1. Algoritmet e Renditjes
Leksion 4

2. Renditja me Nderfutje
Renditja me nderfutje eshte nje algoritem efikas per te renditur nje numer te vogel elementesh. Renditja me nderfutje vepron ne menyre te ngjashme me menyren se si shume njerez zakonisht i rendisin letrat:
Fillojme me doren e majte boshe dhe letrat jane te permbysura mbi tavoline.
Me pas ne heqim nje leter nga tavolina dhe e vendosim ate ne pozicionin e duhur ne doren e majte.
Per te gjetur pozicionin e duhur per nje leter, ne e krahasojme ate me secilen prej letrave qe i kemi ne dore, nga e djathta ne te majte.
Ne çdo moment, letrat ne doren e majte jane te renditura dhe keto letra ishin fillimisht ne maje te stives se letrave mbi tavoline.

3. Renditja me Nderfutje INSERTION-SORT(A) 1 for j ← 2 to length[A] do
2 key ← A[j]
3 // Insert A[j] into the sorted sequence A[1.. j - 1].
4 i ← j - 1
5 while i > 0 and A[i] > key do
6 A[i + 1] ← A[i]
7 i ← i - 1
8 A[i + 1] ← key

4. Renditja me Nderfutje
Pseudokodi per renditjen me nderfutje paraqitet si nje procedure e quajtur INSERTION-SORT, e cila merr si nje parameter nje vektor A[1..n] qe permban nje sekuence me gjatesi n qe duhet renditur. (Ne kod numri n i elementeve ne A paraqitet nga length[A].)
Ne çdo hap numrat input jane te renditur ne vend: numrat zhvendosen brenda vektorit A, me te shumten nje numer konstant te tyre te ruajtur jashte vektorit. Vektori input A permban sekuencen output te renditur kur perfundon procedura INSERTION-SORT.

5. Shembull 1: Renditja me Nderfutje

6. Shembull 2: Renditja me Nderfutje
Shembull mbi renditjen me nderfutje 9 4 3 7 6 5 8
Bashkesia origjinale me 7 numra te plote pozitive.
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te nderfusim vleren 3
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te nderfusim vleren 7
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te nderfusim vleren 6
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te nderfusim vleren 5
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te nderfusim vleren 8
Bashkesia e vlerave e renditur ne rendin rrites

7. Saktesia e Algoritmit - Invarianti
Zakonisht ne perdorim nje invariant te ciklit per te na ndihmuar te kuptojme pse nje algoritem jep pergjigjen e sakte.
Invarianti i Ciklit: Ne fillim te çdo iteracioni te ciklit “te jashtem” for (ciklit te indeksuat nga j), nenvektori A[1 . . j −1] perbehet nga elementet qe ndodheshin fillimisht ne A[1 . . j − 1] por te renditur ne rendin rrites.

8. Saktesia e Algoritmit - Invarianti
Per te perdorur nje invariant cikli ne menyre qe te vertetojme saktesine, duhet te tregojme 3 gjera rreth tij:
Inicializimi: Invarianti eshte i vertete perpara iteracionit te pare te ciklit.
Mirembajtja: Nese eshte i vertete perpara nje iteracioni te ciklit, ai mbetet i vertete perpara iteracionit pasardhes te tij.
Perfundimi: Kur cikli mbaron, invarianti, zakonisht se bashku me arsyen se cikli mbaroi, na jep nje veçori qe ndihmon te tregojme qe algoritmi eshte i sakte.

9. Saktesia e Algoritmit - Invarianti
Perdorimi i invariantit te ciklit eshte si induksioni matematik: • Per te vertetuar qe nje veçori ruhet, ju vertetoni nje rast baze dhe nje hap induktiv. • Vertetimi qe invarianti ruhet, perpara iteracionit te pare eshte si rasti baze. • Vertetimi qe invarianti ruhet nga njeri iteracion tek tjetri eshte si hapi induktiv. • Pjesa e perfundimit ndryshon nga perdorimi i zakonshem i induksionit matematik, ne te cilin hapi induktiv perdoret ne infinit. Ne e ndalojme “induksionin” kur cikli perfundon. • Ne mund t’i vertetojme te tri pjeset ne çfaredolloj rendi.

10. Invarianti per Renditjen me Nderfutje
Inicializimi: Perpara iteracionit te pare, j = 2. Nenvektori A[1 . . j − 1] eshte elementi i vetem A[1], i cili eshte elementi qe ndodhej fillimisht ne A[1], dhe ai eshte i renditur. Mirembajtja: Per te qene me preciz, neve na duhet te percaktojme dhe te vertetojme nje invariant cikli per “ciklin e brendshem” – ciklin while. Ne vend qe te gjejme nje invariant tjeter te ciklit, ne verejme qe blloku i instruksioneve brenda ciklit while, vepron duke levizur A[ j − 1], A[ j − 2], A[ j − 3], e keshtu me radhe, me nga nje pozicion djathtas derisa gjendet pozicioni i sakte i çelesit (i cili ka vleren qe ndodhej fillimisht ne A[ j ]). Ne kete moment, vlera e çelesit vendoset ne ate pozicion. Perfundimi: Cikli i jashtem perfundon kur j > n; kjo ndodh kur j =n+1. Prandaj, j −1 = n. Duke zevendesuar j −1 me n ne invariantin e ciklit, kemi qe nenvektori A[1 . . n] perbehet nga elementet fillestare te vektorit A[1 . . n] por te renditur. Me fjale te tjera i gjithe vektori eshte i renditur!

11. Si e analizojme kohen e ekzekutimit te nje algoritmi?
Koha e ekzekutimit te algoritmit varet nga inputi.
• Renditja e 1000 numrave kerkon me shume kohe se renditja e 3 numrave.
• Nje algoritem renditjeje mund te kerkoje sasi kohe te ndryshme mbi dy inpute te se njejtes madhesi. Psh: do te shohim renditja me nderfutje kerkon me pak kohe per te renditur n elemente kur ato jane qe ne fillim te renditur, sesa kur ato jane te renditur ne rendin e kundert.
Rasti me i mire i renditjes me nderfutje:
vektori fillestar eshte i renditur
Rasti me i keq i renditjes me nderfutje:
vektori fillestar eshte i renditur ne rendin e kundert

12. Madhesia e inputit
Madhesia e inputit: Varet nga problemi qe po studiohet. • Zakonisht eshte numri i elementeve ne input. Si psh: madhesia n e vektorit qe po renditet. • Por mund te jete edhe diçka tjeter. Psh: ne rastin e shumezimit te dy numrave te plote, mund te jete numri total i biteve ne te dy numrat. • Mund te pershkruhet nga me shume se nje numer. Psh, koha e ekzekutimit e algoritmeve mbi grafet, zakonisht shprehet ne varesi te numrit te kulmeve dhe numrit te harqeve te grafit qe jepet si input.

13. Koha e ekzekutimit
Per nje input te caktuar, koha e ekzekutimit, eshte numri i veprimeve primitive (hapave) qe ekzekutohen.
• Na duhet te percaktojme hapat qe te jene te pavarur nga lloji i makines.
• Verejme qe çdo rresht i pseudokodit kerkon nje sasi konstante kohe.
• Nje rresht mund te kerkoje sasi te ndryshme kohe ne krahasim me nje rresht tjeter, por çdo ekzekutim i rreshtit i kerkon te njejten sasi kohe ci .
• Kjo eshte e vertete nese supozojme se rreshti perbehet vetem nga veprime primitive.
Nese rreshti perbehet nga nje thirrje procedure, atehere thirrja e procedures kerkon kohe konstante, por ekzekutimi i saj mund te mos kerkoje nje kohe konstante.
Pra nese rreshti nuk ka veprime primitive, atehere ai mund te kerkoje me teper se koha konstante.

14. Analiza e Renditjes me Nderfutje

15. Analiza e Renditjes me Nderfutje
• Supozojme se rreshti i j-te kerkon kohen e ekzekutimit ci qe eshte konstante. (Meqe rreshti i trete eshte koment, ai nuk kerkon kohe per t’u ekzekutuar.)
• Per j = 2, 3, , n, le te jete tj numri i hereve qe ekzekutohet testi i ciklit while, per ate vlere te j-se.
• Vini re qe kur ekziston nje cikel for ose while (per shkak te testit ne fillim te ciklit) testi ekzekutohet nje here me shume se trupi i ciklit.

16. Analiza e Renditjes me Nderfutje
Koha e ekzekutimi varet nga vlerat e tj .

17. Analiza – Rasti me i mire
Rasti me i mire: vektori eshte i renditur qe ne fillim
• Te gjitha tj jane 1.
• Koha e ekzekutimit eshte:
T (n) mund te shprehet si an + b per konstantet a dhe b (qe varet nga kostot e shprehjeve ci).
Pra T (n) eshte nje funksion linear i n-se.

18. Analiza – Rasti me i keq
Rasti me i keq: vektori eshte i renditur ne rend te kundert
• Duhet te krahasojme key me te gjithe elementet ne te majte te pozicionit te j-te -> krahasohet me j − 1 elemente.
• Meqe cikli while ekziston sepse i arrin vleren 0, ka nje test shtese pas j − 1 testeve -> tj = j .

19. Analiza – Rasti me i keq Duke shenuar k=j-1 kemi:
Pra koha e ekzekutimit te algoritmit eshte:
Pra T (n) mund te shprehet si an2 + bn + c per konstgantet a, b, c (qe perseri varen nga kostot e shprehjeve) -> T (n) eshte nje funksion kuadratik i n-se.
Renditja me nderfutje eshte e rendit n2

20. Renditja me flluska
Metoda e flluskave bazohet, edhe kjo, ne ndarjen e bashkesise se vlerave ne dy nenbashkesi nga te cilat ajo e djathta eshte e renditur dhe hap pas hapi asaj i bashkangjitet majtas elementi me i madh i nenbashkesise se majte.
Kjo renditje shkemben ne menyre te perseritur elementet fqinje qe nuk jane te renditur.
BUBBLESORT(A)
1 for i ← 1 to length[A] do
for j ← 2 to length[A] – i+1 do
if A[j] < A[j - 1]
then exchange A[j] ↔ A[j - 1]

21. Shembull – Renditja me flluska
Shembull mbi renditjen me flluska 9 4 3 7 6 5 8
Bashkesia origjinale me 7 numra te plote pozitive.
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te bashkangjisim vleren 8
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te bashkangjisim vleren 7
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te bashkangjisim vleren 6
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te bashkangjisim vleren 5
Pjesa e hijezuar e renditur dhe perpiqemi te bashkangjisim vleren 4
Bashkesia e vlerave e renditur ne rendin rrites

22. Renditja me flluska BUBBLESORT(A) 1 for i ← 1 to length[A] do
for j ← 2 to length[A] – i+1 do
if A[j] < A[j - 1]
then exchange A[j] ↔ A[j - 1]
Cikli i pare ne algoritem realizon bredhjen neper bashkesi.
Cikli i dyte zhvendos, me ane te shkembimeve te njepasnjeshme (nga ku emri flluska), elementin me te madh te nenbashkesise se parenditur te majte deri tek nje element perpara nenbashkesise se renditur te djathte

23. Analiza - Renditja me flluska
Algoritmi permban dy cikle te perfshira.
Cikli i pare for i := 1 to n do ekzekuton n here ciklin e dyte for j := 2 to n-i+1 do (ku n eshte gjatesia e vektorit -> length[A])
Po te analizojme ciklin e dyte rezulton se ai ekzekutohet n-i+1 here ose ne menyre te detajuar:
heren e pare n-1+1-1=n-1 here;
heren e dyte n-2+1-1=n-2 here e keshtu me rradhe heren e fundit 1 here.
Pra ne finale kemi n-1 +n-2 + … perseritje ose e shprehur ndryshe (progresion aritmetik) kemi (n-1)*(n-2)/2 perseritje.
Duke shfrytezuar vetite e njohura te kompleksitetit arrijme ne konkluzionin se algoritmi ne shqyrtim eshte i rendit O(n2).

24. Krahasimi: Renditja me nderfutje dhe Renditja me flluska
Nga analiza e efikasitetit te dy algoritmeve qe sapo pame, veme re se algoritmi i renditjes me flluska eshte i te njejtit rend me ate te renditjes me nderfutje.
Sidoqofte, kjo nuk do te thote se per ne aata jane njelloj te preferueshem.
Ne algoritmin e renditjes me flluska numri i ekzekutimeve eshte i parapercaktuar, ndersa ne algoritmin e renditjes me nderfutje numri i ekzekutimeve eshte ne varesi te vendosjes se elementeve.
Si konkluzion, numri i ekzekutimeve ne algoritmin e renditjes me nderfutje eshte <= me ate te ekzekutimeve ne algoritmin e renditjes me flluska por rendi i tyre eshte i njejte.

25. Shembuj te algoritmeve te renditjes
Shembuj te algoritmeve te renditjes ne menyre te animuar i gjeni ne adresen e meposhtme:

26. Detyre Shtepie
Bazuar ne algoritmet ne pseudokod per renditjen me nderfutje dhe ate me flluska, ndertoni nga nje program ne Paskal per keto algoritme.
Modifikojini algoritmet e mesiperme ne menyre qe ato t’i rendisin vektoret ne rendin zbrites.

27. Pyetje