2. Stability Theory of Structures
تئوری پایداری سازه ها
Stability Theory of Structures
كريم عابدي

3. با استفاده از تحلیل غیرخطی
فصل پنجم
بررسی پایداری سازه ها
با استفاده از تحلیل غیرخطی
عناصر محدود

4. 1- مقدمه
آنچه که از بررسی عمیق و همه جانبه فصول پیشین بر می آید، این است که ”کارآمدترین“، ”موثرترین“، ”جامع ترین“، ”سهل ترین“ و ”فراگیرترین“ روش برای بررسی پایداری سیستم های سازه ای، روش عناصر محدود است.
نتیجه دیگری که از بررسی مذکور به دست می آید، این است که در تحلیل پایداری سیستم های سازه ای برای نیل به نتایج قابل اطمینان، نزدیک به واقعیت، دقیق و صحیح باید غیرخطی های هندسی و مصالح در نظر گرفته شده و لحاظ شوند.
بنابراین لازمه بررسی ”قابل اطمینان، دقیق، صحیح و جامع“ پایداری سیستم های سازه ای، انجام تحلیل های غیرخطی مصالح و هندسی با استفاده از روش عناصر محدود است.

5. 1- مقدمه
الف- تغییر مکان ها در مجموعه همبسته عناصر محدود، بینهایت کوچک (Infinitesimal small) می باشند.
ب- مصالح دارای رفتار الاستیک خطی (Linear Elastic) می باشند.
پ- طبیعت شرایط مرزی به هنگام اعمال بار به مجموعه همبسته عناصر محدود، ثابت و دست نخورده باقی می مانند .
فرضیات اساسی
در تحلیل خطی
عناصر محدود
با لحاظ نمودن فرض های مذکور
ثابت بودن ماتریس سختی K
تغییرمکان U تابعی خطی (Linear Function) از بردار بار R
استخراج معادلات تعادل عناصر محدود برای تحلیل استاتیکی به صورت

6. 1- مقدمه
کوچک بودن تغییر مکان ها در تعیین ماتریس سختی K زیر وارد شده است:
کلیه انتگرال ها روی حجم اولیه (Original Volume) عناصر محدود انجام شده فرض شده است.
ماتریس کرنش-تغییرمکان B هر عنصر ثابت و مستقل از تغییرمکان های عنصر است.
فرض مصالح الاستیک خطی دلالت بر استفاده از ماتریس تنش-کرنش ثابت C دارد.
فرض ثابت و دست نخورده باقی ماندن شرایط مرزی در به کارگیری روابط قیدی (Constraint Relations) ثابت انعکاس یافته است.
به عنوان مثال اگر در طی بارگذاری، یک شرط مرزی تغییرمکانی باید تغییر یابد، در این صورت پاسخ سیستم تنها تا قبل از تغییر شرایط مرزی خطی می باشد. این حالت در مسائل تماسی(Contact Problems) پیش می آید.
بنابراین اگر هر یک از سه فرض مورد استفاده در تحلیل خطی به نحوی نقض شود، در این صورت با یک تحلیل غیرخطی سروکار خواهیم داشت.

7. 1- مقدمه
رده بندی تحلیل غیرخطی که مورد بحث قرار خواهد گرفت به قرار زیر است:
Type of analysis
Description
Typical formulation used
Stress and strain measures
Large displacement, large rotation, but small strains
Displacements and rotations of fibers are large, but fiber extensions and angle changes between fibers are small; stress-strain relation may be linear or nonlinear
(often is linear)
Total Lagrangian
(TL)
Updated Lagrangian
(UL)
Second Piola-Kirchhoff stress, Green-Lagrange strain
Cauchy stress, Almansi strain
Type of analysis
Description
Typical formulation used
Stress and strain measures
Large displacements, large rotations, and large strains
Fiber extensions and angle changes between fibers are large, fiber displacements and rotations may be also large; the stress-strain relation may be linear or nonlinear(often is nonlinear)
Total Lagrangian
(TL)
Updated Lagrangian
(UL)
Second Piola-Kirchhoff stress, Green-Lagrange strain
Cauchy stress, Logarithmic strain
Type of analysis
Description
Typical formulation used
Stress and strain measures
Materially- nonlinear-only
Infinitesimal displacements and strains; the stress-strain relation is nonlinear
Materially-nonlinear-only (MNO)
Engineering stress and strain

8. 1- مقدمه
در یک تحلیل واقعی، لازم است تصمیم گرفته شود که مساله مورد نظر در کدام رده از تحلیل باید قرار گیرد و در نتیجه از کدام نوع فرمول بندی برای توصیف موقعیت واقعی فیزیکی استفاده شود.
مطمئناً به کارگیری فرمول بندی بسیار عمومی کرنش های بزرگ همواره صحیح و درست خواهد بود، ولی استفاده از فرمول بندی هایی با محدودیت های زیاد می تواند از نقطه نظر محاسباتی موثر باشد و نیز اطلاعات بیشتر و کامل تر و همه جانبه تری در مورد رفتار سازه واقعی فراهم نماید

9. بنابراین چالش های اساسی در تحلیل غیرخطی عبارتند از
1- انتخاب نوع تحلیل غیرخطی
2- انتخاب نوع فرمول بندی T.L وMNO, U.L
( معیارهای کرنش و تنش مورد استفاده در تحلیل خطی، کارآمدی و کارایی لازم را در تحلیل غیرخطی ندارند (انتخاب معیارهای جدید)).
3- حجم کنونی که انتگرال گیری ها روی آن انجام می گیرند، مجهول می باشد.
4- متغیر بودن در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی هندسی.
5- متغیر بودن در هر تراز بار در تحلیل غیرخطی مصالح.

10. 2- مساله اساسی در تحلیل غیرخطی
مساله اصلی در یک تحلیل عمومی عناصر محدود، یافتن حالت تعادل جسم متناظر با بارهای وارده است.
با فرض به عنوان تراز بار در زمان t، شرایط تعادل یک سیستم عناصر محدود را که نمایشگر جسم مورد نظر است می توان به صورت زیر بیان کرد:
بردار نیروهای نقاط گرهی خارجی بر جسم در بافتار مربوط به زمان t
بردار نیروهای نقاط گرهی متناظر با تنش های عنصری در بافتار مربوط به زمان t
با مشخص نمودن تنش های کنونی (Currents Stress) به عنوان تنش های اولیه

11. 2- مساله اساسی در تحلیل غیرخطی
روشن است که در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ عمومی، تنش ها و حجم جسم در زمان t مجهول هستند.
رابطه ، تعادل سیستم در هندسه تغییرشکل یافته کنونی (Current Deformed Geometry) را با درنظر گرفتن تمامی عوامل غیرخطی بیان می کند.
اگر تحلیل غیرخطی برای یک تراز معین بار ( مثلاً در زمان ) مورد نظر باشد، در این صورت رابطه باید حل شده و ارضا گردد. به عبارت دیگر با یک تحلیل تک گامی (One-Step Analysis) روبرو هستیم.
ولی هنگامی که تحلیل شامل شرایط غیر هندسی یا مصالح وابسته به مسیر (Path-dependent) باشد، در این صورت رابطه در طول زمان مورد نظر از 0 تا باید حل شده و ارضا گردد. بنابراین در این صورت با یک تحلیل نموی گام به گام (Step by Step Incremental Solution) مواجه
هستیم.

12. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
روش بنیادی در یک تحلیل غیرخطی گام به گام نموی، درنظر گرفتن این فرض است که جواب در زمان گسسته t معلوم است و جواب در زمان گسسته Δt t+ مورد نیاز است که در آن Δt نمو زمانی مناسب انتخابی است.
بنابراین در زمان Δt t+ :
جواب در زمان t معلوم است. پس می توان نوشت:
بردار F ، نمو در نیروهای نقاط گرهی متناظر با نمو در تغییرمکان ها و تنش ها از زمان t تا Δt t+ است.
بردار F را می توان با استفاده از یک ماتریس سختی مماسی که متناظر با شرایط هندسی و مصالح در زمان t است تقریب سازی نمود.
U بردار تغییرمکان های نموی نقاط گرهی از زمان t تا Δt t+ است
بنابراین ماتریس سختی مماسی، متناظر با مشتق نیروهای نقاط گرهی عنصری نسبت به تغییرمکان نقاط گرهی است.

13. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
اکنون می توان رابطه زیر را نوشت:
در این معادله با توجه به معلوم بودن ، و می توان را محاسبه
کرد و لذا تقریبی به بردار تغییرمکان در زمان Δt t+ را می توان به صورت زیر
به دست آورد:
توجه1: تغییرمکان های واقعی کامل در زمان Δt t+ آن تغییرمکان هایی هستند
که متناظر با بارهای وارده می باشند.
توجه2: در معادله ، تنها تقریبی به تغییرمکان های واقعی در زمان
Δt t+ را محاسبه نموده ایم.
توجه3: در مورد نحوه تعیین و بعداً به تفصیل و با جزئیات مربوط بحث خواهیم نمود.

14. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
با یافتن تقریبی به تغییرمکان های واقعی در زمان Δt t+ ( )
می توان تقریبی به تنش ها در زمان Δt t+ ( )
درنتیجه تقریبی به نیروهای نقاط گرهی متناظر در زمان Δt t+ ( )
و سپس انجام محاسبات برای نمو زمانی بعدی را ادامه داد.
نکته: با توجه به فرض مورد استفاده در ، جواب های مذکور می توانند دارای خطاهای بسیار قابل توجهی باشند و بسته به اندازه گام زمانی(Time Step) یا همان گام بار مورد استفاده (Load Step) می تواند در شرایطی خاص ناپایدار عددی باشند.
ضروری است از یک راه حل تکراری( تکرار در داخل هر گام بار) استفاده شود تا اینکه جواب هایی با دقت کافی حاصل شوند.

15. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
روش های تکراری(Iteration Methods) که به طور وسیعی در تحلیل های غیرخطی عناصر محدود مورد استفاده قرار می گیرند، بر اساس تکنیک های نیوتن-رافسون (Newton-Raphson Technique) استوارند.
تکنیک نیوتن-رافسون در واقع بسطی از تکنیک نموی ساده مورد استفاده در دو قسمت است:
بعد از محاسبه یک نمو در تغییرمکان های نقاط گرهی که یک بردار تغییرمکان کلی جدیدی (New total displacement vector) را تعریف می کند، می توان روش نموی ارائه شده فوق را با استفاده از تغییرمکان های کلی کنونی معلوم (Currently known total displacement) به جای تغییرمکان ها در زمان t تکرار نمود.

16. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
معادلات مورد استفاده در روش تکراری نیوتن-رافسون به ازای i = 1, 2, 3,…
با شرایط اولیه
توجه1: در نخستین تکرار، روابط فوق به صورت معادلات و
در می آیند.
توجه2: در تکرارهای بعدی، آخرین تخمین تغییرمکان های نقاط گرهی برای تعیین
تنش های عنصری متناظر و بردارهای نیروهای نقاط گرهی متناظر معادله
و ماتریس سختی مماسی مورد استفاده قرار می گیرند.

17. روش نیوتن- رافسون به صورت شماتیک
3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
بردار بار خارج از توازن(Out-of-balance load vector) متناظر با یک بردار است که هنوز به وسیله تنش های عنصری متوازن نشده است و بنابراین یک نمو در تغییرمکان های نقاط گرهی مورد نیاز است. این به هنگام نمودن (Updating) تغییرمکان های نقاط گرهی در تکرار باید تا آنجا ادامه یابد که نیروهای خارج از توازن و تغییرمکان های نموی بسیار کوچک شوند.
روش نیوتن- رافسون به صورت شماتیک

18. مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون
3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون

19. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
معادلات مورد استفاده در روش نیوتن-رافسون تعدیل یافته به ازای i = 1, 2, 3,…
محاسبه صحیح از به روشی
کارآمد و مناسب
دو نکته بسیار مهم در روش تکراری نیوتن – رافسون
محاسبه صحیح از به روشی
کارآمد و مناسب
با شرایط اولیه
با توجه به هزینه محاسباتی قابل توجه مورد نیاز در تعیین ماتریس سختی مماسی
و نیز در تعیین نیروهای نقاط گرهی معادل در هر تکرار، در
عمل می توان بسته به غیرخطی های موجود در تحلیل، تعیین ماتریس سختی مماسی جدید در زمان های معین کارایی داشته باشد.
در روش تعدیل یافته نیوتن-رافسون(Modified Newton-Raphson method)، یک
ماتریس سختی مماسی، صرفاً در ابتدای هر گام بار ایجاد می شود.

20. روش تعدیل یافته نیوتن- رافسون به صورت شماتیک
3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
روش تعدیل یافته نیوتن- رافسون به صورت شماتیک

21. مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون
3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
مراحل عملیاتی روش تکراری نیوتن – رافسون
تعدیل یافته

22. 3- روش بنیادی در تحلیل غیرخطی
نکته مهم در روش تکراری تعدیل یافته نیوتن-رافسون، محاسبه صحیح از به روشی کارآمد و مناسب است.
لازم به ذکر است که استفاده از روش های تکراری، ایجاب می کند که معیارهای همگرایی مناسبی(Appropriate Convergence Criteria) اختیار شوند.
اگر معیارهای غیرمناسبی اتخاذ شوند، در این صورت دو اتفاق می تواند بیفتد:
الف)تکرار قبل از رسیدن به دقت حل مورد نیاز پایان پذیرد.
معیار همگرایی سست (Loose Convergence Criteria)
ب) تکرار بعد از رسیدن به دقت حل مورد نیاز ادامه یابد.
معیار همگرایی سفت (Stiff Convergence Criteria)

23. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته الف) مقدمه
برای استخراج معادلات غیرخطی عناصر محدود ضروری است که از روش جامع و مؤثر استفاده شود.
جامع ترین و مؤثرترین روش، روش سازگار مبتنی بر مکانیک محیط پیوسته (Consistent Continuum- Mechanics-based Approach) است.
به عبارت دیگر لازم است معادلات حاکم بر مکانیک محیط پیوسته (Governing Continuum Mechanics Equations) برای یک روش حل عناصر محدود مبتنی بر تغییرمکان(Displacement-Based Finite Element Solution) ارائه گردد.
در این حالت نیز(همچون تحلیل خطی عناصر محدود)، از اصل کار مجازی باید استفاده نماییم. اما، باید امکان وقوع تغییرمکان ها، دوران ها،کرنش های بزرگ و نیز رابطه غیرخطی کرنش-تنش را نیز در فرمول بندی وارد نماییم.

24. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
بنابراین معادلات حاکم محیط پیوسته در واقع بسطی از رابطه عمومی ارائه شده برای تحلیل خطی عناصر محدود خواهد بود:
بنابراین اگر تحلیل غیرخطی یک جسم عمومی را درنظر بگیریم، بعد از ایجاد و بسط معادلات مناسب مکانیک محیط پیوسته، مراحل تحلیل را به طریقه ای کاملاً مشابه، برای ایجاد معادلات غیرخطی عناصرمحدود که حاکم بر پاسخ غیرخطی جسم می باشند، دنبال خواهیم کرد.
در تحلیل خطی، رابطه مذکور به عنوان پایه و مبنا برای ایجاد معادلات حاکم خطی عناصرمحدود( ) مورد استفاده قرار گرفتند.

25. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
1- تعادل جسم را باید در بافتار کنونی (Current Configuration) درنظر گرفت.
2- در حالت کلی باید از یک فرمول بندی نموی (Incremental Formulation) استفاده شود.
3- برای توصیف بارگذاری و حرکت جسم از یک متغیر زمانی استفاده نماییم.
در یک تحلیل غیرخطی
برای ایجاد فرمول بندی، حرکت(Motion) یک جسم عمومی را در یک دستگاه مختصات ثابت دکارتی(Stationary Cartesian System) درنظر می گیریم و فرض می نماییم که جسم می تواند تغییرمکان های بزرگ، کرنش های بزرگ شده و رفتار غیرخطی مصالح از خود نشان دهد.
هدف اصلی، تعیین موقعیت های تعادل(Equilibrium Positions) کل جسم در نقاط زمانی گسسته 0 و Δt و Δt2 و Δt3 و ... است و Δt نمو در زمان می باشد.

26. برای ایجاد یک استراتژی حل(Solution Strategy)
4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ب) بیان مساله اصلی
برای ایجاد یک استراتژی حل(Solution Strategy)
فرض
جواب ها برای متغیرهای سینماتیک و استاتیکی برای همه گام های زمانی از 0 تا زمان t (از جمله خود t) به دست آمده اند
فرآیند حل برای موقعیت تعادل مورد نیاز بعدی متناظر با زمان” Δt t+ “ یک فرآیند نمونه و شاخص به شمار می رود و می تواند به طور مکرر مورد استفاده قرار گیرد تا مسیر کامل پاسخ حاصل شود.

27. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
نکته 1: از آنجایی که در تحلیل، تمامی ذرات (Particles) جسم را در حرکتشان از بافتار اولیه (Original Configuration) تا بافتار نهایی نسبت به یک دستگاه مختصات ثابت دنبال می کنیم، از آن رو در واقع یک فرمول بندی لاگرانژی (Lagrangian Formulation) را اتخاذ نموده ایم.
نکته 2: فرمول بندی لاگرانژی در مقابل فرمول بندی اولری(Eulerian Formulation) قرار دارد که معمولاً درتحلیل مسائل مکانیک سیالات مورد استفاده قرار می گیرد.
نکته 3: در فرمول بندی اولری، حرکت ماده در میان یک حجم کنترل ثابت (Stationary Control Volume) درنظر گرفته می شود.
نکته 4: لازم به ذکر است که در تحلیل جامدات و سازه ها، عموماً از فرمول بندی لاگرانژی استفاده می شود که بیانگر یک روش تحلیل بسیار مؤثرتر و در عین حال طبیعی تر نسبت به فرمول بندی اولری می باشد. به عنوان مثال، با استفاده از یک فرمول بندی اولری برای تحلیل یک مسئله سازه ای با تغییر مکان های بزرگ، حجم های کنترل جدید به دلیل تغییر پیوسته مرزهای جسم جامد باید ایجاد گردند که دشواری های بسیار زیادی را در حل پیش می آورند.

28. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
با توجه به استفاده از نمادگذاری تانسوری در ایجاد فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی عناصر محدود، در ذیل به چند نمونه اشاره می شود:
نمایش یک بردار u در دستگاه مختصات دکارتی و در فضای سه بعدی با بردارهای پایه و و (بردار یک تانسور از مرتبه اول می باشد):
نکته: با توجه به اینکه i می تواند با هر اندیس پایین دیگری( به طور مثال j , k) بدون اینکه در نتیجه تغییری حاصل گردد، جایگزین شود، به آن شاخص ظاهری (Dummy Index) یا شاخص آزاد (Free Index) گفته می شود.
حاصل ضرب اسکالر دو بردار u و v :
نماد تانسوری
نمایش تانسور تنش :

29. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
در تحلیل نموی لاگرانژی (Lagrangian Incremental Analysis)، تعادل جسم در زمان Δt t+ را با استفاده از اصل تغییرمکان مجازی (Principle of Virtual Displacements) بیان می کنیم.

30. اصل تغییرمکان های مجازی:
4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ب) بیان مساله اصلی
اصل تغییرمکان های مجازی:
Cartesian components of the Cauchy stress tensor (forces per unit areas in the deformed geometry)
= component of externally applied forces per unit volume
at time t+Δt
= component of externally applied surface tractions per
unit area at time t+Δt
= surface at time t+Δt on which external tractions are applied =
= strain tensor corresponding to the
virtual displacements
= components of virtual displacement vector imposed on configuration at time t+Δt, a function of
=Cartesian coordinates of material point at time t+Δt
= Volume at time t+Δt

31. نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی:
4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ب) بیان مساله اصلی
نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی:
1- سمت چپ رابطه ارائه شده در بالا، کار مجازی داخلی(Internal Virtual Work) و سمت راست رابطه مذکور، کار مجازی خارجی(External Virtual Work) است.
2- رابطه مذکور همانند تحلیل تغییرمکان های بینهایت کوچک خطی است، ولی بافتار کنونی (Current Configuration) در زمان t+Δt ( با تنش ها و نیروها در آن زمان) مورد استفاده قرار می گیرد. لازم به ذکر است که در بیان رابطه مذکور فرض می شود که بارهای متمرکز سطحی وجود ندارند، به عبارت دیگر مؤلفه های تمامی بارهای سطحی را شامل می شوند.
3- توجه شود که مؤلفه های تانسور کرنش که متناظر با تغییرمکان های مجازی اعمال شده می باشند، مشابه مؤلفه های تانسور کرنش بینهایت کوچک می باشند ولی مشتقات نسبت به مختصات کنونی در زمان t+Δt می باشند.

32. نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی:
4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ب) بیان مساله اصلی
نکاتی چند در ارتباط با رابطه کارمجازی:
4- مشکلات اصلی در کاربرد اصل کار مجازی ارائه شده در بالا عبارتند از:
بافتار جسم در زمان t+Δt مجهول است(مشکل اصلی).
محاسبه تنش های Cauchy در مدت زمان t+Δt باید دوران های صلب جسمی (Rigid Body Rotation ) مصالح را نیز در نظر بگیرد. زیرا، مؤلفه های تانسور تنشCauchy هنگامی که تحت اثر یک دوران صلب جسمی قرار می گیرند، تغییر می کنند.
5- به دلیل تغییر بافتار جسم پیوسته در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ، باید به صورت ظریف و دقیق معیارهای مناسب تنش و کرنش و روابط مشخصه ای را بکار برد.

33. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
بنابر این داریم :
و بنابر این نمو تغییرمکان ها در زمان t+Δt به صورت زیر خواهد بود:
بافتار جسم
4- مختصات نقطه عمومی (Generic Point)
5- تغییر مکان ها
استفاده از یک نمادگذاری (Notation) مؤثر برای یک تحلیل عمومی تغییرشکل های بزرگ حائز اهمیت است زیرا، در تحلیل با کمیت های بسیاری مواجه هستیم. در ذیل به برخی نکات مهم و قراردادهای مورد استفاده در نمادگذاری بکار رفته در تحلیل تغییرشکل های بزرگ اشاره می نماییم.
محور مختصات
مختصات در زمان 0
1- حرکت جسم در یک دستگاه مختصات دکارتی ثابت درنظر گرفته می شود.
2- کلیه متغیرهای سینماتیک و استاتیکی در این دستگاه مختصات اندازه گرفته
می شوند.
3- برای توصیف تحلیل در همه جا از نمادگذاری تانسوری (Tensor Notation) استفاده
می شود.
مختصات در زمان t
مختصات در زمان t+Δt
بافتار جسم
محور مختصات
تغییرمکان در زمان 0
تغییرمکان در زمان t
تغییرمکان در زمان t+Δt

34. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
6- به هنگام حرکت جسم، حجم، سطح، چگالی جرم، تنش ها و کرنش ها به طور پیوسته تغییر می کنند. بنابر این داریم :
7- به علت نامعلوم بودن بافتار جسم در زمان t+Δt، تنش ها و کرنش ها را به یک بافتار تعادل معلوم ارجاع خواهیم داد. در این صورت اندیس پایین سمت چپ، معرف و نشانگر بافتار تعادلی خواهد بود که نسبت به آن کمیت مورد نظر تعیین می شود. به عنوان مثال:
چگالی جرم در زمان 0، t و t+Δt
سطح در زمان 0، t و t+Δt
حجم در زمان 0، t و t+Δt
نیروهای حجمی در زمان t+Δt نسبت به بافتار 0 اندازه گیری می شوند
نیروهای سطحی در زمان t+Δt نسبت به بافتار 0 اندازه گیری می شوند
نکته: اگر کمیت مورد نظر در زمانt+ Δt نسبت به بافتار مربوط به زمان t+Δt اندازه گیری شود، در این صورت نیازی به اندیس پایین سمت چپ نیست.

35. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته ب) بیان مساله اصلی
8- برای بیان مشتق گیری ها از نماد کاما(Comma Notation) استفاده می کنیم. در این نمادگذاری، مشتق گیری نسبت به مختصاتی که بعد از کاما می آید و اندیس پایین سمت چپ نشانگر زمان مربوط به بافتاری است که مختصات نسبت به آن بافتار اندازه گیری می شود.

36. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ) معیار کرنش Green-Lagrange (Green- Lagrange Strain Measure)
از طریق تعریف معیارهای کمکی کرنش و تنش(Auxiliary Stress and Strain Measures)
می توان با تغییر مداوم بافتار جسم که واقعیتی بدیهی در یک تحلیل تغییرشکل های بزرگ است، مواجهه نمود.
1- بیان کار مجازی داخلی بر حسب یک انتگرال در روی حجمی که معلوم است،
2- توانائی تجزیه نموی کرنش ها و تنش ها به طریقه ای مؤثر.
هدف از تعریف معیارهای کمکی تنش و کرنش
نکته: تانسورهای مختلف تنش و کرنشی وجود دارند که در اصل می توان از آنها استفاده
نمود ولی اگر هدف، یافتن یک روش حل عناصر محدود عمومی و موثر باشد، در این صورت معیارهای اندکی وجود دارند که باید در نظر گرفته شوند.
یکی از مهمترین و کارآمدترین معیارهای کرنش که در تحلیل غیر خطی عناصر محدود
از آن استفاده می شود، معیار کرنش Green-Lagrange است. برای تعریف معیار کرنش
Green-Lagrange لازم است که در ابتدا چند تعریف مبنایی و مقدماتی ارائه شوند:

37. تعریف گرادیان تغییرشکل
4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-1) تعریف گرادیان تغییرشکل(Deformation Gradient)
تعریف گرادیان تغییرشکل
از نقطه نظر مفهوم فیزیکی، گرادیان تغییرشکل، توصیف گر کشامدها(Stretches) و
دوران هایی (Rotations) می باشند که تارهای مصالح (Material Fibers) از زمان
0 الی زمان t متحمل می شوند. به عبارت دیگر:
طول کنونی عنصر خطی
طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان 0
طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان t
طول اولیه عنصر خطی

40. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-1) تعریف گرادیان تغییرشکل(Deformation Gradient)
گرادیان تغییرشکل معکوس(Inverse Deformation Gradient) ، در واقع با معکوس گرادیان تغییرشکل مساوی است. یعنی،
اثبات
فرض کنید که d0X طول دیفرانسیلی تار مادی در زمان 0 باشد. در این صورت با استفاده از مشتق گیری زنجیره ای، این طول دیفرانسیلی در زمان t به صورت زیر بدست می آید:
با استفاده از مشتق گیری زنجیره ای، نتیجه زیر حاصل می شود:
توجه شود که :
یا داریم:
گرادیان معکوس تغییرشکل

41. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-1) تعریف گرادیان تغییرشکل(Deformation Gradient)
به عنوان مثال، گرادیان تغییرشکل برای عنصر چهار گرهی شکل زیر که تحت اثر تغییرشکل های بزرگ قرار می گیرد را محاسبه می نماییم:
توابع درونیابی تغییرمکان برای این عنصر را بر حسب r و s به عنوان مختصات طبیعی می توان اسخراج کرد.
از آنجایی که و متناظر با r و s هستند، داریم:
بنابر این خواهیم داشت
و در نهایت گرادیان تغییرشکل به صورت زیر بدست می آید
اکنون از روابط زیر استفاده می کنیم:
مختصات نقاط گرهی در زمان t

42. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-2) تانسورهای تغییرشکل راست و چپ Cauchy-Green
با استفاده از تعریف گرادیان تغییرشکل، تانسور تغییرشکل راست و چپ Cauchy-Green را به صورت زیر تعریف می نماییم:
تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Green
(Right Cauchy-Green Deformation)
تانسور تغییرشکل چپ Cauchy-Green
(Left Cauchy-Green Deformation)
نکته: در حالت کلی و با یکدیگر برابر نیستند.
نکته: از گرادیان تغییرشکل در تعیین کشامد یک تار مادی و تغییر در زاویه بین
تارهای مادی مجاور هم به دلیل تغییرشکل استفاده می شود. در این محاسبه
از تانسور تغییرشکل راست Cauchy-Green استفاده می کنیم.

43. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-3) تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (Polar Decomposition)
یک خاصیت مهم گرادیان تغییرشکل، این است که می توان همواره آن را به حاصل ضرب منحصر به فرد(Unique Product) دو ماتریس تجزیه کرد:
ماتریس متقارن کشامد (Symmetric Stretch Matrix)
ماتریس متعامد که متناظر با یک دوران است
به تجزیه مذکور، تجزیه قطبی (Polar Decomposition) اطلاق می شود.
رابطه فوق را می توان به صورت مفهومی (Conceptually) به این صورت تفسیر کرد
که تغییرشکل کلی ابتدا از طریق اعمال کشامد و سپس دوران حاصل می شود. به
عبارت دیگر، می توان رابطه را به صورت نوشت که در
آن ،متناظر با یک زمان میانی مفهومی(Intermediate Conceptual Time) است.

44. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
پ-3) تجزیه قطبی گرادیان تغییرشکل (Polar Decomposition)
مثال: گرادیان تغییرشکل و تجزیه قطبی عنصر چهارگرهی زیر را در زمان t بدست آورید
حال اگر فرض نماییم که حرکت از زمان t به زمان t+Δt تنها شامل یک دوران صلب جسمی در خلاف جهت عقربه های ساعت و به اندازه 45 درجه باشد، در این صورت می توان گرادیان تغییرشکل را به صورت زیر بدست آورد:
برای تعیین گرادیان تغییرشکل در زمان t، می توان جهت سهولت از
استفاده کرد که در آن بافتار فرضی مفهومی متناظر با کشامد صرف تارها می باشد.
نکته: گرادیان تغییرشکل را مستقیماً می توانستیم از تعریف گرادیان تغییرشکل بدست آوریم

45. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
اکنون می توان تانسور کرنشی را که در تحلیل عناصر محدود حائز ارزش می باشد، تعریف نمود.
تانسور کرنش Green- Lagrange را می توان برحسب تانسور کشامد راست نوشت:

46. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
تانسور کرنش Green- Lagrange برحسب تانسور تغییر شکل Cauchy-Green به صورت زیر نوشته می شود:
مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrange را می توان برحسب تغییرمکان ها نوشت. روابط زیر را قبلاً ارائه داده ایم:
همچنین داریم:

47. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
اکنون می خواهیم به عنوان مثال را به دست آوریم:

48. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
بنابراین در حالت کلی را به صورت مؤلفه ای زیر می توان نوشت:
لازم به یادآوری است که در تعریف تانسور کرنش Green- Lagrange، تمامی مشتقات نسبت به مختصات اولیه ( Initial Coordinate) ذرات مادی می باشند. به این دلیل است که می گوییم، تانسور کرنش Green-Lagrange نسبت به مختصات اولیه جسم تعریف می شود.
- می توان نشان داد که مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrange تحت اثر یک دوران صلب جسمی مصالح ناوردا (Invariant) است یعنی:
مؤلفه های تانسور کرنش Green- Lagrange در زمان t به صورت زیر مشخص می شوند:
که در آن گرادیان تغییرشکل در زمان t است که متناظر با دستگاه مختصات ثابت و
می باشد.

49. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
فرض می کنیم که مصالح از زمان t تا زمان t+Δt تحت اثر یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد. در این صورت متناسب با دستگاه مختصات ثابت داریم:
که در آن R متناظر با دوران است. بنابراین خواهیم داشت:
ناوردایی تانسور کرنش Green- Lagrange درمثال زیر نشان می دهیم:
یک عنصر چهار گرهی را درنظر بگیرید که تا زمان t تحت کشامد قرار گرفته و سپس از زمان t تا t+Δt بدون اعوجاج، عنصر مذکور تحت یک دوران صلب جسمی قرار می گیرد:

50. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
(روش اول) مؤلفه های تانسور Green- Lagrange در زمان t را می توان از رابطه زیر
بدست آورد:
(روش دوم) مؤلفه های تانسور Green- Lagrange در زمان t را می توان از رابطه زیر نیز بدست آورد:

51. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
بعد از دوران صلب جسمی مختصات نقاط گرهی عبارتند از:
Node 1 2 3 4

52. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
با استفاده از روش مورد استفاده در تعیین برای عنصر چهارگرهی که تحت اثر
تغییرشکل های بزرگ قرار گرفته بود- با بکارگیری توابع درونیابی- می توان را به صورت زیر بدست آورد:
لازم به یادآوری است که از رابطه نیز می توانستیم را به صورت زیر بدست آورد

53. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff
(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)
اکنون که تانسور کرنش Green-Lagrange را تعریف نمودیم، حالا باید تانسور تنش مناسبی را که بتوان با این تانسور کرنش مورد استفاده قرار داد، تعریف نماییم.
یک معیار تنش که همراه با تانسور کرنش Green-Lagrange مورد استفاده قرار می گیرید و مزدوج کاری(Work- Conjugate) با آن تانسور کرنش می باشد، تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff می باشد که به صورت نمایش داده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:
چگالی جرمی(Mass density) در زمان 0
تانسور تنش Cauchy در زمان t
چگالی جرمی(Mass density) در زمان t
می توان را به راحتی بر حسب نوشت:

54. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff
(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)
تانسور تنش معرفی شده را می توان به صورت مؤلفه ای زیر نوشت:
نکته1: تانسور تنش نخست Piola-Kirchhoff به صورت تعریف می شود.
نکته2: مباحث فراوانی در مورد طبیعت فیزیکی تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff انجام شده است. اگرچه، می توان تبدیل انجام شده در روی تانسور تنش Cauchy –
به صورت را به برخی استدلالات هندسی ارتباط داد، ولی باید به این نکته اذعان نمود که تنش دوم Piola-Kirchhoff مفهوم و معنی فیزیکی اندکی دارد و در عمل تنش های Cauchy باید محاسبه شوند.

55. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff
(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)
همانند تانسور کرنش Green-Lagrange می توان ثابت نمود که مؤلفه های تانسور تنش دومPiola-Kirchhoff تحت اثر یک دوران صلب جسمی مصالح، ناوردا (Invariant) می باشند. به عبارت دیگر:
اگر یک دوران صلب جسمی به مصالح از زمان t تا زمان t+Δt اعمال کنیم، در این صورت گرادیان تغییرشکل به صورت زیر تغییر می کند:
به صورت زیر تعریف می شود:
با توجه به اینکه det [R]=1، از اینرو داریم:
همچنین داریم:

56. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff
(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)
با جایگذاری روابط بدست آمده در رابطه تانسورتنش دوم Piola-Kirchhoff داریم:
به هنگام دوران صلب جسمی مصالح، تانسور تنش Cauchy در زمان t+Δt به صورت زیر است:
در نهایت خواهیم داشت:
اکنون ناوردایی تانسورتنش دوم Piola-Kirchhoff را در مثال زیر نشان می دهیم:
شکل زیر یک عنصر چهار گرهی در بافتار مربوط به زمان t∆ را نشان می دهد. عنصر تحت اثر یک تنش اولیه قرار دارد. فرض کنید که عنصر مذکور در زمان 0 الی Δt به صورت دوران صلب جسمی با اندازه دوران پیدا کرده است و نیز تنش در دستگاه مختصات متصل به جسم(Body-attached coordinate system) تغییر ننموده است. بنابراین مقدار که در شکل نشان داده شده است با مساوی است. نشان دهید که مؤلفه های تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff در نتیجه یک دوران صلب جسمی تغییر نمی کند.

57. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ت) معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff
(Second Piola-Kirchhoff Stress Tensor)
تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff در زمان 0 با تانسور Cauchy مساوی است زیرا، تغییرشکل های عنصر مساوی صفر است. بنابراین داریم:
مؤلفه های تانسور Cauchy در زمان Δtکه در مختصات و بیان می شود عبارتند از:
با استفاده از مشتقات توابع درونیابی، خواهیم داشت:
تانسور تنش دوم Piola-Kirchhoff در زمان Δt عبارت است از:
که در این حالت داریم:
گرادیان تغییرشکل را به همان طریق مثال هاي ارایه شده در قسمت های قبلی به دست می آوریم. مختصات نقاط گرهی عنصر در زمان Δt عبارتند از:

58. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
پیش از بیان کار مجازی داخلی با استفاده از معیارهای تعریف شده برای تنش و کرنش، ابتدا جسمی را در بافتار تغییرشکل یافته اش در زمان t به گونه ای که در شکل زیر نشان داده شده است، در نظر می گیریم. مختصات کنونی ذرات مادی جسم و تغییرمکان های کنونی (Current displacement)، می باشند.
فرض می کنیم که یک میدان تغییرمکان مجازی(Virtual displacement field) به جسم
اعمال می شود که به صورت نمایش می دهیم. میدان تغییرمکان مجازی به عنوان
یک وردش(Variation) در تغییرمکان های کنونی درنظر گرفته می شود. به عبارت
دیگر ولی وردش در تغییرمکان های مجازی باید متناظر بایک تغییر در
مؤلفه های کرنش کنونی Green-Lagrange، باشد و نیز باید متناظر با یک تغییر در مؤلفه های تانسور کرنش باشد که به بافتار کنونی ارجاع داده می شود می خواهیم نشان دهیم که :
یا به صورت مؤلفه ای می خواهیم نشان دهیم که :

59. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
اکنون می توانیم رابطه کار مجازی داخلی را با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange بنویسیم:
حل: با توجه به تعریف داریم:
را به صورت زیر تعریف می کنیم(فرض می کنیم):
توجه داشته باشید که در رابطه آخر، از اصل بقای جرم و رابطه استفاده کرده ایم.
بدین ترتیب در واقع مزدوج کاری(Work – Conjugacy) معیار تنش دوم
Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange اثبات می شود.
در ارتباط با رابطه کار مجازی داخلی ارائه شده در بالا ذکر نکاتی چند ضروری است:

60. 4- فرمول بندی عمومی تحلیل غیرخطی محیط پیوسته
ث) رابطه کار مجازی داخلی با استفاده از معیار تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange
رابطه مذکور که به فرم مؤلفه ای نوشته شده است، در واقع یک معادله تانسوری است.
رابطه مذکور یک عبارت بنیادی برای فرمول بندی لاگرانژی کلی (Total Lagrangian Formulation) و فرمول بندی لاگرانژی به هنگام شده (Updated Lagrangian Formulation) است که در تحلیل نموی جامدات و سازه ها مورد استفاده قرار می گیرد.
انتگرال گیری ها روی حجم اولیه انجام می گیرد.
به جای بافتار اولیه، هر بافتار پیشین محاسبه شده ای را می توان مورد استفاده قرار داد که در آن تنش دوم Piola-Kirchhoff و معیار کرنش Green-Lagrange نسبت به آن بافتار تعریف می شوند.
به طور مشخص اگر بافتار مربوط به زمان مورد استفاده قرار بگیرد ، و مختصات در آن زمان را با نشان دهیم در این صورت از رابطه زیر استفاده می کنیم:
که در آن تنش های دوم Piola-Kirchhoff، و کرنش های Green-Lagrange، به
همان صورت پیشین تعریف می شوند ولی، به جای ، مختصات که متناظر با بافتار مربوط به زمان می باشند مورد استفاده قرار می گیرند.