Kapitola KL Klinové plochy.

Kapitola KL Klinové plochy

Nech majú čiary a, b priesečník P na súradnicovej osi z = (   ).
Mészárosová, Tereňová Klinová plocha Klinovú plochu definujeme vzhľadom na pravouhlý súradnicový systém (O, x, y, z). Nech a, b sú dve čiary, ležiace v dvoch navzájom kolmých rovinách  = (xz),  = (yz). Nech majú čiary a, b priesečník P na súradnicovej osi z = (   ). Plochu  nazveme klinovou, ak ju tvoria čiary na, ktoré majú tieto vlastnosti: ležia v rovinách rovnobežných s rovinou , pretínajú čiaru b, kolmé priemety čiar na do roviny  sú perspektívne afinné s čiarou a (os afinity je os x a smer afinity je os z), alebo je na priamka (resp. úsečka) pre konečný počet na a jej kolmý priemet do roviny  je totožný s osou afinity x. z Čiary a, b nazývame riadiace (určujúce) čiary. P a Poznámka: Vzhľadom na vlastnosť perspektívnej afinity sú klinové plochy známe ako afinné plochy. A 1a b 1a2 2a2 2a 3a2 P' 4a2 3a A' 4a 1 = 1' x = os afinity 1 5a2 O 2 3 4 5 5a Poznámka: Ak nie sú čiary a, b rovinné, tak ide o všeobecnejší prípad klinových plôch, pozri [MEDEK, V., ZÁMOŽÍK, J. Konštruktívna geometria pre technikov]. y

Na klinovej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1a, 2a, 3a, ... na, ...
Mészárosová, Tereňová Na klinovej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... Čiary nb majú tieto vlastnosti: ležia v rovinách rovnobežných s rovinou , pretínajú čiaru a, kolmé priemety čiar nb do roviny  sú perspektívne afinné s čiarou b (os afinity je os y a smer afinity je os z), alebo je nb priamka (resp. úsečka) pre konečný počet nb a jej kolmý priemet do roviny  je totožný s osou afinity y. z P a 1b3 b 1b 2b P'' 2b3 3b 3b3 B 4b 4b3 x O B'' 5b 5b3 2 1 5 4 3 2 = 2'' os afinity = y

Mészárosová, Tereňová Na klinovej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy. Každým bodom klinovej plochy prechádza jedna čiara z každej sústavy. Poznámka: Pri zostrojovaní druhej sústavy čiar na klinovej ploche môžeme tieto čiary zostrojiť bodovo pomocou priesečníkov s čiarami z prvej sústavy. z P a 1a b 1b 2b 2a 3b 4b 3a 4a x 1 O 2 5b 3 4 5 5a 2 1 5 4 3 y

Mészárosová, Tereňová Na klinovej ploche sú dve sústavy čiar: a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... Tvar čiar v sústave a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... sa mení v závislosti od tvaru určujúcej čiary b, pričom kolmé priemety čiar na do roviny  sú perspektívne afinné s čiarou a. Tvar čiar v sústave b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sa mení v závislosti od tvaru určujúcej čiary a, pričom kolmé priemety čiar nb do roviny  sú perspektívne afinné s čiarou b. Poznámka: Porovnajte vlastnosti sústavy čiar a, 1a, 2a, 3a, ... na, ...; b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... na translačnej ploche a na klinovej ploche. Na klinovej ploche sa tvar čiar v sústave a, 1a, 2a, 3a, ... na, ... mení. Aj v sústave b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sa tvar čiar klinovej plochy mení. Na translačnej ploche sú všetky čiary jednej sústavy navzájom zhodné. Pozri kapitolu Translačné plochy. z P a 1a b 1b 2b 2a 3b 4b 3a 4a x 1 O 2 5b 3 4 5 5a 2 1 5 4 3 y

Klinové plochy – motivácia a vznik
„Hyperbolický paraboloid má výborné statické vlastnosti a zaujímavý tvar. To je dôvodom jeho širokého použitia v staviteľstve. Ale má jednu veľkú nevýhodu, že jeho vodorovný rez je hyperbola. Snaha o zachovanie dobrých statických vlastností plochy, ktoré poskytujú dva systémy parabol, viedla Bedřicha Hacara k navrhnutiu špeciálneho typu plochy, ktorý dnes nazývame Hacarova plocha. Zovšeobecnenie Hacarových plôch urobil František Kadeřávek. Tieto plochy sa nazývajú klinové plochy.“ Voľne preložené z ČERNÝ, J., KOČANDRLOVÁ, M. Konstruktivní geometrie. Poznámka: Porovnanie hyperbolického paraboloidu a Hacarovej plochy je na nasledujúcej strane. Bedřich Hacar, 1893 – 1963, profesor ČVUT, pracoval v odbore stavebných hmôt a betónových konštrukcií. František Kadeřávek, 1885 – 1961, významný profesor ČVUT, venoval sa klasickej syntetickej geometrii a aplikáciám geometrie v staviteľstve a umení. Obrázok: Hacarova plocha [Píska, Medek: Deskriptivní geometrie II] „Prednosť klinovej plochy je v tom, že v technickej praxi sa môže použiť ako plocha strechy, ktorá je ukončená priamou rímsou.“ [MEDEK, V., ZÁMOŽÍK, J. Konštruktívna geometria pre technikov]

Hyperbolický paraboloid Hacarova plocha
z z b b b' 1b b'' a'' P 2b P 4a a' 3a 1a 2a a a 3b F Fb O  ' Eb h y E '  y x x Hyperbolický paraboloid je translačná plocha. Paraboly a, a', a'', ... sú zhodné paraboly a paraboly b, b', b'', ... sú zhodné paraboly. Rovinným rezom zobrazeného hyperbolického paraboloidu pôdorysňou je hyperbola h. Hacarova plocha je klinová plocha – pozri nasledujúcu stranu. Rovinným rezom zobrazenej Hacarovej plochy pôdorysňou sú dve priamky, resp. úsečky. Tereňová Poznámka: Pozri kapitolu Translačné plochy.

Hacarova plocha Riadiace čiary: a – parabola v nárysni 
b – parabola v bokorysni  a  b = {P} a  x = {E, F} z b 1b Čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ... : ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou , pretínajú parabolu b, ich kolmé priemety do nárysne  sú perspektívne afinné s parabolou a, samodružné body sú E a F. To znamená, že všetky čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ..., sú paraboly. 2b P 4a 3a 1a 2a a 3b F Fb Eb  '  E y Čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... : ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou , pretínajú parabolu a, ich kolmé priemety do bokorysne  sú perspektívne afinné s parabolou b. To znamená, že všetky čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sú paraboly, s výnimkou úsečiek Eb a Fb, ktoré incidujú s bodmi E a F. ' x Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy. Tereňová

Obrázky: Rôzne typy a časti Hacarových plôch
Podrobnejšie pozri v diplomovej práci: VECKOVÁ, J. Klínové plochy Dostupné na:

ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou , pretínajú úsečku b,
z V nasledujúcom príklade je zobrazená klinová plocha, ktorá je daná polkružnicou a v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. C a 1a2 1a B 2a2 1b 2b 3b b 3B 1 2a 4b A 2 5b D 3 6b 1 7b Da 4 3A 7 6 5 2 Čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ... : ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou , pretínajú úsečku b, ich kolmé priemety do nárysne  sú perspektívne afinné s polkružnicou a, samodružné body sú body A, B. To znamená, že všetky čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ..., sú polelipsy, s výnimkou úsečky Da, ktorá inciduje s bodom D. Všetky polelipsy na majú rovnako dlhú hlavnú os s dĺžkou AB. Vedľajšia polos polelíps sa skracuje. Čím je rovina n polelipsy na ďalej od roviny , tým je dĺžka vedľajšej polosi kratšia až po nulovú dĺžku pre úsečku Da. x = os afinity 3 os afinity = y Čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... : ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou , pretínajú polkružnicu a, ich kolmé priemety do bokorysne  sú perspektívne afinné s úsečkou b, samodružný bod je bod D. To znamená, že všetky čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sú úsečky. Pôdorysom tejto klinovej plochy je obdĺžnik AB3B3A. Tereňová, Mészárosová Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy.

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni.
Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z2 z3 KL 1 C2 Tereňová, Mészárosová C3 a2 b3 b2 a3 x2 A2 S2 = D2 B2 S3 D3 y3 Riadiace čiary: a – polkružnica so stredom S, ležiaca v nárysni  , nad pôdorysňou b – úsečka CD ležiaca v bokorysni  a  b = {C} A1 a1 S1 = C1 B1 x1 x z y S D C a B A b b1 D1 y1 Riadiace čiary v kolmej axonometrii

Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii.
Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z2 z3 C2 Tereňová, Mészárosová C3 13 a2 b3 23 b2 1C3 33 1C2 a3 1a2 2C3 2a2 2C2 1a3 2a3 x2 A2 = 1A2 Da2 S2 = D2 1B2 = B2 S3 1A3 = 1B3 D3 = Da3 y3 Zobrazíme sústavu čiar 1a, 2a, 3a, ... na, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou  a ich kolmé priemety do nárysne sú s polkružnicou a perspektívne afinné. Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zostrojíme polelipsu 1a, ktorá leží v rovine 1: 1  b = {1C} 1C je vedľajší vrchol polelipsy 1a, jej hlavné vrcholy sú body 1A, 1B. 2) Zostrojíme polelipsu 2a, ktorá leží v rovine 2: 2  b = {2C} 2C je vedľajší vrchol polelipsy 2a, jej hlavné vrcholy sú body 2A, 2B. 3) V rovine 3, ktorá inciduje s bodom D, leží úsečka Da, ležiaca na zobrazovanej klinovej ploche. A1 a1 S1 = C1 B1 x1 1A1 1C1 1B1 1a1 11 2A1 2C1 2B1 2a1 21 b1 3A1 Da1 D1 3B1 31 y1

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z2 12 42 z3 22 32 C2 Tereňová, Mészárosová C3 H2 F2 H3= F3 b2 a2 1b3 = 2b3 b3 2b2 1b2 a3 x2 3b2= A2 G2 S2 = D2 E2 4b2= B2 S3 3b3 = 4b3 D3 = E3 = G3 y3 Zobrazíme sústavu úsečiek b, 1b, 2b, 3b, ... nb, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou  a ich kolmé priemety do bokorysne sú s úsečkou b perspektívne afinné. Postup rysovania: 4) Zostrojíme úsečku 1b = EF, ktorá leží v rovine 1 rovnobežnej s rovinou : a  1 = {F} Úsečky b3 a 1b3 sú perspektívne afinné so samodružným bodom D3 = E3. 5) Krivka a je súmerná podľa bokorysne, preto aj zobrazovaná plocha je súmerná podľa bokorysne. Túto vlastnosť využijeme pri konštrukcii čiar klinovej plochy. Zostrojíme úsečku 2b = GH, ktorá leží v rovine 2 súmernej s rovinou 1 podľa bokorysne. 6) V rovine 3, ktorá inciduje s bodom A, leží úsečka 3b. Jej nárysom je bod 3b2. V rovine 4, ktorá inciduje s bodom B, leží úsečka 4b. Jej nárysom je bod 4b2. 7) Na zostrojenie ďalších čiar (úsečiek) klinovej plochy opakujeme postup pre ďalšie roviny n rovnobežné s bokorysňou. A1 H1 a1 S1 = C1 F1 B1 x1 3b1 2b1 b1 1b1 4b1 G1 D1 E1 y1 11 21 41 31

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z2 C2 Postup rysovania v axonometrii: 8) V kolmej axonometrii zobrazíme polkružnicu a. Jej axononometrickým priemetom je časť elipsy e. Prúžkovou konštrukciou určíme dĺžku vedľajšej polosi elipsy e. 9) Zobrazíme úsečku CD. a2 b2 x2 z A2 S2 = D2 B2 Z C A1 a1 S1 = C1 B1 a x1   B  S  A D X b1 Y D1 x e Do y  y1 Tereňová, Mészárosová So

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. Zobrazíme sústavu úsečiek 1b, 2b, 3b, ... nb, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou  a ich kolmé priemety do bokorysne sú s úsečkou b = CD perspektívne afinné so samodružným bodom D. Postup rysovania: 10) Zobrazíme úsečku 3b incidujúcu s bodom A a úsečku 4b incidujúcu s bodom B. 11) Zostrojíme rovinu 5, ktorá je rovnobežná s rovinou . Úsečka 5b = QR je čiara klinovej plochy. 12) Na zostrojenie ďalších čiar (úsečiek) klinovej plochy opakujeme postup pre ďalšie roviny n rovnobežné s bokorysňou . z n5 R C a B S 4b 5b b 5 A Q D p5 3b x y Tereňová, Mészárosová

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. Zobrazíme sústavu čiar 1a, 2a, 3a, ... na, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou a ich kolmé priemety do nárysne sú s polkružnicou a perspektívne afinné (os afinity je os x a smer afinity je os z). Postup rysovania: 13) Zostrojíme rovinu 4 rovnobežnú s nárysňou. Jej priesečník s úsečkou CD označíme 4C. Axonometrický priemet polelipsy 4a v rovine 4 je polelipsa určená združenými polomermi 4A4S a 4C4S. Konštrukciu hlavných polosí môžeme urobiť Rytzovou konštrukciou. Ak máme zostrojenú sústavu úsečiek 1b, 2b, 3b, ... nb, ..., môžeme konštrukciu polelipsy 4a doplniť bodmi, ktoré sú prienikom roviny 4 a úsečiek 1b, 2b, 3b, ... nb, .... 14) Postup opakujeme pre rovinu 5 rovnobežnú s nárysňou. V nej leží polelipsa 5a. 15) Zostrojíme rovinu 3 , ktorá je rovnobežná s nárysňou a inciduje s bodom D. V rovine 3 leží úsečka Da = 3A3B, ktorá leží na zobrazovanej klinovej ploche. 16) Doplníme obrys plochy ako obálku axonometrických priemetov zostrojených čiar (úsečiek a elíps) klinovej plochy. z n5 R C a 4C B 4a 4B S 4b 4S 5b 3B b 5 A 5a Q D 4A p5 4 3b Da x 3A y 5 Tereňová, Mészárosová 3 p4 p3 p5

Klinová plocha je daná polkružnicou a, ktorá leží v nárysni a úsečkou b = CD v bokorysni.
Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kolmej axonometrii. z2 12 42 z3 22 32 C2 13 Tereňová, Mészárosová C3 23 b2 a2 2b2 1b3 = 2b3 KL 1 - zhrnutie 1b2 1a2 33 b3 2a2 a3 1a3 x2 2a3 3b2= A2 Da2 S2 = D2 4b2= B2 S3 3b3 = 4b3 D3 = Da3 y3 z n5 A1 a1 S1 = C1 B1 R C x1 a 4C B 3b1 1a1 11 4a 4b1 4B 2b1 b1 1b1 S 4b 4S 5b 2a1 21 3B b 5 A 5a Q D 4A D1 31 p5 3A1 Da1 3B1 4 3b Da x 3A y 5 y1 11 21 41 3 p4 p3 31 p5

Prístavba domu kultúry Ostrava, Česká republika, 2002
Poznámka: Plocha zobrazovaná v predchádzajúcom príklade je kružnicovo-úsečková klinová plocha. Je to zároveň priamková nerozvinuteľná plocha, môžeme ju vytvoriť ako kolmý kružnicový konoid (pozri príklad P5 v kapitole P3.1.1a Konoidy). Prístavba domu kultúry Ostrava, Česká republika, 2002

Parabola je daná vrcholom V a bodmi P a Q. z
V nasledujúcom príklade je zobrazená klinová plocha, ktorá je daná polkružnicou a v nárysni a parabolou b v bokorysni. Parabola je daná vrcholom V a bodmi P a Q. Tereňová, Mészárosová z A S V = B 2a 7b 1a 6b a b P 1 Pa 3a 2 3 C 2b 4a x = os afinity 4b Cb 3b 4 1b 5 6 5b Q 7 6 Qa 2 1 5 4 3 y = os afinity C Čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... : ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou , pretínajú polkružnicu a, ich kolmé priemety do bokorysne  sú perspektívne afinné s parabolou b, samodružné body sú body P a Q. To znamená, že všetky čiary 1b, 2b, 3b, ... nb, ... sú paraboly, s výnimkou úsečky Cb, ktorá inciduje s bodom C. Čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ... : ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou , pretínajú parabolu b, ich kolmé priemety do nárysne  sú perspektívne afinné s polkružnicou a, samodružný bod je C. To znamená, že všetky čiary 1a, 2a, 3a, ... na, ..., sú polelipsy, s výnimkou úsečiek Pa a Qa, ktoré incidujú s bodmi P a Q. Každá čiara jednej sústavy pretína všetky čiary druhej sústavy.

Klinová plocha je daná krivkami a a b
Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Riadiace čiary: a – polkružnica so stredom S, ležiaca v nárysni  b – časť paraboly nad pôdorysňou, určená bodmi P, Q a vrcholom V, ležiaca v bokorysni  a  b = {V} a  x = {C} KL 2 z2 z3 S2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 C S V = V3 = B P Q a b = b3 z y x A A1 B1 Riadiace prvky v axonometrii x2 C2 P3 C3 Q3 y3 P1 b1 A1 V1 = B1 x1 a1 S1 = C1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 1) Zobrazíme parabolu b. Poznámka: Konštrukciu paraboly pozri v prvej časti skrípt Q1 Tereňová, Mészárosová y1

Postup rysovania v Mongeovej projekcii:
Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 13 23 33 Zobrazíme sústavu čiar (polelíps) 1a, 2a, 3a, ... na, ..., ktoré ležia v rovinách n rovnobežných s nárysňou . Všetky polelipsy na majú rovnako dlhú hlavnú os s dĺžkou AB. Vedľajšia polos polelíps sa skracuje. Čím je rovina n polelipsy na ďalej od roviny , tým je dĺžka vedľajšej polosi kratšia až po nulovú dĺžku pre úsečky Pa a Qa. 53 43 63 z2 z3 S2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 1A2 1a2 = 2a2 1B2 1a3 2a3 3a3 4a3 3a2 = 4a2 x2 Pa2 = Qa2 C2 = 1C2 P3 = Pa3 Q3 = Qa3 y3 P1 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 2) Zostrojíme polelipsu 1a, ktorá leží v rovine 1: Bod 1C je vedľajší vrchol polelipsy 1a, jej hlavné vrcholy sú body 1A, 1B. 1  b = {1B} 1B3 = 1A3 3) Zobrazovaná plocha je súmerná podľa nárysne. Túto vlastnosť využijeme a budeme rysovať dvojice polelíps 1a, 2a; 3a, 4a. Zostrojíme polelipsu 2a, ktorá leží v rovine 2 súmernej s rovinou 1 podľa nárysne. Polelipsy 1a, 2a sú zhodné. 4) Podobne zostrojíme polelipsy 3a, 4a v rovinách 3, 4 . 5) V rovinách 5, 6 incidujúcich s bodmi P a Q ležia úsečky Pa, Qa. Pa1 51 3a1 31 1A1 1C1 1a1 1B1 11 A1 V1 =B1 x1 a1 C1 b1 2a1 21 4a1 41 Qa1 Q1 61 Tereňová, Mészárosová y1

Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Zobrazíme sústavu čiar (parabol) 1b, 2b, 3b, ... nb, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou  . Ich kolmé priemety do bokorysne sú s parabolou b = b3 perspektívne afinné. Osou afinity je priamka y, samodružné body sú P a Q. Zobrazovaná plocha je súmerná podľa roviny C, ktorá prechádza bodom C a je rovnobežná s bokorysňou. Túto vlastnosť využijeme a budeme rysovať dvojice kriviek 1b, 2b; 3b, 4b; 5b, 6b. z2 z3 S2 A2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 3b3 =4b3 1V2 Ab2 2b2 1V3 1b3 =2b3 1b2 x2 C2 = Cb2 P3 Cb3 C3 Q3 y3 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 6) Zostrojíme parabolu 1b, ktorá leží v rovine 1 rovnobežnej s bokorysňou. 1  a = {1V}; 1V je vrchol paraboly 1b. Kolmý priemet paraboly 1b do bokorysne je perspektívne afinný s parabolou b3 so samodružnými bodmi P3, Q3. Parabola 1b3 je určená vrcholom 1V3 a bodmi P3, Q3. 7) Zostrojíme parabolu 2b, ktorá leží v rovine 2 súmernej s rovinou 1 podľa roviny C. 8) Na zostrojenie ďalších čiar (parabol) klinovej plochy opakujeme postup pre ďalšie roviny n rovnobežné s bokorysňou. 9) Čiara v rovine C je úsečka Cb. 10) V rovine A, incidujúcej s bodom A, leží parabola Ab, ktorá je zhodná s parabolou b a jej vrchol je v bode A. 1P1 P1 Pa1 1b1 2b1 Cb1 A1 1V1 V1 =B1 x1 a1 C1 b1 Ab1 3b1 5b1 6b1 4b1 1Q1 Qa1 Q1 11 C1 21 A1 31 41 y1 51 61

Postup rysovania v Mongeovej projekcii:
Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 13 23 33 53 43 63 z2 z3 S2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 1A2 1a2 1B2 1a3 1V2 Ab2 1V3 1b3 1b2 x2 Pa2 = Qa2 Cb2 P3 = Pa3 Cb3 C3 Q3 = Qa3 y3 P1 Pa1 51 Postup rysovania v Mongeovej projekcii: 11) Zobrazíme obidve sústavy kriviek a pre lepšiu názornosť klinovú plochu vyfarbíme z jednej strany žltou farbou a z druhej modrou. 1b1 Cb1 31 1A1 1a1 1B1 11 A1 V1 =B1 x1 a1 C1 b1 Ab1 21 41 Qa1 Q1 61 11 C1 21 Tereňová, Mészárosová A1 31 41 y1 51 61

Postup rysovania v axonometrii:
Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Postup rysovania v axonometrii: 12) V kavaliernej axonometrii, pre ktorú platí jm = jx = jy = jz, zobrazíme riadiace krivky a, b. 13) Zobrazíme parabolu Ab, ktorá je zhodná s parabolou b a jej vrchol je v bode A. z2 z3 S2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 z jm x2 C2 jm P3 Q3 y3 P1 b1 A S V = B A1 jm V1 = B1 Ab x1 a1 a b C1 = S1 jm P jx jz jy x C Q1 Q y Tereňová, Mészárosová y1

Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Zobrazíme sústavu čiar (polelíps) 1a, 2a, 3a, ... na, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s nárysňou  a ich kolmé priemety do nárysne sú s polkružnicou a = a2 perspektívne afinné. Hlavné vrcholy elíps ležia na parabolách b a Ab. Vedľajšie vrcholy elíps ležia v pôdorysni. Postup rysovania v axonometrii: 14) Zostrojíme polelipsu 1a, ktorá leží v rovine 1: Bod 1C je vedľajší vrchol polelipsy 1a, jej hlavné vrcholy sú body 1A, 1B. 15) Zostrojíme polelipsu 2a, ktorá leží v rovine 2 súmernej s rovinou 1 podľa nárysne. Polelipsy 1a, 2a sú zhodné. 16) Podobne zostrojíme polelipsy 3a, 4a v rovinách 3, 4 . 17) V rovinách 5, 6 ležia úsečky Pa, Qa. Poznámka: Stredy elíps ležia na parabole Sb, ktorá je zhodná s parabolou b a leží v rovine C. z A Sb S V = B 1A 1B 1a 1S Ab 3a a b 5 Pa P 3 2a 1 1C 4a x 2 C 4 6 Qa Q y Tereňová, Mészárosová C

Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. Zobrazíme sústavu čiar (parabol) 1b, 2b, 3b, ... nb, ..., ktoré ležia v rovinách rovnobežných s bokorysňou . Vrcholy parabol ležia na polkružnici a. Postup rysovania v axonometrii: 18) Zostrojíme parabolu 2b, ktorá leží v rovine 2 rovnobežnej s bokorysňou. Parabola 2b je určená vrcholom 2V a bodmi 2P a 2Q. Ak máme zostrojenú sústavu polelíps 1a, 2a, 3a, ... na, ..., môžeme konštrukciu paraboly 2b doplniť bodmi, ktoré sú prienikom roviny 2 a polelíps 1a, 2a, 3a, ... na, .... 19) Zostrojíme parabolu 1b, ktorá leží v rovine 1 súmernej s rovinou 2 podľa roviny C. 20) Na zostrojenie ďalších parabol klinovej plochy opakujeme postup pre ďalšie roviny n rovnobežné s bokorysňou. 21) Čiara v rovine C je úsečka Cb. C  C. 22) Zobrazíme obrys plochy a pre lepšiu názornosť plochu vyfarbíme z jednej strany žltou farbou a z druhej modrou. z A S V = B 1a 1S Ab 3a a b 5 Pa 2P P 3 2V 2a 1 4a 2b x Cb 2 C 4b 4 6 1b Qa Q y 2Q 2 Tereňová, Mészárosová 1 C

Klinová plocha je daná krivkami a a b. Krivka a je polkružnica, krivka b je parabola. Danú plochu zobrazte v Mongeovej projekcii a v kavaliernej axonometrii. 13 23 KL 2 - zhrnutie 33 53 43 Tereňová, Mészárosová 63 z2 z3 S2 A2 V2 = B2 V3 a2 b2 b3 a3 1A2 1a2 1B2 1a3 1V2 Ab2 1V3 z 1b3 1b2 x2 Pa2 = Qa2 C2 = Cb2 P3 = Pa3 Cb3 C3 Q3 = Qa3 y3 P1 Pa1 51 1b1 Cb1 31 A S 1A1 V = B 1a1 1B1 11 A1 1S V1 =B1 1a Ab 3a a x1 a1 C1 b 5 Pa 2P P b1 3 2V 2a Ab1 1 21 41 4a 2b x C Cb Qa1 Q1 61 2 4b 4 6 1b Qa Q y 11 2Q C1 21 2 71 31 41 y1 1 C 51 61

Frankfurt Trade Fair Hall Frankfurt, Nemecko
Grimshaw architects Frankfurt Trade Fair Hall Frankfurt, Nemecko

Klinové plochy Obrázky: Píska, Medek: Deskriptivní geometrie II

Klinová plocha Obrázok: Sínuso-sínusoidná klinová plocha [Píska, Medek: Deskriptivní geometrie II]

Klinová plocha Práca študenta: Tomáš Kuric, FA STU, školský rok 2009/10

Juhoafrická republika Klinová plocha
Steyn Studio Bosjes Farm Witzenberg District Western Cape Juhoafrická republika Klinová plocha

Juhoafrická republika
Steyn Studio Bosjes Farm Witzenberg District Western Cape Juhoafrická republika

Klinová plocha

Klinová plocha Obrázok: Sínuso-sínusoidná klinová plocha
VECKOVÁ, J. Klínové plochy Dostupné na:

Renzo Piano Building Workshop, Architects in collaboration with
Stantec Architecture California Academy of Sciences San Francisco, USA

Renzo Piano Building Workshop, Architects in collaboration with
Renzo Piano Building Workshop, Architects in collaboration with Stantec Architecture California Academy of Sciences San Francisco, USA

Klinové plochy Obrázky: Rôzne typy a časti klinových plôch
Podrobnejšie pozri v diplomovej práci: VECKOVÁ, J. Klínové plochy Dostupné na:

Porovnajme výhody a nevýhody praktického využitia translačných, priamkových a klinových plôch v stavebnej praxi. Najväčšou výhodou použitia translačných plôch je možnosť sériovej výroby jej častí, lebo všetky čiary jednej sústavy sú navzájom zhodné. Najčastejšou aplikáciou sú translačné plochy s určujúcou úsečkou v jednej sústave. Toto zjednodušenie umožňuje použiť zložitejšiu (zaujímavejšiu) krivku v druhej sústave. Nevýhodou niektorých plôch použitých ako klenby (zastrešenie) je ich ukončenie krivkou. Priamkové rozvinuteľné plochy sú jednoznačne najčastejšie používané v praxi a to najmä hranolové a valcové plochy, ale aj ihlanové a kužeľové plochy. Okrem ich jednoduchosti medzi ich výhody patrí možnosť pokrytia rovinným materiálom (napríklad sklo) alebo materiálom, ktorý sa dá ľahko tvarovať (napríklad plech, drevo). Priamkové nerozvinuteľné plochy ponúkajú škálu zaujímavých tvarov a možnosť využiť tvoriace priamky ako nosné, alebo estetické prvky. Ich najväčšou nevýhodou je, že sa na ich pokrytie nedá použiť rovinný materiál. Riešením je rozdelenie plochy na množstvo malých častí, ktoré sú rovinné. Najčastejšou aproximáciou býva použitie trojuholníkovej alebo štvoruholníkovej siete. Často sa stretávame s aplikáciami, ktoré využívajú len jednotlivé priamky alebo krivky priamkových nerozvinuteľných plôch, napríklad nosné laná mostných konštrukcií. Najčastejšie aplikovanou je plocha hyperbolického paraboloidu, ktorá umožňuje využiť statické vlastnosti parabol v zvislých rovinách. Nevýhodou v tomto prípade je, že vodorovný rez hyperbolického paraboloidu je hyperbola. Prax priniesla požiadavku nájsť takú plochu, ktorá by bola ukončená úsečkou. Túto výhodu poskytujú klinové plochy. Podľa typu klinovej plochy môžu byť ukončené úsečkou v jednom, alebo v oboch smeroch, ktoré sú na seba kolmé. To umožňuje priame napojenie na budovu obdĺžnikového pôdorysu. Nevýhodou klinových plôch je meniaci sa tvar čiar jednej sústavy. Všetky čiary jednej sústavy sú v kolmom priemete perspektívne afinné, ale každá z nich má iný tvar. Minimálny počet aplikácií v stavebníctve poukazuje na to, že táto nevýhoda je pri realizácii rozhodujúca. Ale stále dokonalejšie materiály a technológie umožňujú realizovať čoraz odvážnejšie, zaujímavejšie tvary a tak možno aj klinové plochy budú v budúcnosti inšpiráciou pre architektov a dizajnérov.

Kapitola KL Klinové plochy.

Similar presentations

Presentation on theme: "Kapitola KL Klinové plochy."— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

Kapitola KL Klinové plochy.

Similar presentations

Presentation on theme: "Kapitola KL Klinové plochy."— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback