1. Bíl er ekið á 36 km/h hraða. Fyrir bílinn gengur kona og bílstjórinn klossbremsar. Konan sleppur með skrámur. Lögreglan mælir að bremsuförin hafi verið 20 m.
Ef hraði bílsins hefði verið 72 km/h hversu löng hefðu bremsuförin verið þá?
20 m
28 m
40 m
80 m

2. Bíl er ekið á 36 km/h hraða. Fyrir bílinn gengur kona og bílstjórinn klossbremsar. Konan sleppur með skrámur. Lögreglan mælir að bremsuförin hafi verið 20 m.
Ef hraði bílsins hefði verið 72 km/h hversu löng hefðu bremsuförin verið þá?
20 m
28 m
40 m
80 m
Vinna breytir hreyfiorku!
hreyfiorka = ½mv2
vinna = kraftur*vegalengd = μgm*s
μgms = ½mv2 > s = ½v2/μg (bremsulengd)
(μ = ½v2/sg = ½(10m/s)2/(20m*10m/s2) = 0,25 coefficient of kinetic friction, hreyfinúningsstuðull)

4. Skilgreining skriðþunga
Skriðþungi agnar er skilgreindur sem
p = m v
(margfeldi massa og hraðavigurs)
2. lögmál Newtons hljóðar þá:
F = m a = m dv/dt = dp/dt
“ég hugsa þess vegna er ég”

5. Impulse (atlag):
J =  F dt

6. Atlag Af F = dp/dt leiðir að p2 – p1 = Dp =  F dt
 F dt er táknað með J og nefnist atlag kraftsins (impulse). Þá gildir
J = p2 – p1
impulse-momentum theorem (setning um atlag og skriðþunga):
The change of momentum of a particle during a time interval equals the impulse of the net force that acts on the particle during that interval.

8. Consider two carts, of masses m and 2m, at
rest on an air track. If you push first one cart
for 3 s and then the other for the same length
of time, exerting equal force on each, the
momentum of the light cart is
1. four times
2. twice
3. equal to
4. one-half
5. one-quarter
the momentum of the heavy cart.

9. Consider two carts, of masses m and 2m, at
rest on an air track. If you push first one cart
for 3 s and then the other for the same length
of time, exerting equal force on each, the
momentum of the light cart is
1. four times
2. twice
3. equal to
4. one-half
5. one-quarter
the momentum of the heavy cart.
Skriðþungi er jafnt og kraftur sinnum tími. Kraftarnir eru jafnstórir og tíminn sem þeir virka jafnlangur. Þess vegna er loka skriðþungi bílanna sá sami.

10. Consider two carts, of masses m and 2m, at
rest on an air track. If you push first one cart
for 3 s and then the other for the same length
of time, exerting equal force on each, the
kinetic energy of the light cart is
1. larger than
2. equal to
3. smaller than
the kinetic energy of the heavy car.

11. Consider two carts, of masses m and 2m, at
rest on an air track. If you push first one cart
for 3 s and then the other for the same length
of time, exerting equal force on each, the
kinetic energy of the light cart is
1. larger than
2. equal to
3. smaller than
the kinetic energy of the heavy car.
Skriðþungi bílanna er sá sami. Þess vegna hlýtur hraði léttari bílsins að vera tvisvar sinnum meiri en þess þyngri. Þar af leiðir að hreyfiorkan er tvisvar sinnum meiri.

12. Breytingar á heildarskriðþunga
Tökum sem dæmi kerfi 2ja agna:
P = p1 + p2
Samkvæmt 3. lögmáli Newtons gildir
F12 = - F21
Þá er:
dP/dt = dp1/dt + dp2/dt = F1 + F2 =
F1,ext + F12 + F2,ext + F21 = F1,ext + F2,ext
Með öðrum orðum:
dP/dt = Fext
Gildir almennt, óháð fjölda agna!

13. Varðveisla skriðþungans
Fext = dP/dt og Fext = 0 gefur
dP/dt = 0 og P = fasti
Þetta nefnist varðveisla skriðþungans
Fext = 0 er mikilvæg forsenda.
Stundum eru ytri kraftar << innri.
Ef engir ytri kraftar eða summa þeirra 0, þá er heildarskriðþungi kerfisins varðveittur!!

17. Orkan og flokkun árekstra
Árekstur er fjaðrandi (elastic) ef heildarhreyfiorka er varðveitt, annars ófjaðrandi (inelastic)
Hreyfiorka fyrir og eftir:
K = ½ m1 v12 + ½ m2 v22,
K’ = ½ m1 u12 + ½ m2 u22
Fjaðrandi: K = K’; ófjaðrandi: K > K’

18. Síða 301 í University Physics!

20. If ball 1 in the arrangement shown here is pulled back and then let go, ball 5 bounces forward. If balls 1 and 2 are pulled back and released, balls 4 and 5 bounce forward, and so on. The number of balls bouncing on each side is equal because
1. of conservation of momentum.
2. the collisions are all elastic.
3. neither of the above

21. 1. of conservation of momentum. 2. the collisions are all elastic.
If ball 1 in the arrangement shown here is pulled back and then let go, ball 5 bounces forward. If balls 1 and 2 are pulled back and released, balls 4 and 5 bounce forward, and so on. The number of balls bouncing on each side is equal because
1. of conservation of momentum.
2. the collisions are all elastic.
3. neither of the above
Það er til margskonar lokaástand sem uppfyllir skilyrðið um varðveislu skriðþunga. Það er hinsvegar aðeins eitt sem uppfyllir skilyrði um varðveislu hreyfiorku. Þegar árekstur er fjaðrandi er hreyfiorkan varðveitt.

22. Example 8.4, síðu 293 í University Physics

23. Example 8.8, síðu 298 í University Physics

24. Tvívíður fjaðrandi árekstur á kyrrstæðan hlut
Höfum tvö varðveislulögmál:
Skriðþungi, P = P’,
Hreyfiorka, K = K’
Hraðarnir eru tvívíðir vigrar en v2 er 0:
m1 v1 = m1 u1 + m2 u2 (2 jöfnur)
m1 v12 = m1 u12 + m2 u22 (1 jafna)
3 jöfnur með 4 óþekktum, u1x, u1y, u2x, u2y
Því ekki hægt að leysa nema meira sé vitað.
Hins vegar má draga einfalda ályktun ef m1 = m2, sjá næstu glæru. v1 u1 q u2

25. Hornið í fjaðrandi árekstri tveggja eins massa
Höfum nú m1 = m2. Hefjum vigurjöfnuna á síðustu glæru í annað veldi og berum saman við hina jöfnuna (orkuvarðveislu). Fáum þá:
u1 . u2 = u1 u2 cos q = 0 > q = 90o
Hornið milli hraðavigranna eftir árekstur er alltaf rétt við þessar aðstæður.
Myndir: a) Billjarðkúlur, b) róteind rekst á aðra kyrrstæða, v << c

26. If all three collisions in the figure shown
here are totally inelastic, which bring(s) the
car on the left to a halt?
1. I
2. II
3. III
4. all three
5. I, II
6. I, III
7. II, III

27. If all three collisions in the figure shown
here are totally inelastic, which bring(s) the
car on the left to a halt?
1. I
2. II
3. III
4. all three
5. I, II
6. I, III
7. II, III
Varðveisla skriðþungans segir okkur að við alla þrjá árekstra stöðvist bíllinn til vinstri!

28. If all three collisions in the figure shown are
totally inelastic, which cause(s) the most
damage?
1. I
2. II
3. III
4. all three
5. I, II
6. I, III
7. II, III

29. If all three collisions in the figure shown are
totally inelastic, which cause(s) the most
damage?
1. I
2. II
3. III
4. all three
5. I, II
6. I, III
7. II, III
Bíllinn til hægri í III tapar meiri hreyfiorku í árekstrinum en bíllinn til hægri í II (eða veggurinn í I sem hefur enga hreyfiorku).
Öll töpuð hreyfiorku fer í að beygla bílana, þess vegna er skaðinn mestur í III.

32. Almenn regla um hröðunina.
Í hverjum punkti á hreyfibraut agnar er hægt að brjóta hröðunina, a, í tvo þætti hornrétta hvor á annan, annan í átt hreyfingarinnar (einingarvigur ev) en hinn þvert á hreyfinguna (einingarvigur en):
a = av ev + an en (1)
þar sem þátturinn í átt hreyfingarinnar (snertilínunnar) mælir breytingu á stærð hraðavigursins
av = dv / dt (2)
og þverþátturinn segir til um breytingu á stefnu hraðavigursins og fyrir hann gildir
an = v 2 / r (3)
þar sem r er geisli sveigju brautarinnar.

33. Hefur bílstjórinn rétt fyrir sér?
Nei

34. Hefur bílstjórinn rétt fyrir sér? Já Nei
Jafn hraði > enginn hröðun > enginn kraftur

35. Skilgreining massamiðju
Staður massamiðju er t.d. skilgreindur fyrir tvær agnir með jöfnunni
rCM = (m1 r1 + m2 r2)/(m1 + m2)
Samsvarandi fyrir N agnir:
rCM = (m1 r1 + m2 r mN rN)/M
M = heildarmassi = m1 + m mN
Einnig skilgreint fyrir samfellda massadreifingu, með heildum.

36. Að finna massamiðju 1: “Henging”
Við getum fundið massamiðju í óreglulegum þunnum og sléttum hlut með því að hengja hann upp í 2 stöðum eins og myndin sýnir
Erfiðara fyrir þrívíðan hlut; ekki hægt að merkja!

37. Að finna massamiðju 2: Samsettur hlutur
Ef hlutur er samsettur úr tveimur minni og við þekkjum massamiðjuna í þeim, getum við fundið hana í samsetta hlutnum
Erum í rauninni að skipta skilgreiningarsummunni í tvennt!

38. Að finna massamiðju 3: Samfelld dreifing, heildun
Þegar massadreifingin er samfellt fall, kemur heildun í stað summu í skilgreiningunni á massamiðju

39. Massamiðja vatnssameindar (H2O), s. 307

40. Hraði massamiðju og skriðþungi kerfis
Hraði massamiðju fæst með diffrun á rCM:
vCM = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2) = P/M
P = M vCM
P heildar er eins og heildarmassinn M hreyfist með hraða CM
Lykillinn að notagildi massamiðjuhugtaksins, ásamt niðurstöðu á næstu glæru

41. Massamiðja og ytri kraftar
Við höfum áður fundið að dP/dt = Fext og fáum því:
Fext = M aCM
Massamiðjan hreyfist eins og ögn með massa M undir áhrifum heildarkraftsins Fext
Lykill að notagildi CM, sbr. síðustu glæru
Fext = 0 gefur vCM = fasti; (ef 0 í upphafi þá alltaf!)

42. Hreyfing massamiðju 1: Svífandi skiptilykill (sjá líka UnPh s. 308)
Summa ytri krafta á skiptilykilinn er 0
Þess vegna er aCM = 0 og
vCM = fasti
sem sést á myndinni ef að er gáð

43. Hreyfing massamiðju 2: Ballettdansmær
Massamiðja dansmeyjarinnar hreyfist eftir fleygboga eins og kasthlutur
Hún færir hins vegar massamiðjuna til miðað við líkamann með því að hreyfa hendur og fætur

44. Hreyfing massamiðju 3: Loftfimleikakona
Massamiðja konunnar hreyfist eftir fleygboga eins og kasthlutur
Takið eftir að hún gæti breytt snúningshraðanum, sbr. líka dýfingafólk

45. Hreyfing massamiðju 4: Maður í árabát við bryggju
Massamiðjusetningin er miskunnarlaus við manninn
Hvað getur hann gert til að komast í land?
Ef massar þekktir má reikna d
Athugið ytri krafta og stefnu þeirra

46. Hvor nær bjórnum?? (University Physics s. 308)

47. Hreyfiorka agnakerfis og massamiðja
Höfum K = S ½ mi vi2 og vi = vCM + vi’
Setjum inn og notum að
S mi vi = M vCM
Fáum þá:
K = KCM + Krel =
½ M vCM2 + S ½ mi vi’2

48. Hreyfiorka og massamiðja: Dæmi
Hlutur sem hreyfist úr stað og snýst um leið
Þetta er mikilvægt og kemur sér oft vel
Dæmi: Skiptilykillinn aftur!

49. Sjá Active Physics on Line: Tvær kúlur rekast á:
Tvær kúlur rekast á:
6.3 Momentum Conservation and Collisions
Bolti fellir múrstein (eða ekki?), fjaðrandi og ófjaðrandi árekstur:
6.2 Collisions and Elasticity

50. Gerum ráð fyrir að þú standir á vagni sem í upphafi er í kyrrstöðu á fleti með sáralitlum núningi. Þú hendir boltum í vegg sem festur er á vagninn. Boltarnir endurkastast frá veggnum. Geturðu komið vagninum á stað með þessu móti?
Já, vagninn hreyfist til hægri
Já, vagninn hreyfist til vinstri
Nei, vagninn hreyfist ekki úr stað.

51. Gerum ráð fyrir að þú standir á vagni sem í upphafi er í kyrrstöðu á fleti með sáralitlum núningi. Þú hendir boltum í vegg sem festur er á vagninn. Boltarnir endurkastast frá veggnum. Geturðu komið vagninum á stað með þessu móti?
Já, vagninn hreyfist til hægri
Já, vagninn hreyfist til vinstri
Nei, vagninn hreyfist ekki úr stað.
Varðveisla skriðþungans! Fyrir er samtals skriðþunginn núll, á eftir er hann því líka núll (vagn til vinstri, bolti til hægri).

53. Hreyfing eldflaugar
Fylgjum Fylgikveri, s , sjá líka University Physics s. 311
Hraði brunnins eldsneytis miðað við flaug: u (fasti)
Massi eldflaugar M, hraði hennar v
Sendir frá sér dM, hraði breytist um dv
Skriðþungavarðveisla í kyrrstöðukerfi flaugar:
M dv + u dM = 0
Leysum fyrir dv og heildum (tegrum):
v – v0 = u ln(M0/M)
Aðeins háð hlutfallinu M0/M og u, hraðanum sem eldflaugin spýtir brunnu eldsneyti aftur úr sér.