1. Model Rangkaian

2. Model Rangkaian Masalah Jalan Arah Terdekat (Shortest-Route Problem)
Masalah Pokok Rentang Minimum (Minimal Spanning Tree Problem)
Masalah Aliran Maksimum (Maximal Flow Problem)

3. Masalah Jalan Arah Terdekat (The Shortest Route Problem)

4. Masalah jalan arah terdekat (The shortest-route problem) adalah berkaitan dengan pencarian jalan terdekat didalam rangkaian dari satu nod (atau set nod) ke lain-lain-lain nod (atau set nod).
Jika semua lengkungan (arcs) didalam rangkaian mempunyai nilai bukan negatif maka algorithma melabel boleh digunakan untuk mencari jalan terdekat dari nod tertentu kepada semua lain-lain nod didalam rangkaian.
Kriteria untuk peminimuman didalam masalah jalan arah terdekat adalah tidak terhad kepada jarak walaupun terma “terdekat” digunakan didlam menerangkan tatacara. (walaupun masa atau kos tidak semestinya berkaitan dengan jarak)

5. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Nota: Kita akan gunakan tatatanda [ ] untuk mewakili nod label kekal dan ( ) untuk mewakili nod label sementara.
Langkah 1: Letakkan nod 1 sebagai label kekal [0,S]. Nombor pertama adalah jarak dari nod 1; nombor kedua adalah nombor nod sebelumnya. Oleh kerana nod 1 tidak mempunyai nod sebelumnya, ia dilabelkan sebagai S bagi nod permulaan.
Nod label sementara 2
Nod label kekal 4
(4,1) 1
[0,S]
Nombor nod
Jarak

6. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Langkah 2: Kirakan label sementara, (d,n), bagi nod yang boleh dicapai secara langsung dari nod 1
d = jarak langsung dari nod 1 ke nod yang hendak
dicari – ini dipanggil sebagai nilai jarak.
n = nod sebelumnya diatas jalan dari nod 1
– ia dipanggil sebagai nilai nod sebelumnya.

7. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Langkah 3: Kenalpasti nod label sementara dengan nilai jarak yang terkecil. Katakan ia nod k. Nod k sekarang dikenali sebagai nod label kekal (menggunakan kurungan [ , ] ). Jika semua nod telah mempunyai label kekal, PERGI KE LANGKAH 5.

8. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Langkah 4: Pertimbangkan semua nod tanpa label kekal yang boleh dicapai secara langsung dari nod k yang dikenalpasti dalam Langkah 3. Bagi setiap satunya, kirakan kuantiti t, dimana
t = (jarak lengkungan dari nod k ke nod i)
+ (nilai jarak pada nod k).

9. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Langkah 4: (sambungan)
Jika nod tidak berlabel kekal mempunyai label sementara, bandingkan nilai t dengan nilai jarak semasa pada nod label sementara yang hendak dicari.
Jika t < nilai jarak nod label semantara, gantikan label sementara dengan (t,k).
Jika t > nilai jarak nod label sementara, kekalkan label sementara semasa.
Jika nod label tidak-kekal tidak mempunyai label sementara, binakan label sementara of (t,k) bagi nod yang hendak dicari.
Didalam mana-mana kes, sekarang PERGI KE LANGKAH 3.

10. Algorithma Jalan Arah Terdekat
Langkah 5: Label kekal mengenalpasti jarak terdekat dari nod 1 kesetiap nod sebagaimana nod sebelumnya diatas jalan terdekat. Jalan terdekat bagi sestau nod boleh ditemui dengan berkerja dari arah belakang rangkaian dengan bermula pada sesuatu nod yang diberi dan bergerak kearah nod sebelumnya. Meneruskan tatacara ini dari nod sebelumnya akan memberikan jalan terdekat dari nod 1 ke nod yang hendak dicari.

11. Contoh
Carikan jalan arah terdekat dari nod 1 kesemua nod didalam rangkaian: 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3 1 5 2 6 4 6 8

12. Lelaran 1 Langkah 1: Tandakan Nod 1 sebagai nod label kekal [0,S].
Langkah 2: Oleh kerana Nod 2, 3, dan 4 berhubungan secara langsung dengan nod 1, tandakan label sementara sebagai:
(4,1) kepada Nod 2;
(7,1) kepada Nod 3; and
(5,1) kepada Nod 4.

13. Label sementara ditunjukkan sebagaimana berikut:
(4,1) 5 2 5 4 2 6 3 7 3 7 1 3
[0,S]
(7,1) 1 6 5 2 4 6
(5,1) 8
Lelaran 1: Langkah 3: Nod 2 merupakan nod label sementara yang terkecil dengan jarak (4), dan boleh menjadi nod label kekal yang baru

14. Label kekal ditunjukkan sebagaimana berikut:
[4,1] 5 2 5 4 6 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
(7,1) 1 5 2 6 4 6
(5,1) 8

15. Lelaran 1
Langkah 4: Bagi setiap nod dengan label sementara yang berhubungan dengan Nod 2 dengan hanya satu lengkungan, kirakan jumlah panjangnya lengkungan tambah nilai jarak Nod 2 (iaitu 4)..
Nod 3: = 7 (lebih basar dari label semasa; jangan diubah)
Nod 5: = 9 (letakkan label sementara kepada Nod 5 (9,2) oleh kerana nod 5 tiada label.)

16. Lelaran 1: Keputusan Langkah 4
[4,1]
(9,2) 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
(7,1) 1 5 2 6 4 6
(5,1) 8
Langkah 3: Nod 4 mempunyai jarak label sementara terkecil (5). Ia sekarang menjadi nod label kekal yang baru

17. Lelaran 2: Keputusan Langkah 3
[4,1]
(9,2) 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
(6,4) 1 5 2 6 4 6
[5,1] 8

18. Lelaran 2
Langkah 4: Bagi setiap nod dengan label sementara yang berhubungan dengan nod 4 oleh hanya satu lengkungan, kirakan jumlah panjangnya lengkungan tambah nilai jarak nod 4 (iaitu 5).
Nod 3: = 6 (gantikan label sementara nod 3 dengan (6,4) kerana 6 < 7, jarak semasa.)
Nod 6: = 13 (letakkan label sementara kepada nod 6 (13,4) kerana nod 6 tiada label.)

19. Lelaran 2: Keputusan Langkah 4
[4,1]
(9,2) 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
(6,4) 1 5 2 6 4 6
[5,1]
(13,4) 8
Lelaran 3: Langkah 3: Nod 3 mempunyai jarak label sementara terkecil (6). Ia menjadi nod label kekal yang baru

20. Lelaran 3: Keputusan Langkah 3
[4,1]
(9,2) 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[5,1]
(13,4) 8

21. Lelaran 3
Langkah 4: Bagi setiap nod dengan label sementara adalah dihubungkan dengan nod 3 oleh hanya satu lengkungan, kirakan jumlah jarak lengkungan tambah jarak ke nod 3 (iaitu 6).
Nod 5: = 8 (gantikan label sementara nod 5 dengan (8,3) oleh kerana 8 < 9, jarak semasa)
Nod 6: = 12 (gantikan label sementara nod 6 dengan (12,3) kerana 12 < 13, jarak semasa)

22. Leleran 3: Keputusan Langkah 4
[4,1]
(8,3) 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[5,1]
(12,3) 8
Lelaran 4: Langkah 3: Nod 5 mempunyai jarak label sementara terkecil (8). Ia sekarang menjadi nod label kekal yang baru.

23. Lelaran 4: Keputusan Langkah 3
[4,1]
[8,3] 5 2 5 4 6 3 2 7 3 7 1 3
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[5,1]
(12,3) 8

24. Lelaran 4
Langkah 4: Bagi setiap nod dengan label sementara yang berhubungan dengan nod 5 oleh satu lengkungan, kirakan jumlah jarak lengkungan tambah nilai jarak nod 4 ( iaitu 8).
Nod 6: = 11 (Gantikan label sementara dengan (11,5) oleh kerana 11 < 12, jarak semasa.)
Nod 7: = 14 (Tandakan)

25. Lelaran 4: Keputusan Langkah 4
[4,1]
[8,3] 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
(14,5)
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[5,1]
(11,5) 8
Lelaran 5: Langkah 3: Nod 6 mempunyai jarak label sementara terkecil (11). Ia sekarang menjadi nod label kekal:

26. Lelaran 5: Keputusan Langkah 3
[4,1]
[8,3] 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
(14,5)
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[11,5]
[5,1] 8

27. Lelaran 5
Langkah 4: Bagi setiap nod dengan label sementara yang berhubungan dengan Nod 5 oleh satu lengkungan, kirakan jumlah jarak lengkungan tambah nilai jarak Nod 6 (iaitu 11).
Nod 7: = 13 (gantikan label sementara dengan (13,6) oleh kerana 13 < 14, gunakan jarak semasa.)

28. Lelaran 5: Langkah 4 - Keputusan
[4,1]
[8,3] 5 2 5 6 4 3 2 7 3 7 1 3
(13,6)
[0,S]
[6,4] 1 5 2 6 4 6
[5,1]
[11,5] 8

29. Lelaran 6
Langkah 3: Nod 7 menjadi label kekal, dan oleh kerana semua nod sekarang mempunyai label kekal. Oleh itu teruskan ke Langkah 5.
Langkah 5: Ringkaskan dengan menyemak jalan terdekat dari arah belakang melalui label kekal.

30. Ringkasan Penyelesaian
Nod
Jarak Minimum
Jalan Terdekat 2 4
1-2 3 6
1-4-3 5
1-4 8 11 7 13

31. Contoh
[11,1]
(11,1)
(30,1)
[25,2] 14 2 5 20 11 30 8 9
(38,6)
[38,6]
(21,1)
(33,5)
[33,5]
[21,1] 21 15
[0,S] 1 4 6 5 8 33 15 19 13 12 26 3 7
(13,1)
[13,1]
(39,3)
[39,3]

32. Ringkasan Nod Jarak Minimum Jalan Terdekat 2 11 1-2 3 13 1-3 4 21 1-45 25
1-2-5 6 33 7 39
1-3-7 8 38

33. Masalah Pokok Rentang Minimum (Minimal Spanning Tree Problem)

34. Masalah Pokok Rentang Minimum
Pokok adalah set lengkungan yang berhubungan yang tidak membentuk pusingan.
Pokok rentang ialah pokok yang menghubungi semua nod didalam rangkaian.
Pokok rentang minimum adalah untuk menentukan jumlah minimum panjangnya lengkungan yang perlu untuk menghubungi semua nod didalam rangkaian.
Kriteria untuk peminimuman didalam masalah pokok rentang minimum adalah tidak terhad kepada jarak sahaja walaupun terma “terdekat” adalah digunakan didalam tatacara. Kriteria lain termasuklah masa dan kos (walaupun masa atau kos tidak semestinya berkaitan dengan jarak)

35. Algorithma Pokok Rentang Minimum
Langkah 1: Secara arbitrari mulakan dari mana-mana nod dan hubungkan dengan nod yang terdekat. Dua nod tersebut dirujukkan sebagai nod yang berhubungan, dan nod yang lain dirujukkan sebagai nod yang tidak berhubungan.
Langkah 2: Kenalpasti nod yang tidak berhubungan yang terletak berhampiran dengan nod yang berhubungan, Tambahkan nod baru ini sebagai nod yang berhubungan. Ulang langkah ini sehingga semua nod telah dihubungkan.
Nota: Masalah dengan n nod untuk dihubungkan akan memerlukan n-1 lelaran mengikut langkah diatas.

36. Cari Pokok Rentang Minimum:60 3 45 9 20 30 50 1 45 6 4 40 40 35 30 5 15 25 20 7 10 2 35 30 25 50 8

37. Lelaran 1: Secara arbitrari pilih nod 1, kita lihat nod yang terdekat ialah nod 2 (jarak = 30). Oleh itu, pada asalnya kita mempunyai:
Nod berhubungan :
1,2
Nod tidak berhubungan :
3,4,5,6,7,8,9,10
Lengkungan pilihan:
1-2

38. Lelaran 2: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 5 (jarak = 25 ke nod 2). Nod 5 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5
Nod tidak berhubungan :
3,4,6,7,8,9,10
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25

39. Lelaran 3: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 7 (jarak = 15 ke nod 5). Nod 7 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7
Nod tidak berhubungan :
3,4,6,8,9,10
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15

40. Lelaran 4: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 10 (jarak = 20 ke nod 7). Nod 10 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7,10
Nod tidak berhubungan :
3,4,6,8,9
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15
7-10 = 20

41. Lelaran 5: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 8 (jarak = 25 ke nod 10). Nod 8 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7,10,8
Nod tidak berhubungan :
3,4,6,9
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15
7-10 = 20
10-8 = 25

42. Lelaran 6: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 6 (jarak = 35 ke nod 10). Nod 6 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7,10,8,6
Nod tidak berhubungan :
3,4,9
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15
7-10 = 20
10-8 = 25
10-6 = 35

43. Lelaran 7: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 3 (jarak = 20 ke nod 6). Nod 3 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7,10,8,6,3
Nod tidak berhubungan :
4,9
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15
7-10 = 20
10-8 = 25
10-6 = 35
6-3 = 20

44. Lelaran 8: Nod tidak berhubungan yang hampir dengan nod yang berhubungan ialah nod 9 (jarak = 30 ke nod 6). Nod 9 menjadi nod berhubungan.
Nod berhubungan :
1,2,5,7,10,8,6,3,6
Nod tidak berhubungan : 4
Lengkungan pilihan:
1-2 = 30
2-5 = 25
5-7 = 15
7-10 = 20
10-8 = 25
10-6 = 35
6-3 = 20
6-9 = 30

45. Lelaran 9: Hanya nod 4 sahaja nod yang tidak berhubungan
Lelaran 9: Hanya nod 4 sahaja nod yang tidak berhubungan. Ia hampir dengan nod 6 (Jarak = 45)
Lengkungan
Jarak
1-2 30
2-5 25
5-7 15
7-10 20
10-8
10-6 35
6-3
6-9
6-4 45
Jumlah
245

46. Pokok Rentang Optimum 60 3 45 9 20 30 50 1 45 6 4 40 40 35 30 5 15 25 20 7 10 2 35 30 25 50 8

47. Putrajaya Wetland dengan kerjasama persatuan pencita haiwab ingin membina taman tema dikawasannya. Disamping fenomena kejayaan lawatan ke kawasan safari hidupan liar, terdapat lapan kawasan tema dikawasan tersebut.
Satu daripada masalah yang dihadapi oleh pihak pengurusan ialah untuk membentuk kaedah dimana setiap pengunjung secara berkesan dapat melawat disemua kawasan taman tema tersebut. Pengurusan mendapati tempat berjalan kaki boleh dibina pada kos RM50 semeter.
Jika rangkaian berikut mewakili jarak (dalam meter) diantara setiap kawasan taman tema tersebut dimana pelawat boleh bergerak kemana yang mungkin, tentukan kos yang minimum bagi sistem tersebut.

48. 2650 2 7
1890
650
2700
1620 6
2900
1200
830
910
1430
1470 1 3 8
3130
1400
4230
1690
810
1260
1750 5
1970
1570 4 9
3680

49. Penyelesaian Optimum
Nod
Mula
Tamat
Jarak
Jumlah
Kos 1 3
1,470
73,500 2
830
41,500 6
1,430
71,500 7
650
32,500 8
910
45,500 5
810
40,500 9
1,260
63,000 4
1,750
87,500
9,110
455,500

50. Masalah Aliran Maksimum (Maximal Flow Problem)

51. Masalah Aliran Maksimum
Masalah aliran maksimum adalah berkaitan dengan menentukan volum maksimum aliran dari satu nod (dipanggil sebagai sumber) ke nod lain (dipanggil sebagai sinki [sink])
Didalam aliran maksimum, setiap lengkungan mempunyai lengkungan aliran kapasiti maksimum yang membataskan aliran yang melalui lengkungan.

52. Algorithma Aliran Maksimum
Cari mana-mana jalan dari nod sumber ke nod sinki yang mempunyai aliran kapasiti positif (dalam arah aliran tersebut) untuk semua lengkungan diatas jalan tersebut. Jika tiada jalan yang ada, maka penyelesaian optimum dicapai.
Carikan kapasiti lengkungan yang terkecil, Pf diatas jalan yang dipilih dalam langkah 1. Tingkatkan aliran disepanjang rangkaian dengan menghantar sebanyak Pf, bagi jalan tersebut,
Bagi jalan yang dipilih didalam langkah 1, kurangkan semua aliran kapasiti lengkungan didalam arah aliran sebanyak Pf dan tingkatkan semua aliran lengkungan didalam arah yang berlawanan aliran sebanyak Pf. PERGI KE LANGKAH 1.

53. 3 3 2 5 2 4 2 4 3 3 1 4 4 3 7
Source
Sink 5 1 3 3 1 3 6 5 6

54. Lelaran 1 3 3 2 5 2 4 2 4 3 3 1 4 4 3 7
Source
Sink 5 1 3 3 1 3 6 5 6
{4,5,6,5} = nilai minimum = 4

55. 3 3 2 5 2 4 2 4 3 3 1 4 4 3 7
Source
Sink 1 1 3 4 7 1 3 6 1 2 4

56. Lelaran 2 3 3 2 5 2 4 2 4 3 3 4 4 1 3 7
Source
Sink 1 1 3 4 7 1 3 6 1 2 4
{4,3,4,3} = nilai minimum =3

57. 6 2 5 2 3 1 2 1 6 3 1 4 4 3 7
Source
Sink 1 1 3 4 7 1 3 6 1 2 4
{4,3,4,3} = nilai minimum =3

58. Lelaran 3 6 2 5 2 3 1 2 1 6 3 4 4 3 1 7
Source
Sink 1 1 3 4 7 1 3 6 1 2 4
{3,7,6,2} = nilai minimum =2

59. 6 2 5 3 3 2 1 4 2 3 1 4 4 3 7
Source
Sink 3 1 1 4 5 1 3 6 2 1 2 4
{3,7,6,2} = nilai minimum =2

60. Lelaran 4 6 2 5 3 3 2 1 4 2 3 4 4 3 1 7
Source
Sink 3 1 1 4 5 1 3 6 2 1 2 4
{1,2,1,1} = nilai minimum =1

61. 6 2 5 4 3 1 4 2 4 1 4 4 3 7
Source
Sink 2 1 1 5 6 1 3 6 2 1 5
Optimum

62. Ringkasan Penyelesaian Optimum
Lelaran
Jalan
Aliran
Terkumpul 1
1-> 4-> 3-> 6-> 7 4 2
1-> 2-> 5-> 4-> 7 3 7
1-> 3-> 4-> 5-> 7 9
1-> 2-> 4-> 3-> 6-> 7 10
Aliran rangkaian maksimum = 10

63. Start node
End node
Original Capacity
New Capacity
Difference
Capacity
Reverse Capacity 1 2 4 3 5 6 -3 -1 7

64. Aliran rangkaian maksimum = 103 2 5 2 4 1 1 4 3 1 4 7
Source
Sink 2 3 5 3 6 5
Aliran rangkaian maksimum = 10

65. Terima Kasih