1. Baltic Way: Skaitļu teorija
Pirmskaitļu izvietojums
Dažas bezgalīgas summas
Uzdevumi par pirmskaitļu izvietojumu
Pretrunas modulis
Uzdevumi par pretrunas moduli
Mazā Fermā teorēma
Kombinatorikas lietojumi skaitļu teorijā
Kāpinātāja pacelšanas lemmas (LTE – Lifting the Exponent Lemmas)
Uzdevumi par LTE

2. Bibliogrāfija
Sk. arī "Skaitļu teorijas" kursa mājaslapu: (1) Terry Tao, Yitang Zhang et. al. Bezgalīgi daudz pirmskaitļu pāru, kas atšķiras ne vairāk kā par 246 (līdz dvīņu pirmskaitļiem - t.i. starpībai 2 vēl nav nonākuši). (2) Mining bitcoin - Kriptovalūtas iegūšana skaitļošanas centrā (Iekšējā Mongolija). (3) un 2016.g. atlases sacensību uzdevumu atrisinājumi atjaunots (4) Baltic Way uzdevumi un atrisinājumi - Art of Problem Solving forums. (5) Lifting the Exponent (LTE) Lemma by Amir Hossein Parvardi

3. Pirmskaitļu izvietojums

4. A: Pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz
Apzīmējam visu pirmskaitļu kopu:
𝐏= 𝑝 1 , 𝑝 2 , 𝑝 3 , 𝑝 4 , 𝑝 5 , ⋯ = 2,3,5,7,11,⋯ .
Apgalvojums: Pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Pierādījums. No pretējā. Pieņemsim, ka pirmskaitļu ir galīgs skaits. Tad eksistē lielākais pirmskaitlis 𝑝 𝐾 , un visus pirmskaitļus (līdz lielākajam ieskaitot) var sareizināt. Aplūkosim šādu skaitli:
𝑆= 𝑝 1 ∙ 𝑝 2 ∙ 𝑝 3 ∙ ⋯ ∙ 𝑝 𝐾 +1
𝑆 nedalās ne ar vienu no pirmskaitļiem, kuri ir mūsu galīgajā sarakstā – dalot ar jebkuru 𝑝 𝑖 rodas atlikums 1. Tādēļ vai nu skaitlis 𝑆 pats ir pirmskaitlis, vai arī tas sadalāms vairāku pirmskaitļu reizinājumā (neviens no kuriem nav mūsu sarakstā). Iegūta pretruna. ∎

5. Eratostena režģis
(Bw – sk. tālāk – ir īpaša fragmenta meklēšana Eratostēna režģī.) Sākuma tabulā visi 𝑛>1. Algoritms atkārto 2 soļus: (1) Atzīmē mazāko neizsvītroto 𝑝 𝑘 kā pirmskaitli. (2) Izsvītro visus 𝑝 𝑘 daudzkārtņus. Nevienā gājienā neizsvītros visus (sk. iepriekšējo bildīti)
Pēc konstrukcijas spriežot, nav acīmredzami, ka vienmēr varēs izvēlēties mazāko neizsvītroto. Kas notiktu, ja pēc kāda gājiena izsvītrotu visus skaitļus? Bet tas nav iespējams, jo pirmskaitļu ir bezgalīgi daudz. Tādēļ Eratostena režģa konstrukcija turpināsies bezgalīgi.

6. B: Katram n eksistē n nepirmskaitļi pēc kārtas
Apgalvojums: Jebkuram n var atrast n pēc kārtas sekojošus skaitļus, kuri visi ir salikti. Pierādījums: Izvēlamies 𝑚 = 𝑛+1. Visi šie ir salikti skaitļi: 𝑚! + 2 = 2(𝑚!/2 + 1) 𝑚! + 3 = 3(𝑚!/3 + 1) … 𝑚! + 𝑚 = 𝑚(𝑚!/𝑚 + 1) Šo skaitļu ir 𝑚−1=𝑛. ∎ Ja 𝑛=7, tad 𝑚!= 7+1 !=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8= Tātad šie skaitļi: 40322,40323,40324,40325,40326,40327,40328 visi ir salikti (nav pirmskaitļi).

7. C: Dvīņu pirmskaitļu bezgalīgums nav zināms
Nav zināms, vai ir bezgalīgi daudz pirmskaitļu, kas atšķiras par 2. (Dvīņu pirmskaitļi). Dažām konstantēm 𝐶>2 pirmskaitļu pāru 𝑝 1 , 𝑝 2 , kuriem 𝑝 1 = 𝑝 2 −𝐶 ir bezgalīgi daudz (pirmie rezultāti parādījās ap 2013.g.). Sal. Terrence Tao lekciju -

8. D: Žozefa Bertrāna postulāts
Katram naturālam 𝑛>1, eksistē vismaz viens pirmskaitlis 𝑝, kam 𝑛 < 𝑝 < 2𝑛.
Pierādījumi: P.Čebiševs, Š.Ramanudžans, P.Erdešs u.c.
P.Erdešs u.c. matemātiķi apkopoja īsākos/vienkāršākos dažādu faktu pierādījumus īpašā izdevumā: "Proofs from THE BOOK" (tostarp arī Bertrāna postulāta pierādījumu).

9. E: Dirihlē teorēma par aritmētiskām progresijām
Teorēma: Ja 𝑎 un 𝑑 ir savstarpēji pirmskaitļi (𝐿𝐾𝐷(𝑎,𝑑)=1), tad ir bezgalīgi daudzi pirmskaitļi formā 𝑎+𝑛𝑑, kur 𝑛 ir naturāls skaitlis.

10. Dažas bezgalīgas summas

11. Naturālo skaitļu apgriezto lielumu rindas
⋯ Teorēma: Šī bezgalīgā summa (saukta arī par harmonisko rindu) diverģē: katrai konstantei 𝐶 atrodas skaitlis 𝑁, ka saskaitot pirmos 𝑁 summas locekļus, rezultāts pārsniedz 𝐶. Pierādījums: Katru 1 𝑛 , ja 𝑛 nav pilna divnieka pakāpe, samazinām līdz nākamajam 1 𝑚 , kur 𝑚 ir divnieka pakāpe: ⋯
Augošām rindām diverģence faktiski nozīmē, ka summa ir bezgalīga – saskaitot pietiekami daudzus locekļus, tā pāraugs jebkuru iepriekš uzdotu skaitli.
Šajā piemērā izveidojam bezgalīgi daudzas saskaitāmo grupiņas, kuras visas ir vismaz $\frac{1}{2}$. Saskaitot neierobežoti daudzus pozitīvus skaitļus, kas visi lielāki par $\frac{1}{2}>0$, pārsniegsim jebkuru iepriekš dotu rezultātu.

12. Harmoniskā rinda, kam daļu locekļu izsvītro (1)
Ja izsvītro visus locekļus, kuri satur ciparu "9" (vai pēc kārtas ciparus "2017" tieši šādā secībā), tad atlikušie harm. rindas locekļi konverģē, t.i. tuvojas kādam galīgam skaitlim.
Var novērtēt no augšas ar ģeometrisku progresiju.
Saskaitām:
Ir 8 vienciparu skaitļi bez cipara "9".
Ir 8∙9=72 divicparu skaitļi bez cipara "9".
Ir 8∙9∙9=648 trīsciparu skaitļi bez cipara "9". ...

13. Harmoniskā rinda, kam daļu locekļu izsvītro (2)
1 1 +⋯ ⋯ ⋯ ⋯ Katrās iekavās aizstājam visus saskaitāmos ar pašu lielāko (pirmo): 8∙ ∙9 ∙ ∙9∙9 ∙ ⋯= 𝑏 1 1−𝑞 = 8 1− 9 10 =80. Pēdējās vienādībās izmantojām ģeometriskas progresijas summu: 𝑏 1 + 𝑏 1 𝑞+ 𝑏 1 𝑞 2 +⋯= 𝑏 1 1−𝑞 .

14. Pirmskaitļu apgriezto lielumu rindas diverģence
Ja atstāj tikai pirmskaitļu apgrieztos lielumus, tad iegūtā rinda diverģē: ⋯ T.i. šī summa kļūst neierobežoti liela. (Īsi sakot, pirmskaitļu blīvums lielu skaitļu vidū samazinās, bet pirmskaitļu ir būtiski vairāk nekā skaitļu, kuru decimālpierakstā nav cipara "9".) Sal. (L.Eilera un P.Erdeša pierādījumi. P.Erdeša pierādījums izmanto kombinatoriku, nevis mat. analīzi.)

15. Uzdevumi par pirmskaitļu izvietojumu

16. BwTst2015 (D4, Uzd.1)
Vai eksistē tādi pozitīvi reāli skaitļi 𝑎 un 𝑏, ka 𝑎𝑛+𝑏 ir pirmskaitlis visām naturālām n vērtībām? (Ar 𝑥 apzīmē 𝑥 veselo daļu, t.i. lielāko veselo skaitli, kurš nepārsniedz 𝑥. Piemēram, 3.14 =3, bet −3.14 =−4).

17. Uzdevuma apgalvojuma kvantoru pieraksts
Ja apzīmējam kopas: ℝ - reālie skaitļi, ℕ - naturālie skaitļi un 𝐏 – pirmskaitļi, tad BwTst2015.D4.1 uzdevums nozīmē noskaidrot šī apgalvojuma patiesumu: ∃𝑎,𝑏∈ℝ ∀𝑛∈ℕ 𝑎𝑛+𝑏 ∈𝐏 . T.i. vai (eksistē tādi reāli 𝑎, 𝑏), ka (ikvienam naturālam 𝑛), (apakšējā veselā daļa 𝑎𝑛+𝑏 ir pirmskaitlis). Kvantoru pieraksts pats par sevi nepalīdz atrisināt uzdevumu, tomēr tas ir viens veids, kā nodrošināt rūpīgu uzdevuma teksta izlasīšanu.

18. Kvantoru secība ir svarīga
Dažādu veidu kvantorus nevar mainīt vietām. Ja, teiksim, 𝐂 apzīmē visu cilvēku kopu, bet 𝑇(𝑎,𝑏) ir attiecība "Cilvēks 𝑎 ir tēvs cilvēkam 𝑏", tad šie divi izteikumi apgalvo dažādas lietas:
∀𝑥∈𝐂 ∃𝑦∈𝐂 𝑇(𝑦,𝑥) - katram cilvēkam eksistē tēvs
∃𝑦∈𝐂 ∀𝑥∈𝐂 𝑇(𝑦,𝑥) - eksistē visu cilvēku kopīgais tēvs (Eksistē tāds 𝑦∈𝐂, ka ikvienam 𝑥∈𝐂, 𝑦 ir 𝑥'a tēvs.
Vienāda veida kvantorus: ∀↔∀ un arī ∃↔∃ (kamēr tie atrodas blakus un nav "jāpārlec" pretējam kvantoram) var mainīt vietām.

19. "BwTst2015" ilustrācija ar lineāru vienādojumu
Vērtības noapaļo uz leju līdz tuvākajam veselajam skaitlim. Divām blakusesošām n vērtībām (𝑛 un 𝑛+1) vērtības 𝑓(𝑛) un 𝑓(𝑛+1) nevar atšķirties vairāk kā par konstanti 𝑎+2. Bet tā kā atstarpes starp pirmskaitļiem var būt cik patīk lielas – pretruna. (Sk. agrāku bildīti "Katram n eksistē n nepirmskaitļi pēc kārtas")
𝑓(𝑛)
𝑓 𝑛 = 𝑎𝑛+𝑏 𝑛

20. Neveiksmīgi mēģinājumi "pirmskaitļu formulai"
Minētais uzdevums par izteiksmi, kas dod tikai pirmskaitļus ( 𝑎𝑛+𝑏 , kur 𝑎, 𝑏 ir reāli) atspoguļo ilgstošus centienus atrast pirmskaitļu formulu. Fermā hipotēze: Fermā skaitļi 2 2 𝑛 +1 ir pirmskaitļi. (Patiess apgalvojums, ja 𝑛=0,1,2,3,4. Turpmāk – vairs nē.) Izteiksme 𝑛 2 +𝑛+41 pieņem pirmskaitļu vērtības, ja 0≤𝑛<40. Sk.

21. Bw2016.2 ("Baltic Way" olimpiāde, 2016.g. rudens, 2.uzdevums)
Pierādīt vai atspēkot sekojošus apgalvojumus. (a) Visiem 𝑘 ≥ 2, jebkura 𝑘 pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu virkne satur skaitli, kas nedalās ne ar vienu pirmskaitli, kas ir mazāks par 𝑘. (b) Visiem 𝑘 ≥ 2 , jebkura 𝑘 pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu virkne satur skaitli, kas ir savstarpējs pirmskaitlis ar visiem pārējiem šīs virknes locekļiem.

22. Risinājuma plāna soļi
(G.Polya. How to Solve it.)
First, you have to understand the problem.
After understanding, make a plan.
Carry out the plan.
Look back on your work. How could it be better?
Džordžs Poija.
Vispirms – jālasa un jāsaprot uzdevums.
Pēc saprašanas jāveido risināšanas plāns.
Plānu īsteno.
Atskatās uz paveikto. Vai to var uzlabot?

23. Uzdevuma abi apgalvojumi izteikti ar kvantoriem
∀𝑘∈ℕ, 𝑘≥2 ∀ 𝑎 0 ∈ℕ ∃𝑖∈ℕ,0≤𝑖≤𝑘−1 ∀𝑝∈𝐏, 𝑝<𝑘 𝑎 0 +𝑖 nedalās ar 𝑝 (a) Visiem 𝑘 ≥ 2, jebkura 𝑘 pēc kārtas sekojošu naturālu skaitļu virkne (kas sākas ar 𝑎 0 ) satur skaitli 𝑎 0 +𝑖 , kas nedalās ne ar vienu pirmskaitli, kas ir mazāks par 𝑘. Analoģiski var uzrakstīt arī apgalvojumu (b) no "Bw2016.2".

24. Risināšanas plāns
Kad uzdevums ir saprasts (un pārrakstīts ar kvantoriem), varam domāt par risinājuma plānu.
Vai apgalvojumi loģiski izriet viens no otra?
Kas notiek, ja 𝑘=2, 𝑘=3 utt.?
Kāds izskatās šī apgalvojuma noliegums?
∀𝑘∈ℕ, 𝑘≥2 ∀ 𝑎 0 ∈ℕ ∃𝑖∈ℕ,0≤𝑖≤𝑘−1
∀𝑝∈𝐏, 𝑝<𝑘 𝑎 0 +𝑖 nedalās ar 𝑝
∃𝑘∈ℕ, 𝑘≥2 ∃ 𝑎 0 ∈ℕ ∀𝑖∈ℕ,0≤𝑖≤𝑘−1
∃𝑝∈𝐏, 𝑝<𝑘 𝑎 0 +𝑖 dalās ar 𝑝
noliegums

25. Kas vēl vajadzīgs, lai risinājums būtu pabeigts?

26. Ķīniešu atlikumu teorēma
Vai var atrast tādu N, kas dod vajadzīgos atlikumus (0,0,4,0,6,0) dalot attiecīgi ar (2,3,5,7,11,13). Skaitlis, kas dalās ar 2,3,7 un 13 ir daudzkārtnis to reizinājumam: 546∙𝑘. Varam piemeklēt 𝑘 tā, lai dalot ar 5 atlikums būtu 4. Ir spēkā 546 mod 5 = 1. T.i. ņemam četrreiz lielāku: 2184 mod 5 = 4. Tas pats skaitlis dos arī vajadzīgo atlikumu (=6) dalot ar 11. Vispārīgā veidā šis rezultāts pazīstams kā ķīniešu atlikumu teorēma.

27. Ķīniešu atlikumu teorēma
Teorēma: Doti 𝑚 1 , ⋯, 𝑚 𝑘 - ir naturāli skaitļi, kuri ir pa pāriem savstarpēji pirmskaitļi un 𝑀= 𝑚 1 ⋯ 𝑚 𝑘 ir viņu reizinājums. Tad katram veselu skaitļu komplektam 𝑥 1 ,⋯, 𝑥 𝑘 ir tieši viena kongruenču klase 𝑥 (𝑚𝑜𝑑 𝑀), kurai 𝑥≡ 𝑥 𝑖 (mod 𝑚 𝑖 ), kur 𝑖= 1,𝑘 .

28. Ilustrācija atlikumu teorēmai
Saliekot rindās pa 3, paliek pāri 1
Pretējā virzienā: Lineāras kongruences pēc salikta skaitļa var pārveidot par vairāku kongruenču sistēmu (sarkanā bultiņa strādā abos virzienos): 𝑥≡1 (mod 3) 𝑥≡2 (mod 5) 𝑥≡3 mod 7 ⟺ 𝑥≡52 (mod 105)
Saliekot rindās pa 5, paliek pāri 2
Saliekot rindās pa 7, paliek pāri 3
Var pamatot, ka mazākais šāds skaitlis ir 52

29. Pretrunas modulis

30. Pamatideja
Ja vienādojumam veselos skaitļos eksistē atrisinājums (t.i. izpildās vienādība), tad vienādības abas puses būs kongruentas pēc jebkura skaitļa moduļa – t.i. dos vienādus atlikumus. Var sašaurināt meklējumu telpu vai vispār pierādīt atrisinājuma neesamību.

31. Veselo skaitļu aritmētika – operācijas div un mod.
Veseliem skaitļiem ne vienmēr var izpildīt parasto dalīšanas darbību. Tādēļ ieviesīsim divas jaunas darbības – "div" (dalījuma veselā daļa) un "mod" (atlikums). Piemēri:
17 div 3=5
17 mod 3=2
−17 div 3=−6
−17 mod 3=1
Atlikumi, dalot ar skaitli 𝑚 vienmēr ir nenegatīvi no intervāla 0,1,…,𝑚−1 . Dalot ar 3, atlikumi ir 0,1,2 .

32. Tipisks piemērs
Atrisināt vienādojumu veselos skaitļos: 𝑎 2 =8𝑏+5. Acīmredzot, a ir nepāru skaitlis: 𝑎 = 2𝑘+1. Aplūkojam atlikumu, ko abas vienādības puses dod, dalot ar 8: 𝑎 2 ≡5 (𝑚𝑜𝑑 8). Tā kā a ir nepāru, izsakām 𝑎=2𝑘+1. Ievietojam: 2𝑘+1 2 =4 𝑘 2 +4𝑘+1= =4 𝑘 2 +𝑘 +1=4𝑘 𝑘 Vai nu 𝑘 vai 𝑘+1 ir pāru skaitlis, t.i. 4𝑘(𝑘+1) dalās ar 8. Tātad atlikumu 5 nevar dabūt.

33. Bw2016.1 (Baltic Way olimpiāde, 2016.g., 1. uzdevums)
Atrast visus pirmskaitļu pārus (𝑝, 𝑞), kuriem 𝑝 3 − 𝑞 5 = 𝑝+𝑞 2 .

34. Eksperimenti ar nelieliem pirmskaitļiem
Eksperimenti ar nelieliem pirmskaitļiem. Ja sanāks atrisinājums, tad 𝑝 vai 𝑞 varēs izmantot par pretrunas moduli.
Ne vienmēr pretruna sanāk uzreiz (kā "tipiskajā piemērā" par nepāra skaitļa kvadrāta atlikumiem, dalot ar 8).

36. Kuri atlikumu pārīši der

37. Bw2016.3 (Baltic Way, 2016.g. rudens, 3. uzdevums)
Kuriem naturāliem 𝑛 = 1,…,6 vienādojumam 𝑎 𝑛 + 𝑏 𝑛 = 𝑐 𝑛 +𝑛 eksistē atrisinājums veselos skaitļos? Atrisinājuma fragments: Aplūkosim 𝑎 5 + 𝑏 5 = 𝑐 Aplūkosim atlikumus, ja abas vienādības puses, dala ar 11. Kreisajā pusē 𝑎 5 vai 𝑏 5 var pieņemt jebkuru atlikumu 0,1 vai 10, dalot ar 11. (To var pamatot, kāpinot piektajā pakāpē visus 11-a atlikumus 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10). Tātad 𝑎 5 + 𝑏 5 atlikums var būt 9,10,0,1 vai 2. Bet 𝑐 5 +5 atlikums var būt 4, 5 vai 6. Iegūta pretruna.

38. Mazā Fermā teorēma
Kā var uzminēt, ka piektās pakāpes izdevīgi dalīt ar 11? Teorēma: Ja 𝑝 ir pirmskaitlis, tad katram 𝑎, kurš nedalās ar 𝑝 ir spēkā sakarība: 𝑎 𝑝−1 ≡1 (𝑚𝑜𝑑 𝑝) Piemērs: 𝑎 10 ≡1 (mod 11), ja vien a nedalās ar 11. Attiecīgi divreiz mazāka pakāpe 𝑎 5 būs tāda, lai tās kvadrāts dotu atlikumu 1, dalot ar 11. Tādi ir tikai divi atlikumi: 1 un 10 (jeb −1).

39. Mazās Fermā teorēmas pierādījums
Aplūkojam visus skaitļus 1,2,⋯,𝑝−1 . Piereizinām tos visus ar 𝑎. Iegūsim 1𝑎,2𝑎,⋯, 𝑝−1 𝑎 . Nav iespējams, ka diviem dažādiem 𝑖,𝑗∈ 1,2,⋯,𝑝−1 izpildās 𝑖𝑎≡𝑗𝑎 (mod 𝑝). Citādi sanāktu, ka 𝑎(𝑖−𝑗) dalās ar 𝑝, un 𝑝 nav pirmskaitlis. Tādēļ 1𝑎,2𝑎,⋯, 𝑛−1 𝑎 satur visas tās pašas kongruences klases, ko 1,2,⋯,𝑝−1 (iespējams, citā secībā). Sareizinot visas kongruences klases vienā un otrā pusē, dabūsim, ka 𝑝−1 ! 𝑎 𝑝−1 ≡ 𝑝−1 ! (mod 𝑝) Saīsinām ar faktoriālu (kurš nevar dalīties ar 𝑝). Iegūstam Mazās Fermā teorēmas apgalvojumu.∎

40. Kombinatorikas lietojumi

41. Cits Mazās Fermā teorēmas pierādjums
Izvēlamies 𝑝=7 un 𝑎=3. Pamatosim, ka 𝑎 𝑝−1 ≡1 (mod 𝑝) No 3 krāsām izveidojam visas 7-pērlīšu krelles. To ir Atskaitām trīs vienkrāsainās krelles. Iegūstam 3 7 −3. Citas krelles var apvienot ekvivalences klasēs, kas savietojas ar pagriezieniem pa leņķiem 2𝜋 7 . Tādēļ 3 7 −3 dalās ar 7.
Šajā pierādījumā izmantota gan interpretācija (skaitļu teorijas uzdevums aizstāts ar kombinatorisku); gan arī apsvērums par to, ka tas, ko var saskaitīt, noteikti ir vesels skaitlis.

42. Bw2016.11 (Baltic Way olimpiāde, 2016.g. Rudens, 11. uzdevums)
Kopa 𝐴 sastāv no 2016 dažādiem skaitļiem, visi šo skaitļu pirmreizinātāji ir mazāki par 30. Pierādīt, ka kopā 𝐴 var atrast tādus 4 dažādus skaitļus 𝑎, 𝑏, 𝑐 un 𝑑, ka 𝑎𝑏𝑐𝑑 ir naturāla skaitļa kvadrāts.

43. Risinājuma plāns
Izskatās pēc skaitļu teorijas uzdevuma; faktiski – kombinatorikas uzdevums (lietojam reizināšanas likumu un Dirihlē principu).
Divus skaitļus ierakstām vienā ekvivalences klasē, ja kāpinātāji pie visiem 10 pirmskaitļiem <30 (2,3,5,7,11,13,17,19,23,29) ir ar vienādu paritāti (abi pāra vai abi nepāra). Ekvivalences klašu ir =1024.
Tālāk pamatojam, ka no 2016 skaitļiem varēs izvēlēties 𝑎 un 𝑏 no vienas paritātes klases (un tāpat arī 𝑐 un 𝑑). Tad abcd saturēs visus pirmreizinātājus pāru pakāpēs.

44. Erdeša-Sekereša teorēma
Naturāliem skaitļiem 𝑟 un 𝑠, jebkura dažādu (reālu) skaitļu virkne, kurā ir vismaz (𝑟−1)(𝑠−1) + 1 locekļi, satur vai nu monotoni augošu apakšvirkni garumā 𝑟 vai arī monotoni dilstošu apakšvirkni garumā 𝑠.

45. Piemērs Erdeša-Sekereša teorēmas ilustrēšanai
Uzdevums: Vai var atrast tādus 𝑛 un 𝑎, ka aplūkojot atlikumu virkni: 1∙𝑎 mod 𝑛 2 +1 , 2∙𝑎 mod 𝑛 2 +1 , … 𝑛 2 ∙𝑎 mod 𝑛 2 +1 , tajā nebūs monotonu (stingri augošu vai dilstošu) virkņu, kas garākas par 𝑛 locekļiem.

46. BwTst2016. Day1. 6 (Baltic Way atlases sacensības, 2016. g. , 1
BwTst2016.Day1.6 (Baltic Way atlases sacensības, 2016.g., 1.diena 6.uzd.)
Dots naturāls skaitlis 𝑛, kuram var atrast pirmskaitli, kas ir mazāks nekā 𝑛 un kas nav 𝑛 dalītājs. Virkne 𝑎 1 , 𝑎 2 ,⋯, 𝑎 𝑛 ir skaitļi 1,2,…,𝑛 sakārtoti kaut kādā secībā. Šai virknei atradīsim garāko augošo apakšvirkni 𝑎 𝑖 1 < 𝑎 𝑖 2 <⋯< 𝑎 𝑖 𝑘 , ( 𝑖 1 <⋯< 𝑖 𝑘 ) un garāko dilstošo apakšvirkni 𝑎 𝑗 1 > 𝑎 𝑗 2 >⋯> 𝑎 𝑗 𝑙 , ( 𝑗 1 <⋯< 𝑗 𝑙 ). Pierādīt, ka vismaz viena no šīm divām apakšvirknēm 𝑎 𝑖 1 , 𝑎 𝑖 2 ,⋯, 𝑎 𝑖 𝑘 un 𝑎 𝑗 1 , 𝑎 𝑗 2 ,⋯, 𝑎 𝑗 𝑙 satur skaitli, kas nav 𝑛 dalītājs.

47. LTE lemmas (nepāru pirmskaitlim 𝑝)
Sk. \url{

48. Vispārīgais jautājums – par pirmskaitļa indeksu
Mums dots skaitlis 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 vai 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 (atsevišķos gadījumos 𝑥 𝑛 −1 vai 𝑥 𝑛 +1). Ar kādu lielāko pirmskaitļa p pakāpi tas dalās? To apzīmē ar 𝜈 𝑝 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 vai ind 𝑝 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 (Funkciju sauc par 𝑝-indeksu (p-adic valuation).) Nav definēta skaitlim 0. Papildu pieņēmums: 𝑥 un 𝑦 paši nedalās ar 𝑝.

49. 𝒙 𝒏 − 𝒚 𝒏 ar interesantiem decimālpierakstiem
UKMO2013: Skaitlis pierakstīts decimālās sistēmas bāzē satur ciparus 3; citu ciparu skaitļa pierakstā nav. Atrast augstāko skaitļa 3 pakāpi, kas dala šo skaitli. Vai var «vispārināt» dalīšanās pazīmi – sak, ja ciparu summa dalās ar 3 𝑛 , tad arī pats skaitlis dalās ar 3 𝑛 ?

50. Eilera t. dod (neprecīzu) apakšējo novērtējumu
Ar kādu vislielāko pirmskaitļa 𝑝 pakāpi dalās 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 ? Novērtējumu var dabūt ar Eilera teorēmu: 𝑥 𝑝−1 − 𝑦 𝑝−1 ≡1−1≡0 mod 𝑝 𝑥 𝑝 2 −𝑝 − 𝑦 𝑝 2 −𝑝 ≡1−1≡0 𝑚𝑜𝑑 𝑝 2 … jo … 𝜑 𝑝 =𝑝−1 𝜑 𝑝 2 = 𝑝 2 1− 1 𝑝 = 𝑝 2 −𝑝 Piemēram, −1≡0 (𝑚𝑜𝑑 81). Tieši 72 deviņnieki decimālpierakstā – noteikti dalās ar 81
\url{
Cerība trāpīt Eilera teorēmai nav liela.

51. Ar kādām pirmskaitļu pakāpēm dalās 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛
Šis attēls parāda nolobīšanas paņēmienu.

52. Pirmskaitļa kārta
Dots pirmskaitlis 𝑝. Lielāko veselo skaitli 𝑘≥0, kuram 𝑛 dalās ar 𝑝 𝑘 sauc par pirmskaitļa 𝑝 kārtu un apzīmē ar 𝑣 𝑝 𝑛 .
Zīmējumā dots grafiks funkcijai $v_3(n)$. Intervālā $[1,100]$ šī funkcija tikai vienu reizi pieņem vērtību $4$. Jo $81$ dalās ar $3^4$. Visiem citiem argumentiem vērtības ir $0$, $1$, $2$, $3$.

53. Kas notiek, ja 𝑝 | 𝑥−𝑦 (un attiecīgi 𝑝 | 𝑥+𝑦 )
Lemma #1: Dots, ka 𝑥 un 𝑦 ir veseli skaitļi un 𝑛 ir naturāls skaitlis. Tad jebkuram pirmskaitlim 𝑝, kam gcd⁡(𝑛,𝑝)=1, 𝑝 dala 𝑥−𝑦, bet 𝑝 nedala ne 𝑥 ne 𝑦, izpildās sakarība: 𝑣 𝑝 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = 𝑣 𝑝 (𝑥−𝑦) Pierādījuma ideja: Sadala reizinātājos 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 , ievieto 𝑦≡−𝑥 (mod 𝑝) un pārliecinās, ka otrā iekava ir kongruenta ar 𝑛 𝑥 𝑛−1 , t.i. nedalās ar 𝑝. Lemma #2: Ja iepriekšējā lemmā 𝑝 dala 𝑥+𝑦 (nevis 𝑥−𝑦) un 𝑛 ir nepāru, tad: 𝑣 𝑝 𝑥 𝑛 + 𝑦 𝑛 = 𝑣 𝑝 (𝑥+𝑦)

54. Kāpinātāja pacelšanas lemma (jeb LTE), ja 𝑝>2
Lemma #3 (LTE): Skaitļi 𝑥 un 𝑦 ir veseli (ne obligāti pozitīvi); 𝑛 ir naturāls un 𝑝 – nepāru pirmskaitlis, kam 𝑝 | 𝑥−𝑦, savukārt 𝑥 un 𝑦 nedalās ar 𝑝 (t.i., 𝑝∤𝑥 and 𝑝∤𝑦). Tad izpildās: 𝑣 𝑝 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = 𝑣 𝑝 𝑥−𝑦 + 𝑣 𝑝 𝑛 . Piemērs: Zīmējam grafiku: 𝑓 𝑛 = 𝑣 3 10 𝑛 −1 .
LTE – Lifting the Exponent Lemma.

55. 1 41 =0. 024390243902439…=0. 02439 (5-ciparu periods) 1 17 =0
1 41 = …= (5-ciparu periods) 1 17 = (16-ciparu periods) Kā prognozēt ciparu skaitu periodā? Pārveidosim bezgalīgo daļskaitli, izmantojot ģeometrisko progresiju: …=2439∙ ⋯ = 2439∙ 10 − − −15 +⋯ = 2439∙ 10 −5 1− 10 −5 = T.i = un dalās ar 41.

56. Piemērs: Ja uzrakstītu skaitli ar 5∙ 41 2 =8405 deviņniekiem, tad lielākā skaitļa 41 pakāpe ar ko tas dalās būtu: 𝑣 ∙ 41 2 − 1 5∙ 41 2 = 𝑣 − 𝑣 − 𝑣 =1+2=3. Ievērosim, ka LTE lemmu nevar pielietot uzreiz izteiksmei 10 5∙ 41 2 − 1 5∙ 41 2 , jo 10−1 nedalās ar 41. Toties −1 = dalās ar 41.

57. Bw2015.16 (Baltic Way 2015.g. Olimpiāde, 16.uzdevums)
Ar 𝑃(𝑛) apzīmējam lielāko pirmskaitli, ar ko dalās 𝑛. Atrast visus naturālos skaitļus 𝑛 ≥ 2, kam 𝑃 𝑛 + 𝑛 =𝑃 𝑛+1 + 𝑛+1 .

58. LTE lemmas, ja 𝑝=2

59. Kāpinātāja pacelšanas lemma (jeb LTE), ja 𝑝=2
Lemma #4 (LTE priekš 𝑝=2): Skaitļi 𝑥 un 𝑦 ir divi veseli nepāru skaitļi un 𝑛 ir pozitīvs pāru skaitlis. Tad 𝑣 2 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = 𝑣 2 𝑥−𝑦 + 𝑣 2 𝑥+𝑦 + 𝑣 2 𝑛 −1 Piezīme: Ja 𝑛 ir pozitīvs nepāru skaitlis, tad 𝑣 2 𝑥 𝑛 − 𝑦 𝑛 = 𝑣 2 𝑥−𝑦 (Sk. Lemmu #1).

60. Uzdevums 2.9
Uzdevums 2.9 (Valsts4Posms ): Dots naturāls skaitlis 𝑎>2. Pierādīt, ka eksistē tikai galīgs skaits tādu naturālu 𝑛, ka 𝑎 𝑛 −1 dalās ar 2 𝑛 . Izvēlamies «patvaļīgu naturālu skaitli» 17. Aprēķinām tā dažādās pakāpes un to dalāmību ar 2.
Domas par to, kāds ir "patvaļīgs naturāls skaitlis" mēdz atšķirties. Ir iespējamas spēles ar jauktu (varbūtisku) stratēģiju, kur jānosauc skaitļi $1$, $2$, $5$ (ar dažādām varbūtībām).
**Šādas spēles piemērs:** Divi spēlētāji $A$ un $B$ iedomājas katrs savu naturālu skaitli – apzīmēsim šos skaitļus ar $a$ un $b$. Ja abi skaitļi ir vienādi, tad rezultāts ir neizšķirts. Citādi uzvar tas spēlētājs, kurš nosaucis skaitli, kurš ir vai nu $x \in (1;3)$ reizes lielāks nekā pretinieka skaitlis, vai arī skaitli, kurš ir vairāk nekā trīs reizes mazāks nekā pretinieka skaitlis. Kā pareizi jāspēlē, lai uzvarētu? (Pamatot, ka stratēģija, kuru pretinieks nevar pārspēt, var saukt skaitļus $1$, $2$ un $5$ ar noteiktām varbūtībām. Atrast šīs varbūtības!)
A.Andžāna olimpiāžu pulciņu dalībnieki par šādu nejaušu naturālu skaitli uzskatīja $17$, tas nereti tika pirmais izmēģināts, lai pārbaudītu dažādus apgalvojumus. Tas nav tik mazs, lai būtu triviāls, bet nav arī tik liels, lai nevarētu veikt aprēķinus. Savukārt romāna *The Hitchhiker's Guide to the Galaxy* cienītāji par šādu skaitli bieži min $42$.

61. Salīdzinājums 𝒗 𝟐 𝒏 un 𝒗 𝟐 𝟏𝟕 𝒏 −𝟏

62. Salīdzinājums 𝒗 𝟐 𝒏 un 𝒗 𝟐 𝟏𝟕 𝒏 −𝟏

63. 𝒗 𝟐 𝟏𝟓 𝒏 −𝟏

64. Bw2015.17 (Baltic Way, 2015.g. 17.uzdevums)
Atrast visus naturālos skaitļus 𝑛, kuriem 𝑛 𝑛−1 −1 dalās ar bet nedalās ar