA V xB }
ühisosa (intersection)
A  B = { x | xA & xB }
täiend (complement)
A = { x | xI & xA } (AC)
vahe (difference)
A \ B = { x | xA & xB }
sümmeetriline vahe
A D B = { x | (xA & xB) V (xA & xB) }
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

12. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Tehted hulkadega
Venn’i diagramm
A  B
A  C = 
B  C   I B C A
A  B = A
A  B = B
B  C
B \ A
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

13. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Boole’i algebra
J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices” - 4.1
Loogikafunktsioonide formaalne analüüs
George Boole
1854 – kahevalentne algebrasüsteem – Boole’i algebra
1938 – Claude E. Shannon
releeskeemide analüüs (switching algebra)
Üksühene vastavus Cantor’i algebra (hulgad) ja Boole’I algebra (kahendloogika) vahel!
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

14. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Boole’i algebra
Liitmine - a+b, ab, a|b
Korrutamine - a·b, ab, a&b
Aksioomid
(1) X=0 kui X1 X=1 kui X0
(2) kui X=0, siis X’=1 kui X=1, siis X’=0
(3) 0 · 0 = = 1
(4) 1 · 1 = = 0
(5) 0 · 1 = 1 · 0 = = = 1
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

15. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Boole’i algebra
Ühemuutuja teoreemid
(1) X + 0 = X X · 1 = X identsus
(2) X + 1 = 1 X · 0 = 0 konstandid
(3) X + X = X X · X = X idempotentsus
(4) (X’)’ = X topelteitus
(5) X + X’ = 1 X · X’ = 0 täiendid
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

16. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Boole’i algebra
Kahe- ja kolmemuutuja teoreemid
(6) X+Y = Y+X X·Y = Y·X kommutatiivsus
(7) (X+Y)+Z=X+(Y+Z) (X·Y)·Z=X·(Y·Z) assotsiatiivsus
(8) (X·Y)+(X·Z)=X·(Y+Z) (X+Y)·(X+Z)=X+(Y·Z) distributiivsus
(9) X+(X·Y)=X X·(X+Y)=X X+(X’·Y)=X+Y X·(X’+Y)=X·Y neeldumine
(10) (X·Y)’=X’+Y’ (X+Y)’=X’·Y’ De Morgan
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

17. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Loogikafunktsioonid b a a a b 1 a b y 1 a b y 1 a y
a·b
a+b
a’ a
JA, AND
VÕI, OR
EI, NOT
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

18. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Loogikafunktsioonid 1 a b y 1 a b y 1 a b y
ab
a’+b
ab
(a·b)+(a’·b’)
ab
(a·b’)+(a’·b)
implikatsioon
ekvivalents
(XNOR)
välistav-või
(XOR)
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

19. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Loogikafunktsioonid 1 b c y a 1 b c y a 1 a b y 1 a b y
(a·b)’
a’+b’
(a+b)’
a’·b’
JA-EI
NAND
VÕI-EI
NOR
3-NAND
3-XOR
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

20. Kahendloogika pööratavus1 a b y
AND
0 ↔ 1 1 a b y
muutujate järjestus? 1 a b y OR
NOR 1 a b y
NAND 1 a b y
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

21. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Miks kahendloogika?
J.F. Wakerly “Digital Design: Principles and Practices” - 1.2
Analoog
suvaline väärtus
0..5 V, mA, jne.
Digitaal
diskreetsed väärtused
0/1, tõene/väär, true/false, high/low, jne.
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

22. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Miks kahendloogika?
Digitaali eelised
Tulemuste korratavus
samad sisendid annavad alati sama tulemuse
analoog - temperatuur, toitepinge, vananemine, ...
Projekteerimise lihtsus
loogikafunktsioonid, optimeerimisalgoritmid
Paindlikkus ja funktsionaalsus
erinevad algoritmid, sama funktsionaalsus
võimsustarve, loogikalülide arv, ...
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

23. I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2
Miks kahendloogika?
Digitaali eelised (järg)
Programmeeritavus
programmeerimiskeeled / riistvara kirjelduskeeled
Töökiirus
Turg ja tehnoloogia areng
Analoogi eelised
Diferentsiaalvõrrandite realiseerimine
Energeetiline efektiivsus
Kõrge töösagedus
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2

24. Mitmevalentne loogika
Nivoo loogika
kindel pingevahemik (vooluvahemik)
0 - <0.8V, 1 - >3.8V
Mitmevalentne loogika
rohkem kui kaks diskreetset väärtust
suurem infotihedus
mälud - 4- & 16-valentsed
Boole’i algebra edasiarendus
funktsioonide süsteemi minimiseerimine
© Peeter Ellervee
I207 - Digitaalloogika ja -süsteemid - L2