1. Sveučilište u Splitu Sveučilišni studijski centar za stručne studije
Kriptografija javnog (asimetričnog) ključa (Public-key or Asymmetric Cryptography)
Mario Čagalj
Sveučilište u Splitu Sveučilišni studijski centar za stručne studije
4/3/2012.

2. Kriptografski sustav
Plaintext
Encryption
Ciphertext
Decryption
Plaintext
Message
Channel
Key
Channel Ke Kd
Key Generation
Kriptografija simetricnog (tajnog) kljuca: Ke = Kd
Kriptografija javnog (asimetricnog) kljuca: Ke  Kd

3. Public-key Cryptosystems (1/4)
Encryption c
Decryption m
Message
Channel
Key
Channel
PUB
PRB
Key Generation
Source A
Destination B
Entitet B generira par kljuceva (PUB, PRB)
PUB – javni kljuc (public key), PRB – privatni kljuc (private key)
PUB je javna informacija (dostupna je svima, npr. entitetu A)
Kljuc PRB zna samo entitet B (B cuva PRB tajnim, npr. A ne zna PRB)
Zastita tajnosti: Entitet A zeli poslati tajnu poruku m entitetu B
A enkriptira m javnim kljucem PUB: c = E(PUB, m)
B dekriptira c koristeci privatni kljuc PRB: m=D(PRB, c) = D(PRB, E(PUB, m))
Nitko drugi tko ne poznaje PRB ne moze dekriptirati sifriranu poruku c

4. Public-key Cryptosystems (2/4)
Encryption c
Decryption m
Message
Channel
Key
Channel
PRA
PUA
Key Generation
Source A
Destination B
Autentikacija: Entitet A zeli poslati autenticiranu poruku m entitetu B
A enkriptira m koristeci svoj privatni (tajni) kljuc PRA: c = E(PRA, m)
B dekriptira poruku c koristeci javni kljuc PUA : m = D (PUA, c)
Samo A zna PRA, stoga je samo A mogla pripremiti poruku m - source integrity
Cijela enkriptirana poruka c sluzi kao digitalni potpis (digital signature)
Ako bi bilo nemoguce promjeniti poruku m bez poznavanja privatnog kljuca PRA, m je takodjer autenticiran u smislu data integrity
Q: Je li osigurana tajnost poruke m u ovo primjeru?

5. Public-key Cryptosystems (3/4)
Encryption c
Encryption c’
Decryption c
Decryption m
PRA
PUB
PRB
PUA
Source A
Key Generation
Destination B
Key Generation
Autentikacija i tajnost: Entitet A zeli poslati autenticiranu i tajnu poruku m entitetu B
Realizacija dvostrukim koristenjem kripto-sustava baziranog na javnom kljucu
A enkriptira m kako slijedi: c = E(PRA, m), c’ = E(PUB, E(PRA, m))
B dekriptira poruku c’: c = D (PRB, c’), m = D (PUA, c)
Q: Pretpostavite da A i B zamjene uloge. Koristeci standardnu notaciju, opisite proceduru koju izvrsavaju A i B.

6. Klasifikacija kriptosustava prema namjeni
Enkripcija/dekripcija
Posiljalac enkriptira poruku koristeci javni kljuc primaoca.
Digitalni potpis
Posiljalac “potpisuje” poruku koristeci svoj privatni kljuc. Najcesce se ne potpisuje cijela poruka vec mali blok podataka (message digest) koji se dobije kao “one-way” funkcija originalne poruke.
Razmjena kljuceva (key exchange)
Dva entiteta (korisnika, racunala) zele uspostaviti sesijski (tajni) kljuc za upotrebu u simetricnom kriptosustavu
Najpoznatiji protokol iz ove kategorije: Diffie-Hellman Key Exchange Protocol

7. RSA (Rivest, Shamir and Adleman)
Kriptografija asimetričnog (javnog) ključa
RSA (Rivest, Shamir and Adleman)

8. PKCS: Public Key Cryptography Standard
RSA u praksi
Webmail (Secure Socket Layer - SSL)
PKCS: Public Key Cryptography Standard

9. Modularna aritmetika: zbrajanje
Primjer: zbrajanje modulo 10
5 + 5 mod 10 = 0, mod 10 = 2, mod 10 = mod 10 = 7, mod 10 = mod 10 = 8
Q: Zbrajanje modulo 10 sa tajnom konstantom K daje sifru. Koju? + 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10. Modularna aritmetika: mnozenje (1/3)
Primjer: mnozenje modulo 10
5  5 mod 10 = 5, 3  9 mod 10 = 7
Q: Samo mnozenje sa 1, 3, 7 ili 9 moze raditi kao sifra. Zasto?  1 2 3 4 5 6 7 8 9

11. Modularna aritmetika: mnozenje (2/3)
Primjer: poruka m = 3, tajni kljuc K = 7
Enkripcija: c = m  K = 3  7 = 21 mod 10 = 1
Dekripcija: m = c  K-1 = 1  7-1 = 1  3 = 3 mod 10 = 3
Multiplikativni inverzni broj (multiplicative inverse) modulo n broja X (pisano X-1 ) je broj za koji vrijedi:
X  X-1 = 1 mod n, (npr., n = 10)
U nasem primjeru (prethodna tablica) samo brojevi 1, 3, 7 ili 9 imaju multiplikativne inverzne brojeve modulo 10
Q: Nadjite 9-1 i 1-1 modulo 10.
Napomena: za vrlo velike brojeve n (npr. 100 znamenkasti broj) racunanje inverza “brute-force” metodom neizvedivo
Euclid’s Algorithm - efikasan algoritam za racunanje inverznih brojeva

12. Modularna aritmetika: mnozenje (3/3)
Brojevi 1, 3, 7 i 9 su relativno prosti (relatively prime) brojevi u odnosu na broj 10
Nemaju zajednickih faktora sa brojem 10 (osim naravno 1)
Euler-ova f(n) funkcija (totient function)
Oznacava broj relativno prostih brojeva, u odnosu na n, koji su manji od n
Velicina funkcije f(n)
Ako je n prost broj onda f(n) = n – 1. Q: Zasto?
Ako je n produkt dva razlicita prosta broja p i q, onda f(n) = (p-1)(q-1). Q: Je li n prost broj? Izvedite izraz za f(n).

13. Modularna aritmetika: potenciranje (1/2)
Primjer: potenciranje modulo 10
311 = mod 10 = 7
Primjer: eksponent 3 se moze koristiti za enkripciju, ali broj 2 ne moze. Q: Zasto? xy 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -

14. Modularna aritmetika: potenciranje (2/2)
Zasto su stupci 1 i 5, 2 i 6, 3 i 7 isti?
Zbog zanimljivog svojstva f(n) funkcije: xy mod n = x( y mod f(n) ) mod n
U slucaju n = 10, {1, 3, 7, 9} su relativno prosti -> f(n) = 4. Stoga su stupci s te s + 4 jednaki.
Vazna napomena: Ovo svojstvo f(n) funkcije vrijedi za sve primarne brojeve n, te za sve n = pq, gdje su p i q razliciti prosti brojevi.
Za nas (RSA) je interesantan specijalan slucaj: y = 1 mod f(n)
U ovom slucaju, za svaki x imamo: xy = x( 1 mod f(n) ) = x mod n

15. RSA algoritam Ron Rivest, Adi Shamir i Len Adlemam. MIT, 1977.
RSA je blok sifra gdje su plaintext i ciphertext cijeli brojevi iz {1,..., n-1}
Tipicna velicina za n je 1024 bita ili 309 decimalnih znamenki
Generiranje kljuceva
Odaberi brojeve p i q ( p  q )
p i q su prosti i razliciti (p  q)
Izracunaj n = pq
Izracunaj f(n) = (p-1)(q-1)
Odaberi cijeli broj e
e je relativno prost u odnosu na f(n); 1 < e < f(n)
Izracunaj d
ed mod f(n) = 1, d je multiplikativan inverz od e
Javan kljuc (public key)
PU = {e, n}
Privatni kljuc (private key)
PR = {d, n}
Enkripcija
Plaintext:
M < n
Ciphertext:
C = Me mod n
Dekripcija
Ciphertext: C
Plaintext:
M = Cd mod n

16. Zašto RSA algoritam radi
M < n
PU = {e, n}
PR = {d, n}
Enkripcija: C = Me mod n
Dekripcija:
Digitalni potpis poruke M < n (primjer naseg Webmail-a)
Entitet A potpise M svojim privatnim kljucem {d,n}: S = Md mod n
Entitet B prima (M, S) te provjerava da li je zadovoljeno: M = Se mod n (M = Se mod n = Mde mod n = M) M =
Cd mod n
Med mod n
M(ed mod f(n)) mod n
M1 mod n

17. RSA: Toy Example Odaberi proste brojeve, p = 17 i q = 11
Izracunaj n = pq = 17 x 11 = 187
Izracunaj f(187) = 16 x 10 = 160. Q: Objasnite sto predstavalja f(187).
Odaberi e < f(n), tako da je e relativno prost obzirom na f(n); e = 7
Odredi d < 160, tako da ed mod f(n) = 1; d = 23 (jer 23 x 7 = 161 = )
PU = {7, 187} i PR = {23, 187}
Encryption
Decryption
ciphertext 11
plaintext 88
887 mod 187
1123 mod 187
plaintext 88
PU = {7, 187}
PR = {23, 187}

18. Sigurnost RSA algoritma
Ako napadac moze rastaviti n na faktore p i q
Moze izracunati f(n) = (p-1)(q-1), te naci privatni kljuc d = e-1 (mod f(n))
Postojeci algoritmi za faktorizaciju ne mogu izvrsiti faktorizaciju u polinomnom vremenu ako je n dovoljno velik (tezak problem za n veci od 1024 bitova)
Timing Attacks
Paul Kocher je pokazao da napadac moze otkriti privatni kljuc tako da biljezi koliko vremena treba racunalu da dekriptira enkriptiranu poruku.
Chosen Ciphertext Attack
Napadac bira poruku koju ce enkriptirati “zrtvinim” javnim kljucem te od “zrtve” prima poruku dekriptiranu “zrtvinim” privatnim kljucem
Svojstvo RSA: E(PU, M1) x E(PU, M2) = E (PU, M2 x M2). Q: Uvjerite se.
Primjer: napadac ne zna d te zeli dekriptirati C = Me mod n. Kako napadac moze dekriptirati C ako “zrtva” ne dekriptira C direktno za napadaca?
Izracunaj X = (C x 2e) mod n
Daj “zrtvi” X, te od nje primi Y = Xd mod n
Slijedi: Xd = ((C mod n) x (2e mod n))d = ((Me mod n) x (2e mod n))d = ((2M)e mod n)d = (2M) ed mod n = 2M mod n
Prakticni RSA kriptosustavi dodaju random vrijednost plaintext-u prije same enkripcije (Optimal Asymmetric Encryption Padding - OAEP)

19. RSA enkripcija u praksi
Public Key Cryptography Standard (PKCS)
Definira enkodiranje informacija koje ce biti potpisivane ili enkriptirane upotrebom RSA algoritma
PKCS je dizajniran na nacin da sprijecava mnoge poznate napade na “textbook” RSA algoritam
PKCS#1 v2.0 encoding
hashed
label
some 0x00
bytes
0x01
message to be encrypted
random
seed
MGF +
MGF +
0x00
masked
seed
masked message
MGF – Mask Generating Function (hash function)

20. How to “break” RSA despite all the protections
Assumptions:
the algorithm is flawless
it is implemented as it was designed
Decryption
Ciphertext: C
Plaintext:
m = cd mod n
RSA relies on modular exponentiations
for encryption and decryption
Brute force:
Multiply c by itself d times.
If c,d and n are n-bit integers, number of multiplications proportional to 2n !
It we don’t “mod out”, memory requirements 2n !
For security reasons, n must be a large number, e.g. n=
Modular exponentiation is usually implemented using a (bit by bit) square and multiply algorithm

21. RSA with square and multiply
Decryption
Ciphertext: C
Plaintext:
M = Cd mod n
C20 = C16 x C4
= (C8)2 x (C2)2
= (C8 x C2)2
= ((C4)2 x C2)2
= ((C4 x C))2)2
= (((C2)2 x C))2)2
(only 5 multiplications v.s. 19)
C25 = C16 x C8 x C
= (C8)2 x (C4)2 x C
= (C8 x C4)2 x C
= ((C4)2 x (C2)2)2 x C
= ((C4 x C2))2)2 x C
= (((C2)2 x C2))2)2 x C
= (((C2 x C)2)2)2 x C
(only 6 multiplications vs. 24)
2010 =
(1, 10, 101, 1010, 10100) = (1, 2, 5, 10, 20)
2510 =
(1, 11, 110, 1100, 11001) = (1, 3, 6, 12, 25)

22. RSA with square and multiply
Decryption
Ciphertext: C
Plaintext:
M = Cd mod n
Decryption key: d = d1,…,dw
x = 1
for j = 1 to w
x = x·x mod N (square)
if dj == 1
then x = x·C mod N (multiply)
end if
next j
return x
This means that the decryption execution time depends on the key !!!

23. Simple Timing Attack on RSA
Measure the time of the decryption execution
The measured time corresponds to the number of 1s in the key => i.e., time leaks the Hamming weight of the key!!!
Attack:
2|k| key search is now reduced to (|k| over w), where w is the measured Hamming weight of the key and |k| is the size of the key. (i.e., key combinations with w bits equal to 1)
Best case for the attacker: w=1 => the search space is |k| The worst case for the attacker: w=|k|/2 => the search space is |k|!/(|k|/2)!x(|k|/2)!
Example: a 2^1024 now reduced to 2^612

24. Simple Power Analysis
(E.g., Kocher 1998) Attacker directly uses power consumption to learn bits of secret key. Wave forms visually examined.
Big features like rounds of DES, square vs. multiply in RSA exponentiation, and small features, like hamming weight of words.
Relatively easy to defend against.

25. Experiment: SPA on exponentiation
Attack on the top-down square and multiply exponentiation algorithm during signing or decryption
Record a power trace of the operation
Visually confirm if multiplications were executed in each step

26. Experiment: SPA on exponentiation
If a squaring is followed by another squaring, this bit of the exponent is zero
If the squaring is followed by a multiplication, this bit of the exponent is one

27. Experiment: SPA on exponentiation
If the squaring is followed by another squaring, this bit of the exponent is zero
If the squaring is followed by a multiplication, this bit of the exponent is one

28. RSA timing attacks over the network
Remote timing attacks are practical. by D. Boneh and D. Brumley, In proceedings of the 12th Usenix Security Symposium,
The attack was performed over the campus network
The attacks extracts the bits of the factor q (n=pq)
time measurement indicates if a bit of q is 1 or 0 n
measure time
Attacker
Server
RSAK(n)

29. Diffie-Hellman kriptografski sustav
Kriptografija asimetričnog (javnog) ključa
Diffie-Hellman kriptografski sustav

30. Diffie-Hellman: uvod
Prvi algoritam zasnovan na javnom kljucu objavili su Diffie i Hellman godine
“New Directions in Cryptography.” W. Diffie and M. Hellman, IEEE Transactions on Information Theory, Vol. 22 #6, 1976, pp
Ovaj rad je prvi uveo pojam kriptografije javnog kljuca
Diffie-Hellman (DH) algoritam omogucuje “sigurnu” uspostavu simetricnog kljuca izmedju dva korisnika
Diffie-Hellman Key Exchange (Agreement) Protocol
Postoje eksenzije za uspostavu simetricnih kljuceva izmedju vise od dva korisnika tzv. Group Key Agreement
DH algoritam se zasniva na problemu odredjivanja (racunanja) diskretnog logaritma (discrete logarithm problem)

31. Discrete Logarithm Problem
Za dani prosti broj p, broj cije potencije modulo p generiraju sve cijele brojeve iz skupa {1,2,..., p-1} nazivamo primitivan korijen (primitive root).
Ako je g primitivan korijen prostog broja p tada su brojevi gi mod p, (i = 1, 2, ..., p-1), razliciti i daju neku permutaciju niza 1, 2,..., p-1
Za p = 7, g = 3 -> {31 = 3, 32 = 2, 33 = 6, 34 = 4, 35 = 5 , 36 = 1}. Q. Je li g primitivni korijen za broj p?
Za bilo koji cijeli broj b i primitivni korijen g prostog broja p, mozemo naci jedinstveni eksponent i takav da
b mod p = gi mod p ( skraceno b  gi (mod p) )
Eksponent i nazivamo diskretnim logaritmom broja b po bazi g, mod p
Racunanje diskretnih logaritama modulo prosti broj je vrlo tezak problem
Za razliku od potenciranja (postoje efikansi algoritmi)
Diffie-Hellman algoritam koristi ovu cinjenicu

32. Diffie-Hellman algoritam
Dijeljeni javni elementi p
prosti broj g
g < p; g je primitivni korijen broja p
Korisnik A generira kljuceve
Odaberi privatan kljuc XA
XA < p
Izracunaj javni kljuc YA
YA = g XA mod p
Korisnik B generira kljuceve
Odaberi privatan kljuc XB
XB < p
Izracunaj javni kljuc YB
YB = g XB mod p
Korisnik A generira tajni (simetricni) kljuc
KAB = (YB) XA mod p
Korisnik B generira tajni (simetricni) kljuc
KBA = (YA) XB mod p

33. Zasto Diffie-Hellman algoritam radi
Korisnik A racuna:
Korisnik B racuna:
Dakle A i B se dogovore oko zajednickog tajnog kljuca
K = KAB = KBA = g XAXB mod p
KAB =
(YB) XA mod p
(g XB mod p) XA mod p
(g XB) XA mod p
g XBXA mod p
KBA =
(YA) XB mod p
(g XA mod p) XB mod p
(g XA) XB mod p
g XAXB mod p

34. Diffie-Hellman: Toy Example
p = 353, g = 3
A izabere privatan (tajan) kljuc XA = 97
B izabere privatan (tajan) kljuc XB = 233
A racuna javan kljuc YA = 397 mod 353 = 40
B racuna javan kljuc YB = 3233 mod 353 = 248
A racuna zajednicki tajni kljuc K= mod 353 = 160
B racuna zajednicki tajni kljuc K= mod 353 = 160
Sigurnosni aspekti: Potencijalan napadac zna slijedece informacije:
p = 353, g = 3, YA = 40, te YB = 248
Napadac moze lako otkriti zajednicki kljuc K tako da otkrije rjesenje jednadzbe 3a mod 353 = 40 ili jednadzbe 3b mod 353 = 248
Napadac provjerava da li je 3a mod 353 = 40 za razlicite vrijednosti a = 1, 2, ..., 95, 96, 97
Sa velikim brojevima XA,XB i p, ovaj napad je nepraktican

35. Diffie-Hellman Key Exchange Protocol
Protokol nije autenticiran -> Man-In-The-Middle (MITM) napad.
Q: Dajte primjer MITM napada na DH protokol.
Alice
Bob
odaberi slucajan XA
izracunaj gXA mod p
gXA mod p
odaberi slucajan XB
izracunaj gXB mod p
gXB mod p
K = (g XB)XA mod p
K = (g XA)XB mod p

36. Diffie-Hellman protokol: MITM napad
Napadac Malice pripremi za napad dva privatna kljuca XM1 i XM2 te izracuna odgovarajuce javne kljuceve YM1 i YM2.
Alice transmitira YA Bobu.
Malice presretne YA te prosljedi YM1 Bobu. Malice izracuna KAM =(YA) XM2 mod p.
Bob primi YM1 te izracuna KBM =(YM1) XB mod p.
Bob transmitira YB Alice.
Malice presretne YB te prosljedi YM2 Alice. Malice izracuna KBM =(YB) XM1 mod p.
Alice primi YM2 te izracuna KAM =(YM2) XA mod p.
U ovom trenutku Alice i Bob misle da dijele zajednicki kljuc, ali zapravo Alice i Malice dijele kljuc KAM, dok Bob i Malice dijele kljuc KBM, gdje vjerojatno KAM  KBM.
Sada Malice moze dekriptirati i modificirati sve poruke koje Alice i Bob salju jedno drugome (preko Malice).

37. The Station-to-Station Protocol
Rjesava problem neautenticiranog Diffie-Hellman protokola
Mutual entity authentication, mutual explicit key authentication
Pretpostavka je da Alice i Bob posjeduju autenticirane javne kljuceve PUB odnosno PUA (npr., RSA javni kljucevi)
Alice
Bob
odaberi slucajan XA
izracunaj gXA mod p
gXA mod p
odaberi slucajan XB
izracunaj gXB mod p K = (gXB )XA mod p
gXB mod p,EK( E(PRB,gXB,gXA) )
digitalni potpis
K = (gXB )XA mod p
EK( E(PRA,gXB,gXA) )

38. RSA i Diffie-Hellman: primjene
SSL (e.g., Webmail)
SSH (secure remote access)
IPSec (Internet Key Exchange - IKE)
PGP ( )

39. Slef-study: CrypTool