1. إحص 122: ”إحصاء تطبيقي“ “Applied Statistics” شعبة 17130
د. كمال الدين علي بشير
محاضرات
الفصل الثاني 1427/1428

2. الفصل الأول: مقدمة

3. علم الإحصاء “Statistics”
مالفرق؟؟؟
“Statistics” “statistics” “statistic”
الإحصاء التطبيقي/النظري

4. تعريف علم الإحصاء
هل هو مجموعة من الأرقام والبيانات؟: أعداد السيارات بالرياض/ تعداد السكان/عدد المواليد/الوفيات...إلخ
هل هو مجرد حصر الأشياء ومعرفة أعدادها؟
لا و نعم
ماهو علم الإحصاء؟

5. تعريف علم الإحصاء يمكن تعريف علم الإحصاء كالآتي:
”علم الإحصاء علم رياضي يعني بـ: جمع البيانات, تنظيمها, تلخيصها, تحليلها, تفسيرها, وعرضها للوصول لنتائج سليمة وقرارات مقبولة في ظل ظروف غير مؤكدة“
Data collection, Organization, Analysis, Interpretation, and Presentation-uncertainty

6. تطبيقات علم الإحصاء
كافة ضروب العلوم: الطبيعية/الإجتماعية/الإنسانية: الزراعة, الفيزياء, الكيمياء, علم الإجتماع, الفلسفة ...إلخ
هل يمكنك التفكير في علم لا يحتاج للإحصاء؟؟

7. وظائف علم الإحصاء من التعريف: أهم وظائف علم الإحصاء هى:
وصف البيانات Data Description
الاستدلال الإحصائي Statistical Inference
التنبؤ Forecasting

8. (1) وصف البيانات عند جمع البيانات تكون ”خام“: Raw Data
وصف البيانات يشمل:
تلخيص, تبويب وعرض في صورة جداول”Tables” أو رسوم بيانية”Graphs”
حساب بعض المؤشرات الإحصائية (متوسطات, تشتت,...)
الوصف يعطينا معلومات أولية مفيدة عن البيانات

9. (2) الاستدلال الإحصائي
اختيار عينة (sample) بطريقة علمية من مجتمع(population) الدراسة
جمع البيانات المطلوبة علي هذه العينة
التقدير(Estimation):حساب مؤشرات إحصائية -إحصاء- (statistics) علي العينة
الاستدلال (inference) علي معلمات (parameters) المجتمع
يتم الإستدلال الإحصائي عبر موضوعين/مرحلتين:

10. خطوات الاستدلال الإحصائي
التقدير Estimation كما سبق
اختبارات الفروض (Tests of Hypotheses ) : استخدام بيانات العينة للوصول إلى قرار علمي سليم بخصوص الفروض المحددة حول معالم المجتمع.
نوعين من التقدير:
التقدير بنقطة (Point Estimate).
التقدير بفترة (Interval Estimate).

11. التنبؤ (3)
تستخدم نتائج الاستدلال الإحصائي، الدالة على الماضي في معرفة ما يمكن أن يحدث في الحاضر والمستقبل.
توجد أساليب إحصائية عديدة للتنبؤ، مثل استخدام معادلات رياضية يتم تقدير معاملاتها من بيانات العينة، ثم بعد ذلك استخدام المعادلات المقدرة في التنبؤ بما يمكن أن يحدث في المستقبل.

12. أنواع البيانات وطرق قياسها
نوع البيانات، وطريقة قياسها من أهم الأشياء التي تحدد التحليل الإحصائي المستخدم
يمكن تقسيم البيانات إلى مجموعتين هما:
البيانات الوصفية Qualitative Data
البيانات الكمية Quantitative Data

13. (1) البيانات الوصفية
قد تكون غير رقمية، أو رقمية مرتبة في شكل مستويات أو في شكل فئات رقمية.
تقاس البيانات الوصفية بمعيارين هما:
بيانات وصفية مقاسة بمعيار اسميNominal Scale : وهي بيانات غير رقمية, من مجموعات متنافية، لا يمكن المفاضلة بينها أو ترتيبها.
بيانات وصفية مقاسة بمعيار ترتيبي Ordinal Scales: وتتكون من مستويات، أو فئات يمكن ترتيبها تصاعديا أو تنازليا

14. للبيانات الوصفية ذات المعيار الاسمي أمثلة
النوع: متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي " ذكر – أنثى " .
الحالة الاجتماعية: متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار اسمي " متزوج ـ أعزب ـ أرمل ـ مطلق ".
أصناف التمور: متغير وصفي يقاس بياناته بمعيار اسمي " برحي ـ خلاص ـ سكري ـ ....".
الجنسية: متغير وصفي يقاس بياناته بمعيار اسمي " سعودي ـ غير سعودي”
وهذا النوع من البيانات يمكن ”تكويد“ مجموعاته بأرقام، فمثلا الجنسية يمكن إعطاء الجنسية "سعودي" الكود (1)، والجنسية "غير سعودي" الكود (2)

15. للبيانات الوصفية ذات المعيار الترتيبي أمثلة
تقدير الطالب: متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار ترتيبي ""D-D+-C-C+-B-B+-A-A+
المستوى التعليمي: متغير وصفي تقاس بياناته بمعيار ترتيبي "أمي – يقرأ ويكتب ـ ابتدائية ـ متوسطة ـ ثانوية ـ جامعية ـ أعلى من جامعية "
تركيز خلات الصوديوم المستخدم في حفظ لحوم الدجاج من البكتريا: متغير وصفي ترتيبي يقاس بياناته بمعيار ترتيبي "0% ـ 5% ـ 10% ـ 15%"
فئات الدخل العائلي في الشهر بالريال " <5000 ، ، ، ، >20000 ".

16. (2) البيانات الكمية
هي بيانات يعبر عنها بأرقام عددية تمثل القيمة الفعلية للظاهرة، وتنقسم إلى قسمين هما:
بيانات فترة Interval Data
بيانات نسبية Ratio Data

17. Interval Data بيانات فترة
بيانات رقمية،تقاس بمقدار بعدها عن الصفر، ومن أمثلة ذلك:
درجة الحرارة: متغير كمي تقاس بياناته بمعيار بعدي، حيث أن درجة الحرارة "0o" ليس معناه انعدام الظاهرة، ولكنه يدل على وجود الظاهرة.
درجة الطالب في الاختبار: متغير كمي تقاس بياناته بمعيار بعدي، حيث حصول الطالب على الدرجة "0" لا يعني انعدم مستوى الطالب.

18. Ratio Data بيانات نسبية
متغيرات كمية، تدل القيمة "0" على عدم وجود الظاهرة ومن الأمثلة على ذلك:
إنتاجية الفدان بالطن/هكتار.
كمية الألبان التي تنتجها البقرة في اليوم.

19. طرق جمع البيانات طريقة جمع البيانات من أهم مراحل البحث الإحصائي
جمع البيانات بأسلوب علمي صحيح نتائج دقيقة
طرق جمع البيانات تتلخص في:
مصادر البيانات أنواع العينات
أسلوب جمع البيانات وسائل جمع البيانات.

20. (1) مصادر البيانات هناك مصدرين للبيانات:
المصادر الأولية: يجمع الباحث البيانات من المصدر مباشرة. مثال؟؟
المحاسن: الدقة (نسبيا)-الثقة بالمصدر
المساوئ: تكلفة عالية وقت, جهد, مال, الذاكرة

21. تابع مصادر البيانات
2. المصادر الثانوية: تجمع البيانات بصورة غير مباشرة. مثال؟؟
المحاسن: توفير الوقت والجهد والمال
المساوئ: درجة ثقة أقل (نسبيا)

22. (2) أسلوب جمع البيانات
بالنظر إلي: هدف البحث و حجم المجتمع هناك أسلوبين لجمع البيانات:
أسلوب الحصر الشامل لمجتمع الدراسة: يتم جمع بيانات عن كل مفردة من مفردات المجتمع بلا استثناء
أسلوب المعاينة: يتم اختيار عينة بطريقة علمية سليمة، ودراستها ثم تعميم نتائج العينة على المجتمع

23. المجتمع /العينة
المجتمع
العينه
المجتمع العينة

24. (أ) أسلوب الحصر الشامل لمجتمع الدراسة
تجمع المعلومات عن كل مفردة في المجتمع
محاسنه:
الشمول وعدم التحيز
دقة النتائج
مساوئه:
الوقت والمجهود،
التكلفة العالية.

25. (ب) أسلوب المعاينة نختار عينة بطريقة علمية وتطبق عليها الدراسة محاسنه:
تقليل الوقت والجهد.
تقليل التكلفة.
الحصول على بيانات أكثر تفصيلا، وخاصة إذا جمعت البيانات من خلال استمارة استبيان
مساوئه:
النتائج قد تكون أقل دقة، وخاصة (إذا)
العينة المختارة لا تمثل المجتمع تمثيلا جيدا
عدم وجود تنوع كاف (تمثيل العينة).

26. عوامل نجاح اسلوب المعاينة
يعتمد نجاح استخدام أسلوب المعاينة على عدة عوامل هي:
كيفية تحديد حجم العينة
طريقة اختيار مفردات العينة
نوع العينة المختارة

27. (3) أنواع العينات بحسب أسلوب اختيارها يمكن تقسيم العينات إلي:
(أ) العينات الاحتمالية
(ب) العينات غير الاحتمالية

28. (أ) العينات الاحتمالية
يتم اختيار مفرداتها وفقا لقواعد الاحتمالات, أي:
يتم اختيار مفرداتها من مجتمع الدراسة بطريقة عشوائية
الهدف: تجنب التحيز الناتج عن اختيار المفردات
ما هي مخاطر التحيز؟؟

29. أنواع العينات الاحتمالية
من أهم أنواع العينات الاحتمالية :
العينة العشوائية البسيطة Simple Random Sample.
العينة العشوائية الطبقية Stratified Random Sample.
العينة العشوائية المنتظمة Systematic Random Sample.
العينة العنقودية أو المتعددة المراحل Cluster Sample.

30. العينة العشوائية البسيطة Simple Random Sample
في مجتمع حجمه (N) كم عينة حجمها (n) يمكن اختيارها؟
تعريف العينة العشوائية البسيطة: ”هي العينة التي يتم اختيارها بحيث أن كل مفردة/عينة ذات حجم (n) لها نفس الفرصة (الاحتمال) في الاختيار“
مثال: مجتمع يتكون من المفردات ( a,b,c,d,e), كم عينة حجمها 3 يمكن اختيارها من هذا المجتمع؟

31. العينة العشوائية البسيطة (تطبيق)
يسلم هذا التطبيق يوم 13/3/2007
مجتمع يتكون من سبع كرات ذات ألوان مختلفة (سوداء, بيضاء, زرقاء, حمراء, صفراء, خضراء, بنية):
السؤال:
كم عينة بحجم 4 يمكن اختيارها من هذا المجتمع؟

32. العينة العشوائية الطبقية Stratified Random Sample
يتم تقسيم المجتمع إلي مجتمعات صغيرة (مستقلة/مستنفذة)؟
من كل مجتمع صغير تؤخذ (عينة عشوائية بسيطة)
هذه العينة أنسب عند وجود فوارق كبيرة بين المجتمعات الصغيرة: العينة أكثر تمثيلا للمجتمع.

33. العينة العشوائية المنتظمة Systematic Random Sample
3 خطوات (المجتمع/حجم العينة)—جدول الأرقام العشوائية

34. (ب) العينات غير الاحتمالية
يتم اختيار مفرداتها بطريقة غير عشوائية
يقوم الباحث باختيار مفردات العينة بالصورة التي تحقق الهدف من المعاينة:
قد يركز الباحث علي مفردات ذات مواصفات محددة
أهم أنواع العينات غير الاحتمالية:
العينة العمدية Judgmental Sample
العينة الحصصية Quota Sample

35. الفصل الثاني: طرق عرض البيانات
بعد تحديد العينة وجمع البيانات ياتي تبويب البيانات وعرضها بصورة يمكن الاستفادة منها في وصف الظاهرة محل الدراسة، من حيث تمركز/توزيع البيانات، ودرجة تجانسها. وهناك طريقتين لعرض البيانات هما:
عرض البيانات جدوليا.
عرض البيانات بيانيا.

36. عرض البيانات جدوليا
الفكرة هنا عرض البيانات آخذين في الإعتبار التشابه/الإختلاف بين المفردات
عرض البيانات في شكل جدول وصفي مبسط
يمكننا إجراء حسابات بسيطة لتلخيص خصائص العينة/المتغير
دعنا ننظر إاي مثالين:
مثال (1): جدول تكراري بسيط لمتغير وصفي
مثال (2): جدول تكراري بسيط لمتغير كمي

37. مثال (1): جدول تكراري بسيط لمتغير وصفي
بيانات عينة من 40 مزرعة عن نوع التمر الذي تنتجه المزرعة:
سكري
خلاص
برحي
صقعي
نبوت سيف

38. تابع مثال (1):
المطلوب:
ما هو نوع المتغير؟، وما هو المعيار المستخدم في قياس البيانات؟.
اعرض البيانات في شكل جدول تكراري.
كون التوزيع التكراري النسبي.
مالذي يمكن قوله من هذه النتائج؟

39. مناقشة المثال جدول أولي (تفريغ البيانات)
نوع التمر
العلامات الإحصائية
عدد المزارع (التكرارات)
سكري 5
خلاص 10
برحي 13
صقعي 8
نبوت سيف 4
Sum 40

40. الجدول التكراري التوزيع التكراري النسبي* عدد المزارع (التكرارات) (f)
نوع التمر 5
سكري 10
خلاص 13
برحي 8
صقعي 4
نبوت سيف
1.00 40
Sum

41. التوزيع التكراري النسبي*
لاحظ من الجدول السابق حساب التوزيع التكراري النسبي من: قسمة تكرار المجموعة على مجموع التكرارات أي:

42. تعليقات علي الجدول التكراري
؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

43. ملاحظات على الجداول/الرسوم البيانية
عند تكوين جدول ما لعرض البيانات، يجب مراعاة الآتي:
كتابة رقم/عنوان للجدول.
لكل عمود من أعمدة الجدول عنوان يدل على محتواه.
يجب كتابة مصدر البيانات في الجدول.
يسر قراءة/فهم المعلومات من الجدول/الرسم

44. مثال (2): جدول تكراري بسيط لمتغير كمي
نود الآن تكوين جدول تكراري/التوزيع التكراري النسبي ومن ثم إبداء ملاحظات في حالة: متغير كمي
لدينا درجات 70 طالبا في مقرر ”إحص 122“:
كون التوزيع التكراري /التوزيع التكراري النسبي لدرجات الطلاب.
ما هي نسبة الطلاب الحاصلين على درجة ما بين 70 إلى أقل من 80؟
ما هي نسبة الطلاب الحاصلين على درجة أقل من 70 درجة؟
ما هي نسبة الطلاب الحاصلين على درجة 80 أو أكثر ؟
أية تعليقات أخري من واقع الجداول؟؟

45. مثال لمتغير كمي درجات ”إحص 122“ –افتراضي: 56 65 70 55 60 66 75 61 6771 62 68 72 57 69 73 58 63 74 76 80 81 82 77 83 91 78 94 79 64 87 88

46. مثال لمتغير كمي-تابع خطوات تكوين الجدول التكراري: حدد أعلي وأدني مفردة
احسب المدي”Range”( R): (الفرق بين أعلي وأدني مفردة)
حدد عدد الفئات # of Classes(C) / طول الفئة Length(L): (حسب :رأي الباحث/حجم البيانات/أهداف البحث)
كون الجدول من: الفئة/التكرار/التكرار النسبي

47. مثال لمتغير كمي-تابع المدي( Range-R):
=أعلي درجة - أدني درجة =94-55 = 39
افرض أن عدد الفئات ( C) المناسب هو 8
طول الفئة : R/C=39/8=4.875≈5
الآن نحدد كل فئة من الفئات الـ 8

48. تحديد الفئات-تابع
كل فئة عبارة قيمتين المسافة بينهما هي طول الفئة ( 5): القيمة الأولي تسمي (الحد الأدني)؛ والثانية (الحد الأعلى).
كل فئة تبدأ عند انتهاء الفئة التي قبلها بحيث:
كل مفردة من المفردات تقع داخل فئة واحدة فقط؛ مثلا:
الفئة الأولي :
الحد الأدني = أقل درجة (55=)
الحد الأعلي= الحد الأدني + طول الفئة=55+5=60
اذا الفئة الأولي تكون " من 55 إلى أقل من 60 "
لاحظ إن الدرجة (60) لا تقع داخل الفئة الأولي

49. تحديد الفئات-تابع الفئة الثانية: الحد الأدنى= 60 الحد الأعلى=60+5=65
اذا الفئة الأولي تكون " من 60 إلى أقل من 65 ”
وهكذا (أنظر الجدول لكل الفئات)

50. جدول أولي (تفريغ البيانات)-مثال كمي
الفئات (معبر عنها بطرق مختلفة)
العلامات الإحصائية
عدد الطلاب (التكرارات)
55 > - 60
55 - 10
60 > - 65
60 - 12
65 > - 70
65 - 13
70 > - 75
70 - 16
75 > - 80
75 -
80 > - 85
80 - 4
85 > - 90
85 - 3
90 > - 95 2
Sum 70

51. الجدول التكراري-مثال كمي
التكرار النسبي
عدد الطلاب (التكرارات)
(f)
الفئات
0.143* 10
0.171 12
0.186 13
0.229 16
0.143
0.057 4
0.043 3
0.028 2
1.00 70
المجموع

52. العرض البياني للبيانات الكمية
هو أحد طرق وصف البيانات
يوضح شكل التوزيع ومدى تمركز البيانات
مزايا العرض البياني؟؟؟
بعض الأشكال البيانية المختلفة

53. Histogram المدرج التكراري (1)
تمثيل بياني للجدول التكراري البسيط الخاص بالبيانات الكمية
عبارة عن أعمدة بيانية متلاصقة
التكرارات على المحور الرأسي، بينما قيم المتغير ( حدود الفئات) على المحور الأفقي
تمثل كل فئة بعمود، ارتفاعه هو تكرار الفئة، وطول قاعدته هو طول الفئة.
مثال:

54. المدرج التكراري-مثال
لدينا التوزيع التكراري التالي لأوزان عينة من الدواجن بالجرام، حجمها 100 (دجاجة):
ارسم المدرج التكراري.
ارسم المدرج التكراري النسبي، أية تعليقات؟؟؟.
Sum
680-
660-
640-
620-
600-
الوزن
100 10 20 25 15
عدد الدجاج

55. المدرج التكراري لعينة الدجاج

56. رسم المدرج التكراري النسبي
لرسم المدرج التكراري النسبي, أولا نحسب التكرار النسبي:
Sum
680-
660-
640-
620-
600-
الوزن
100 10 20 25 15
عدد الدجاج
1.0
0.10
0.20
0.25
0.15
التكرار النسبي

57. المدرج التكراري النسبي لعينة الدجاج

58. المدرج التكراري / التكراري النسبي: مقارنة
البيانات المستخدمة في رسم كل منهما
المساحة تحت كل منهما

59. ملاحظات على شكل المدرج التكراري
المساحة أسفل المدرج التكراري/التكراري النسبي
القيم الشائعة/المنوال : موقعها؟؟؟
أشكال توزيع البيانات في المدرج:

60. المضلع التكراري (2) (RF-Polygon)
تمثيل بياني أيضا للجدول التكراري البسيط
تمثل التكرارات على المحور الرأسي ومراكز الفئات على المحور الأفقي
توصل الإحداثيات بخطوط مستقيمة، وبعد ذلك يتم توصيل طرفي المضلع بالمحور الأفقي.
يحسب مركز الفئة كما يلي:

61. تكوين/رسم المضلع التكراري
الوزن
عدد الدجاج (التكرار)
(f)
مركز الفئة (x)
600- 10
( )/2= 610
620- 15
( )/2=630
640- 20
650
660- 25
670
680-
690
( )/2=710
Sum
100

62. المضلع التكراري لعينة الدجاج

63. المنحني التكراري (3)
مثل المضلع التكراري مع استبدال الخط الواصل بين النقاط بمنحني

64. المنحني التكراري النسبي
يمكن رسم المنحني التكراري النسبي-شبيه بالمضلع التكراري النسبي مع استبدال اخط بمنحني

65. أشكال المنحنيات متماثل Bi-modal Multi-modal سالب الإلتواء
موجب الإلتواء
Triangle/uniformm

66. التوزيعات التكرارية (النسبية) المتجمعة (4) Cumulative Frequency Distributions
تستخلص من التوزيعات التكرارية (النسبية)
يوجد منها نوعين: صاعد و هابط
تعطينا مباشرة عدد (نسبة) البيانات التي تقل أو تزيد عن قيمة معينة

67. التوزيع التكراري المتجمع الصاعد
الجدول التكراري أدناه يبين توزيع 40 بقرة في مزرعة حسب كمية الألبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر, المطلوب:
كون جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد.
كون جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد النسبي.
ارسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي
Sum
34-38
30-
26-
22-
18-
كمية الألبان 40 4 8 15 9
عدد الأبقار

68. التوزيع التكراري المتجمع الصاعد والنسبي
يمكن تكوين هذين التكرارين كالآتي:
أقل من
تكرار متجمع صاعد
تكرار متجمع صاعد نسبي
18 أقل من
0.00
22 أقل من 4
0.10
26 أقل من 13
0.325
أقل من 30 28
0.70
34 أقل من 36
0.90
38 أقل من 40
1.00

69. رسم المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي

70. قراءة المنحنى التكراري المتجمع الصاعد النسبي
تحديد نسبة المفردات الأقل من قيمة محددة
تحديد نسبة المفردات الواقعة بين قيم محددة
تحديد قيم معينة—مثل الوسيط

71. التوزيع التكراري المتجمع الهابط
يمكن تكوين التوزيع المتجمع الهابط والنسبي للمثال السابق كما يلي:
أكثر من أو يساوي
تكرار متجمع صاعد
تكرار متجمع صاعد نسبي
أو أكثر18 40
1.00
22 أو أكثر 36
0.90
26 أو أكثر 28
0.70
30 أو أكثر 13
0.325
34 أو أكثر 4
0.10
38 أو أكثر
0.00

72. رسم المنحنى التكراري المتجمع النسبي النازل

73. قراءة التوزيع التكراري المتجمع الهابط
مالذي يمكننا قراءته من مثل هذا التوزيع؟؟؟؟؟؟
ملحوظة:
يمكن رسم المنحنيان في شكل بياني واحد، ويلاحظ أنهما يتقاطعان عند نقطة تسمى الوسيط

74. العرض البياني للبيانات الوصفية: الدائرة البيانية )-Pie Chart (
لعرض بيانات المتغير الوصفي في شكل دائرة، توزع الـ 360o حسب التكرار النسبي لمجموعات المتغير
يمكن تحديد مقدار الزاوية الخاصة بأية مجموعة بتطبيق المعادلة التالية:
مقدار الزاوية = 360o × التكرار النسبي للمجموعة
العديد من البرامج الإحصائية ( Excel مثلا) تقوم بهذه العملية بيسر

75. مثال الدائرة البيانية )-Pie Chart (
الجدول التكراري التالي يبين توزيع عينة حجمها 500 أسرة حسب المنطقة.
sum
الغربية
القصيم
الشرقية
الرياض
المنطقة
500
170 50
130
150
عدد الأسر
1.00
0.34
0.10
0.26
0.3
التكرار النسبي

76. تابع مثال الدائرة البيانية

77. طرق أخري لعرض البيانات؟؟
توجد العديد من الطرق الأخري نذكر منها:
الرسم البياني النقطي (dotplot)
الجذع/الصفقة (stem-leaf)
الرسم المصور (pictograms )

78. قراءة البيانات:(جداول/رسوم بيانية/إحصائيات)

79. الفصـــل الثالث مقاييس النزعة المركزية Measures of Central Tendency
الوسط الحسابي
الوسيط Median
المنوال Mode
مقاييس النزعة المركزية و شكل توزيع البيانات
الرباعيات Quartiles

80. مقاييس النزعة المركزية
تسمى أيضا بمقاييس الموضع أو المتوسطات
هى القيم التى تتركز القيم حولها

81. الوسط الحسابي ( ) Arithmetic Mean
من أهم مقاييس النزعة المركزية
وأكثرها استخداما في النواحي التطبيقية
ويمكن حسابه للبيانات المبوبة وغير المبوبة
خصائص الوسط الحسابي
مزايا وعيوب الوسط الحسابي

82. الوسط الحسابي للبيانات غير المبوبة
بشكل عام الوسط الحسابي هو مجموع القيم مقسوما على عددها
لدينا n من القيم ، ويرمز لها بالرمز :
الوسط الحسابي لهذه القيم ، يحسب بالمعادلة التالية:

83. الوسط الحسابي: مثـال (1)
فيما يلي درجات 8 طلاب في مقرر 122 إحصاء تطبيقي .
ماهو الوسط الحسابي لدرجة الطالب في الامتحان؟

84. تمرين: يسلم السبت 24/3/2007
إفرض لدينا: عينة من خمسة طلاب, أطوال أربعة منهم بالمتر(1.62), (1.72), (1.5), (1.8)؛ متوسط أطوال الخمس طلاب (1.7), ما طول الطالب الخامس؟

85. الوسط الحسابي للبيانات المبوبة
يمكننا حساب الوسط الحسابي من الجدول التكراري
إذا كان لدينا ( k) فئة ومراكز هذه الفئات هي:
تكرارات هذه الفئات هي
فإن الوسط الحسابي يحسب بالمعادلة التالية:

86. الوسط الحسابي: مثـال (2)
الجدول التالي يعرض توزيع 40 تلميذ حسب أوزانهم:
أحسب الوسط الحسابي؟
42-44
40-42
38-40
36-38
34-36
32-34
فئات الوزن 1 5 10 13 7 4
عدد التلاميذ

87. حل مثال (2)

88. تابع حل مثال (2)
من الجدول السابق الوسط الحسابي لأوزان التلاميذ هو:

89. خصائص الوسط الحسابي
الوسط الحسابي للمقدار الثابت يساوى الثابت نفسه ، أي أنه إذا كانت قيم (x) هي : (a, a, a,…,a) ، فإن الوسط الحسابي هو:

90. خصائص الوسط الحسابي
مجموع “انحرافات” القيم عن وسطها الحسابي يساوى صفرا ، ويعبر عن هذه الخاصية بالمعادلة:

91. خصائص الوسط الحسابي
إذا أضيف مقدار ثابت (a) إلى كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي الجديد ( ) يساوى الوسط الحسابي القديم ( ) مضافا إليه هذا المقدار الثابت:

92. خصائص الوسط الحسابي-هنا
إذا ضرب مقدار ثابت (a) في كل قيمة من القيم ، فإن الوسط الحسابي الجديد ( ) يساوى الوسط الحسابي القديم ( ) مضروبا في هذا المقدار الثابت:

93. خصائص الوسط الحسابي
مجموع مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي أقل ما يمكن ، أي أن:

94. الوسط الحسابي المرجح weighted arithmetic mean
بعض الأحيان يكون لكل قيمة من قيم المتغير) (xiأهمية نسبية تسمى وزن(weight “wi”)
أخذ هذه الأوزان في الاعتبار يجعل الوسط الحسابي دقيقا ومعبرا
يحسب الوسط المرجح من المعادلة:

95. الوسط الحسابي المرجح: مثال
الجدول ادناه يوضح درجات الطلاب في مقرر الإحصاء التطبيقي وعدد ساعات الاستذكار (الأوزان) في الأسبوع
يمكننا حساب الوسط الحسابي المرجح بساعات الأستذكار

96. الوسط الحسابي المرجح: مثال
يحسب الوسط الحسابي المرجح كالآتي: (أحسب الوسط الحسابي للمقارنة)

97. مزايا وعيوب الوسط الحسابي
يتميز الوسط الحسابي بالمزايا التالية :
أنه سهل الحساب .
يأخذ في الاعتبار كل القيم .
أنه أكثر المقاييس استخداما وفهما .
ومن عيوبه .
أنه يتأثر بالقيم الشاذة والمتطرفة .
يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية .
قد يكون خادعا مالم يصاحبه مقياس للتشتت .

98. الوسيط Median هو أحد مقاييس النزعة المركزية يأخذ في الاعتبار رتب القيم
ويعرف الوسيط بأنه القيمة التي تقع وسط القيم بعد ترتيبها إما تصاعديا أو تنازليا : إذا نصف القيم تكون أقل من الوسيط ونصفها الآخر أكبر منه.

99. الوسيط للبيانات غير المبوبة
رتب القيم تصاعديا .
إذا كان عدد القيم (n) فردي فإن الوسيط هو:
إذا كان عدد القيم زوجي، فإن الوسيط يقع بين القيمة رقم ، والقيمة رقم ، ومن ثم يحسب الوسيط بتطبيق المعادلة التالي:

100. الوسيط للبيانات غير المبوبة-مثال
تم تقسيم قطعة أرض زراعية إلى 17 وحدة تجريبية متشابهة ، وتم زراعتها بمحصول القمح ، وتم استخدام نوعين من التسميد هما : النوع (a) وجرب على 7 وحدات تجريبية ، والنوع (b) وجرب على 10 وحدات تجريبية ، وبعد انتهاء الموسم الزراعي ، تم تسجيل إنتاجية الوحدة بالطن / هكتار ، وكانت على النحو التالي :

101. تابع المثال احسب الوسيط لكل نوع من التسميد.
الوسيط للنوع الأول (a): بعد ترتيب القيم
عدد القيم فردى ( (n=7
إذا رتبة الوسيط هي:
ويكون الوسيط هو القيمة رقم 4 ، أي أن وسيط الإنتاج للنوع a هو: (2.3) طن / هكتار

102. تابع المثال حساب وسيط الإنتاج للنوع الثاني (b) :
عدد القيم زوجي (n=10):
الوسيط هو متوسط القيمتين ((n/2 +1و (n/2):

103. الوسيط للبيانات المبوبة
من جدول توزيع تكراري ، يتم إتباع الخطوات التالية:
تكوين الجدول التكراري المتجمع الصاعد
تحديد رتبة الوسيط :
تحديد فئة الوسيط كما في الشكل التالي :

104. تابع يحسب الوسيط ، بتطبيق المعادلة: حيث أن :
L هي طول فئة الوسيط، وتحسب بالمعادلة التالية:
طول الفئة = الحد الأعلى – الحد الأدنى
L = Upper - Lower

105. مثال
فيما يلي توزيع 50 عجل متوسط الحجم ، حسب الاحتياجات اليومية من الغذاء بالكيلوجرام:
والمطلوب : حساب الوسيط : أ - حسابيا ب- بيانيا

106. حل المثال حساب الوسيط حسابيا : رتبة الوسيط :
الجدول التكراري المتجمع الصاعد :
16.5
13.5
10.5
الوسيط
7.5 A
4.5
1.5
أقل من 50 45 35 f2 25 16 f1 4
تكرار متجمع صاعد

107. تابع
من معادلة الوسيط نجد أن:
إذا الوسيط قيمته هي :

108. الوسيط-بيانيا تمثيل جدول التوزيع التكراري المتجمع الصاعد بيانيا
تحديد رتبة الوسيط (25) على المنحنى التكراري المتجمع الصاعد . ثم رسم خط مستقيم أفقي حتى يلقى المنحنى في النقطة (a) .
إسقاط عمود رأسي من النقطة (a) على المحور الأفقي .
نقطة تقاطع الخط الرأسي مع المحور الأفقي تعطى قيمة الوسيط .
الوسيط كما هو مبين في الشكل Med = 8.6

109. الوسيط-بيانيا

110. مزايا وعيوب الوسيط من مزاياه: لا يتأثر بالقيم الشاذة أو المتطرفة .
كما أنه سهل في الحساب .
مجموع قيم الانحرافات المطلقة عن الوسيط أقل من مجموع الانحرافات المطلقة عن أي قيم أخرى:

111. مزايا وعيوب الوسيط ومن عيوبه:
أنه لا يأخذ عند حسابه كل القيم في الاعتبار، فهو يعتمد على قيمة أو قيمتين فقط .
يصعب حسابه في حالة البيانات الوصفية المقاسة بمعيار اسمي (nominal)

112. Mode- المنوال المنوال هو القيمة الأكثر شيوعا أو تكرارا
يكثر استخدامه في حالة البيانات الوصفية ، لمعرفة النمط ( المستوى ) الشائع
بالنسبه للبيانات المبوبة – القيمة ذات أكثر تكرار

113. المنوال:مثال (بيانات غير مبوبة)
فيما يلي درجات الطلاب في مقرر إحص (122) لخمس (5) عينات عشوائية من أقسام كلية علوم الأغذية والزراعة: (أحسب المنوال لكل قسم؟؟)

114. المنوال للبيانات المبوبة
(طريقة الفروق) : يحسب المنوال من القانون:
حيث:
A : الحد الأدنى لفئة المنوال (الفئة ذات أكبر تكرار) .
D1 : الفرق الأول = (تكرار فئة المنوال – التكرار سابق)
D2 : الفرق الثاني = ( تكرار فئة المنوال – التكرار لاحق)
L : طول فئة المنوال .

115. المنوال للبيانات المبوبة-مثال
فيما يلي توزيع 30 أسرة حسب الإنفاق الاستهلاكي الشهري (ألف ريال)
والمطلوب حساب المنوال، باستخدام طريقة الفروق

116. تابع من الشكل التالي نجد كل مكونات القانون:
وبتطبيق القانون نحسب المنوال كالتالي:

117. الفصلي الأول_حتي هنا 1st Test upto here
المنوال
الوسط
الوسيـــط

118. استخدام مقاييس النزعة المركزية في تحديد شكل توزيع البيانات
استخدام مقاييس النزعة المركزية في تحديد شكل توزيع البيانات
يمكن استخدام الوسط الحسابي والوسيط والمنوال في وصف المنحنى التكراري، والذي يعبر عن شكل توزيع البيانات:

119. تابع
الوسط يتأثر بالقيم المتطرفة لذا يكون اقرب الي ”ذيل“ منحني التوزيع—الوسيـط أقل تأثرا (حساسية) لتلك القيم.

120. مثال
قام مدير مراقبة الإنتاج لإحدى شركات تعبئة المياه بسحب عينة من 10 عبوات من المياه المعبأة للشرب ، ذات الحجم 5 لتر، لفحص كمية الأملاح الذائبة، وكانت البيانات كالتالي:
والمطلوب : حساب الوسط الحسابي، الوسيط، والمنوال، ثم حدد شكل التوزيع لهذه البيانات ؟؟

121. الحل الوسط = ؟؟؟؟؟؟؟ الوسيط=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
المنوال=؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
اذا شكل هذا التوزيع:

122. Quartiles- الرباعيات
عند تقسيم القيم المرتبة إلى أربع أجزاء متساوية، يوجد ثلاث إحصاءات تسمى بالرباعيات، وهي:
الربيع الأول: وهو القيمة التي يقل عنها ربع عدد القيم، أي يقل عنها 25% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q1) .
الربيع الثاني: وهو القيمة التي يقل عنها نصف عدد القيم، أي يقل عنها 50% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q2) ، هل تذكر اسم آخر لهذا الربيع.
الربيع الثالث: وهو القيمة التي يقل عنها ثلاث أرباع عدد القيم، أي يقل عنها 75% من القيم، ويرمز له بالرمز( Q3) .

123. تابع
الشكل التالي يوضح الرباعيات الثلاث:

124. كيفية تحديد الرباعيات
لحساب أي من الرباعيات الثلاث، لأية مجموعة مرتبة من القيم عددها (n) :
نحدد الرتبة ( Ri) للرباعي رقم ( i=1,2,3)من القانون:

125. تابع إذا كانت عددا صحيحا فإن قيمة الربيع هو:
إذا كانت عددا صحيحا فإن قيمة الربيع هو:
إذا كانت عددا كسريا فإن قيمة الربيع( Qi) يقع في المدي : X(l) < Qi < X(u) ويحسب من القانون:
حيث أن (l ) هي رتبة القيمة السابقة للرباعي

126. تحديد الرباعي _ مثال احسب الرباعيات الثلاث للمفردات التالية:
نكون الجدول التالي لحساب الربيعات الثلاث:

127. تابع الربيع الأول: رتبة الربيع الأول: إذا: بالتالي الربيع الثاني:
رتبة الربيع الثاني:
بالتالي:

128. تابع اذا حسبنا الربيع الثالث بنفس الطريقة, يمكن تكوين الجدول:
ماتعليقكم؟

129. الفصــــــل الرابـــع مقاييس التشتت- Measures of Dispersion
مقدمة
المدي والانحرافات
التباين
الانحراف المعياري

130. مقدمة نحتاج كثيرا الي مقارنة مجموعتين أو اكثر من البيانات
يمكن استخدام شكل التوزيع التكراري، المنحنى التكراري ، وكذلك بعض مقاييس النزعة المركزية (؟؟؟؟)—كاف؟؟؟لا 10 10

131. المدي- Range هو أبسط مقاييس التشتت ,وأيسرها حسابا (وحدة القياس؟)
في حالة البيانات غير المبوبة:
في حالة البيانات المبوبة-عدة طرق منها:

132. المدي-أمثلة احسب المدى للبيانات التالية: 40-45 35-40 30-35 25-30 20-25
15-20
المساحة 3 12 18 15 9
عدد المزارع

133. مزايا وعيوب المدى من مزايا المدى: ومن عيوبه: أنه بسيط وسهل الحساب
يكثر استخدامه عند الإعلان عن حالات الطقس، مثل درجات الحرارة، والرطوبة، والضغط الجوي.
ومن عيوبه:
أنه يعتمد على قيمتين فقط ، ولا يأخذ جميع القيم في الحسبان
يتأثر بالقيم الشاذة؟؟

134. الانحراف الربيعي Quartile Deviation (Q)
مقياس للتشتت يعتمد على نصف عدد القيم الوسطى، وبهمل نصف عدد القيم المتطرفة
لا يتأثر بوجود قيم شاذة،
ويحسب الانحراف الربيعي بتطبيق المعادلة التالية :
حيث (Q1 – (Q3 هو المدى الربيعي: إذا :
الانحراف الربيعي = نصف المدى الربيعي

135. الانحراف الربيعي-تمرين (3)
احسب الانحراف الربيعي وكذلك نصف المدي الربيعي للبيانات :

136. الانحراف الربيعي مزاياه: عيوبه
يفضل استخدامه كمقياس للتشتت في حالة وجود قيم شاذة
بسيط وسهل في الحساب
عيوبه
لا يأخذ كل القيم في الاعتبار

137. الانحراف المطلق المتوسط Mean Absolute Deviation (MAD)
أحد مقاييس التشتت، ويعبر عنه بمتوسط الانحرافات المطلقة للقيم عن وسطها الحسابي
للمفردات (x1,x2,x3,…,xn) والتي وسطها الحسابي ( ) يحسب الانحراف المطلق المتوسط (MAD) بتطبيق المعادلة التالية ) للبيانات غير المبوبة ):

138. تابع يحسب الانحراف المطلق المتوسط للبيانات المبوبة من: حيث:
( x ) هو مركز الفئة
( ) هو الوسط الحسابي
( f ) هو تكرار الفئة

139. الانحراف المطلق المتوسط - أمثلة
(1) الطاقة التصديرية لخمس محطات لتحلية المياه بالمليون متر مكعب كما يلي: ( )؛ احسب الانحراف المطلق المتوسط؟
(2) يبين الجدول التكراري التالي توزيع40 أسرة حسب الإنفاق الشهري بالألف ريال: أوجد الانحراف المتوسط ؟

140. حل المثال (2):
لحساب الانحراف المطلق المتوسط نكون الجدول:

141. تابع
من الجدول الانحراف المطلق المتوسط هو:

142. مزايا وعيوب الانحراف المطلق المتوسط
المزايا:
سهل الحساب
يأخذ كل القيم في الاعتبار
العيوب:
يتأثر بالقيم الشاذة

143. التباين Variance أكثر مقاييس التشتت استخداما في النواحي التطبيقية.
يعبر عن متوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي
يمكن حساب:
التباين في المجتمع (σ2)
التباين في العينة (s2 )

144. (σ2) التباين في المجتمع افرض لدينا كل مفردات المجتمع: x1 ,x2,x3,…,xn))
التباين في هذا المجتمع، ويرمز له بالرمز (σ2) يحسب باستخدام المعادلة التالية:
حيث (µ) هو الوسط الحسابي في المجتمع ويحسب من:

145. التباين في المجتمع-مثال
المفردات تبين عدد سنوات الخبرة لمصنع لتعبئة المواد الغذائية ، يعمل به 15 عامل. بفرض أن هذه البيانات تم جمعها عن كل مفردات المجتمع أوجد التباين؟

146. تابع أولا نحسب الوسط الحسابي في المجتمع كالآتي:
نكون الجدول التالي لحساب مربعات الانحرافات:

147. تابع

148. تابع ثم نحسب تباين سنوات الخبرة للعمال في المصنع :
طريقة أخري لحل المثال:

149. تابع يمكن فك المجموع كالتالي:
يمكن فك المجموع كالتالي:
إذا التباين في المجتمع يمكن صياغته كالتالي:

150. تابع
وبالتطبيق على المثال السابق:

151. التباين في العينة- )s2( غالبا يكون تباين المجتمع (σ2) غير معلوم
وعندئذ يتم سحب عينة من هذا المجتمع، ويحسب التباين من:

152. مثال عينة حجمها 5 عمال ، عدد سنوات خبرتهم كالتالي, احسب التباين.
نحسب الوسط الحسابي: =9
لحساب التباين تكون الجدول:

153. تابع
بالتالي:
كما يمكن حساب تباين العينة من:

154. التمرين (4)
استخدم القانون أدناه لحساب التباين للمفردات التالية (اعمار عينة من طلاب احص 122 بالسنوات)
القانون:
العينة: 23 17 22 20 21 19 18

155. الانحراف المعياري Standard Deviation
من مقاييس التشتت
يقاس بوحدات قياس المتغير محل الدراسة
هو الجذر التربيعي الموجب للتباين أي:

156. تابع
من مثال سابق الانحراف المعياري لسنوات الخبرة لعمال المصنع (المجتمع):

157. الانحراف المعياري للبيانات المبوبة
الانحراف المعياري يحسب بتطبيق المعادلة التالية :
حيث كل مكونات القانون كما بينا سابقا.

158. الانحراف المعياري للبيانات المبوبة مثال
من مثال سابق نحسب الانحراف المعياري كما يلي:

159. تابع
وبتطبيق المعادلة ، نجد أن الانحراف المعياري قيمته هي:

160. خصائص الانحراف المعياري
الانحراف المعياري للمقدار الثابت يساوي صفرا
إذا أضيف مقدار ثابت إلى كل قيمة لا يتأثر الانحراف الانحراف المعياري بذلك
إذا ضرب كل قيمة من قيم المفردات في مقدار ثابت فإن الانحراف المعياري للقيم الجديدة ، يساوي الانحراف المعياري للقيم الأصلية مضروبا في الثابت
: إذا كان لدينا التوليفة الخطية :
فإن الانحراف المعياري للمتغير ( y ) يكون:

161. مزايا وعيوب الانحراف المعياري
المزايا:
أنه أكثر مقاييس التشتت استخداما .
يسهل التعامل معه رياضيا .
يأخذ كل القيم في الاعتبار .
العيوب:
يتأثر بالقيم الشاذة

162. بعض المقاييس الأخرى لوصف البيانات
مقاييس الالتواءSkewness
التفرطح Kurtosis
معامل الاختلاف Variation Coefficient
تقدير مدى الانحراف المعياري
الدرجة المعيارية Standardized degree

163. Skewness مقاييس الالتواء
مما سبق: قد توجد قيم شاذة كبيرة (صغيرة) تجذب اليها الوسط الحسابي: في هذه الحال فإن منحني التوزيع التكراري يكون له ذنب ناحية اليمين (اليسار) ويوصف التوزيع بأنه موجب (سالب) الالتواء.
يمكن قياس الالتواء عن طريق:
طريقة "بيرسون Pearson"
طريقة "المئين Percentile"

164. (1) طريقة "بيرسون Pearson"
مبنية علي العلاقة بين الوسط والوسيط والمنوال، عندما يكون التوزيع قريب من التماثل وليس شديد الالتواء
ومن ثم يحسب ”معامل الالتواء“ (α -الفا ) بالمعادلة التالية:
ويمكن تحديد علامة (α ) من العلاقة بين الوسط والوسيط كما يلي:

165. تابع
إذا كان (الوسط الحسابي = الوسيط ): α=0 ، ويدل ذلك على أن منحنى التوزيع التكراري متماثل.
إذا كان (الوسط الحسابي > الوسيط ) α>0 ، ويدل ذلك على أن منحنى التوزيع التكراري ملتوي جهة اليمين .
إذا كان (الوسط الحسابي < الوسيط ) α<0 ، ويدل ذلك على أن منحنى التوزيع التكراري ملتوي جهة اليسار.

166. وشكل التوزيعα

167. (2) طريقة "المئين“ لقياس الالتواء
المئين ينتج من ترتيب البيانات تصاعديا و تقسيمها إلى جزء متساو يفصل بينها قيم تسمى المئين ( vi)
مثلا: المئين 15 ويرمز له بالرمز ( v15) هو القيمة التي يقل عنها 15% من القيم.
كيف نحسب مثلا المئين ( vp)؟؟
يتبع نفس الفكرة المستخدمة في حساب الربيع .

168. حساب المئين نرتب القيم تصاعديا ونحدد رتبة المئين من:
إذا كانت الرتبة ( R ) عدد صحيح فإن: Vp=x(R)
إذا كانت الرتبة عدد كسري فإن قيمة المئين تحسب من:

169. المئين و شكل الالتواء
لتحديد شكل الالتواء نفحص موقع المئين ( vp)، والمئين v(100-p)، من المئين (v50 )؛ مثلا يمكن استخدام المئين 20 ، والمئين 80 ومن ثم نتوقع:

170. تابع
يمكن الحكم على شكل التوزيع باستخدام معامل الالتواء المئيني، من المعادلة التالية:
لاحظ في حالة المئين 25 ( Q1)، المئين 75 ( Q3) نحصل على معامل الالتواء الربيعي ، وهو :

171. مثال أدناه درجات 8 طلاب في الاختبار النهائي في مقرر 122 إحص : احسب:
أدناه درجات 8 طلاب في الاختبار النهائي في مقرر 122 إحص : احسب:
معامل الالتواء بطريقة " بيرسون "
معامل الالتواء الربيعي .
ومن ثم حدد شكل التوزيع

172. تابع
لحساب معامل الالتواء بطريقة "بيرسون" نحتاج للوسط, الوسيط, والانحراف المعياري

173. تابع حساب الوسيط (انظر الجدول) موقع الوسيط : (n+1)/2=(8+1)/2=4.5
الوسيط =76
معامل الالتواء "بيرسون”:

174. تابع حساب معامل الالتواء : نحتاج لـ:Q1,Q2,Q3
موقع Q1 : (n+1)/4=(8+1)(1/4)=2.25
بالمثل Q2=76,Q3 =83.75
إذا معامل الالتواء الربيعي هو :

175. التفرطح?? Kurtosis قد يكون المنحنى التكراري منبسط ، أو مدبب كما بالشكل
مفرطح
مدبب

176. قياس التفرطح
يمكن قياس التفرطح باستخدام عدد من الطرق، ومنها طريقة العزوم ، حيث يحسب معامل التفرطح (K) بتطبيق المعادلة التالية :
معامل التفرطح في التوزيع الطبيعي يساوي 3 وعليه:
إذا كان k=3 كان منحنى التوزيع معتدلا .
إذا كان k>3 كان منحنى التوزيع مدببا .
إذا كان k<3 كان منحنى التوزيع منبسطا (مفرطحا) .

177. مثال
من المثال السابق:
كذلك:

178. تابع
إذا معامل التفرطح هو:
k<3 :إذا منحنى التوزيع منبسط (مفرطح)

179. معامل الاختلاف Coefficient of Variation
أحد مقاييس المستخدمة لقياس درجة التشتت
يحسب قيمة التشتت كنسبة مئوية من قيمة مقياس النزعة المركزية
مفيد في مقارنة درجة تشتت بيانات مجموعتين أو أكثر مختلفة لها وحدات قياس مختلفة
ويحسب معامل الاختلاف (النسبي) بتطبيق المعادلة التالية:

180. (vcq) معامل الاختلاف الربيعي
يحسب هذا المعامل بتطبيق المعادلة التالية:

181. مثال
مجموعتين من الأغنام، تم استخدام عليقة معينة لتسمين المجموعة الأولى، بينما تم استخدام عليقة أخرى لتسمين المجموعة الثانية وبعد فترة تم جمع بيانات عن أوزان المجموعتين بالكيلوجرام ، وتم الحصول على المقاييس أدناه:المطلوب مقارنة درجة تشتت المجموعتين .

182. تابع معامل الاختلاف النسبي للمجموعة الأولى:
معامل الاختلاف النسبي للمجموعة الثانية:
درجة تشتت أوزان المجموعة الثانية أقل قليلا من درجة تشتت أوزان المجموعة الأولى

183. الدرجة المعيارية Standardized degree(z-score)
تقيس الدرجة المعيارية لقيمة معينة عدد وحدات الانحراف المعياري التي تزيد أو تقل بها هذه القيمة عن الوسط الحسابي
الدرجة المعيارية للقيمة ( xi) ويرمز لها بالرمز(z ) تحسب باستخدام المعادلة التالية:

184. مثال
في المثال السابق اختير أحد الأغنام من المجموعة الأولى بعد تطبيق البرنامج ، ووجد أن وزنه 178 كيلوجرام، وبالمثل أحد الأغنام من المجموعة الثانية، ووجد أن وزنه 180 كيلوجرام ، قارن بين هذين القيمتين من حيث أهمية كل منها في المجموعة التي تنتمي إليها:

185. تابع
للمقارنة بين الوحدتين يتم حساب الدرجة المعيارية لوزن كل منها، بتطبيق المعادلة:
الدرجة المعيارية لوزن الوحدة المسحوبة من المجموعة الأولى (178 Kg.) هي :
الدرجة المعيارية لوزن الوحدة المسحوبة من المجموعة الثانية (180 Kg.) هي

186. تابع
من النتائج نجد أن الوزن 178 كيلوجرام يزيد عن الوسط الحسابي بـ انحراف معياري ، بينما نجد أن الوزن 180 كيلوجرام يقل عن الوسط الحسابي بـ 0.75 انحراف معياري . ومن ثم في هذه الحالة الوزن الأول أهميته النسبية أعلى من الوزن الثاني.

187. القاعدة العملية-التوزيع الطبيعي
للعينة ( x1,x2,x3,…,xn) ، ذات الوسط الحسابي ( )، و الانحراف المعياري (s ) ، يكون منحنى توزيع هذه العينة متماثل، إذا تحقق الآتي:
68% تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين :
95% تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين:
99% تقريبا من قيم هذه المشاهدات تتراوح بين:

188. التوزيع الطبيعي

189. التوزيع الطبيعي-تفاصيل أكثر

190. قاعدة تشيبشيف النظرية Chebyshev’s Theorem
وفكرة هذه القاعدة: في أى توزيع من التوزيعات النظرية ”تقريبا“ كل القيم تكون ”قريبة“ من الوسط الحسابي.
وطبقا لهذه القاعدة، فإنه على الأقل 75% من قيم
المشاهدات تقع في المدى ، على الأقل 89% من
قيم المشاهدات تقع في المدى.

191. شكل بوكس Box Plot
صندوق مستطيل، بداية حافته اليسرى هو الربيع الأول Q1 ونهاية حافته اليمنى هو الربيع الثالث Q3
يقسم الربيع الثاني (الوسيط) Med المستطيل إلى جزأين
ويمكن استخدام شكل بوكس في وصف البيانات من حيث: التماثل, تركز البيانات, وجود قيم شاذة (الشكل أدناه).

192. شكل بوكس والالتواء من موقع الوسيط بالنسبة للربيع الأول والثالث:
نهاية الفصل الخامس

193. الارتباط والانحدار الخطي البسيط (6) Correlation & Simple Regression
حتي الآن: بعض المقاييس الوصفية: (النزعة المركزية، والتشتت، ومقاييس الالتواء والتفرطح، وغيرها) لمتغير واحد
ننتقل إلي: دراسة وتحليل العلاقة بين متغيرين:
تحليل الارتباط-- دراسة العلاقة بين متغيرين
والانحدار الخطي البسيط – أثر أحد المتغيرين على الآخر
أمثلة لمتغيرين تعتقد وجود علاقة (سلبا أو إيجابا) بينهما؟؟؟

194. أشكال العلاقة بين متغيرين
تأخذ العلاقةبين المتغيرين ( x,y) أشكالا مختلفة منها:
هل ثمة أشكال أخري؟؟؟؟؟

195. الارتباط الخطى البسيط Simple Linear Correlation
يستخدم لتحديد نوع وقوة العلاقة بين متغيرين (x,y)
نفترض أن العلاقة بين المتغيرين تأخذ الشكل الخطي
يمكن حسابه للبيانات الكمية، والبيانات الوصفية المقاسة بمعيار ترتيبي.
ويرمز له في حالة المجتمع بالرمز (رو)، وفي حالة العينة بالرمز ،

196. نوع العلاقة يمكن تصنيف نوع العلاقة (حسب أشارة ”r ”) كالآتي:
عكسية
سالبة (r < 0 )
طردية
موجبة (r > 0 )
لا توجد علاقة
( r = 0 )

197. قوة العلاقة قيمة معامل الارتباط تقع في المدى( -1 ≤ r ≤ 1 )
يمكن تصنيف قوة العلاقة حسب الجدول:

198. بيانيا “r”
r= +1 y
r= 0 y y
r= -1
450
450 x x x

199. هل الارتباط يعني السببية؟
اذا كان لدينا متغيرين: (س) و (ص) وكان الارتباط بينهما وثيقا (حوالي +0.99): هل هذا يعني:
(س) يسبب (ص) ؟؟
(ص) يسبب (س)؟؟
أم: ؟؟؟؟؟؟

200. أمثلة دراسة: ترك الأنوارمضيئة قصر النظر (myopia)
دراسة أخري: لا, الجينات (الآباء)
لوحظ ارتفاع نسبة ( CO2 ) في الجو و )معدلات الجريمة(؟
في الصيف: (عدد المسافرين) و (مبيعات الآيسكريم)
لكي نتأكد من السببية: (س) (ص) يشترط:
يجب حدوث (س) قبل (ص)
يجب الا تحدث (ص) عندما لا تحدث (س)
يجب حدوث (ص) متي ما حدثت (س)

201. معامل الارتباط الخطى البسيط " لبيرسون" Pearson
يمكن قياس الارتباط بين متغيرين كميين (x,y) بطريقة "بيرسون" Pearson
ولحساب معامل الارتباط في العينة ، نستخدم القانون:
أو:

202. تابع حيث : هو التغاير ” Covariannce” بين (x,y).

203. مثال
فيما يلي مساحة الأعلاف الخضراء بالألف هكتار، وإجمالي إنتاج اللحوم بالألف طن، خلال الفترة من 1995 حتى عام والمطلوب: حساب معامل الارتباط بين المساحة والكمية، والتعليق.

204. تابع حساب الوسط الحسابي لكل من المساحة، والكمية:
نحسب المجاميع كما في الجدول:

205. تابع

206. تابع نطبيق المعادلة (6-2) ونحسب ” r ” كما يلي:
ما تعليقك؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

207. “r” صيغة أخري ”مبسطة“ لحساب

208. تابع
بتطبيق الصيغة البسيطة:

209. معامل ارتباط الرتب (اسبيرمان)) Spearman
مقياس للعلاقة بين متغيرين وصفيين ترتيبين (مثال؟؟؟)
يعبر عنه بالمعادلة التالية :
حيث أن ” d ” هي الفرق بين رتب مستويات المتغير الأول ” x ”، ورتب مستويات المتغير الثاني ” y ”، أي أن :

210. مثـــال أدناه تقديرات 10 طلاب في مادتي الإحصاء، والاقتصاد: والمطلوب:
احسب معامل الارتباط بين تقديرات الطلبة في المقررين.
وما هو مدلوله ؟

211. تابع
أولا نرتب التقديرات كالآتي:
ثم نحسب مجموع ” d2” ونطبق القانون.

212. تابع مدلول معامل الارتباط :
بما أن “r=0.73”:يدل ذلك على وجود ارتباط طردي قوي بين تقديرات الطالب في مادة الإحصاء ، ومادة الاقتصاد .

213. ملحوظة
يمكن استخدام صيغة معامل ارتباط "اسبيرمان" في حساب الارتباط بين متغيرين كميين، حيث يتم استخدام رتب القيم التي يأخذها المتغير،

214. الانحدار الخطى البسيط Simple Regression
يستخدم في دراسة وتحليل أثر متغير كمي على متغير كمي آخر.
المتغير المؤثـّر“ x ” يسمي (المستقل)
المتغير المؤثـّر عليه ” y” يسمي (التابع),
أمثلة:
أثر الدخل ” x” على الإنفاق الاستهلاكي ” y”
دراسة أثر سوق الأسهم ” x ”علي العقارات بالمملكة ” y ”
أخري؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

215. نموذج الانحدار الخطي The Linear Regression Model
يمكن عرض نموذج الانحدار الخطي في شكل معادلة خطية من الدرجة الأولى.
المعادلة تعبر عن المتغير التابع كدالة في المتغير المستقل:
الصورة العامة لهذه المعادلة هي:“ y” دالة في ” x ”

216. معاني رموز نموذج الانحدار الخطي

217. نموذج الانحدار الخطي بيانيا

218. النموذج المفترض/النموذج المقدّر-مالفرق؟؟
النموذج المفترض: نموذج نظري نفترض أنه يحكم العلاقة بين المتغيرين (x,y) وهو الوارد في المعادلة (5-6):
النموذج المقدر: نموذج فعلي يقدره الباحث بجمع (عينة) بيانات عن المتغيرين (x,y) ومن ثم تقدير/حساب معاملات الانحدار (Β1, Β0) (الثابت والميل) ويعبر عن هذا النموذج بالمعادلة:

219. تابع بعد تقدير النموذج يمكن حساب الخطأ العشوائي من:
لاحظ أن المعادلة أعلاه لكل العينة, بالنسبة للمفردة ( n ):

220. تقدير نموذج الانحدار الخطي البسيط
تقدير النموذج يعني حساب قيم معاملات الانحدار
(Β1, Β0) في المعادلة (6-5)
يمكن استخدام طريقة ”أقل المربعات“ –(Least Squares Method ).
هذا التقدير يجعل مجموع مربعات الأخطاء العشوائية أقل ما يمكن أي:

221. )Β1, Β0 قوانين تقدير المعاملات (
طبقا لقاعدة ”أقل المربعات“ تقدر المعاملات من القوانين التالية:

222. مثـال
فيما يلي بيانات عن كمية البروتين اليومي بالجرام التي يتناولها العجل الرضيع، ومقدار الزيادة في وزن العجل بالكجم، وذلك لعينة من العجول الرضيعة حجمها 10.
والمطلوب :
ارسم نقط الانتشار، وما هو توقعاتك لشكل العلاقة ؟
قدر معادلة انحدار الوزن على كمية البروتين.
فسر معادلة الانحدار.
ما هو مقدار الزيادة في الوزن عند إعطاء العجل 50 جرام من البروتين ؟ وما هو مقدار الخطأ العشوائي؟
ارسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار في المطلوب (1)

223. تابع
رسم نقط الانتشار :
ما شكل العلاقة بين x و y من هذا الانتشار؟؟؟؟

224. تابع
تقدير معادلة الانحدار: بتطبيق المعادلتين في (6-6):

225. تابع يمكن حساب كما يلي: ويمكن حساب كما يلي:
يمكن حساب كما يلي:
ويمكن حساب كما يلي:
بالتالي المعادلة أو النموذج المقدر هو:

226. تابع
تفسير المعادلة:
الثابت : يدل على أنه في حالة عدم استخدام البروتين قي التغذية ( x=0 )، فإن الوزن يزيد 9.44 كجم.
معامل الانحدار : يدل على أنه كلما زادت كمية البروتين جرام واحد، حدث زيادة في وزن العجل بمقدار كجم) جرام(.

227. تابع
مقدار الزيادة في الوزن عند ( x=50) هو:
ومقدار الخطأ العشوائي:

228. تابع رسم معادلة الانحدار على نقط الانتشار:
تذكر أنه يمكن رسم أي خط مستقيم إذا علم أي نقطتين على ذلك الخط. y x

229. تمرين تقدير معادلة إنحدار باستعمال (Excel) ارسم انتشار هذه البيانات
ما مقدار معاملي الانتشار
فسر معني معاملي الانتشار في هذه المسألة؟
اكتب معادلة الانحدار
أوجد قيمة عند =

230. تعليق؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
نهاية الباب السادس
سؤال ؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟
تعليق؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟؟

231. الباب السابع:الاحتمـالات وتطبيقاتها Probabilities and its Applications
معني واستعمالات الاحتمالات
طرق حساب الاحتمالات
بعض قوانين الاحتمالات Probability Laws

232. معني واستعمالات الاحتمالات
يقصد بالاحتمالات فرصة حدوث أو وقوع حادثة معينة
استعمالات الاحتمالات ؟؟؟؟؟؟؟؟

233. بعض المفاهيم الخاصة بالاحتمال
التجربة العشوائية Randomized Experiment :
هي أي عملية تتم يمكن تحديد كل النتائج الممكنة لها ولكن لا يمكن مسبقا تحديد النتيجة التي ستظهر أو تحدث . مثال:
رمي قطعة معدنية (H,T )
رمي زهرة نرد (1,2,3,4,5,6)
أمثلة أخري؟؟؟؟؟؟؟؟؟

234. تابع أمثلة: فراغ العينة ( S ) Sample Space
فراغ العينة هو مجموعة النتائج الممكنة للتجربة وعددها (s)n
أمثلة:
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرة واحدة؛ فراغ العينة هو: S:{H , T } ؛ و n(s)=2
عند رمي زهرة نرد غير متحيزة مرة واحدة كل النتائج الممكنة (فراغ العينة) هو (1,2,3,4,5,6)؛ n(s)=6
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين (أو قطعتين مرة واحدة ):
فراغ العينة هو: .S:{HH ,HT,TH,TT} n(s)=4

235. تابع
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة عدد من المرات حتى نحصل على الصورة مرة واحدة، نجد أن التجربة هي عدد من المحاولات يتم إيقافها عندما نحصل على الصورة مرة واحدة ، إذا فراغ العينة هو :
S:{H, TH, TTH, TTTH,…….} ، n(s)=∞
ما هو فراغ العينة عند سحب ورقة لعب من حزمة عشوائيا؟

236. تابع الحادث (A, B,C,…) Event
الحادث هو فئة جزئية من النتائج المكونة لفراغ العينة. نوعين:
حادث بسيط Simple Event: وهو الذي يحتوي على نتيجة واحدة من النتائج المكونة لفراغ العينة.
حادث مركب Composite Event: ويشمل نتيجتين أو أكثر من النتائج المكونة لفراغ العينة،
يرمز لعدد النتائج المكونة للحادث بالرمز n(A), n(B),… وهكذا

237. تابع
أمثلة:
عند إلقاء قطعة عملة غير متحيزة مرتين فراغ العينة في هذه الحالة هو:S:{HH, HT, TH,TT} ,
الحادث A )ظهور الصورة مرتين(يشمل نتيجة واحدة هي .A:{HH} إذا: A حادث بسيط.
والحادث B (ظهور الصورة مرة واحدة على الأقل ) يشمل ثلاث نتائج هي B:{HT, TH, HH} . إذا Bحادث مركب يمكن تقسيمه إلى أحداث بسيطة

238. تابع
الاتحاد ( ) Union :
يعبر اتحاد الحادثان B , A عن وقوع أحدها على الأقل، وبمعنى آخر وقوع الأول أو الثاني أو كلاهما، ويعبر عن ذلك رياضيا وتقرأ (A union B) أو
(A or B ). ويمكن الاستعانة بشكل "فن" Ven. Diagram كما يلي:

239. تابع
مثال الاتحاد:
عند إلقاء زهرة نرد متزنة مرة واحدة ، وعرف الحادث A بأنه ظهور وجه يقبل القسمة على 3 ، والحادث B بأنه ظهور عدد فردي، يلاحظ أن:
B:{1,3,5}, A:{3,6}, S:{1,2,3,4,5,6} ، ويكون اتحاد الحادثان B , A هو: ، ويعبر عن ذلك في شكلVen كما يلي:

240. تابع التقاطع ( ) Intersection
يعبر تقاطع الحادثان B , A عن وقوع الاثنان في آن واحد ، ويشمل كل النتائج المشتركة بين الحادثين، ويعبر عن ذلك رياضيا أو (A and B) ، ويظهر ذلك في شكل "فن" كما يلي :
من المثال السابق: B:{1,3,5}, A:{3,6},

241. تابع الأحداث المتنافية Mutually Exclusive events
الحادثان B, A متنافيان، إذا كان وقوع أحدهما ينفي وقوع الآخر، بمعنى استحالة وقوعهما في آن واحد. ومن ثم يكون نتيجة تقاطع الحادثان المتنافيان هي الفئة الخالية ويرمز لها بالرمز أي أن ، ويمكن تمثيلها بشكل " فن " كما يلي:

242. تابع الحادث المكملCompliment Event :
الحادث المكمل للحادث A هو الحادث الذي يشمل كل نتائج التجربة باستثناء النتائج المكونة للحادث A، ويرمز للحادث المكمل بالرمز ، ومن ثم نستنتج أن :
كما هو مبين بالشكل التالي:

243. مثــال ألقيت قطعة عملة غير متحيزة ثلاث مرات، وعرفت الأحداث التالية:
الحادث A ظهور الصورة مرتين.
الحادث B ظهور الصورة مرة واحدة.
الحادث C ظهور الصورة في الرمية الأولى.
والمطلوب:
إيجاد الأحداث الخاصة بالاتحاد:
إيجاد الأحداث الخاصة بالتقاطعات:
أوجد الحادث

244. حل المثال فراغ العينة لهذه التجربة هو: الأحداث هي:
A:{HHT,HTH,THH}, B:{HTT,THT,TTH}, C:{HHH,HHT,HTH,HTT}

245. تابع
الأحداث الخاصة بالاتحاد:

246. تابع
الأحداث الخاصة بالتقاطع:
إيجاد

247. طرق حساب الاحتمالات توجد عدة مفاهيم لتفسير وحساب الاحتمالات منها:
الاحتمال التجريبيEmpirical probability
ويعبر عنه بالتكرار النسبي، ويحسب بتطبيق المعادلة:
n هو مجموع التكرارات( العدد الكلي للمشاهدات)، f(A): هو تكرار الحادث A،
مثلا بعد إلقاء قطعة عملة غير متحيزة 500 مرة، وتسجيل عدد مرات ظهور كل وجه كالتالي:

248. تابع
يمكن حساب احتمال ظهور الصورةH ، من المعادلة رقم (7-1)، والتي تعتمد على التكرار النسبي، أي أن :
الاحتمال النظريTheoretical Probability
يتم تحديد عدد النتائج الممكنة للتجربة، وعدد النتائج الممكنة لوقوع الحادث، ومن ثم نستخدم قواعد الرياضيات لحساب هذا النوع من الاحتمال ، بتطبيق المعادلة التالية:

249. تابع
حيث أن: n(S) هو عدد النتائج الممكنة للتجربة، n(A) هو عدد النتائج الممكنة لوقوع الحادث A، مثلا:
أذا ألقيت قطعة عملة مرة واحدة: فراغ العينة هو: S:{H, T} ؛عدد النتائج الممكنة : n(S)=(2)، بالنسبة للحادثA (ظهور صورة) ، نجد أن A:{H} ، أي أن عدد النتائج المكونة للحادثA هي: n(A)=1، ويكون احتمال وقوع الحادث A هو:

250. العلاقة بين الاحتمال التجريبي و الاحتمال النظري
العلاقة بين الاحتمال التجريبي و الاحتمال النظري
عند زيادة عدد محاولات إجراء التجربة n إلي ما لانهاية يقترب الاحتمال التجريبي من الاحتمال النظري، أي أن:
** يوجد مفهوم ”حديث“ للاحتمالات يعرف بالذاتي أو الشخصى

251. بعض قوانين الاحتمالات Probability Laws
هذه القوانين لحساب الاحتمالات المختلفة:
قانون جمع الاحتمالات Addition Law :
إذا كان لدينا الحادثان B , A ، فإن الاحتمال ، يمكن استنتاج معادلته كما يلي

252. تابع
إذاٌ:
وعندما تكون الأحداث متنافية، فإن احتمالات التقاطعات تساوي أصفار، ويكون القانون أعلاه كما يلي:

253. مثال عند إلقاء زهرة نرد غير متحيزة مرتين، فأوجد ما يلي:
احتمال ظهور وجهين متشابهين.
احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10.
احتمال ظهور وجهين متشابهين أو مجموع نقاطهما 10.
احتمال ظهور وجهين مجموع نقاطهما 7 أو 10.

254. تابع نحدد فراغ العينة كما يلي: الحادث A (ظهور وجهين متشابهين):
A:{(1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) (6.6)}, n(A)=6
احتمال ظهور وجهين متشابهين هو:

255. تابع الحادث B (ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10) :
B:{(4,6) (5,5) (6,4)}, n(B)=3
احتمال ظهور وجهين متشابهين هو:
لحساب احتمال ظهور وجهين متشابهين أو (or) مجموع نقاطهما 10 ، تستخدم المعادلة (7-3)، حيث أن:
التقاطع يعبر عن ظهور وجهين متشابهين و مجموعهما 10 يمكن حسابه كما يلي:

256. تابع
بالتالي:
الحادث C هو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما 7، والحادثB هو حادث ظهور وجهين مجموع نقاطهما 10 ، نجد أن:
B:{(4,6) (5,5) (6,4)} , C:{(1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1)}
n(B)= n(C)=6

257. تابع
لاحظ أن الحادثين ( C ) و (B ) متنافيان (لماذا؟) وبالتالي:

258. قانون الاحتمال الشرطي Conditional probability
احتمال فرصة وقوع حادث، إذا توافرت معلومات عن وقوع حادث آخر له علاقة بالحادث الأول.
مثلا؛ احتمال:
نجاح الطالب في مادة الإحصاء إذا علم أنه من الناجحين في مادة الاقتصاد
استخدام المزارع لنوع معين من السماد، إذا علم أنه يقوم بزراعة محصول معين
أن الخريج يعمل بالقطاع الخاص، إذا علم أنه ممن تخرجوا من قسم معين من أقسام كلية الزراعة

259. تابع
إذا كان الحادث ( B ) حادث معلوم، والحادث (A) حادث آخر يراد حساب احتمال وقوعه، بمعلومية الحادث ( B ) ، فإن هذا الاحتمال يحسب بتطبيق المعادلة التالية:
ويعرف الاحتمال P(A/B) بقانون الاحتمال الشرطي، ويقرأ "احتمال وقوع الحادث (A) بمعلومية الحادث (B) ، أو يقرأ "احتمال وقوع الحادث بشرط وقوع الحادث (B)،

260. تابع
كما يمكن حساب احتمال وقوع الحادث (B)بمعلومية الحادث (A)، وذلك بتطبيق المعادلة التالية:
ويمكن الاستعانة بالشكل التالي لتيسير الفهم:

261. مثــال
فيما يلي توزيع تكراري لعينة عشوائية حجمها 100 من خريجي الكلية في العامين الماضيين، حسب التخصص، ونوع المهنة:
فإذا اختير أحد الخريجين بطريقة عشوائية، احسب الاحتمالات التالية:
ما احتمال أن يكون من خريجي قسم الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص.
ما احتمال أن يكون ممن يعملون بالحكومة أو من خريجي قسم علوم الأغذية.
ما احتمال أن يكون من خريجي قسم علوم الأغذية أو من قسم علوم التربة.
إذا علم أن الفرد من خريجي قسم عوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا.

262. تابع
نرمز لنوع المهنة بالرموزA ، ولنوع التخصص بالرمز B ، كما هو مبين بالجدول التالي:
التكرار في كل خلية يعبر عن عدد الخريجين الذين ينتمون لقسم معين و يعملون في مهنة معينة، أي يعبر عن عدد تكرارات حوادث التقاطع الممكنة

263. تابع احتمال أن يكون من خريجي الاقتصاد و يعمل بالقطاع الخاص
احتمال أن العمل بالحكومة أو من خريجي علوم الأغذية:
احتمال أن يكون من خريجي علوم الأغذية أو من علوم التربة.

264. تابع
إذا علم أن الفرد من خريجي علوم الأغذية، ما احتمال أن يكون ممن يعملون عملا حرا؟ هذا احتمال شرطي، المطلوب هنا " حساب احتمال أن الفرد ممن يعملون عملا حرا بشرط أنه من خريجي قسم علوم أغذية ، أي أن الاحتمال المطلوب هو:

265. تمارين
الجدول التالي يبين عدد الوحدات السليمة، والتالفة من الخبز العربي بعد ثلاث أيام من تاريخ الإنتاج في أحد مراكز التموين التي تتعامل مع ثلاث مخابز هي : (C , B , A) .

266. تابع إذا اختيرت وحدة من الخبز بطريقة عشوائية، فأوجد الآتي:
ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبزB ؟
ما احتمال أن تكون تالفة ؟
إذا كانت الوحدة سليمة ، ما احتمال أن تكون من إنتاج المخبز C ؟
ما احتمال أن تكون الوحدة من إنتاج المخبز A أو تكون تالفة ؟
إذا كانت الوحدة من إنتاج المخبز A، ما احتمال أن تكون تالفة ؟

267. قانون ضرب الاحتمالات Probability Multiplication Law

268. مثــال
إذا كانت نسبة مزارع الخضروات التي تستخدم أسلوب معين للتسميد 60%، وإذا كان نسبة المبيعات من إنتاج الخضروات المسمد 70%، بينما نسبة المبيعات من الخضروات غير المسمدة 80%، إذا اختيرت أحد المزارع التي تنتج الخضروات عشوائيا ، فأوجد الآتي:
ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد؟
إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، ما احتمال أن تبيع إنتاجها؟
ما احتمال أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها؟
ما احتمال أن هذه المزرعة ممن لا يستخدمون أسلوب التسميد و تبيع إنتاجها؟

269. تابع
إذا فحصنا حال المزرعة المسحوبة، نجد أننا نتعامل مع نتيجتين متعاقبتين هما:
النتيجة الأولي ولها حالتان: }المزرعة تستخدم طريقة التسميد (A1) أو المزرعة لا تستخدم (A2) {
النتيجة الثانية ولها حالتان: } المزرعة تبيع الإنتاج (B1)، أو المزرعة لا تبيع الإنتاج (B2) {
لذا يمكن استنتاج شجرة الاحتمالات للحصول على النتائج الكلية كالتالي:

270. تابع
شجرة الاحتمالات:
احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد: P(A1)=0.6

271. تابع
إذا علم أن هذه المزرعة تستخدم أسلوب التسميد، فإن احتمال أن تبيع إنتاجها هو P(B1 /A1)=0.7 :
احتمال أن المزرعة تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها عبارة عن احتمال وقوع حادثتان معا (B1 and A1 )، لذا يحسب هذا الاحتمال بتطبيق المعادلة (7-8) كما يلي:

272. تابع
احتمال أن المزرعة لا تستخدم أسلوب التسميد وتبيع إنتاجها هو

273. الأحداث المستقلة Independent Events
إذا كانت الحادثتان B , A يمكن وقوعهما معا، ولكن وقوع أحدهما ليس له علاقة بوقوع أو عدم وقوع الحادث الآخر، فإن الاحتمال يمكن التعبير عنه كالتالي:
وفي هذه الحالة يقال أن الحاثتان B , A مستقلتان

274. مثـــال(7-5)
إذا كان نسبة المزارع التي تنتج خضروات 60% ، ونسبة المزارع التي تنتج فاكهه 75%، ونسبة المزارع التي تنتج الخضروات و الفاكهة 50%، أوجد الآتي:
ما احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات؟
ما احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة ؟
هل انتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات؟

275. تابع
بفرض أن A حادث يعبر عن "المزرعة تنتج خضروات "، B هو حادث يعبر عن " المزرعة تنتج فاكهة"، فإن:
احتمال أن مزرعة ما تنتج فاكهة أو خضروات هو:
احتمال ألا تنتج المزرعة الفاكهة هو:

276. تابع
لمعرفة ما إذا كان إنتاج المزرعة للفاكهة مستقل عن إنتاجها للخضروات يمكن تطبيق المعادلة (7-9):
وحيث أن :
فإن إنتاج المزرعة للفاكهة (A)، غير مستقل عن إنتاجها للخضروات (B).

277. مثـــال(7-6) إذا كان الحادثانB , A حادثان مستقلان ، وكان ،
فأوجد الاحتمال.
بما أن الحادثان B, A مستقلان، إذا:
ويكون احتمال هو:

278. مسألة تمرين
زهرة نرد غير محايدة بحيث أن الحصول علي أي رقم فردي له ضعف احتمال الحصول علي رقم زوجي. عند رمي هذه الزهرة مرة, أحسب احتمال الحصول علي رقم أكبر من ثلاثة (3).

279. الفصـــل الثامن المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية Random Variables and Probability
Distributions
المتغيرات العشوائية المنفصلة ( Discrete Random Variables )
التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل
التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الخاصة
التوزيع ثنائي الحدينThe Binomial Distribution
التوزيع البواسوني Poisson Distribution
المتغيرات العشوائية المستمرة Continuous Random Variables
التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة
التوزيع المنتظم Uniform distribution
التوزيع الأسي السالب Negative Exponential distribution
التوزيع الطبيعي The Normal Distribution

280. المتغير العشوائي Random Variable
المتغير العشوائي هو الذي يأخذ قيما حقيقية مختلفة باحتمالات معينة تعبر عن نتائج فراغ العينة
مجال هذا المتغير، يشمل كل القيم الممكنة له
وينقسم المتغير العشوائي إلى قسمين هما:
المتغيرات العشوائية المنفصلة Discrete Random Variables
المتغيرات العشوائية المتصلة(المستمرة) Continuous Random Variables

281. المتغيرات العشوائية المنفصلة
المتغير العشوائي المنفصل هو الذي يأخذ قيم بينية، ومتباعدة –عادة أعداد صحيحة- محدودة أو غير محدودة يمكن حصرها
ويرمز له بشكل عام بحرف من الحروف الأبجدية الكبيرةX, Y, Z,…. ويرمز للقيم التي يأخذها بالحروف الأبجدية الصغيرة، x, y, z, …،
أمثلة:
عدد الأولاد الذكور في الأسرة المكونة من أربعة أولاد X، X:{x=0,1,2,3,4} عدد العملاء الذين يتم إنهاء خدمتهم البنكية كل 10 دقائق Y، Y:{y=0,1,2,3,….}.
عدد مرات استخدام نوع معين من الأسمدة خلال الدورة الزراعية.
عدد الوحدات التالفة من إنتاج مزرعة معينة تنتج200 وحدة كل موسم.
أخري؟؟؟؟

282. التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل probability Distribution of Discrete Random Variables
التوزيع الاحتمالي، يبين احتمالات حدوث القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير وبمعنى آخر هو الجدول التكراري النسبي للقيم التي يمكن أن يأخذها المتغير.
فإذا كان المتغير العشوائي المنفصل X يأخذ القيم، وكان هو احتمال أن المتغير العشوائي يأخذ القيمة ، فـيمكن تكوين جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X

283. تابع
التوزيع الاحتمالي جدول مكون من عمودين، الأول به القيم الممكنة للمتغير ، والثاني به القيم الاحتمالية لهذا المتغير
جدول التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المنفصل:

284. تابع
وتسمى الدالة بدالة الاحتمال، ومن خصائص هذه الدالة ما يلي:

285. مثــال
إذا كانت نسبة مبيعات أحد المراكز التجارية من التفاح الأمريكي 0.60، و نسبة مبيعاته من الأنواع الأخرى للتفاح 0.40، فإذا اشترى أحد العملاء عبوتين:
كون فراغ العينة ( S).
إذا عرف المتغير العشوائي (X) بأنه عدد العبوات المشتراة من التفاح الأمريكي، فأوجد الآتي
التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي .
ارسم دالة الاحتمال لهذا المتغير.
كون التوزيع الاحتمالي التجميعي.
ما هو احتمال:
حدد قيمة الوسيط، والمنوال لعدد العبوات المشتراة.

286. تابع
التجربة هنا هو شراء وحدتين من عبوات التفاح، ومن ثم فراغ العينة ( S) يتكون من أربع نتائج، هي:

287. تابع
التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي X هو جدول يبين قيم المتغير X:{x=0,1,2} واحتمالاتها أي:
رسم دالة الاحتمال f(x):
النقط x,f(x)) )

288. تابع تكوين التوزيع الاحتمالي التجميعي( Cumulative Distribution) :
التوزيع التجميعي، هو جدول يشمل الاحتمالات الناتجة من حساب الاحتمال ، ويرمز له بالرمز ( F(x) )، أي أن دالة التوزيع الاحتمالي التجميعي تأخذ الصورة التالية:
جدول التوزيع التجميعي للعبوات المشتراه من التفاح الأمريكي :

289. تابع حساب الاحتمالات تحديد قيمة الوسيط، والمنوال:
الوسيط:- رتبة الوسيط هو 0.50 ، إذا الوسيط (M ) هو القيمة التي تحقق الاحتمال:
، وهذا الاحتمال يقع بين القيمتين (1,0) كما هو مبين بالرسم التالي:

290. تابع إذا الوسيط قيمته هي حساب المنوال:
المنوال Mode = القيمة المناظرة لأكبر قيمة احتمالية.
إذا المنوال هو: Mode = 1 حيث أنه يناظر أكبر قيمة احتمالية هي:

291. الوسط الحسابي والتباين للمتغير العشوائي المنفصل
يرمز للوسط الحسابي للمتغير العشوائي بالرمز (ميو)، ويحسب بتطبيق المعادلة التالية :
التباين ويرمز له بالرمز (سيجما)، فيحسب بتطبيق المعادلة التالية:

292. مثـال في المثال السابق احسب ما يلي:
الوسط الحسابي لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي
احسب الانحراف المعياري لعدد العبوات المشتراة من النوع الأمريكي.
أوجد معامل الاختلاف النسبي
لحساب الوسط الحسابي والانحراف المعياري نستخدم المعادلة (8-3)، (8-4) وهذا يتطلب تكوين جدول يشمل المجاميع التالية: وذلك كما يلي:

293. تابع إذا الوسط الحسابي هو ولحساب الانحراف المعياري (نحسب التباين أولا)
معامل الاختلاف النسبي هو:

294. التوزيعات الاحتمالية المنفصلة الخاصة
تتبع بعض الظواهر توزيعات احتمالية خاصة، حيث يمكن حساب احتمالات قيم المتغير عن طريق معادلة رياضية، تسمى بدالة الاحتمال f(x)،
هذه المعادلة لها معالم معينة، تسمى بمعالم المجتمع الذي ينسب له هذا التوزيع.
ومن أهم التوزيعات التي سيتم دراستها هنا،
التوزيع ثنائي الحدين، و
توزيع بواسون

295. التوزيع ثنائي الحدين The Binomial Distribution
يستخدم هذا التوزيع في الحالات التي يكون للظاهرة محل الدراسة نتيجتان فقط متنافيتان
النتيجة محل الاهتمام وتسمى بحالة النجاح، والأخرى تسمى بحالة الفشل، ومن أمثلة ذلك:
عند فحص عبوة بداخلها نوع معين من الفاكهة، لها نتيجتان ( الوحدة إما أن تكون سليمة، أو تكون معيبة)
عند إلقاء قطعة عملة، لها نتيجتان.
نتيجة الطالب في الاختبار ( نجاح، رسوب)

296. شكل التوزيع الاحتمالي ثنائي الحدين
إذا كررت محاولة ما (n) من المرات، بحيث أن كل محاولة لها نتيجتان فقط متنافيتان هما:
النتيجة محل الاهتمام " حالة نجاح " وتتم باحتمال ثابت في كل محاولة هو: p
النتيجة الأخرى " حالة فشل " وتتم باحتمال ثابت أيضا هو: q=1-p
وبافتراض أن هذه المحاولات مستقلة، وإذا كان المتغير العشوائي X يعبر عن عدد حالات النجاح في الـ n محاولة، فإن مدي المتغير العشوائي والذي يعبر عن عدد حالات النجاح هو
ومن ثم يحسب الاحتمال بتطبيق المعادلة التالية:

297. تابع حيث أن هي عدد طرق اختيار x من n مع إهمال الترتيب، وتحسب كما يلي:أو
مثلا:

298. مثـــال
إذا كانت نسبة الشفاء من مرض معين باستخدام نوع معين من العقاقير الطبية هو (0.6)، إذا تناول هذا العقار 5 مصابين بهذا المرض. إذا عرف المتغير العشوائي بأنه عدد المستجيبين (حالات الشفاء) لهذا العقار.
المطلوب:
ما هو نوع المتغير؟
اكتب شكل دالة الاحتمال لهذا المتغير.
احسب الاحتمالات التالية:
ما احتمال استجابة 3 مرضى لهذا العقار؟
ما هو احتمال استجابة مريض واحد على الأقل؟
ما هو احتمال استجابة 2 مرضى على الأكثر؟
احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد حالات الاستجابة.

299. الحل
عدد حالات الاستجابة (X) متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو: X:{x=0,1,2,3,4,5}
شكل دالة الاحتمال: n=5, p=0.6, q=(1-p)-=0.4
إذا:

300. تابع حساب احتمال استجابة 3 مرضى لهذا الدواء:
حساب احتمال استجابة مريض واحد على الأقل:
حساب احتمال استجابة 2 مرضى على الأكثر:

301. تابع
الوسط الحسابي في حالة التوزيع ثنائي الحدين يحسب بتطبيق المعادلة (8-3)، وباستخدام العمليات الرياضية يمكن الوصول إلى النتيجة التالية:
والوسط الحسابي:

302. ولحساب التباين في التوزيع ثنائي الحدين يتم تطبيق المعادلة (8-4)، ومنها يمكن التوصل إلى الصورة التالية:
ومنها:

303. توزيع بواسون Poisson Distribution
يكثر استخدام هذا التوزيع في الحالات التي تقع فيها الأحداث وفقا لمعدلات زمنية، وكذلك في حالة الأحداث نادرة الوقوع، ومن أمثلة ذلك:
استهلاك الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر .
عدد مرات ري نوع معين من المحاصيل الزراعية خلال الموسم.
عدد مرات زيارة المريض للطبيب كل سنة.
عدد مرات تناول الأسرة للحوم الحمراء خلال الأسبوع.
عدد أخطاء الطباعة لكل صفحة من صفحات الكتاب.

304. شكل التوزيع الاحتمالي البواسوني
إذا كان:
متوسط عدد مرات وقوع حادث وفقا لمعدل زمني معين هو
المتغير العشوائي (X) يعبر عن عدد مرات وقوع الحادث وفقا لهذا المعدل
مدي المتغير العشوائي (X)هو:
فإن الاحتمال
(احتمال وقوع الحادث عدد من المرات وفقا لهذا المعدل ) يعبر عنه بـ:

305. مثــال
فرضا أن عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة من سلعة معينة خلال الشهر تتبع توزيع بواسون بمتوسط 3 وحدات شهريا، إذا عرف المتغير العشوائي ( X ) بأنه عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة خلال الشهر من هذه السلعة. المطلوب:
ما هو نوع المتغير العشوائي؟
اكتب شكل دالة الاحتمال لهذا المتغير.
احسب الاحتمالات التالية:
احتمال أن الأسرة تستهلك وحدتين خلال الشهر؟
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر؟
احتمال أن أسرة ما تستهلك 3 وحدات على الأكثر خلال الشهر؟
احسب الوسط الحسابي، والانحراف المعياري لعدد الوحدات المستهلكة.
حدد شكل التوزيع.

306. تابع
عدد الوحدات التي تستهلكها الأسرة متغير كمي منفصل ، ومدى هذا المتغير في هذه الحالة هو:
دالة الاحتمال هي:
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدتين خلال الشهر، f(2)

307. تابع احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر هو:
احتمال أن أسرة ما تستهلك وحدة واحد على الأقل خلال الشهر هو:
احتمال أن أسرة ما تستهلك 3 وحدات على الأكثر خلال الشهر هو
الوسط الحسابي معطي

308. تابع في هذا التوزيع، فإن التباين يساوي الوسط الحسابي:
ومن ثم يكون الانحراف المعياري هو:
معامل الاختلاف النسبي هو:
تحديد شكل التوزيع:
دائما التوزيع البواسون موجب الالتواء.

309. المتغيرات العشوائية المستمرة Continuous Random Variables
هو الذي يأخذ قيما متصلة
ويأخذ عدد لانهائي من القيم الممكنة له داخل مجاله
فإذا كان ( X ) متغير عشوائي مستمر، ويقع في المدى (a,b)، أي أن: ،
فإن للمتغير X عدد لانهائي من القيم تقع بين الحدين الأدنى والأعلى (a,b)، ومن الأمثلة على المتغيرات الكمية المستمرة ما يلي:
كمية الألبان التي تنتجها البقرة في اليوم باللتر:
أخري؟

310. التوزيع الاحتمالي للمتغير المستمر
من الشكل (المدرج التكراري النسبي)، للمتغير المتصل (X) نلاحظ أنه كلما ضاقت الفترات بين مراكز الفئات، يمكن الحصول على رسم دقيق للمنحنى الخاص بدالة احتمال المتغير المستمر
شكل منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر
منحنى التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي المستمر

311. تابع
المساحة أسفل المنحنى تعبر عن مجموع كل الاحتمالات، ولذا تساوي الواحد الصحيح،
الدالة f(x) تسمي دالة كثافة الاحتمالProbability Density Function(p.d.f)
اذا وقعت (X) في المدى: X={x:a<x<b}، فأن منحنى هذه الدالة يأخذ الصورة التالية:

312. خصائص دالة كثافة الاحتمال f(x)
الدالة موجبة داخل المدى (a,b) أي أن:
تكامل ( x) fعلى حدود المتغير من الحد الأدنى a حتى الحد الأعلى b يعبر عن مجموع كل الاحتمالات، لذا يساوي الواحد الصحيح:
حيث أن التكامل المحدد أعلاه يعطي المساحة أسفل المنحني بين(a,b) .
لحساب احتمال أن المتغير العشوائي المستمر يقع في المدى (c,d) أي حساب الاحتمال p(c<x<d) ، يجب حساب المساحة أسفل المنحني من d حتى c كما هي مبينة في الشكل البياني التالي:

313. تابع
ويتم حساب التكامل المحدد في هذا المدى، كما يلي:

314. تابع للمتغير المستمر، يكون الاحتمال p(x=value)=0
بعض قوانين التكامل لحساب الاحتمالات

315. مثـال
إذا كان الإنفاق الشهري للأسرة بالألف ريال على المواد الغذائية له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:
والمطلوب:
حساب قيمة الثابت احسب احتمال أن إنفاق الأسرة يتراوح ما بين (8-5) ألف ريال خلال الشهر.
إذا كان لدينا 600 أسرة، فما هو عدد الأسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن 3 آلاف خلال الشهر؟

316. تابع
لحساب قيمة ( c ) من خصائص دالة كثافة الاحتمال:
من دالة المثال:

317. تابع حساب احتمال أن إنفاق الأسرة يتراوح بين (8,5) ألف ريال خلا الشهر :
فإن عدد الأسر المتوقع أن يقل إنفاقها عن 3 آلاف خلال الشهر( 600 أسرة ) هو:

318. المتوسط والتباين في التوزيع الاحتمالي المستمر
إذا كانت f(x)هي دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي x، فإن التوقع الرياضي للدالة h(x)تأخذ الصورة التالية:
ومن ثم يمكن كتابة معادلة الوسط والتباين للمتغير ( x ) كما يلي:

319. مثال
في المثال السابق أوجد المتوسط والانحراف المعياري ومعامل الاختلاف النسبي للإنفاق الشهري
(c=0.006)
المتوسط الحسابي:

320. تابع
الانحراف المعياري و(cv):

321. دالة التوزيع التجميعي Cumulative Distribution Function (C.D.F)
يرمز لهذه الدالة بالرمز (C.D.F)=F(x) وتحسب بإيجاد الاحتمال :
ويمكن توضيحها بيانيا بالرسم التالي:

322. مثال
في المثال السابق أوجد دالة التوزيع التجميعي C.D.F، ثم استخدم هذه الدالة لحساب احتمال أن إنفاق الأسرة يقل عن 5 آلاف جنيه.
إيجاد دالة التوزيع التجميعي C.D.F :

323. تابع حساب الاحتمال المطلوب ، كما هو مبين بالرسم التالي:
حساب الاحتمال المطلوب ، كما هو مبين بالرسم التالي:
بالتعويض عن في الدالة F(x) التي تم التوصل إليها:

324. خصائص دالة التوزيع التجميعي

325. التوزيعات الاحتمالية المستمرة الخاصة
توزيعات احتمالية مستمرة خاصة، ولها دوال كثافة احتمال محددة.
يوجد العديد منها: نتناول:
التوزيع المنتظم Uniform distribution
2 التوزيع الأسي السالب Negative Exponential distribution
التوزيع الطبيعي The Normal Distribution

326. التوزيع المنتظم Uniform distribution
شكل دالة كثافة الاحتمالp.d.f لهذا التوزيع:
إذا كان المتغير (x) متغير عشوائي له توزيع منتظم Uniform، مداه هو a<x<b: فإن دالة كثافة احتماله هي:
ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي:

327. خصائص التوزيع المنتظم الوسط الحسابي ، والتباين لهذا التوزيع هما:
الوسط الحسابي ، والتباين لهذا التوزيع هما:
تأخذ دالة التوزيع التجميعي C.D.F الشكل الآتي

328. مثـال
استورد أحد المراكز التجارية 1500 طن بطاطس، ووضعها في مخزن، وقام ببيعها بكميات متساوية على مدار شهور السنة. إذا كانت الفترة الزمنية للبيع تتبع توزيع منتظم، فأوجد الآتي:
دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية للبيع.
بعد مرور سبعة أشهر من بداية البيع، ما هي الكمية الموجودة بالمخزن؟

329. تابع تأخذ دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن الصورة التالية:
حساب الكمية الموجودة بالمخزن بعد سبعة أشهر من بداية البيع.

330. الأسي السالب التوزيع Negative Exponential distribution
شكل دالة كثافة الاحتمالp.d.f
إذا كان المتغير (x) متغير عشوائي له توزيع أسي سالب ، ومداه هو فإن دالة كثافة احتماله هي:
ويمكن تمثيل هذه الدالة بيانيا كما يلي

331. خصائص التوزيع الأسى السالب
الوسط الحسابي ، والتباين لهذا المتغير هما:
دالة التوزيع التجميعي C.D.F
تأخذ دالة التوزيع التجميعي الشكل الآتي :

332. مثــال
إذا كانت الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل في البنك تتبع توزيع أسي بمتوسط 2 دقيقة، فأوجد ما يلي.
دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل.
ما احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.
دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن:
بفرض أن المتغير يعبر عن الفترة الزمنية لإنهاء خدمة العميل بالدقيقة، أي أن ، فإن المتوسط ، ومن ثم تصبح قيمة هي: ، وتكتب دالة كثافة الاحتمال المعبرة عن الزمن على الصورة التالية:

333. تابع
حساب احتمال إنهاء خدمة العميل في أقل من دقيقة.

334. التوزيع الطبيعي The Normal Distribution
يعتبر هذا التوزيع من أكثر التوزيعات الاحتمالية استخداما في النواحي التطبيقية، ومنها:
الاستدلال الإحصائي شاملا التقدير،
واختبارات الفروض،
كما أن معظم التوزيعات يمكن تقريبها إلى هذا التوزيع،
شكل دالة كثافة الاحتمال: إذا كان المتغير متغير عشوائي له توزيع طبيعي ، مداه هو فإن دالة كثافة احتماله هي:

335. تابع
وهذا التوزيع له منحنى متماثل يأخذ الصورة التالية:

336. معالم التوزيع الطبيعى Parameters
توجد معلمتين لهذا التوزيع هما :
الوسط الحسابي : والتباين :
ومن ثم يعبر عن توزيع المتغير (x) بالرموز:
ويقرأ هذا التعبير كالآتي: “المتغير العشوائي (x) يتبع التوزيع الطبيعي بمتوسط ، وتباين “
e.g., x~N(3,1.5)

337. كيفية حساب الاحتمالات للتوزيع الطبيعي
الاحتمال المطلوب حسابه هو (الشكل أدناه)
الاحتمال المطلوب (المساحة) تحسب بإيجاد التكامل التالي:

338. و لتعقيد حساب هذا التكامل يلجأ لتحويلة رياضية Transformation، كالآتي:
ويعرف المتغير الجديد (z) بالمتغير الطبيعي القياسي Standard Normal Variable، وهذا المتغير له دالة كثافة احتمال تأخذ الصورة التالية:

339. تابع ومن خصائص التوزيع الطبيعي القياسي ما يلي: المتوسط والتباين:
المتوسط والتباين:
ومن ثم يعبر عن توزيع ( z ) المتغير بالرموز:
يأخذ المنحنى شكل الناقوس (Bell) المتماثل على جانبي الصفر كما بالشكل

340. تابع
صمم الإحصائييون جداول إحصائية لحساب دالة التوزيع التجميعي: ، كما هو مبين بالرسم التالي:
خطوات حساب الاحتمال
يتم تحويل القيم الطبيعية (x1, x2) إلى قيم طبيعية قياسية:
ومن ثم يكون الاحتمال: : كما بالشكل:

341. تابع
تستخدم جداول التوزيع الطبيعي القياسي، والذي يعطي المساحة الخاصة بالاحتمال

342. طريقة استخدام جدول التوزيع الطبيعي القياسي في حساب الاحتمالات
أوجد الاحتمالات التالية:
أ ب ج د-
تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال (الشكل أدناه) من الجدول
0.9418

343. تابع ب- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال موضحة كالتالي:
ب- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال موضحة كالتالي:
علي عمود (z) أقرب رقم لـ 2.33 (2.30) والرقم المكمل (0.03) ونقطة التقاطع عند (0.0099)
ومن ثم يكون :

344. تابع ج- تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال كالتالي:
ج- تحدد المساحة المعبرة عن الاحتمال كالتالي:
في الجدول بنفس الطريقة السابقة نجد أن

345. تابع د- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال هي:
د- المساحة أسفل المنحنى المعبرة عن الاحتمال هي:
ومن خصائص دالة التوزيع التجميعي
ومن الجدول نجد أن:

346. مثـــال
إذا كان الدخل السنوي للأسرة في أحد مناطق المملكة يتبع توزيع طبيعي متوسطه 80 ألف ريال، وتباينه 900. والمطلوب:
كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي.
كتابة شكل دالة كثافة الاحتمال.
ما هي نسبة الأسر التي يقل دخلها عن60 ألف ريال ؟
ما هو الدخل الذي أقل منه من الدخول؟

347. تابع كتابة قيمة معالم التوزيع الاحتمالي للدخل السنوي:
بفرض أن (x) متغير عشوائي يعبر عن الدخل السنوي بالألف ريال، وهو يتبع التوزيع الطبيعي، ومعالمه هي:
أي:
شكل دالة كثافة الاحتمال:

348. نسبة الأسر التي يقل دخلها عن60 ألف ريال هي:
ونجري عملية التحويل السابقة:
ومن الجدول:

349. إذا الدخل هو 138.8 ألف ريال في السنة.
تابع
الدخل الذي أقل منه من الدخول: في هذه الحالة يبحث عن قيمة المتغير ( x ) الذي أقل منه ، بفرض أن هذا المتغير هو (x1) ، فإن :
بالكشف بطريقة عكسية ، حيث نبحث عن المساحة نجدها تقع عند تقاطع الصف (1.9)، والعمود (0.06 ) أي أن قيمة
ويكون :
إذا الدخل هو ألف ريال في السنة.

350. That’s it☺Folks.
والله الموفق