1. “Elektrodistribucija-Bar” Bar
Modelovanje dvostepenog naponskog invertora sa L-C filterom i R-L opterećenjem u Matlabu-Simulinku; upoređenje kvaliteta izlaznog napona na invertoru i filteru dobijenih pomoću sinusno-trougaone PWM, PWM sa injektovanim trećim harmonikom i PWM pomoću prostornog vektora
B. P. BRNJADA∗
“Elektrodistribucija-Bar” Bar
Bar
Crna Gora
Model dvostepenog naponskog invertora uradjen je na osnovu jednačina koje povezuju ulazne
jednosmjerne napone sa izlaznim faznim naponima na potrošaču. Jednačine su date, u
matričnoj formi . Takodje je uradjen i matematički model trofaznog L-C filtera i R-L opterećenja
sa izolovanom neutralnom tačkom.
Svi modeli su realizovani u Matlabu-Simulinku.
Razvijena su tri modela širinsko impulsnog upravljanja (PWM) dvostepenim naponskim
invertorom i to : pomoću sinusno-trougaone modulacije, pomoću injektovanja trećeg harmonika ,
pomoću prostornog vektora.
Za uporedjenje kvaliteta pojedinih modela upravljanja korišten je specijalni program uradjen u
Matlabu
Na kraju je uradjena uporedna analiza, i izvedeni zaključci o prednostima i nedostacima sva tri
navedena modela upravljanja.
Ključne riječi: dvostepeni naponski invertor, L-C filter, R-L opterećenje, Matlab-Simulink
modelovanje, sinusno-trougaona PWM, PWM injektovanjem harmonika, PWM primjenom
prostornog vektora

2. 2. Invertor i el. kolo koje se analizira
-komutaciona ćelija
Cirkulaciona dioda (freewheeling diode

3. Uzimajući u obzir simetričnost napona na potrošaču :
2. Matematički i Simulink model trofaznog dvostepenog naponskog invertora sa modelima filtera i opterećenja
Polazeći od [1] , [2] fazni naponi na opterećenju se mogu zapisati u sledećoj formi:
Uzimajući u obzir simetričnost napona na potrošaču :
Dobijamo jednačinu invertora u matričnoj formi:

4. Model invertora u Matlabu-Simulinku na osnovu jednačina (1)
Matrična jednačina (1) koristi se za dobijanje tzv. “six-step wave” talasne forme faznog napona na izlazu invertora, odnosno na ulazu opterećenja. Na sl 2. je data praktična realizacija matrične jednačine (1) u Matlabu-Simulinku [3] (Greška: u tekstu stoji 3 a treba 2 )

5. Model LC-filtera i R-L opterećenja
Shematski prikaz L_C filtera sa R-L opterećenjem je kao na sl 3

6. Model LC-foltera i R-L opterećenja
Ako uzmemo u obzir simetriju el. kola kroz jednačinu za medjufazne napone :
kao i odnose faznih i medjufaznih strujakoji se jasno uočavaju sa sl 3,:
možemo Kirhofove jednačine za čvorove i petlje kola na sl 3 svesti na tri grupe od po tri diferencijalne jednačine (po svakoj fazi jedna grupa jednačina), koje su analogne i imaju formu datu jednačinama (2) :

7. Model LC-filtera i R-L opterećenja
Na osnovu jednačina (2) dobijamo model filtera sa opterećenjem na sl 4.
Zavisno od toga koje veličine imamo na izlazu invertora potrebno ih je eventualno prilagoditi medjufaznim veličinama na ulazu ovog modela

8. 3. Modeli upravljanja
Kod upravljanja se uvijek polazi od činjenice da se upravljački naponi posredstvom invertora tj. prekidačke tehnike preslikavaju u izlazne napone invertora. Pošto radimo sa trofaznim invertorom treba nam trofazni upravljački signal jedinične amplitude, koji će poslužiti za modulaciju, oblikovanje upravljačkih impulsa. To su sledeća tri napona:
Osnovni metodi upravljanja naponskim invertorom su metodi koji kao osnovu koriste six-step wave a za modulaciju PWM metode:
1. sinusnotrougaone PWM
2.injected third-harmonic PWM
3. PWM pomoću prostornog vektora

9. 3.1. “Six-step wave “ upravljanje invertorom:
U ovom slučaju se kao upravljački signali dobijaju pravougaoni forme koje po znaku odgovaraju idealnim naponima i medjusobno su fazno pomjerene za po 2*Pi/3 [1], [5]. Na osnovu takvog upravljačkog signala dobijaju se na izlazu dvostepenog invertora trofazni naponi koji imaju oblik šestostepene talasne forme.

10. 3.1. “Six-step wave “ upravljanje invertorom:
Umjeso posmatranja kao pojedinačnih veličina, upravljačke napone je moguće posmatrati zajedno kao jedinstveni prostorni vektor koji se definiše relacijom [1]:
Prostorni vektor se, u nepokretnom referentnom sistemu, može prikazati sledećom u matričnom jednačinom:
Kada se gornje jednačine primijene na izlazne napone trofaznog dvostepenog invertora dobija se heksagon kao geometrijsko mjesto koje daju završeci prostornog vektora u stacionarnom sistemu

11. 3.2. Sinusno-trougaona PWM
Oblast linearnog rada imamo kada je indeks modulacije :
To je i oblast u kojoj se na povoljan način formira oblik izlaznog napona blizak sinusoidalnom obliku. Medjutim, kada se uporedi amplituda osnovnog harmonika kod sinusno-trougaone modulacije sa istim harmonikom kod kvadratne forme dobija se procenat od 78% što se smatra za nedovoljno. Povećanje indeksa modulacije iznad 1 nije prihvatljivo zbog povećanja sadržaja nižih harmonika.

12. 3.3. PWM injektovanjem trećeg harmonika:
PWM injektovanjem trećeg harmonika [1], [5] je
odgovor na potrebu da se poveća iskorištenje napona. Kod ovog postupka modulacije koristi se činjenica da se treći kao i svi “trostruki” harmonici prisutni u faznim naponima, eliminišu iz linijskih napona pogodnom spregom. Postupak injektovanja trećeg harmonika, kao i nekoliko drugih postupaka koji su principijelno slični ovome, proširuju područje linearnog rada invertora, a da se pri tome injektovani harmonici neunose u mrežu tj nema ih u linijskim naponima, ni kod potrošača.

13. 3.4. PWM primjenom prostornog vektora:
Kod širinskoimpulsne modulacije (PWM) primjenom prostornog vektora [1], [2], [4], [5] za sintezu referentnog napona Vref koristi se sa šest aktivnih vektora i dva nulta vektora sl 7 koji odgovaraju odredjenim kombinacijama od po tri prekidača. Ukupan period podijeljen je na šest sektora a ovi na jednaki broj dovoljno kratkih vremenskih intervala u toku kojih se Vref može smatrati praktično konstantnim. Unutar takvog vremenskog intervala Ts=1/Fs treba postići ekvivalentnost u primjeni Vref koji treba da se dobije na izlazu, sa vremenima primjene dva vektora koji ograničavaju sektor u kome se taj interval nalazi. Na osnovu prethodnog iskaza dobija se jednačina:
čijim projektovanjem na d i q osu nepokretnog referentnog koordinatnog sistema na kraju dobijamo jednačine za vremena T1 i T2 primjene pomenuta dva vektora u bilo kom od šest sektora:
kao i vrijeme T0 raspodjele ili primjene nultih vektora u toku intervala T0 . Na osnovu ovako izračunatih vremena vrši se raspodjela vremena primjene prostornih vektora po sektorima i fazama tako da se na izlazu dobije simetričan napon zahtijevane amplitude

14. PWM primjenom prostornog vektora:

15. Raspodjela vremena kod SVPWM

16. 4. Uporedna analiza raznih modela upravljanja pomoću programa uradjenog u Matlabu
function fourierdec_BB_BB_ripple(vrijeme,br_harmonika,funkcije)
% vektor vremena vrijeme; br_harmonika koji se analiziraju; funkcije više
% nizova funkcija koje analiziramo
%fourierdec_BB.m ==> Fourier series decomposition of periodic functions of identical periods
% specify the column vector t and array f representing the signals over one complete period
% specify the number of harmonics to be calculated by h
Program ima mogućnosti da analizira grafički oblik funkcije, efektivnu vrednost, THD, sadržaj harmonika i grafički prikaz harmoničkog sadržaja kada se unesu : vrijeme, broj analiziranih harmonika i odredjeni broj nizova analiziranih signala u tarjanju jedne periode
Dvije glavne karakteristike izlaznog napona invertora su :
1 Iskorištenost ulaznog pravougaonog napona amplitude 2*Vdc/pi
2. Sadržaj harmonika u naponu na potrošaču
Dobro rješenje je u dovoljnoj mjeri usaglašeno sa ova dva zahtjeva

17. Six-step wave

18. sin-tri PWM izlaz invertora

19. Injected-third harm PWM

20. Injected-third harm PWM

21. SVPWM Raspodjela vremena

22. SVPWM izlaz invertora i filtera

23. Sadržaj harmonika u ispitivanoj periodičnoj formi
g=f(:,w);
%%% Complex Fourier coefficients ck
co=1/T*trapz(t,g)+eps;
fprintf('%8.0f%13.4f\n',0,co)
C=[];
rms2 = co^2;
I_U_ripple=0
for k=1:h
q=g.*exp(-j*2*pi/T*t*k);
ck= 2/T*abs(trapz(t,q));
pk=angle(trapz(t,q))*180/pi;
C=[C ck];
fprintf('%8.0f%13.4f%11.2f\n',k,ck,pk)
rms2 = rms2+ck^2/2;
if k>1
I_U_ripple= I_U_ripple+ck^2/2;
end
% RMS and THD
rms = sqrt(rms2);
THD = sqrt(rms2-C(1)^2/2)/(C(1)/sqrt(2));
mean = co;
I_U_ripple=sqrt(I_U_ripple);
disp(['RMS: ' num2str(rms)]);
disp(['THD: ' num2str(THD)]);
disp(['Mean: ' num2str(mean)]);
disp(['I_U_ripple: ' num2str(I_U_ripple)]);
disp('================================')
%%% Plots
order=((1:h+1)-1)'; mag=[co C]';
figure('Position',[ ],'Name','Harmonicka analiza');
subplot(2,1,1),plot([0 0],[0 g(1)],'r',t,g,'r',[T T],[g(L) 0],'r',[T 0],[0 0],'k','linewidth',2)
xlabel('TIME [s]') ;ylabel('SIGNAL');
title(['Periodicni signal (RMS=' num2str(rms) ' THD=' num2str(THD) ')']),grid
subplot(2,1,2),stem(order,mag,'-ob')
xlabel('Red harmonika'); ylabel('Amplituda');
title('Harmonicki clanovi'),grid
function fourierdec_BB_BB_ripple(vrijeme,br_harmonika,funkcije)
% vektor vremena vrijeme; br_harmonika koji se analiziraju; funkcije više
% nizova funkcija koje analiziramo
%fourierdec_BB.m ==> Fourier series decomposition of periodic functions of identical periods
% specify the column vector t and array f representing the signals over one complete period
% specify the number of harmonics to be calculated by h
clc,close all
disp(date)
disp('fundamental frequency (Hz)')
vrijeme;
br_harmonika;
funkcije;
t=vrijeme; % vremenski interval u kome se posmatraju funkcije
h=br_harmonika; % broj harmonika koje posmatramo
f=funkcije; % matrica sa nizovima funkcija koje posmatramo
t = t - t(1); % shift time array such that it starts with 0
L=length(t);
T=t(L);
fo=round(1/T);
disp(fo)
nu=0;
%%%
for w=1:size(f,2); %BB ovdje se stavlja 2 kada se f pravi iz dva
%BB niza tj dvije se veli?ine analiziraju
nu=nu+1;
disp([' Function No. ' num2str(nu)]);
disp('_________________________________')
disp(' order of | amplitude | phase')
disp(' harmonic | | [deg]')
disp('____________|___________|________')

24. Ispitivanje sadržaja harmonika kod SVPWM na izlazu invertora i filtera (prvi period)

25. Pitanje revidenta: Na sl 8 prikazan je princip generisanja upravljačkih signala kod sinusoidalne PWM. Jasno je da upravljački impulsi sa sl 8 (dolje) definišu intervale uključenosti prekidača u grani invertora , kao i da se ovi impulsi dobijaju kao rezultat komparacije sinusoide i referentnog trougaonog signala(sl 8 gore). Medjutim na sl 8 gore prikazan je jos jedan (crveni) trougaoni signal. Molimo autora da objasni njegovu ulogu

26. Pitanje revidenta: kojem frekvencijskom modulacionom indeksu (odnos učestanosti referentnog trougaonog signala i referentne sinusoide) odgovaraju prezentovani rezultati simulacije za sinusoidalnu PWM;
Odnos frekvencija trougaonog i sinusnog signalana sl 8 je f_tri/f_sin=1550/50 ; Na slici 8 je na apscisi nanesen ugao w*t , a ne vrijeme što može izazvati nedoumicu.
Razlog za unos ovih smanjenih vrednosti je dobijanje jasnih odnosa na slici. Slika bi bila potpuno nejasna kada bi se koristila stvarna frekvencija nosećeg signala koja je koristena u ovom modelu i bila je f-tri =3900 Hz što znači da bi odnos bio f_tri/f_sin=3900/50=78 što se znatno teže uočava na crtežu.

27. Pitanje revidenta: - i za koji se amplitedski modulacioni indeks “m” dobija THD =0, Pregledom teksta može se vidjeti rečenica koja glasi: ” Pri najvećem indeksu modulacije m=1.15 u linearnom području, ukupan sadržaj harmonika u faznom naponu potrošača THD = manji je nego kod sin-trougaonemodulacije gdje je THD= ”

28. Sinusno-trougaona PWM modulacija Fazni napon na izlazu filtera

29. Sinusno-trougaona PWM modulacija Fazni napon na izlazu filtera