1. Fazna promena u k-GD-SAT problemu
Vesna Pavlović
prof. Predrag Janičić

2. SAT problem i fazna promena
L – broj klauza, N – broj promenljivih, s(N,L) – funkcija zadovoljivosti
Eksperimenti sugerišu da postoji fazna promena izmedju zadovoljivosti i nezadovoljivosti kako količnik L/N raste
Tačka fazne promene c0:

3. k-SAT model Na slučajan način generiše se L klauza dužine k
Svaka klauza se dobija slučajnim odabirom k različitih promenljivih iz skupa od N promenljivih, negiranjem svake sa verovatnoćom 0.5
NP-kompletan problem za k > 2

4. k-GD-SAT model Dužina klauze ima geometrijsku raspodelu
Klauze se generišu na osnovu sledeće stohastičke kontekstno-slobodne gramatike sa parametrom 0<p≤1
Verovatnoća generisanja klauze dužine l je p(1-p) l-k
Očekivanje dužine klauza u ovom modelu je k-1+1/p

5. Gornje granice za tačku fazne promene
Ako fiksiramo valuaciju (jednu od 2N mogućih), verovatnoća da je proizvoljna k-GD-SAT klauza njom zadovoljena je:
Stoga je očekivanje broja zadovoljivih valuacija za formulu sa L klauza i N promenljivih:

6. Gornje granice za tačku fazne promene
Postavljanjem uslova da je formula nezadovoljiva, tj. da je očekivani broj zadovoljivih valuacija o(1) dobijamo gornju granicu za tačku fazne promene:
Za k-SAT je pokazano da je gornja granica dobijena ovim metodom asimptotski bliska tački fazne promene, pa su naša očekivanja da tako nešto važi i za k-GD-SAT

7. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama
Pokazali smo da važi:
Cilj nam je da pokažemo da je rk asimptotski blisko rk*
X – slučajna promenljiva definisana za formulu Fk(n, r n) tako da X > 0 daje S  
Ako za dato r važi: tada je: rk ≥ r
X – broj zadovoljavajućih valuacija za F,
gde je 0 <  < 1, H(,F) broj zadovoljenih literala u F valuacijom  minus broj nezadovoljenih literala u F valuacijom , a S(F) je skup zadovoljavajućih valuacija za formulu F

8. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama

9. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama
Lema: Neka je  realna, pozitivna, dva puta diferencijabilna funkcija na intervalu [0,1] i neka važi:
Definišemo g na [0,1] kao:
Ako postoji max  (0,1) tako da je g(max)  gmax > g() za svako  max i g’’(max)<0 onda postoje konstante B, C > 0 tako da za dovoljno veliko n važi:

10. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama
Ako obeležimo sa:
Ono što je nama cilj jeste da nadjemo vrednost 0 za koju važi:
Nismo uspeli da nađemo vrednost za 0 kao funkciju parametra p za koju bi važila prethodna jednakost.
Za k-SAT ta vrednost je 0 = ½
Za k-GD-SAT vrednost za 0 nije konstantna za različite vrednosti za r i takođe zavisi od p

11. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama
Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti p (za k = 10 i r = 10, r = 50)

12. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – pomoću sheme sa težinama
Vrednosti za 0 numerički aproksimirane za različite vrednosti r (za k = 10 i p = 0.2, p = 0.5, p = 0.8)

13. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT
Formula F je NAE-zadovoljiva akko za valuaciju  važi da svaka klauza ima barem jedan literal koji je zadovoljen datom valuacijom i barem jedan literal koji nije zadovoljen datom valuacijom
Ovo zapisujemo kao   F
X – broj NAE-zadovoljivih valuacija za formulu F

14. Pokušaj utvrđivanja donjih granica za tačku fazne promene – za NAE-k-GD-SAT
Kod k-SAT problema imali smo da važi E[X]2 = N(1/2)n, ali
kod k-GD-SAT-a važi E[X]2 = N(1/2,p)n samo za p = 1
Vrednost  za koju funkcija N(1/2,p) dostiže svoj pik zavisi od p
p/2, 1-p/2

15. Oštar prag za k-GD-SAT
Fk,p(n,l) – k-GD-SAT formula, sa parametrom p, sa l klauza nad n promenljivih
i-klauza – klauza dužine i
Verovatnoća generisanja i-klauze je p (1-p) i-k
gk,p(n,r) – verovatnoća da je formula Fk,p(n,l) zadovoljiva
Teorema (Friedgut): Za svako k ≥ 2 postoji niz rk(n) tako da za svako  > 0 važi:
Teorema: Za svaku vrednost p  [0,1] i za svako k ≥ 2 postoji niz rk,p(n) tako da za svako  > 0 važi:

16. Oštar prag za k-GD-SAT Dvostruka modifikacija modela: km-GD-SAT model
Ograničiti dužinu klauza
Definisati odgovarajući prostor verovatnoće
km-GD-SAT model
Fmk,p(n,l) – za k  i  k+m i-klauza se bira sa verovatnoćom p(1-p)i-k m+k+1-klauza se bira sa verovatnoćom (1-p)m+1
gpm(n,r) – verovatnoća da je formula Fmk,p(n,rn) zadovoljiva
kḿ-GD-SAT model
Sve klauze se biraju sa jednakom verovatnoćom, pravimo kopije klauza
Tmk,p(n,l) – ukupan broj klauza
Hmk,p(n,l) – svaku od klauza biramo sa verovatnoćom l / Tmk,p(n,l)
Za k  i  k+m imaćemo q(p,i) kopija i-klauza, samo jedna kopija m+k+1-klauza, vrednosti q(p,i) biramo tako da je raspodela dužina klauza ista za formulu Fmk,p(n,l) i Hmk,p(n,l)

17. Oštar prag za k-GD-SAT Treba da važi: Dobijamo:
Naš cilj je dokazati da:
1. kḿ-GD-SAT ima oštri prag
2. km-GD-SAT ima oštri prag
3. k-GD-SAT ima oštri prag

18. Oštar prag za k-GD-SAT
Lema1: kḿ-GD-SAT ima oštri prag, tj. za svako p  (0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi:
Dokaz: Trebalo bi da ide slično dokazu za k-SAT.

19. Oštar prag za k-GD-SAT
Lema2: km-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p  (0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi: Dodatno, postoji konstanta M tako da za svako k, n i m važi da je
Dokaz: Imamo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako da za n > n0 važi: Dokažimo da za svako  > 0 i za svako  > 0 postoji n0 tako da za n > n0 važi: hk,pm,l – verovatnoća da je formula Hk,pm,l zadovoljiva pod uslovom da ima l klauza Važi:

20. Oštar prag za k-GD-SAT
Označimo sa P(i) verovatnoću da formula Hk,pm(n,rn) ima i klauza; tada važi: Tada za za dovoljno veliko n važi :

21. Oštar prag za k-GD-SAT

22. Oštar prag za k-GD-SAT
Važi: Obzirom da važi da je r n-1 < T/2, važi i P < ½ i time je dokaz završen.
Ovim postupkom smo mogli da pokažemo i da važi: Greška? - moguće je da se nizovi r(n) ne poklapaju za ova dva modela
Drugi deo tvrdjenja sledi iz toga da je tačka fazne promene manja ili jednaka od

23. Oštar prag za k-GD-SAT
Lema3: k-GD-SAT model ima oštri prag, tj. za svako p  (0,1] postoji niz rp(n) tako da za svako  > 0 važi:
Dokaz: - verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m verovatnoća da je formula Fp(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako su joj sve klauze dužine manje ili jednake k+m verovatnoća da je formula Fpm(n,l) zadovoljiva ako joj je barem jedna klauze dužine veće od k+m

24. Oštar prag za k-GD-SAT
Klauze dužine i, k  i  k+m se biraju sa istim verovatnoćama i u formuli Fk,p(n,l) i u Fmk,p(n,l), stoga važi:
Takodje važi:
Biramo proizvoljno  > 0; n0 biramo tako da za n > n0 važi sledeće:
Važi sledeći niz nejednakosti:

25. Oštar prag za k-GD-SAT

26. Oštar prag za k-GD-SAT Neka je m dovoljno veliko tako da važi:
Ono što želimo da dokažemo je:
Imamo da važi:
Znači dovoljno je da pokažemo: ‚tj.

27. Oštar prag za k-GD-SAT Važi: što smo i hteli da pokažemo.
Pokazali smo da za proizvoljno  > 0 postoji n0 tako da ako važi n > n0 onda je i:
Analogno se pokazuje i:

28. Literatura
Achlioptas, D., Peres, Y., The Threshold for Random k-SAT is 2klog2- O(k), Journal of the American Mathematical Society, Volume 17, Number 4, , 2004.
Friedgut, E., Bourgain, J., Sharp Thresholds of Graph Properties, and the k-SAT problem, Journal of the American Mathematical Society, Volume 12, Number 4, , 1999.
Achlioptas, D., Moore, C., Random k-SAT: Two Moments Suffice to Cross a Sharp Threshold, SIAM Journal of Computing, Volume 36, Number 3, , 2006.
Achlioptas, D., Kirousis, M., Kranakis, E., Krizanc, D., Rigorous results for random 2+p-SAT, Theoretical Computer Science, 265, , 2001.

29. Hvala na pažnji!