1. Predavanje 3 Modeli jezgri
Nuklearna fizika
Predavanje 3
Modeli jezgri
dr.sc. Nikola Godinović
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

2. Sadržaj Model kapljice Model Fermijevog plina Ljuskasti model
Kolektivni model
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

3. Model kapljice Jezgra se zamišlja kao kapljica nestlačive tekućine
Opravdanost modela kapljice
Gustoća svih jezrgi je približno ista (1018 kg/m3)
Ukupna energija vezanja proporcionalna masi jer otprilike Ev/A~const. (energija vezanja po nukleonu za sve jezgre ista)
Slično vrijedi i za kaplijicu nestlačive tekućine: gusotća je konstantna (fluid nestlačiv) a energija evaporacije proporcionalna je masi kapljice, toplina koju treba uložiti da bi kapljica isparila na molekule je u biti energija koju treba uložiti da bi se kapljica rastavila na molekule od kojih se sastoji.
Predikcija: Točne vrijednosti masa i energija vezanja za gotovo sve jezgre.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

4. Vrijednosti parametara
Vrijednosti parametar izraženi u MeV u semiempirisjkoj masenoj formuli (SEMF) a dobiveni prilagodbom eksperimentalnih podataka.
Semiemprijska formula se dobro slaže s mjerenjima za sve stabline jezgre osim onih s malim A < 4
av=15.56 MeV
ac=0.697 MeV
as=17.23 MeV
aa= MeV
e=even o=odd
+ 12 MeV (e-e)
ap= MeV (o-e or e-o)
- 12 MeV (o-o)
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

5. Semiemprijska formula i eksperimentalni podaci
Izvrsno slaganje semiemprijske masene formule (SEMF) i eksperimentalnih podataka osim za neke jezgre, N=20,28,50, 81, 126 naznačene na slici, energija veze izmjerena je manja od izračunate po SEMF
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

6. Magični brojevi (1)
Model kapljice daje dobar opis mase jezgri i energije vezanja.
Kako je stabilnost jezgre u biti izražena energijom vezanja, (što je energija vezanja veća to je jezgra stabilnija) model kapljice dobro opisuje usrednjeno ponašanje jezgre s obzirom na njihovu satbilnost.
Jezgre sa vrijednstima Z i/ili N, Z i/ili N = 2, 8, 20,28, 50, 82, 126
znatno odstupaju od vrijednosti za masu odnosno energiju vezanja koje se odbiju iz SEMF
Jezgre sa ovim brojem Z i/ili N se zovu magične jezgre a ovi brojevi magični brojevi jer imaju znatno veću energiju vezanja od očekivane prema SEMF (slično susrećemo kao kod plemenitih plinova)
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

7. Magični brojevi (2)
Jezgre preferiraju magične brojeve i za Z i N. Postoji 6 izotopa za jezgru s Z=20, ( u prosjeku 3 u tom području), jezgra s Z=50 ima 10 stabilnih izotopa (u prosjeku 4 u tom području)
Što je jezgra stabilnija to su brojniji njeni stabilni izotopi
Energija vezanja po nukleonu je veća za jezgre koje imaju Z i/ili N 2 ili 8 od susjednih jezgri,
Da se izbaci jedna neutron iz 2He4 treba uložiti energiju of 20.6 MeV, a energija vezanja protona je 19.8 MeV, što je znatno odstupanje od prosječne energiej vazanaj po nukleonu od oko 8 MeV.
Neobična tsabilnost magičnih jezgri (N=28, 50, 82, 126) se vidi u iznimno velikoj energiji potrebnoj da se izbaci jedna neutron (energija vezanja “zadnjeg” neutrona)
Jezgre 8O17, 36Kr87, 54Xe137 spontano emitiraju neutron a sve imaju N koje je za jedan veći od magičnog broja.
Mogu li se nukleoni gibati neovisno u jezgri?
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

8. Magični brojevi (3)
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

9. Jezgra kao Fermijev plin (1)
Weisskopf prvi istaknuo da model Fermijevog plina može objasniti kako se nukleoni mogu gibati nezavisno unutar jezgre.
Modela pretpostavlja da se svaki nukleon giba u privlačnom potencijalnu koji predstavlja interakciju svih ostalih nukeona u jezgri na taj promatrani nukleon.
Usrednjeni potencijal ima konstantnu dubinu unutar jezgre a pada na nulu van jezgre – trodimenzionalna pravokutna potencijalna jama.
Kako su nukleoni fermioni u jezgri u osnovnom stanju nukleoni zauzimaju energijsk razine u potencijalnoj jami tako da minimiziraju ukupnu energiju a da pri tome ne naruše Paulijev princip.
Kako se protoni i neutroni mogu razlikovati imamo dvije potencijalne jame jednu za protone a jednu za neutrone.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

10. Jezgra kao Fermijev plin (2)
Paulijev princip isključenja sprječava nukleone da se raspršuju jedni na drugima kad je jezgra u osnovnom stanju jer su tada sva stanaja koja se energijski mogu doseći zauzeta, tako da u biti nmea sudara između nukleona osim onih pri koji oni zamjena svoja kvantna stanja.
Izračunajte Fermijevu energiji tipične jezgre i iskorstite taj rezultat da odredite dubinu nuklearnog potencijala.
Fermijeva enegija je naviša poununjena energijska razina a dana je izrazom:
=N/V=0,6A/(4/3 r3)=0,6A /(4/3a3A), a= m, N-broj neutrona
EF=43 MeV
Ev=7 MeV (energije veze po nukleonu za tipičnu jezgru) -> Vo=43+7=50 MeV dubina potencijalne jame za neutrone u tipičnoj jezgri.
Fermijev model objašnjava tendenciju da jezgre imaju jendaki Z i N. Kad je Z=N onada su zauzeta najniža stanja u usrednjenom potencijalu za protone i za neutrone. Jezgra podešava broj Z i N a zadržava isti A pomoću beta raspada, kojim proton prelazi u neutron ili neutron u proton.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

11. Ljuskasti model (1)
Fermijev model pokazao da se gibanje nukleona u jezgri može razmatrati kao neovisno gibanje u potencijalu kojeg stvaraju ostali nukleoni.
Koja je ideja ljuskastog modela:
Pretpostaviti dani potencijal
Uzeti da se svaku nukleon u njemu giba neovisno
Riješiti Schrodingerovu jednadžbu za taj potencijal kako bi se dobile energijske razine za protone i neutrone.
Popuniti energijske razine u skladu s Paulijevim principom
Provjeriti da li su predikcije modela u skladu s mjerenjima i opažanjima
Pokazati da su jezgre s magičnim brojevima Z i/ili N zaista jače vezane.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

12. Ljuskasti model (2) Potencijal sferno simetrična V(r).
Energija ljuske ovisi o kvantnim brojevima n i l.
Kvantni broj n – specificira radijalno ponašanje valne funkcije, l –angularno ponašanje valne funkcije nukleona na toj energijskoj razini
n-broji broj čvorova valne funkcije unutra potencijalne jame, što je n veći to je broj čvorova veći a to je valna funkcija jače zakrivljena pa je i kinetička energija veća odnosno energija vezanja manja.
l – kao i u atomskoj fizici definira moment količine gibanja.
Vala funkcija: (r,,)=R(r)()(), R(r)rl, radijalno ponašanje v.f. mijenja se s l. Čestica u sferno simetričnom potencijalu je to dalje od središta što je l veći tj. Što je veći angularni moment. Zato za isti n energija vezanja se smanjuje s porastom l jer raste kinetička energija.
Ukratko veći n i veći l manja energija vezanja.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

13. Ljuskasti model (3)
Idemo popunit energijske razine protonima i neutronima.
Eenergijska razina u potpunosti definirana s n i l.
Zbog Paulijeva načela na nekoj energijskoj razini može biti samo 2(2l+1) neutrona ili protona.
Popunjavanje u skladu s gore navedenim daje lijevu stranu na slici lijevo
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

14. Ljuskasti model (4)
Brojne forme radijalne ovisnosti nuklearnog potencijala su probane uključujući i “potencijal boce vina”  ne bi li se dobilo magične brojeve.
Utvrđeno je da nema te forme radijalne ovisnosti nuklearnog potencijala koja će objasniti magične brojeve.
Misterij magičnih brojeva neovisno su riješili 1949 Mayer i Jensen.
Mayer i Jensen pretpostavljaju da svaki nukleon u jezgri osim nuklearnog potencijala osjeća jaku “inverznu spin-orbit interakciju” koja je proporcionalan SL (skalarnom produktu spina i orbitalnog momenta količine gibanja.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

15. Ljuskasti model (5)
Snažna – znači da je 20 puta jača nego što bi se dobilo iz atomske spin-orbit formule (interakcija između magnetskog dipolnog momenta elektrona zbog spina i magnetskog dipolnog momenta zbog orbitalnog gibanja.
Inverzna – znači da energija nukleona opada kad je SL pozitivan a povećava se kad je negativan, tj. obrnuto nego što je to kad se razmatra spin-orbit interakcija elektrona.
Energija interakcije je negativna kad ukupni angularni moment nukeona J=S+L ima maksimalnu moguću vrijednost (tj. Kad su S i L paralelni maksimalno).
Iako postoje sličnosti sa spin-orbit interakcjom kod elektrona u atomu u jezgri spin-orbit intreakcija nije posljedica interakcije između magnetskih dipolnih momenta zbog spinskog i orbitalnog gibanja već je posljedica prirode nuklearne sile.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

16. Ljuskasti model (6)
Nuklearci često znaju ovu sliku napamet a koriste se trikom:
Spuds if pug dish of pig (eat potatoes if the prork is bad)
Izbace se samoglasnici osim zadnjeg
n, l, j, mj se koriste za označavanje stanja
j-specificira ukupni angularni moment koju je suma spinskog i orbitalnog
mj-specificira z-komponentu ukupnog angularnog momenta j.
Zbog spin-orbit intreakcije energija ovisi: n, j, l
Veći j zanči jače spin-orbit vezanje i jaču energiju vezanja, smanjuje energiju nukleona koji imaju jaču spin-orbit interakciju.
Prema Paulijevu načelu u na svakoj razini može biti (2j+1) istovrsnih nukelona
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

17. Predikcije ljuskastog modela
Reporducira i objašnjava magične brojeve
Predviđa ukupni angularni moment gotovo svih jezgri u osnovnom stanju.
Jezgre koje imaju magičan Z i N, kao 8O16, 20Ca40, 82Pb208 imaju u potpunosti popunjene ljuske i neutronima i protonima, i prema ljuskastom modelu ukupni angularni momnet ovih jezgri osnovnom stanju je nula kao što i mjerenje potvrđuje.
Obašnjava angularni moment jezgri koji imaju ili jedna višak ili jedan nukleon od magičnog broja a drugi tip nukeloan je magičan da je spin jezgre u potpunosti određen tim jednim nukleonom viška/manjka
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

18. Predikcije ljuskastog modela
U Jzegri dominira jj-vezanje
Sve jezger s parnim Z i N imaju spin jednak nuli, I=0
Postoje jasni indicije da angularni momenti parova nukleona vežu tako da je ukupni angularni moment jednak nuli.
V(r)- usrednjena interakcija
Paring interaction (inteakcija sparivanja) je rezidualna interakcija koja nije sdaržana u srednjem potencijalu V(r) a svojstvo je same nuklearne sile
Ljuskasri model n eprdviđa dobro magnetske dipolne momente.
Za neparni A, magnetski dipolni momnet bi trebao biti posljedica samo zadnjeg nesparenog nukleona je rse po ljusakstom modleu nalurani monenti parova poništavaju
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

19. Predikcije ljuskastog modela
Predikcija ljuskastog modela- Schmidtove linije
Paran N, neparan Z
Neparan N, Paran Z
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

20. Kolektivni model Ljuskasti model – nukleoni se gibaju neovisno
Model kapljice – gibanje bilo koleg dijelića je korelirano s gibanjem susjednih djelića (fulid nestlačiv)
Pojedini model dobro opisuju samo neka svojstva
Nastojalo se ukloniti razlike između različitih modela odnosno ujediniti ih u jedna sveobuhvatni model
Najuspješnji takav model je kolektivni model, koji kmbinira svojstav ljukastog modela i modela kapljice (Aage Bohr dao veliki doprinos kolektivnom modelu jezgre)
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

21. Kolektivni model Pretpostavke kolektivnog modela:
Nukeloni u nepopunjenoj podljusci jezgre gibaju neovisno u usrednjenom potencijalu koje proizvodi sredica popunjnih ljuski.
Usrednjeni potencijal zbog sredice nije statički sferno simetrični potencijal V(r) koji se koristi u ljuskastom modelu, već je potencijal koji može deformirati svoj oblik.
Ove defomacije potencijala predstavljaju korelirana, kolektivna gibanja nukleona u sredici kao kod modela kapljice.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

22. Kolektivni model
Promatram jezgru koja ima magični broj nukleona + 1 nukleon
Taj dodatni nukleon imat će relativno velik orbitalni angularni momnet, klasično veliki radijus putanje, u blizini površine srdice u kojoj su sve ljuske popunjene.
Zbog privlačne sile između sredice i dodatnog nukleona sredica se deformira, i putuje oko sredice kako se dodatni nukleon giba, slično kao plima koja slijedi mjesec.
Ako imamo dva dodatna nukleona, klasično oni će se gibati po istoj putanji u suportnom smjeru, naime vežu se tako da imaju antiparalelne angularne momente, što još više povećava deformaciju sredice a to utječe na samo gibanje nukleona koji su izazvali deformaciju.
Mateamtički to je opisano defromacijom potencijala u kojem se nukleoni gibaju, prilično komplicirano!
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

23. Kolektivni model
Dio ukupnog angularnog momenta je zbog gibanj “plimnih valova” na sredici.
Dio “plimnih valova” čine protoni, pa gibanje naboja predstavlja magnetski dipolni moment, slično kao kod ljuskastog modela kad imamo jedna proton van popunjenih ljuski koji je odgovoran za cjelokupni magnetski dipolni moment jezgre.
Deformacija koja s egiba proizvodi manji magnetski dipolni momenet od jednog protona ili neutrona koji se giba.
Ovo je upravo ono što je bilo potrebno da bi se uklonilo neslaganje između izmjerenih dipolnih momenta i predikcija ljuskastog modela.
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

24. Kolektivni model
Električni kvadrupolni moment se može jako dobro objasniti kolektivnim modelom.
Električni kvadrupolni momnet u biti mjeri odstupanje raspodijele ektričnog naboja i jezgri od sferno simetrične raspodijele.
Električni kvadrupolni moment: Q=Z(3<z2>-(<x2>+<y2>+<z2>)
Kad je <x2>=<y2>=<z2> – raspodjela sferno simetrična, Q=0
Q<0 kad je spoljošten u z-smjeru,
Q>0 kad je produljen u z-smjeru
Neparni broj protona u jezgri s
magični Z + 1 proton, ima Q< 0
Neparni broj protona u jezgri s
magični Z - 1 proton, ima Q> 0
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB

25. Kolektivni model – električni kvadrupolni moment
Kolektivne rotacije
Kolektivne vibracije
Energija i okoliš, Nikola Godinovic, FESB