1. Franka Miriam Brückler za SS HKD-a 9.6.2009.
Beskonačnost
Franka Miriam Brückler
za SS HKD-a
Das Wesen der Mathematik liegt in ihrer Freiheit.

2. Što znači da nečega ima beskonačno mnogo?
Očito: da ga nema konačno mnogo 
Ali, što onda znači da nečeg ima konačno mnogo?

3. Malo povijesti matematike beskonačnosti
Zenon iz Eleje 5. st. pr. Kr. njegovi paradoksi – prvi pokušaji matematičkog pristupa beskonačnosti
Aristotel – potencijalna vs. aktualna beskonačnost
Bhaskara II 11. st.
Galileo 17. st.
znak : John Wallis 1655.
taj simbol ne označava nikakvu
određenu veličinu – smisao je više:
neograničenost

4. Što to razlikuje beskonačan skup od konačnog?
možemo izvaditi neke elemente iz beskonačnog skupa bez da se pritom smanji njegova veličina – Bernhard Bolzano 1840-ih
drugim riječima: beskonačan skup se može staviti u bijekciju s nekim svojim pravim podskupom, a konačan ne

5. U hotelu s beskonačno soba uvijek ima mjesta za još jednoga!
sobe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...
dođe novi gost...
1 ode u 2, 2 ode u 3, 3 ode u 4 itd.
novi gost stane u sobu 1!
zapravo, ima mjesta za bilo koji konačan broj gostiju!
da ste portir u takvom hotelu, što biste učinili da dođe 243 novih gostiju?

6. A što s beskonačno mnogo novih gostiju?
svi gosti iz jednog takvog hotela poslani u drugi
imate li prijedlog za jadnog portira?
a što ako se zatvori beskonačno mnogo takvih hotela?

7. Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,
St. Petersburg
– Halle

8. Bijekcije
bijekcija je funkcija sa svojstvom: svaki element kodomene pridružen je točno jednom elementu domene
א ב ג ד ה ו ז ח ט י כ ל
           

9. A ima jednako mnogo elemenata kao i B
ako postoji bijekcija među njima!

10. Jesu li sve beskonačnosti jednako velike?
skupovi prirodnih brojeva, cijelih brojeva i racionalnih brojeva imaju jednako mnogo elemenata
ne vjerujete?
skup ima jednako mnogo elemenata kao skup prirodnih brojeva ako se njegove elemente može nabrojati u nizu

11. N : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ....
Z: 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, ....
Q+: ?!

12. Realnih brojeva ima više!1 - +
Pretpostavimo: 0,1 = {r1 , r2 , r3 , ... }
r1 =
r2 =
r3 =
r4 =
r5 =
r6 =
r7 =
... r=

13. Kardinalni brojevi konačno – prebrojivo – neprebrojivo kardinalni broj
zbroj kardinalnih brojeva a i b je kardinalni broj unije dva skupa od kojih jedan ima kardinalni broj a, a drugi ima kardinalni broj b i nemaju zajedničkih elemenata
konačni kardinalni brojevi = prirodni brojevi s nulom
koliko ima prirodnih brojeva? א0 (najmanji beskonačni kardinalni broj)
koliko ima realnih brojeva? c
n + א0 = א0+ א0= א0
א0· א0= א0
א0<c

14. Kronecker kontra Cantora
Leopold
Kronecker,
Liegnitz, Pruska – Berlin
Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk.
konstruktivizam:
postoje samo oni matematički objekti za koje postoji konačan postupak njihove konstrukcije
What good your beautiful proof on [the transcendence of] π? Why investigate such problems, given that irrational numbers do not even exist?

15. Dužina ima točaka koliko i kvadrat!
0,1] ima elemenata kao i 0,1]×0,1]
x = 0 , | 5 | 1 | 0 5 | 1 | 01 | 002 | ...
x = 0 , |k1|k2|k3| ...
x  (y,z)
y = 0 , |k2|k4|k6| ... = 0,
z = 0 , |k1|k3|k5| ... = 0,
Je le vois, mais je ne le crois pas!

16. Partitivni skup skup svih podskupova nekog skupa S oznaka P(S)
prazan skup je podskup svakog skupa pa i samog sebe  prazan skup je u P(S) za svaki skup S
ako xS, onda { x }  P(S)

17. 

18. Osnovni teorem teorije skupova
skup uvijek ima (strogo) manje elemenata nego njegov partitivni skup
za konačne skupove očito, ali vrijedi i za beskonačne
lako: skup ne može imati više elemenata od svog partitivnog skupa
S = { ♠, ♣, ♥, ♦, ...}
P(S) = { , {♠}, {♣}, {♥}, {♦}, ...}
formalno pišemo
npr.

19. Aritmetika kardinalnih brojeva
produkt kardinalnih brojeva se definira preko Cartesiusovog produkta skupova
zbroj ili produkt dva beskonačna broja jednak je većem od njih
oduzimanje i dijeljenje nije smisleno, npr.
2 + א0 = 19 + א0
potenciranje se definira preko skupova funkcija

20. Alefi i betovi najmanji beskonačni broj je א0
sljedeći veći se označava s א1 , sljedeći veći od njega s א2 itd.
s druge strane: ב0 = א0 , ב1 = 2ב0, ב2 = 2ב1, ...
imamo dakle dva beskonačna rastuća “niza” beskonačnih brojeva – alefi i betovi
budući je א1 najmanji koji je veći od א0, a po Cantorovom teoremu je ב1 veći od א0, zaključujemo: א1 ≤ ב1

21. Hipoteza kontinuuma realnih brojeva ima više nego prirodnih
postoji li skup koji ima više elemenata nego skup prirodnih, a manje nego skup realnih brojeva?
hipoteza (Cantor): ne!
dokaz: nemoguć! (Cohen, 1963.)
dokaz da nema takvog skupa: isto nemoguć! (Gödel, 1939.)

22. Paradoksi skup svih skupova ?! (Cantor, 1899.)
brijač koji brije sviju koji ne briju sami sebe – Russell 1902.
{x : x x} ne postoji
što sad? je li Kronecker bio u pravu?
odgovor: aksiomatizacija!
A stupid man's report of what a clever man says can never be accurate, because he unconsciously translates what he hears into something he can understand.
A Proctor without a Wig George Moutard Woodward  (ca )

23. 2 + 3 = 5 0 = kardinalni broj praznog skupa
1 = kardinalni broj skupa {0}
2 = kardinalni broj skupa {0,1} = 1  {1}
3 = kardinalni broj skupa {0,1,2} = 2  {2}
4 = kardinalni broj skupa {0,1,2,3} = 3  {3}
5 = kardinalni broj skupa {0,1,2,3,4} = 4  {4}
itd. n + 1 = n  {n}
2 + 3 = kardinalni broj unije disjunktnih skupova kardinalnog broja 2 i kardinalnog broja 3

24. 2 = {0,1}
3 = {0,1,2} 
{ , , }
{ , } =
{ , , , , }
5 = {0,1,2,3,4}

25. Par zadataka za kraj
što mislite, koliko ima kompleksnih brojeva? a kvadrata prirodnih brojeva? a prostih brojeva?
koliko je c + א0 ? a 2א0 ?
koliko ima svih mogućih (ne nužno smislenih) kemijskih formula?
koliko ima decimalnih brojeva s konačno mnogo znamenaka?
možete li smisliti neki geometrijski objekt koji sadrži beskonačno mnogo točaka, ali ima konačnu (nenul) duljinu/površinu/volumen! a možete li izmisliti skup s konačno mnogo točaka koji ima duljinu/površinu/volumen različitu od nule?