1. Vzorčenje in statistično zaključevanje
Anja Podlesek
Podiplomski študij psihologije, Metodologija psihološkega raziskovanja

2. Populacija in vzorec posploševanje z vzorca na populacijo
opredelitev populacije in vzorca sestavljanje liste, s katere vzorčimo
reprezentativnost, nepristranskost vzorec ima podobne lastnosti kot populacija (enakost deležev)
velikost vzorca ekonomičen N, dopustna napaka vzorčenja, variabilnost pojava, pričakovana razlika, določitev N iz enačb za testiranje hipotez

3. Tehnike vzorčenja
Naključno vzorčenje vsak element ima enako možnost izbora v vzorec; visoka zunanja veljavnost; reprezentativnost ni garantirana; vrečka, tabele naključnih števil, Excel - Random Number Generation
Stratificirano vzorčenje razdelitev populacije na razrede, iz njih naključno / proporcionalno vzorčimo
Sistematično vzorčenje naključno določen začetek, korak n elementov
Vzorčenje klastrov naključen izbor klastra oziroma vzorčne enote, vzorec = vsi člani klastra
Večstopenjsko vzorčenje določimo večje klastre, naključno izberemo nekaj klastrov, naključno vzorčimo iz posameznega klastra
Priložnostni vzorec problem prostovoljnih udeležencev; kvotni vzorec

4. Vzorčne porazdelitve
Če iz definirane populacije izberemo vse možne vzorce velikosti N, lahko za vsak vzorec določimo statistike (npr. M, SD). Statistike se od vzorca do vzorca spreminjajo. vzorčne porazdelitve statistik
opisnih statistik vzorca, npr. M, var, p, r…
drugih izrazov, npr.
Vsako vzorčno porazdelitev lahko opišemo: Mstatistike SD = SEstatistike

5. Vzorčne porazdelitve frekvenčna porazdelitev spremenljivke SD M
vzorčna porazdelitev statistike
SEstatistike
Mstatistike

6. Standardne napake SEM = standardni odklon vzorčnih aritmetičnih sredin
= standardna napaka ocene m

7. Statistično zaključevanje
Izberemo vzorec.
Določimo statistiko (npr. M).
Posplošujemo z vzorca na populacijo.
ocenjevanje parametra Vprašanje: Kolikšen je parameter (m) v populaciji?
testiranje hipotez Vprašanje: Ali je M pomembno različna od neke vrednosti?

8. Ocenjevanje parametra
Vzorčna statistika je ocena populacijskega parametra.
Točkovna ocena parametra
nepristranska ocena - sredina vzorčne porazdelitve statistike je enaka ocenjevanemu parametru; vse mere centralne tendence, deleži, korelacijski koeficienti
pristranska ocena - mere razpršenosti
Intervalna ocena parametra
razpon vrednosti, znotraj katerega se bo populacijski parameter nahajal z določeno verjetnostjo = interval zaupanja

9. Ocenjevanje parametra
Intervalna ocena parametra
vzorčna porazdelitev
grafični
prikaz
kvantilov
1 - a
a / 2
SEM · zp
p = a / 2
SEM
sp
zg 
(npr. 90 % interval zaupanja pri  = 0,10)
interval zaupanja

10. Ocenjevanje parametra
Splošno intervalno ocenjevanje parametrov pri velikih vzorcih
SEG
Gpop
Gvz
vzorčna porazdelitev G je N.D. 1
N (0,1) z

11. Ocenjevanje parametra
Pri majhnih vzorcih
Vzorčna porazdelitev G je N.D. le, če je frekvenčna porazdelitev spremenljivke normalna.
preveriti
Ocena populacijske s se z večanjem vzorca vse bolj bliža
dejanski vrednosti s. Vzorčna porazdelitev razmerja
(glej desno) je t-porazdelitev,
ki je odvisna od stopenj prostosti.
SEG
Gpop 1

12. Ocenjevanje parametra
Interval zaupanja za m
df = N - 1
Interval zaupanja za s
sp. meja:
zg. meja:
df = N - 1
c21-p
c2p

13. Testiranje hipotez
Postavimo dve nasprotni si hipotezi (ničelno in alternativno).
Konstruiramo vzorčno porazdelitev (pod predpostavko pravilnosti ničelne hipoteze - MG , SEG).
Na osnovi vzorčne porazdelitve poznamo verjetnost pojavljanja določene vrednosti statistike.
Če je vrednost statistike verjetna (znotraj intervala zaupanja), ohranimo ničelno hipotezo.
Če je vrednost višja/nižja od zgornje/spodnje meje intervala zaupanja (pade v kritično regijo), ničelno hipotezo zavrnemo. (Pravilnost ničelne hipoteze je malo verjetna. Alternativna hipoteza je verjetnejša. Statistika našega vzorca se od poznanega / predpostavljenega parametra pomembno razlikuje.)

14. Testiranje hipotez Gpop Gvz H0: Gvz = Gpop H1: Gvz  Gpop z
SEG
H1: Gvz  Gpop
Gpop
Gvz 1 z
z > zkrit.
zkrit.

15. Napake pri statističnem zaključevanju
naš zaključek
r = 0
Gvz= Gpop
r  0
Gvz  Gpop
pravilna potrditev ničelne hipoteze
r = 0
Gvz= Gpop
a napaka
dejansko
stanje
pravilna zavrnitev ničelne hipoteze
r  0
Gvz  Gpop
b napaka

16. Napake pri statističnem zaključevanju
a napaka
zkrit.
zkrit. z z
zkrit.
b napaka

17. Izbor ustreznega statističnega testa
vrsta statistike
nivo merjenja
normalnost porazdelitve
enakost varianc
odvisni / neodvisni vzorci
majhni / veliki vzorci
vrednost ničelne hipoteze
nivo tveganja
enosmerno / dvosmerno testiranje
Neparametrični testi
pogosto pri majhnih vzorcih, pri omejenosti razpona, stališča (U-porazdelitev)
Pri intervalnih ali razmernostnih spremenljivkah z neparametričnimi testi ne upoštevamo vseh informacij - nižja moč testa (ničelno hipotezo, ki je napačna, težje ovržemo).

18. Raziskovalni načrti z 1 NV in 1 OV
primerjava vzorca s populacijo (primerjava vzorčne statistike s poznano ali predpostavljeno vrednostjo parametra)
primerjava statistik dveh vzorcev
primerjava statistik več vzorcev
Ali so vrednosti preveč različne?
Ali vzorci pripadajo isti populaciji?

19. Testiranje hipotez Povprečja N.D. parametrični testi 1 vzorec 2 vzorca
več vzorcev
neodvisna
odvisna
neodvisnih
odvisnih
t test
(one-sample)
t test
(independent
t test
(paired-samples)
enosmerna
ANOVA
(GLM - univariate)
enosmerna
ANOVA
(GLM -
repeated-measures)

20. Testiranje hipotez Povprečja ni N.D. neparametrični testi 1 vzorec
2 vzorca
več vzorcev
neodvisna
odvisna
neodvisnih
odvisnih
binomski
test
- Mann-
Whitneyev U
- medianski test
- Wilcoxonov
T test
(matched pairs)
- test predznakov
- Kruskal-
Wallisov H
- medianski test
Friedmanov
test

21. Testiranje hipotez - t test razlike med deleži - c2 o varianci
en vzorec: c2
dva vzorca: F test
o povezanosti
- t test za testiranje H0: r = 0
- Fisherjeva transformacija
in z test za testiranje H0: r = X
NOMINALNE
SPREMENLJIVKE
- t test razlike med deleži
- c2
o obliki porazdelitve
- c2 test
- preverjanje N.D.: c2 test
Kolmogorov-Smirnov
Shapiro-Wilksov test

22. Velikost učinka
kako zelo se vrednost statistike razlikuje od neke vrednosti (tj. sredine iz ničelne hipoteze) glede na razpršenost vrednosti spremenljivke (v populaciji iz ničelne hipoteze)
višina korelacijskega koeficienta
0,20 - majhen učinek
0,50 - srednje velik učinek
0,80 - velik učinek s0
0,10 - nizek r
0,30 - srednje visok r
0,50 - visok r

23. Testiranje hipotez o sredini
en vzorec
Testiranje hipotez o sredini
o aritmetični sredini:
df = N - 1
o mediani: ; majhni vz.: iz tabel binomskih verjetnosti
0.71 20 21 M
-2.01
-1.41 t

24. Testiranje hipotez o odstotkih
en vzorec
Testiranje hipotez o varianci
ocena populacijske
variance (korigirana
varianca vzorca)
poznana/predpostavljena
populacijska varianca

25. Testiranje hipotez o korelacijskih koeficientih
en vzorec
Testiranje hipotez o korelacijskih koeficientih
Testiranje hipoteze r = 0
Testiranje drugačnih hipotez o r - Fisherjeva transformacija r v zr

26. Testiranje razlik med aritmetičnima sredinama
dva neodvisna vzorca
Testiranje razlik med aritmetičnima sredinama
Parametrični test t test
Neparametrični testi Wilcoxonov test za neodvisna vzorca (Wilcoxonov R) Mann-Whitneyev U

27. t test za primerjavo sredin
dva neodvisna vzorca
t test za primerjavo sredin
Ali oba vzorca izhajata iz iste populacije? Je razlika med njunimi M ničelna? Ima NV vpliv na OV?
vzorčna distribucija razlik med pari M
standardna napaka razlik med M1 in M2
m1 - m2
M1 - M2
vrednost ničelne hipoteze (navadno 0)
df = N1 + N2 - 2

28. Primer t testa dva neodvisna vzorca za testiranje razlik med M
Pr.1 KS ES M
s’ var’
SEd = Sqrt (2.902/ /10) = 1.16
za testiranje
razlik med M
dveh vzorcev
z neenakima
variancama
uporabimo
drugačne df
t = ( ) / 1.16 = 2.97 df = = 18; t.05(18) = 2.101

29. Testiranje razlik med dvema m pri neenakih variancah
zaokrožimo

30. Wilcoxonov R in Mann-Whitneyev U test
dva neodvisna vzorca
Wilcoxonov R in Mann-Whitneyev U test
Statistiki temeljita na vsoti rangov namesto na M.
Vse dosežke rangiramo od najmanjšega do največjega. V vsakem vzorcu seštejemo range.
H0 : ni razlik med vsotama rangov (rangi so podobno porazdeljeni)
H1 : razlika obstaja, vsota rangov pri manjšem vzorcu je pomembno premajhna (rangi enega vzorca pomembno manjkrat predhodijo rangom drugega)
precej velika moč testa

31. rang točke spol
1 47 deček
2 50 deklica
3 52 deklica
4 53 deklica
5 56 deček
6 58 deček
7 61 deklica
8 66 deček
9 67 deklica
10 68 deček
11 69 deklica
12 70 deklica
13 71 deček
14 72 deklica paziti na
15 76 deklica vezane
16 78 deček range
Rdeklice = 77 Pri velikih vzorcih se Rdečki = 59 R porazdeljuje normalno.
R’dečki = 60 z vrednost
točke
deklice dečki
53 58
76 66
69 68
72 71
70 78
52 47
50 56 61 67
primerjati z Rkrit.

32. Testiranje razlik med variancama
dva neodvisna vzorca
Testiranje razlik med variancama
PARAMETRIČNI TEST: F test
F = večja s2 / manjša s2
F = H0 sprejmemo
F > 1.0 H0 zavrnemo
df = N-1 (pri obeh variancah)
NEPARAMETRIČNI TEST
O’Brien (1981)
Izvorne podatke transformiramo (Mtrans = var)
t test
Pr. 1 F = 8.41 / 5.15 = 1.63; df1 = 9, df2 = 9; F.05(9,9) = 4.03

33. Testiranje razlik med korelacijskima koeficientoma
dva neodvisna vzorca
Testiranje razlik med korelacijskima koeficientoma
S Fisherjevo transformacijo r vrednosti transformiramo v zr (vzorčna distribucija N.D.). Testiramo hipotezo, da med dvema r ni razlik.
Razlika med distribucijama (oblikama distribucij) v dveh vzorcih: Wald-Wolfowitz test homogenih nizov, Kolmogorov-Smirnov test za dva vzorca, Siegel-Tukeyev test

34. Testiranje razlik med aritmetičnima sredinama
dva odvisna vzorca
Testiranje razlik med aritmetičnima sredinama
Parametrični test test diferenc (t)
Neparametrični testi Wilcoxonov test za odvisna vzorca (W. test ekvivalentnih parov / Wilcoxonov T) test predznaka

35. Test diferenc Ali je med dvema meritvama prišlo do sprememb?
otrok znani neznani razlika (d)
A.A
B.B
C.C
Č.Č
D.D
E.E
F.F
G.G
H.H
I.I
M Md =
s’ Med =
SEM SDd =
SEd = / Sqrt(10) = 4.23 t = ( ) / 4.23 = df = N - 1 = 9; t.05(9) = 2.262
material
Pr.2
Ali je med dvema
meritvama prišlo
do sprememb?
= one-sample t test
(X razlike, mrazlik = 0)

36. Testiranje razlik med dvema m
dva odvisna vzorca
Testiranje razlik med dvema m
Testi za ponovljene meritve imajo večjo moč.
Pr.2
r = 0.300
t = ( ) / sqrt( *0.300*3.001*4.021) = = / sqrt (17.934) = -3.19

37. Wilcoxonov test ekv. parov
dva odvisna vzorca
Wilcoxonov test ekv. parov
Pri vsaki osebi izračunamo razlike med dosežkoma. Razlike uredimo po absolutnih vrednostih od najmanjše do največje, nato jim pripišemo pripadajoče predznake. Seštejemo pozitivne in negativne range.
H0: Mrazlik = 0 (oz. vsota pozitivnih rangov = vsota negativnih) H1: Vsoti sta različni.
Ali je T (nižja vsota rangov) manjša od kritične?
Test predznaka
Preštejemo pozitivne in negativne razlike. Nižje število primerjamo s kritičnim.

38. Wilcoxonov test ekvivalentnih parov
material
otrok znani neznani razlika
otrok abs.raz. rang predzn.rang
S+ = 5 … T
S- = 50
Pri velikih vzorcih se T statistika porazdeljuje normalno, s sredino N(N+1)/4 in standardno napako Sqrt(N(N+1)(2N+1)/24).
Ali je T manjši od kritične vrednosti?
Če da, zavrnemo ničelno hipotezo.

39. enosmerna analiza variance
več vzorcev
preverjanje razlik med aritmetičnimi sredinami več vzorcev:
enosmerna analiza variance

40. Enosmerna ANOVA več vzorcev
meritve v več pogojih (oz. vzorčenje iz več populacij); H0 : ni razlik med njihovimi m
neponovljene in ponovljene meritve
OV vsaj na intervalni merski ravni, N.D.
ocena variance SS df

41. Varianco lahko razstavimo na dva dela:
več vzorcev
Varianco lahko razstavimo na dva dela:
varianco napake, nastale zaradi napake merjenja (merski instrumenti), napake kontrole (zunanje spremenljivke), razlik med posamezniki
varianco, nastalo zaradi učinkov neodvisne spremenljivke

42. več vzorcev
MT = 7 SSznotraj-1 = 1(2-4)2 + 2(3-4)2 + 3(4-4)2 + 2(5-4)2 + 1(6-4)2 =12
SSznotraj-2 = 1(8-10)2 + 2(9-10)2 + 3(10-10)2 + 2(11-10)2 + 1(12-10)2 =12
SSmed = 9(4-7)2 + 9(10-7)2 = = 162
df znotraj = N - a = = 16 dfmed = a - 1 = = 1
MSznotraj = SSznotraj / dfznotraj = 24 / 16 = 1.5 MSmed = SSmed / dfmed = 162 / 1 = 162 F = 162 /1.5 = 108 F.05(1,16) = 4.49

43. Povzetek analize variance
več vzorcev
Povzetek analize variance
izvor variabilnosti SS df MS F p
NV , < ,001
napaka ,5
skupaj
Neodvisna spremenljivka je imela statistično pomemben učinek
na odvisno spremenljivko; F (1,16) = 108; MSE = 1,5; p < ,001.

44. Po analizi variance ANOVA - hipoteze so nespecifične
več vzorcev
Po analizi variance
ANOVA - hipoteze so nespecifične
Med katerimi mi obstajajo razlike?
primerjave a priori post hoc
vnaprej pričakujemo razliko ANOVA odkrije razliko
SSkontrast, df = 1, MS, F - Sheffejev test
dve m: - Tukeyev test Bonferronijeva prilagoditev a

45. Primerjava median Kruskal-Wallisov H test
več neodvisnih vzorcev
Primerjava median Kruskal-Wallisov H test
zvezna spremenljivka, ordinalna
Ali je porazdelitev (Me) v vseh vzorcih enaka?
Vse podatke rangiramo. Izračunamo vsote rangov v vsakem vzorcu in statistiko H. Primerjamo jo s c2p, df=a-1
Razširjeni medianski test Poiščemo skupno mediano vseh podatkov. Preštejemo, koliko podatkov posameznega vzorca pade pod / nad skupno mediano - c2 test (2*a tabela).

46. Kruskal - Wallisov test
glasba tišina hrup
6 5 3
4 7 2
4 8 1
rangirano:
7 6 3 Rj
Rj2
točke rang ozadje
1 1 hrup
2 2 hrup
3 3 hrup
4 4.5 glasba
5 6 tišina
6 7 glasba
7 8 tišina
8 9 tišina
Pri majhnih vzorcih - tablice.
Pri velikih vzorcih
= (12/(9*10))*(256/3+529/3+36/3)-3(9+1) = 6.49
c2,05(2) = 5.991

47. neparametrična alternativa analizi variance za ponovljene meritve
več odvisnih vzorcev
Primerjava median Friedmanov test
neparametrična alternativa analizi variance za ponovljene meritve
H0: ni razlik med medianami populacij
Rangiramo rezultate znotraj osebe in seštejemo range pri posameznem pogoju. Testna statistika c2F je podobna Kruskal-Wallisovi.

48. Friedmanov test = (12/(3*5*6))*(225+49+49+49+81)-3*3*6 = 6.4
parfum
oseba A B C D E
1 10(5) 8(4) 4(2) 5(3) 1(1)
2 10(5) 2(1) 3(2) 5(3) 8(4)
3 8(5) 5(2) 6(3) 4(1) 7(4) Rj
= (12/(3*5*6))*( )-3*3*6 = 6.4
c2(4) = 9.49
Pri velikih vzorcih:
Pri majhnih vzorcih - tablice.

49. Načrti z več NV = večfaktorski načrti
parametrični testi: dvosmerna ANOVA, trosmerna ANOVA
neparametrični testi: c2 za dve NV,
log-linearna analiza

50. Nominalni podatki

51. Statistično zaključevanje za frekvence
Opis: tabele, frekvenčni poligoni, histogrami
Običajna vprašanja: - enakost deležev kategorij pri več vzorcih - ujemanje dejanskih podatkov s pričakovanimi, testiranje hipotez o obliki porazdelitve - povezanost (interakcija) med dvema nominalnima spremenljivkama

52. c2 test za eno spremenljivko
Ali je višja pogostost ene kategorije slučajna?
pričakovane frekvence
H0: Populacijska frekvenčna distribucija je enaka pričakovani.
odstopanje dejanskih od pričakovanih vrednosti
… Pearsonov c2 - približek c2 distribucije
df = a - 1

53. Pogoji za uporabo c2 testa
ekskluzivnost kategorij
neodvisnost podatkov
ft > 5
Interpretacija c2
nespecifičen test
pretvorba v odstotke
pregled rezidualov - koliko se vsaka frekvenca razlikuje od pričakovane, doprinos k c2

54. Primer c2 testa za preverjanje pravokotnosti porazdelitve
Delež avtomobilov v 15 minutah, ki gredo v križišču levo, desno, naravnost
levo naravnost desno fe ft
rez
c2(2) = 28, p < .001

55. Odgovori fe ft fe-ft (fe-ft)2/ft (fe-ft)/Sqrt(ft)a b c d e
c2 = 9.778
c2.05(4) = 9.49

56. c2 test odvisnosti dveh spremenljivk
kontingenčna tabela
H0: Vpliv ene spremenljivke ni odvisen od druge spremenljivke (oz., na vseh nivojih ene sprem. so nivoji druge enako izraženi).
pričakovana frekvenca fe = fvrsta fstolpec / N
c2, df = (V-1)(S-1)
pregled rezidualov

57. vrsta robcev
papir tekstil
ženske Sv*
(29) (21)
(+1.192)* (-1.645)
moški
(-1.192) (+1.645)
c2 = (36-29)2/29 + (14-21)2/21 + (22-29)2/29 + (28-21)2/21 = = 8.05
df = (v-1)(s-1) = (2-1)(2-1) = 1
c2.05 (1) = 3.841
*SDrez = sqrt((100-50)/(100-58)) = sqrt(1.19) = rezidual = (36-29)/sqrt(29) = z = / = 1.192
Ss*

58. Odvisni vzorci, 2 x 2: McNemarjev test
primerjava frekvenc pri istem vzorcu na dveh meritvah
test 2
- +
test A* 55B B in C - neujemanje
- 25C 15D* A in D - neujemanje
*pričakovane frekvence: (A+D)/ polovica neujemanj -/+, polovica +/- c2 = (A-D)2 / (A+D) c2 = 100 / 20 = 5 ali
c2 = (5 - 10)2 / 10 + ( )2 / 10 = 5

59. Previdnost! pomembna mesta
Interpretacija izsledka naj upošteva značilnosti raziskovalnega načrta.
ni statistično pomembno = ni dokazano
Če ničelne hipoteze ne zavrnemo, to še ne pomeni, da je pravilna. Pri opazovanem pojavu ni bilo tako izrazitega učinka NV, da bi ga zaznali, kar ne pomeni, da zagotovo ne obstaja.

60. Osnovna literatura
Ferguson, G. A. (1998). Statistical analysis in psychology and education (3.izd.). New York: McGraw-Hill.
Graveter, F.J., in Wallnau, L.B. (2000). Statistics for the Behavioral Sciences (5.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Pagano, R.R. (2001). Understanding Statistics in the Behavioral Sciences (6.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Petz, B. (1997). Osnovne statističke metode za nematematičare (3. izd.). Jastrebarsko: Naklada Slap.
Spatz, C. (2001). Basic Statistics (7.izd.). Belmont, CA: Wadsworth/Thomson Learning.
Spiegel, M. R. (1991). Theory and problems of statistics (2. izd.). New York: McGraw - Hill.

61. http://193.2.70.110/katedre/PM/ Studij/
Three statisticians go deer hunting with bows and arrows.
They spot a big buck and take aim. One shoots and his
arrow flies off three meters to the right. The second shoots
and his arrow flies off three meters to the left. The third
jumps up and down yelling: “We got him! We got him!”