Statistic and Probability الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى.

Statistic and Probability
الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى . 3 طرق العد . 4 الاحتمال المشروط . 5

تحليل البيانات Data Analysis

مقاييس النزعة المركزية Measure of Central Tendency
المتوسط الحسابى mean Measure of Central Tendency

، . . . ، س ن ن ن ن = = = = ن ن ن ن 1 ن ن هو ن ن ن ن ن ن 2 1 س ، س
س ، س ، ، س ن ن المتوسط الحسابى لـ من الأعداد ن ن ر=1 ن ن = 1 س = 2 1 س + س س ن ن ر س هو وبصورة عامة يمكن إيجاد المتوسط الحسابى من جدول تكرارى ذو فئات باستخدام القانون التالى ر=1 ن ن ر ت س 2 1 ت س + ت س ت س ن ن س = ت + ت ت = ر=1 ن ن ر ت ر ت حيث تكرار الفئة ر ر س مركز الفئة ر ن ن عدد الفئات

مثال : يبين الجدول التالى الأوزان بالكيلوجرام لـ 60 طالباً ـــ أوجد المتوسط الحسابى لأوزان هؤلاء الطلاب 80 ــ 75 ــ 70 ــ 65 ــ 60 ــ 55 ــ 50 ــ الفئة 3 9 11 14 12 7 4 التكرار ت س التكرار مركز الفئة الفئة 4 50 ــ 7 55 ــ 12 60 ــ 14 65 ــ 11 70 ــ 9 75 ــ 3 80 ــ المجموع ر ر ر=1 7 ر ت س ت ر س ر 210 52.5 = س ر=1 7 ر ت 402.5 57.5 750 62.5 945 67.5 797.5 72.5 4050 = 697.5 77.5 60 247.5 82.5 = 67.5 4050 60

يمكن تبسيط الحسابات بأخذ وسطاً فرضياً ( ف = مركز الفئة الذى يقابل أكبر تكرار ) ونستخدم القانون
ر=1 ن ن ر ت ح ت ح التكرار مركز الفئة الفئة 4 50 ــ 7 55 ــ 12 60 ــ 14 65 ــ 11 70 ــ 9 75 ــ 3 80 ــ المجموع ر ح = س ــ ف ر ر = ف + س ت ر س ر ر=1 ن ن ر ت ــ 60 ــ 15 52.5 ــ 70 ــ 10 57.5 ر حيث ح = س ــ ف ــ 60 ــ 5 62.5 ( أنحراف كل فئة عن الوسط الفرضى ف ) 67.5 55 5 72.5 ف = 67.5 90 10 77.5 45 15 82.5 = س 60 60 = 67.5 س

الوسيط Median Measure of Central Tendency

الوسيط : لعدد من القيم المرتبة تصاعدياً أو تنازلياً هو :
ن ن عدد زوجى ن ن عدد فردى ن ن المتوسط الحسابى للعددين فى منتصف القيم العدد الذى يتوسط القيم + 1 ن ن 2 متوسط القيمتين التى ترتيبهما ، القيمة التى ترتيبها ن ن + 1 2 يمكن إيجاد الوسيط باستخدام التمثيل البيانى ـــــ للتكرار المتجمع الصاعد ـــــ أو للتكرار المتجمع النازل ـــــ أو لكليهما

التكرار المتجمع الصاعد أقل من الحدود العليا للفئة
مثال : أكمل جدول البيانات التالى لإيجاد الوسيط باستخدام التمثيل البيانى لمنحنى التكرار المتجمع الصاعد التكرار المتجمع الصاعد أقل من الحدود العليا للفئة التكرار الفئات 3 55 ـــ 4 60 ـــ 5 65 ـــ 6 70 ـــ 2 75 ـــ 20 المجموع 20 18 3 أقل من 60 16 7 أقل من 65 14 12 أقل من 70 12 التكرار المتجمع الصاعد 18 10 أقل من 75 8 20 أقل من 80 6 4 20 2 2 = 10 ترتيب الوسيط = = 55 60 65 70 75 80 الوسيط 68 تقريباً الحدود العليا للفئات

التكرار المتجمع النازل الحد الأدنى للفئة فأكثر
مثال : أكمل الجدول التالى لإيجاد الوسيط لدرجات 25 طالباً باستخدام التمثيل البيانى لمنحنى التكرار المتجمع النازل 26 24 التكرار المتجمع النازل الحد الأدنى للفئة فأكثر التكرار الفئات 2 5 ـــ 5 8 ـــ 8 11 ـــ 6 14 ـــ 4 17 ـــ 25 المجموع 22 20 25 5 فأكثر 18 23 8 فأكثر 16 18 11 فأكثر 14 التكرار المتجمع النازل 12 10 14 فأكثر 10 4 17 فأكثر 8 6 4 25 2 = 12.5 ترتيب الوسيط = 2 = 5 8 11 14 17 20 الوسيط تقريباً الحدود الدنيا للفئات

مثال : أكمل الجدول التالى لدرجات 60 طالباً باستخدام لتبين التكرار المتجمع الصاعد والتكرار المتجمع النازل ، ثم استخدم التمثيل البيانى لهما معاً لإيجاد الوسيط التكرار المتجمع الصاعد أقل من الحدود العليا للفئة التكرار الفئات 7 40 ـــ 10 50 ـــ 17 60 ـــ 12 70 ـــ 8 80 ـــ 6 90 ـــ 7 أقل من 50 17 أقل من 60 34 أقل من 70 60 46 أقل من 80 54 54 أقل من 90 48 60 أقل من 100 42 التكرار المتجمع 36 التكرار المتجمع النازل الحد الأدنى للفئة فأكثر التكرار الفئات 7 40 ـــ 10 50 ـــ 17 60 ـــ 12 70 ـــ 8 80 ـــ 6 90 ـــ 30 24 60 40 فأكثر 18 53 50 فأكثر 12 43 60 فأكثر 6 26 70 فأكثر = 14 80 فأكثر 40 50 60 70 80 90 100 6 الوسيط 68 تقريباً الحدود للفئات 90 فأكثر

المنوال Mode Measure of Central Tendency

المنوال : هو القيمة الأكثر تكراراً فى البيانات
المنوال : هو القيمة الأكثر تكراراً فى البيانات أوجد المنوال لكل مما يلى : المنوال = 5 5 ، 7 ، 5 ، 7 ، 5 ، 1 ، 5 ، 3 ، 5 ، 2 1 يوجد منوالان 7 ، 9 9 ، 7 ، 9 ، 7 ، 9 ، 1 ، 7 ، 3 ، 5 ، 2 2 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 ، 7 لايوجد منوال 3 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 لايوجد منوال 4 ثلاثة منوال 7 ، 5 ، 3 5 ، 7 ، 5 ، 7 ، 3 ، 1 ، 9 ، 3 ، 8 ، 2 5 المنوال = 0 0 ، 7 ، 0 ، 7 ، 0 ، 1 ، 5 ، 3 ، 0 6

إيجاد المنوال لتوزيع تكرارى باستخدام قانون الرافعة
تحديد الفئة المنوالية ( هى الفئة التى تقابل أكبر تكرار ) 1 تحديد التكرار السابق مباشرة للفئة المنوالية ( ك ) 2 1 المنوال تحديد التكرار اللاحق مباشرة للفئة المنوالية ( ك ) 3 2 تحديد ف ( طول الفئة المنوالية ) 4 ف رسم الرافعة كما فى الشكل 5 ف - س س × × نستخدم القانون ( قانون الرافعة ــــ القوة × زراعها = المقاومة × زراعها ) لإيجاد قيمة س 6 ك 2 ك 1 ملحوظة : يمكن إيجاد س باستخدام القانون × س = × ( ف ــ س ) ك 1 2 س = × ف ك 2 1 + المنوال = الحد الأدنى للفئة المنوالية + س 7

الحد الأدنى للفئة المنوالية
مثال : يبين الجدول التالى التوزيع التكرارى لمعدل الكوليسترول عند 20 شخصاً أوجد المنوال لمعدل الكوليسترول عند هؤلاء الأشخاص الحد الأدنى للفئة المنوالية 220 ــ 215 ــ 210 ــ 205 ــ 200 ــ 195 ــ الفئة 1 4 7 3 التكرار 4 4 التكرار اللاحق الفئة المنوالية التكرار السابق استخدام المدرج التكرارى المنوال = 7 ف = 215 ــ 210 = 5 6 5 التكرار 5 5 - س س 4 × × 3 س = 2.5 2 × س = × ( 5 ــ س ) 4 1 المنوال = الحد الأدنى للفئة المنوالية + س = = 212.5 = 195 200 205 210 215 220 225 الفئات

مقاييس التشتت المدى Madian

القيمة 46 أعطت مدى كبير جداً لانتشار القيم
مقاييس النزعة المركزية تُعطينا فكرة عن قرب أو بعد قيم البيانات عن المتوسط الحسابى أو عن الوسيط أو عن المنوال ولكنها لا توضح كيفية توزيع هذه القيم وأنتشارها تصف مقاييس التشتت ( الانتشار ) مدى التغير فى البيانات يكون التشتت صغيراً عندما تكون مفردات ( قيم ) البيانات متقاربة من بعضها ويكون كبيراً عندما تكون المفردات متباعدة عن بعضها أبسط مقاييس الانتشار هو المدى المدى = القيمة العظمى ـــ القيمة الصغرى يوضح المدى الانتشار الكامل لجميع قيم البيانات والذى يتضمن القيم المتطرفة التى قد تزيد المدى بشكل كبير وبالتالى تعطى فكرة خاطئة عن أنتشارقيم البيانات مثال : أوجد المدى لقيم البيانات التالية : 5 ، 7 ، 8 ، 3 ، 5 ، 46 5 ، 7 ، 8 ، 3 ، 5 ، 6 2 1 القيمة العظمى القيمة الصغرى القيمة 46 أعطت مدى كبير جداً لانتشار القيم القيمة الصغرى القيمة العظمى المدى = 46 ــ 3 = 43 المدى = 8 ــ 3 = 5

مقاييس التشتت الأرباعيات Quartiles

تُقسم الأرباعيات قيم البيانات إلى 4 أرباع ومنها نستنتج التالى :
النصف الأدنى النصف الأعلى ربع القيم ربع القيم ربع القيم ربع القيم القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الوسيط الأرباعى الأعلى القيمة العظمى القيمة العظمى ، القيمة الصغرى عند الأطراف 1 الأرباعى الأول ر وهو وسط النصف الأدنى من قيم البيانات ويسمى الأرباعى الأدنى 2 1 الأرباعى الثانى ر وهو وسط قيم البيانات كلها ويسمى الوسيط 3 2 الأرباعى الثالث ر وهو وسط النصف الأعلى من قيم البيانات ويسمى الأرباعى الأعلى 4 3 المدى الأرباعى = ر ـــ ر 5 1 3 ( القيمة الصغرى ، الأرباعى الأدنى ، الوسيط ، الأرباعى الأعلى ، القيمة العظمى ) 6 تسمى ” مُجمل الأعداد الخمسة ”

51 ، 47 ، 39 ، 38 ، 19 ، 16 ، 14 ، 12 الشباب السالمية النصر الجهراء
مثال : يبين الجدول التالى نتائج الدورى الكويتىلكرة القدم 2010 ـــ 2011 الشباب السالمية النصر الجهراء كاظمة العربى الكويت القادسية الفريق 12 14 16 19 38 39 47 51 النقاط أكتب ” مجمل الأعداد الخمسة ” 2 أوجد المدى والأرباعيات والمدى الأرباعى لقيم لهذه البيانات 1 وسط النصف الأدنى وسط النصف الأعلى 51 ، 47 ، 39 ، 38 ، 19 ، 16 ، 14 ، 12 القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الأرباعى الأعلى الوسيط القيمة العظمى = 51 ــ 12 = 39 المدى = القيمة العظمى ـــ القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى ( ر ) = 2 الوسيط ( ر ) = 2 = 15 = 28.5 1 2 المدى الأرباعى = ر ـــ ر 1 3 الأرباعى الأعلى ( ر ) = 2 = 43 = 43 ــ 15 = 28 3 مجمل الأعداد الخمسة : ( 12 ، 15 , 28.5 ، 43 ، 51 )

مثال : أوجد المدى والأرباعيات والمدى الأرباعى ومجمل الأعداد الخمسة للقيم التالية :
9 ، 5 ، 12 ، 8 ، 10 ، 7 ، 6 ، 4 ، 1 ، 15 ، 11 وسط النصف الأعلى ترتيب القيم تنازلياً وسط النصف الأدنى 15 ، 12 ، 11 ، 10 ، 9 ، 8 ، 7 ، 6 ، 5 ، 4 ، 1 القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الوسيط الأرباعى الأعلى القيمة العظمى = 15 ــ 1 = 14 المدى = القيمة العظمى ـــ القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى ( ر ) = 5 الوسيط ( ر ) = 8 1 2 المدى الأرباعى = ر ـــ ر الأرباعى الأعلى( ر ) = 11 = 11 ــ 5 = 6 1 3 3 مجمل الأعداد الخمسة : ( 1 ، 5 , 8 ، 11 ، 15 )

مقاييس التشتت مخطط الصندوق Box Plot

مخطط الصندوق : هوتمثيل بيانى يصف مجمل الأعداد الخمسة لقيم البيانات
القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الوسيط الأرباعى الأعلى القيمة العظمى 3 2 وهو يتكون من مستطيل مركزى ( صندوق ) يمثل الأرباعى الأدنى ( ر ) والوسيط ( ر ) و الارباعى الأعلى ( ر ) 1 وقطعتين مستقيمتين من الجهتين تمثلان القيمة الصغرى والقيمة العظمى ونسميهما العارضتين

أى ان الوسيط أقرب الى الأرباعى الأدنى
مثال : لتكن مجمل الأعداد الخمسة هى ( 14 ، 19.5 ، ، 36.5 ، 51 ) أرسم مخطط الصندوق ذو العارضتين لهذه القيم 1 فسر هذه النتائج 2 ر 1 ر 2 ر 3 القيمة الصغرى القيمة العظمى 14 19.5 24.5 36.5 51 10 20 30 40 50 60 القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الوسيط الأرباعى الأعلى القيمة العظمى يبين مخطط الصندوق أن المنطقة المحصورة بين الوسيط والأرباعى الأدنى هى أصغر من المنطقة المحصورة بين الوسيط والأرباعى الأعلى أى ان الوسيط أقرب الى الأرباعى الأدنى انتشارقيم البيانات قريبة أكثر إلى بعضها ( متجانسة ) بين الوسيط والأرباعى الأدنى وتبتعد عن بعضها ( ليست متجانسة ) بين الوسيط والأرباعى الأعلى

مثال : تمثل المجموعة الأولى بيانات معدل مصروف المنزل الشهرى على الطعام بالدولار الأمريكى فى 12 بلداً أوروبياً 310 ، 420 ، 750 ، 450 ، 520 ، 680 ، 470 ، 490 ، 590 ، 560 ، 380 ، 350 وتمثل المجموعة الثانية بيانات معدل مصروف المنزل الشهرى على الطعام بالدولار الأمريكى فى 12 بلداً عربياً 1050 ، 650 ، 700 ، 370 ، 900 ، 800 ، 220 ، 830 ، 1100 ، 1190 ، 190 ، 760 أوجد مجمل الأعداد الخمسة للمجموعتين ــ أرسم مخطط الصندوق للمجموعتين ـــ فسر النتائج المجموعة الأولى 750 ، 680 ، 590 ، 560 ، 520 ، 490 ، 470 ، 450 ، 420 ، 380 ، 350 ، 310 المجموعة الثانية 1190 ، 1100 ، ، 900 ، 830 ، 800 ، 760 ، 700 ، 650 ، 370 ، 220 ، 190 الرباعى الأدنى الوسيط الرباعى الأعلى الرباعى الأدنى الوسيط الرباعى الأعلى المجموعة الثانية المجموعة الأولى مجمل الأعداد الخمسة القيمة الصغرى الأرباعى الأدنى الوسيط الأرباعى الأعلى القيمة العظمى المجموعة الأولى المجموعة الثانية 190 310 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 510 400 780 480 المدى كبير فى الدول العربية يدل على تفاوت أجتماعى كبير 975 575 فى الدول الأوروبية الوسيط أقرب إلى الأرباعى الأدنى وذلك يدل على أن المصروف على الطعام أقرب إلى 450 دولاراً ــ أما فى الدول العربية الوسيط أقرب إلى الأرباعى الأعلى مما بعنى أنها تنفق كثيراً على الطعام حوالى 780 دولاراً شهرياً 1190 750 المدى 1000 440

الانحراف المعيارى Standard Deviation
مقاييس التشتت الانحراف المعيارى Standard Deviation

ن ن ن ن الأنحراف المعيارى = ع التباين = ع = ن ن ن ن ن ن ت
3 2 إذا كانت س ، س ، س ، ، س مجموعة من القيم عددها ومتوسطها الحسابى هو س فإن ن ن 1 ن ن ر=1 ( س ـــ س ) ر 2 الأنحراف المعيارى = ع التباين = ع = 2 3 2 إذا كانت س ، س ، س ، ، س هى قيم بيانات ن ن 1 3 2 ت ، ت ، ت ، ، ت هى تكرارات هذه القيم على الترتيب فإن ن ن 1 ر=1 ن ن ( س ـــ س ) ر 2 ت ر التباين = ع = 2 الأنحراف المعيارى = ع ر=1 ن ن ت ر إذا كان الأنحراف المعيارى صغيراً كان تشتت القيم أقرب إلى المتوسط الحسابى وإذا كان كبيراً كان تشتت القيم بعيداً عن المتوسط الحسابى

مثال : أوجد التباين والانحراف المعيارى لقيم البيانات : 9 ، 7 ، 8 ، 6 ، 4 ، 2
مربع الانحراف عن المتوسط الحسابى انحراف القيم عن المتوسط الحسابى القيمة 9 7 8 6 4 2 المجموع 36 6 ( س ـــ س ) ر 2 س ر = 6 س ـــ س ر س = ن ن ر=1 9 ( س ـــ س ) ر 2 3 التباين = ع = 2 1 1 4 2 3 2 5 = 34 6 = 51 3 = 34 6 ع = 4 ــ 2 = تقريباً 16 ــ 4 34 36 ملحوظة هامة : المجموع يساوى صفر

، المتوسط الحسابى = 13 ، المتوسط الحسابى = 13
مثال : لتكن المجموعة ( أ ) : 12 ، 10 ، 7 ، 15 ، 8 ، 19 ، 20 الانحراف المعيارى فى المجموعة ( ب ) أقل من الانحراف المعيارى للمجموعة ( أ ) لذا تشتت القيم عن متوسطها الحسابى للمجموعة ( ب ) أقل من تشتت المجموعة ( أ ) ، المجموعة ( ب ) : 14 ، 18 ، 12 ، 9 ، 8 ، 11 ، 19 أوجد المتوسط الحسابى ، الوسيط ، الانحراف المعيارى لكل من المجموعتين وأى القيم أقل تشتتاً عن متوسطها الحسابى ( فسر إجابتك ) المجموعة ( ب ) : 8 ، 9 ، 11 ، 12 ، 14 ، 18 ، 19 المجموعة ( أ ) : 7 ، 8 ، 10 ، 12 ، 15 ، 19 ، 20 ، المتوسط الحسابى = 13 ، المتوسط الحسابى = 13 الوسيط = 12 الوسيط = 12 91 7 مربع الانحراف عن المتوسط الحسابى انحراف القيم عن المتوسط الحسابى القيمة 8 9 11 12 14 18 19 المجموع = 13 س = مربع الانحراف عن المتوسط الحسابى انحراف القيم عن المتوسط الحسابى القيمة 7 8 10 12 15 19 20 المجموع 160 7 التباين = ع = 2 ( س ـــ س ) ر 2 ( س ـــ س ) ر 2 س ـــ س ر س ر س ـــ س ر س ر 25 ــ 5 7 6 22 = 36 ــ 6 16 ــ 4 25 ــ 5 4 70 7 ع = 4 ــ 2 9 ــ 3 = تقريباً 1 ــ 1 1 ــ 1 108 7 التباين = ع = 2 1 1 4 2 7 3 15 = 25 5 36 6 36 6 6 21 7 49 7 ع = 108 91 160 91 = تقريباً

مربع الانحراف عن المتوسط الحسابى انحراف مركز الفئة عن المتوسط الحسابى
ملحوظة : لحساب التباين لقيم بيانات فى جدول تكرارى ذو فئات نعتبر س هى مركز الفئة ر يبين الجدول التالى التوزيع التكرارىلأوزان 100 طالب ــ أوجد الأنحراف المعيارى ع لهذه الأوزان 76 ـــ 72 ـــ 68 ـــ 64 ـــ 60 ـــ الفئة 8 27 42 18 5 التكرار 7060 100 = 70.6 مربع الانحراف عن المتوسط الحسابى انحراف مركز الفئة عن المتوسط الحسابى مركز الفئة التكرار الفئة 5 60 ــ 18 64 ــ 42 68 ــ 27 72 ــ 8 76 ــ المجموع 100 س = س ر ت × ر 1516 100 التباين = ع = 2 ( س ـــ س ) ر 2 س ر ت × ر س ـــ س ر ت ر 369.8 ــ 8.6 310 62 = 15.16 380.88 ــ 4.6 1188 66 379 5 15.12 ــ 0.6 2940 70 ع = 312.12 3.4 1998 74 = تقريباً 438.08 7.4 624 78 1516 7060

مثال : الانحراف المعيارى لمجموعة قيم من بيانات هو ع = 4 ، مجموع مربعات انحراف هذه القيم عن متوسطها الحسابى هو 480 فما هو عدد قيم هذه البيانات ؟ ن ن ر=1 ( س ـــ س ) ر 2 التباين = ع = 2 480 ن ن ( 4 ) = 2 480 16 ن ن = 30 = عدد قيم هذه البيانات هو 30

Methods of Counting طرق العد

من دون تكرار لأى حرف منها ؟
Counting Principle مبدأ العد ما عدد الرموز ثلاثية الحروف التى يمكن تكوينها من بين الحروف أ ، ب ، جـ ، د من دون تكرار لأى حرف منها ؟ أ أولاً أ د جـ أ د ب أ جـ د أ جـ ب أ ب د أ ب جـ قائمة بالإمكانيات بشكل مرتب ب أولاً ب د جـ ب د أ ب جـ د ب جـ أ ب أ د ب أ جـ جـ أولاً جـ د ب جـ د أ جـ ب د جـ ب أ جـ أ د جـ أ ب د أولاً د جـ ب د جـ أ د ب جـ د ب أ د أ جـ د أ ب يمكن كتابة 24 رمزاً يوجد 4 × 6 = 24 إمكانية أبدأ الشجرة البيانية 4 جـ ب د أ × 3 جـ ب أ د ب أ د جـ أ د جـ ب × 2 ب أ أ جـ ب د جـ جـ جـ ب ب أ د ب د أ جـ أ د أ د ب د جـ يمكن كتابة 24 رمزاً يوجد 4 × 3 × 2 = 24 إمكانية

من دون تكرار لأى حرف منها شرط ألا يبدأ الرمز بـ أ ؟
ما عدد الرموز التى يمكن تكوينها من حروف نواف من دون تكرار لأى حرف منها شرط ألا يبدأ الرمز بـ أ ؟ الحروف هى أ ، ن ، و ، ف ن أولاً ن ف و أ ن ف أ و ن و ف أ ن و أ ف ن أ ف و ن أ و ف و أولاً و ف ن أ و ف أ ن و ن ف أ و ن أ ف و أ ف ن و أ ن ف ف أولاً ف و ن أ ف و أ ن ف ن و أ ف ن أ و ف أ و ن ف أ ن و يوجد 3 × 6 = 18 إمكانية يمكن كتابة 18 رمزاً

حلويات دجاج سلطة فاكهة سمك حساء لحمة
النوع الثالث النوع الثانى النوع الأول حلويات دجاج سلطة فاكهة سمك حساء لحمة يقدم أحد المطاعم وجبة الغداء مؤلفة من ثلاث أنواع كما فى الجدول أستخدم الشجرة البيانية لإعطاء عدد الوجبات الممكنة أبدأ حساء سلطة لحمة سمك دجاج لحمة سمك دجاج فاكهة حلويات فاكهة حلويات فاكهة حلويات فاكهة حلويات فاكهة حلويات فاكهة حلويات عدد الوجبات الممكنة 12 وجبة يوجد 2 × 3 × 2 = 12 إمكانية

Counting Principle مبدأ العد
إذا كان لدينا عملية مركبة من عدة عمليات متتالية عددها حيث نن ع 1 يمكن أن تحدث بـ طريقة ، ر ع 2 يمكن أن تحدث بـ طريقة ، ر ... ع يمكن أن تحدث بـ طريقة ر نن ن ن فإن عدد الطرق المختلفة التى يمكن أن تحدث بها هذه العملية هى ر × ر × × ر 1 2 ن ن

ج ك 6 5 0 5 عدد اللوحات = 28 × 27 × 10 × 9 × 8 = 320 544 لوحة
تبدأ لوحات السيارات فى إحدى المدن بحرفين من الحروف الأبجدية يتبعها ثلاثة أرقام . كم عدد اللوحات التى يمكن الحصول عليها ؟ ( لا يوجد تكرار لأى حرف أو رقم ) ج ك 5 8 9 10 27 28 عدد طرق للعملية الواحدة عدد اللوحات = 28 × 27 × 10 × 9 × 8 = لوحة ما هو عدد اللوحات التى يمكن الحصول عليها إذا كان رقم الآحاد فردى ؟ عدد اللوحات = 28 × 27 × 5 × 9 × 8 = لوحة

Permutations التباديل ، ر 5 ن ن ن ن ن ن ن ن ي ن ن ن ن ي ن ن ن ن ! !
عدد تباديل من العناصر المختلفة ( حيث الترتيب مهم ) مأخوذة منها ر كل مرة هو : ن ن ل ن ن ر ن ن = ( ــ 1 ) ( ــ 2 ) ( ــ ر + 1 ) ح م س ، ر ن ن ن ن ر ، ي ص ص + ل ن ن = 1 عندما ر = 0 يعرف ن ن عدد تباديل من الأشياء هو مضروب ن ن ي ص ص + ن ن = × ( ــ 1 ) × ( ــ 2 ) × × 3 × 2 × 1 ن ن ! ! حيث = 1 ن ن ! = × ( ــ 1 ) تذكر : 3 ! = 6 = 3 × 2 × 1 ل 5 2 ل 3 10 = 720 = 10 × 9 × 8 = 20 = 5 × 4 3 عامل ونبدأ بـ 10 2 عامل ونبدأ بـ 5

ل ن ن ر ن ن = ( ــ 1 ) ( ــ 2 ) ( ــ ر + 1 ) ( ــ ر ) ×3×2×1 ن ن ن ن = ( ــ 1 ) ( ــ 2 ) ( ــ ر + 1 ) ( ــ ر ) ×3×2×1 ن ن ! ن ن = ! ( ــ ر ) ن ن مثال : فى إحدى الجمعيات يوجد 20 عضواً ــ يريدون أختيار رئيساً ، أميناً للسر ، أميناً للصندوق ــ بكم طريقة يمكن بها الاختيار لهذه المناصب ؟ ! 20 ل 3 20 = عدد الطرق = ! 17 أمين الصندوق أمين السر رئيس = 20 × 19 × 18 ! 17 20 × 19 × 18 × 18 19 20 = طريقة = عدد الطرق اختيار ! 17 عدد الطرق = 20 × 19 × 18 = 20 × 19 × 18 = طريقة = طريقة

مثال : ما عدد الأعداد التى يمكن أن تتشكل من أربعة أرقام من أرقام النظام العشرى بدون الصفر وذلك فى حالة عدم تكرار أى رقم ( أرقام العدد مختلفة ) ؟ أرقام النظام العشرى بدون الصفر هى 1، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ، 7 ، 8 ، 9 ملحوظة : الترتيب مهم 1234 يختلف عن 4321 وهكذا المطلوب إيجاد التباديل لـ 4 أرقام مختلفة من بين 9 أرقام ل 4 9 = 024 3 = 9 × 8 × 7 × 6 يوجد عدد يمكن تكوينه ! 5 ! 9 9 × 8 × 7 × 6 × ل 4 9 = = ! 5 ! 5 = 024 3 = 9 × 8 × 7 × 6 استخدام الآلة الحاسبة : = 4 nPr SHIFT 9

قق Combinations التوافيق أ د جـ أ د ب أ جـ د أ جـ ب أ ب د أ ب جـ
مثال : ما عدد اللجان المكونة من ثلاثة أشخاص و التى يمكن تكوينها من مجموعة من أربعة أشخاص سم الاربعة أشخاص أ ، ب ، جـ ، د فيكون عدد الترتيبات الممكنة 24 طريقة ( الترتيب مهم ) أ د جـ أ د ب أ جـ د أ جـ ب أ ب د أ ب جـ ب د جـ ب د أ ب جـ د ب جـ أ ب أ د ب أ جـ جـ د ب جـ د أ جـ ب د جـ ب أ جـ أ د جـ أ ب د جـ ب د جـ أ د ب جـ د ب أ د أ جـ د أ ب لجنة من ثلاثة أشخاص الترتيب يكون غير مهم ( أ ب جـ هى نفسها أ جـ ب هى نفسها ب أ جـ ) ، ب جـ د ظهرت 6 مرات ، أ جـ د ظهرت 6 مرات ، أ ب د ظهرت 6 مرات أ ب جـ ظهرت 6 مرات ( 3 ) ! ل 3 4 = ل 3 4 ! ( ) 3 قق 4 = 4 × 3 × 2 = 4 لجان = = عدد اللجان 3 × 2 × 1 ! 3 تسمى التوافيق

قق قق قق ، ر 1 2 ن ن ن ن ! ن ن ن ن ي ن ن ن ن ! ن ن ن ن ن ن ن ن ن ن
قانون التوافيق : عدد التوافيق المكونة من ر من الأشياء والمختارة من من الاشياء هو : ن ن ل ن ن ر ! ن ن قق ن ن ر ( ) ن ن ر ح م س ، ر ن ن ن ن ر ، ي ص ص + = = = ! ( ــ ر ) ن ن ! ر ! ر قق ن ن ( ) ن ن = 1 = عندما ر = 0 يعرف 1 قق ن ن ( ) ن ن 2 = 1 = مثال : إذا كان 20 لاعباً لكرة القدم ( إى لاعب يمكنه اللعب فى أى مركز ) ـــــ فما عدد الفرق المختلفة التى يمكن تكوينها من 11 لاعباً ؟ الترتيب غير مهم نستخدم التوافيق ل 11 20 ( ) 11 20 = = ! 11 استخدام الآلة الحاسبة : = 11 nCr SHIFT 20

Conditional Probability
الاحتمال المشروط Conditional Probability

الـــــــــوجــــــــه الأســــفــــل
صــ 205 ــ أعتبر الفراغ هو صفر الـــــوجـــــــــــه الأعــــــــــلــى 6 5 4 3 2 1 الـــــــــوجــــــــه الأســــفــــل (6،0) (5،0) (4،0) (3،0) (2،0) (1،0) (0،0) (6،1) (5،1) (4،1) (3،1) (2،1) (1،1) (6،2) (5،2) (4،2) (3،2) (2،2) (6،3) (5،3) (4،3) (3،3) (6،4) (5،4) (4،4) (6،5) (5،5) (6،6) عدد الأزواج 28 زوجاً عدد النواتج المؤلفة من رقمين متساويين 7 نواتج عدد البلاطات غير متساوية الأرقام بلاطة 7 1 = 21 3 = الأحتمال عدد البلاطات التى مجموع الرقمين 5 هو 3 بلاطات عدد البلاطات متساوية الأرقام 7 بلاطات 7 3 = الأحتمال عدد البلاطات التى مجموع الرقمين أقل من 5 هو 3 بلاطات

فى كل تجربة عشوائية نهتم
معرفة مجموعة النواتج الممكنة والتى تسمى فضاء العينة ( ف ) 1 الحدث وهو مجموعة جزئية من فضاء العينة 2 إذا كانت جميع نواتج التجربة العشوائية لها فرصة الظهور نفسها فإن احتمال الحدث أ هو : ن ( أ ) عدد نواتج الحدث أ ل ( أ ) = ل ( الحدث أ ) = ن ( ف ) عدد نواتج فضاء العينة تذكر : ل ( أ ) ح م س حدث مؤكد حدث مستحيل يمكن كتابة الاحتمال على صورة كسر عشرى ، كسر ، نسبة أو نسبة مئوية

مثال : فى لعبة ” رمى حجرى نرد منتظمين ومتمايزين ” والتجربة هى ملاحظة الوجه العلوى لكل من الحجرين 2 أكتب فضاء العينة ؟ 1 مما يتألف كل ناتج ؟ معلومة مفيدة : فضاء العينة فى تجربة رمى حجرى نرد منتظمين ومتمايزين هو نفسه فضاء العينة فى تجربة رمى حجر نرد منتظم مرتين متتاليتين 4 مثل فضاء العينة بيانياً 3 ما عدد النواتج الممكنة ؟ 6 ما احتمال الحدث ب : ” ظهور عددين مجموعهما يساوى 7 “ ؟ 8 ما احتمال الحدث د : ” ظهور عددين أحدهما مربع للآخر“ ؟ 7 ما احتمال الحدث جـ : ” ظهور عددين مجموعهما يساوى 13 “ ؟ 5 ما احتمال الحدث أ : ” ظهور عددين مجموعهما يساوى 4 “ ؟ يتألف كل ناتج من زوج مرتب ( د ، هـ ) ح م س حيث د ، هـ ، د ، هـ ي ص ص + 6 ف = ( 1 ، 1 ) ، ( 1 ، 2 ) ، ، ( 1 ، 6 ) ة الحجر الثانى 5 ، ( 2 ، 1 ) ، ( 2 ، 2 ) ، ، ( 2 ، 6 ) 000 4 ة 3 ، ( 6 ، 1 ) ، ( 6 ، 2 ) ، ، ( 6 ، 6 ) 2 عدد النواتج الممكنة = 6 × 6 = 36 ناتج 1 ل ( ب ) = ن ( ب ) ن ( ف ) ل ( أ ) = ن ( أ ) ن ( ف ) ل ( جـ ) = ن ( جـ ) ن ( ف ) ل ( د ) = ن ( د ) ن ( ف ) 6 1 = 12 1 = 12 1 = 36 6 = 36 3 = 36 3 = حدث مستحيل = صفر 1 2 3 4 5 6 الحجر الأول

خواص الاحتمال لحدث ما : 1 2 3 4 5 ح م س ، يسمى أ حدثاً مستحيلاً
ليكن أ حدث فى فضاء عينة منتهية فإن : ن ( أ ) 1 ل ( أ ) = ن ( ف ) ل ( أ ) ح م س 2 ، يسمى أ حدثاً مستحيلاً إذا كان أ = ة ، إذاً ل ( أ ) = صفر 3 ، يسمى أ حدثاً مؤكداً ، إذاً ل ( أ ) = 1 4 إذا كان أ = ف مجموع احتمالات جميع النواتج ( احداث بسيطة ) فى فضاء العينة يساوى 1 5 فى كثير من تجارب الاحتمال نستخدم التباديل أو التوافيق لإيجاد الاحتمال

مثال : أشترى ناصر علبة حلوى تحتوى على 12 قطعة بينها 4 قطع بالشوكولاتة ــ يريد ناصر أخذ قطعتين من العلبة ــ فما احتمال أن يختار قطعتين من الشوكولاتة ؟ معاً عشوائياً ما احتمال اختيار قطعتى حلوى معاً عشوائياً ليستا بالشوكولاتة ؟ الترتيب غير مهم = ل 2 12 ! ( ) 2 12 نستخدم التوافيق 12 × 11 = 66 = ن ( ف ) = 2 × 1 الترتيب غير مهم نستخدم التوافيق الحدث أ : ” اختيار قطعتين بالشوكولاتة ” = ل 2 4 ! 4 × 3 ( ) 2 4 = 6 = ن ( أ ) = 2 × 1 ل ( أ ) = ن ( أ ) ن ( ف ) 11 1 = 66 6 = الحدث ب : ” اختيار قطعتين ليستا بالشوكولاتة ” = ل 2 8 ! 8 × 7 ( ) 2 8 = 28 = ن ( ب ) = 2 × 1 ل ( ب ) = ن ( ب ) ن ( ف ) 33 14 = 66 28 =

مخطط فن Venn Diagram مثال : فى إحدى المدارس يهتم 54 % من الطلاب بالأنشطة الكشفية ، 62 % بالرياضة ــ نصف الذين يهتمون بالأنشطة الكشفية يهتمون أيضاً بالرياضة 11 % الكشفية الرياضة 1 ما النسبة المئوية للطلاب الذين يهتمون فقط بالرياضة ؟ 27 % 27 % 35 % إختير طالب عشوائياً من الطلاب ، فما احتمال ألا يهتم بالرياضة ؟ 2 فضاء العينة = 27 % 0.5 × 54 % الطلاب المهتمين بالرياضة والكشفية معاً = = 35 % ( 62 ــ 27 ) % الطلاب المهتمين بالرياضة فقط = = 11 % المنطقة البيضاء تتضمن : ( 100 ــ 35 ــ 27 ــ 27 ) % 100 38 = = 0.38 = 38 % ( 100 ــ 62 ) % ( ) % احتمال ألا يهتم الطالب بالرياضة =

حاول صــ 208 ــ : يقرأ 84 % من طلاب الصف العاشر كتب مطالعة باللغة العربية ، ويقرأ 18 % من طلاب هذا الصف كتباً باللغة الإنكليزية ، ويقرأ 15 % من الطلاب باللغتين ــ اختير طالب عشوائياً من طلاب هذا الفصل 1 ما احتمال أن يكون ممن يقرأون كتباً باللغة الإنكليزية فقط ؟ ما احتمال أن يكون هذا الطالب ممن لا يقرأون كتباً باللغتين معاً ؟ العربية 2 الإنكليزية 69 % 15 % 3 % احتمال أن يكون ممن يقرأون كتباً باللغة الإنكليزية فقط 13 % 100 3 = = 0.03 = 3 % فضاء العينة ( 84 ــ 15 ) % احتمال أن يكون هذا الطالب ممن لا يقرأون كتباً باللغتين معاً ( 18 ــ 15 ) % 100 13 = = 0.13 = 13 % ( 100 ــ 84 ــ 3 ) %

العمليات على الأحداث واحتمالاتها
، ب أ ( حدثين ) ط ، ب ف أ هو الحدث الذى يتألف من النواتج الموجودة فى و ب معاً فى آن واحد أ أ ط ب 1 هو الحدث الذى يتألف من النواتج الموجودة فى أو ب أ أ ط ب 2 ، ب أ متنافيان إذا لم يشتركا فى أى عنصر أ ط ب ف = 3 متمم الحدث هو أ 4 ( يتألف من كل النواتج الموجودة فى فضاء العينة وغير موجودة فى ) أ أ = ف ــ

أ قاعدة الاحتمال لأتحاد حدثين قاعدة الاحتمال لمتمم الحدث
ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) أ ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) أ قاعدة الاحتمال لمتمم الحدث أ ل ( ) + ل ( ) = 1 أ ل ( ) = 1 ــ ل ( ) قاعدة الاحتمال لحدثين متنافيين إذا كان ، ب حدثين متنافيين من فضاء العينة ف فإن : أ ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) أ ط ب ل ( ) = صفر أ ط ب

حاول صــ 209 ــ : إذا كان ، ب حدثان فى فضاء العينة ف وكان
أ ل ( ) = ، ل ( ب ) = ، ل ( ) = 0.6 أ ط ب ل ( ) أ ط ب 1 أوجد كلاً من : ل ( ب ) 2 أ ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) = 0.2 = ــ 0.6 ل ( ب ) = 1 ــ ل ( ب ) = 0.5 = 1 ــ 0.5

مثال6 صـ 210 ــ : إذا كان ، ب حدثان فى فضاء العينة ف وكان
أ ل ( ) = ، ل ( ) = ، ل ( ) = 0.4 أ ط ب ل ( ب ) أوجد يمكن إيجاده 0.4 مطلوب 0.9 أ ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) نستخدم القانون أ ل ( ) = 1 ــ ل ( ) أ ل ( ) = 1 ــ 0.2 أ 0.2 = 1 ــ ل ( ) = 0.8 أ ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) 0.9 = ل ( ب ) ــ 0.4 = 0.5 ل ( ب ) = 0.9 ــ ل ( ب ) = 1 ــ ل ( ب ) = 0.5 = 1 ــ 0.5

حاول صــ 210 ــ : إذا كان ، ب حدثان فى فضاء العينة ف وكان
أ ل ( ) = ، ل ( ب ) = ، ل ( ) = 0.2 أ ط ب أوجد احتمال عدم وقوع الحدث أو الحدث ب أ المطلوب أ ط ب ل ( ) أ ط ب ل ( ) = ل ( ) + ل ( ب ) ــ ل ( ) = 0.9 = ــ 0.2 أ ط ب ل ( ) = 1 ــ ل ( ) = 0.1 = 1 ــ 0.9

أ أ أ أ أ أ 1 2 3 ط 4 ط ط ط ط أوجد ل ( ) احسب ل ( ) جـ ل ( )
مثال ( 7 ) صـ 210 ــ : يبين الجدول توزيعاً للأشخاص العاملين فى إحدى المستشفيات المجموع أمرأة رجل الجنس المهنة 42 14 28 طبيب 252 232 20 ممرض 56 34 22 تقنى - إدارى 350 280 70 تم اختيار شخص عشوائياً من بين 350 شخصاً عاملاً بالمستشفى 1 أوجد احتمال كل حدث من الأحداث التالية ب : ” الشخص أمرأة ” أ : ” الشخص ممرض ” أوجد ل ( ) أ 2 جـ : ” الشخص طبيب ” أوجد ل ( هـ ) حيث الحدث هـ ” الشخص يكون أمرأة و طبيب ” استخدم الجدول 3 أوجد ل ( و ) حيث الحدث و ” الشخص يكون أمرأة أو طبيب ” استخدم القانون احسب ل ( ) أ ط جـ 4 أ ل ( ) ب ، جـ ليسا حدثين متنافيين و = ب جـ ط 25 18 = 350 252 = = 0.72 ل ( و ) = 5 4 = 350 280 = ل ( ب ) = 0.8 ط ل ( ب ) = ل ( ب ) + ل ( جـ ) ــ ل ( ب جـ ) جـ 25 3 = 350 42 = ل ( جـ ) = 0.12 أ ل ( ) = 1 ــ ل ( ) = 0.88 = ــ 0.04 ، جـ حدثين متنافيين أ = 0.28 = 1 ــ 0.72 ل ( ) = ل ( ) + ل ( جـ ) أ ط جـ 25 1 = 350 14 = ل ( هـ ) = 0.04 هـ = ب جـ ط = 0.84 =

المستقلة الأحداث Independant Events

قاعدة الضرب للأحداث المستقلة
يكون الحدثان مستقلين إذا كان حدوث أحدهما لا يؤثرعلى حدوث الآخر قاعدة الضرب للأحداث المستقلة إذا كان ، ب حدثان مستقلان فإن احتمال وقوع الحدثين معاً هو : أ ل ( ) = ل ( ) × ل ( ب ) أ ط ب حاول صــ 212 ــ : ل ( ب ) = 0.5 ب : ” الحصول على صورة فى الرمية الأولى ” ل ( جـ ) = 0.5 جـ : ” الحصول على كتابة فى الرمية الثانية ” ل ( د ) = 0.5 د : ” الحصول على صورة فى الرمية الثالثة ” ب ، جـ ، د أحداث مستقلة ط ل ( ب جـ د ) = ل ( ب ) × ل ( جـ ) × ل ( د ) احتمال أن يكون الناتج ( ص ، ك ، ص ) هو = 0.125 = 0.5 × 0.5 × 0.5

الحدث التابع Dependant Event

يكون الحدث تابعاً عندما يتأثر حدوثه ( ظهوره ) بحدث سابق
حاول صــ 213 ــ : شوكولاتة 11 3 ب : ” أخذ قطعة بنكهة الشوكولاتة ” شوكولاتة 12 4 11 8 3 1 = 12 4 = ل ( ب ) حليب أبدأ جـ : ” أخذ قطعة بنكهة الحليب ” شوكولاتة 11 4 11 8 = 12 8 ل ( جـ ) حليب 11 7 ل ( قطعة بنكهة الشوكولاتة ثم قطعة بنكهة الحليب ) حليب = ل ( ب ) × ل ( جـ ) 33 8 = = × 3 1 11 8

الاحتمال المشروط Conditional Probability

فى تجربة ألقاء حجر نرد مرة واحدة وملاحظة الوجه العلوى له فإن فضاء العينة هو
ف = 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ة ليكن الحدث ” ظهور عدد أكبر من 3 ” أ أ ل ( ) أ = 4 ، 5 ، 6 ة 2 1 = 6 3 = ب = 2 ، 4 ، 6 ة وليكن الحدث ب ” ظهور عدد زوجى ” أ إذا علمنا أن الحدث قد وقع ، فما هو احتمال وقوع الحدث ب بشرط وقوع الحدث ط ب أ = 4 ، 6 ة 3 2 أ = 4 ، 5 ، 6 ة فضاء العينة الجديد هو يسمى بالاحتمال المشروط ( شرطى ) أ ويكتب ل ( ب / ) أ ل ( ب / ) = أ ويقرأ أحتمال الحدث ب بشرط 3 2

قاعدة الاحتمال المشروط
أ إذا كان وقوع الحدث ب مشرطاً بوقوع الحدث فإن ط ل ( ب ) أ حيث أ ل ( ) أ ل ( ب / ) = أ ل ( ) أ ل ( ب / ) أ ل ( ) × ط ل ( ب ) = أ مثال ( 10 ) صـ 215 ــ : فى تجربة عشوائية إذا كان ط ، ل ( ب ) = 0.2 أ أ ل ( ) = 0.3 ، ل ( ب ) = 0.6 أ أوجد ل ( / ب ) أ أوجد ل ( ب / ) 2 1 ط ل ( ب ) أ ط ل ( ب ) أ أ ل ( / ب ) = أ ل ( ب / ) = أ ل ( ) ل ( ب ) 3 1 = 0.6 0.2 = 3 2 = 0.3 0.2 =

أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ أ ط ط ط ط ط ط ط ط
حاول 10 ـــ صــ 215 ــ : ط أوجد ل ( ب ) أ أ ، ل ( ب / ) = 0.2 أ ل ( ) = 0.3 فى تجربة عشوائية إذا كان أ ل ( ب / ) أ ل ( ) × ط ل ( ب ) = أ = 0.06 = 0.3 × 0.2 حاول 11 ـــ صــ 215 ــ : أ فى تجربة إلقاء حجر نرد منتظم ، الحدث ب ” الحصول على عدد زوجى ” والحدث ” الحصول على عدد أولى ” فاحسب ل ( ب / ) ف = 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، 5 ، 6 ة ملحوظة : ن ( ف ) = 6 أ ل ( ) ن ( ) = 3 أ أ = 2 ، 3 ، 5 ة فى أى تجربة عشوائية ( الاحداث متساوية الفرص ) فإن 2 1 = 6 3 = أ ل ( ب / ) = ط ل ( ب ) ل ( ) ب = 2 ، 4 ، 6 ة ط ب أ = 2 ة ط ن ( ب ) أ ن ( ) = ط ل ( ب ) أ ط ن ( ب ) = 1 أ 6 1 = ط ل ( ب ) أ فى حاول 11 ـــ صــ 215 ــ : 6 1 أ ل ( ب / ) = ( ) = أ ل ( ب / ) = 3 1 = 6 2 = أ ل ( ) 3 1 2 1

مثال ( 12 ) صـ 216 ــ : المجموع خضراء صفراء حمراء اللون أقراص 100 20 30 50 دائرية 40 مربعة 200 70 80 يحتوى كيس على أقراص كما هو موضح فى الجدول سحب قرص عشوائياً من الكيس ما احتمال أن يكون مربع الشكل إذا علمنا أن لونه أصفر ؟ مربع بشرط أن يكون أصفر ن ( ) = 70 أ ليكن الحدث ” سحب قرص لونه أصفر ” أ ط ن ( ب ) = 40 أ والحدث ب ” سحب قرص مربع الشكل ” أ ل ( ب / ) = ط ن ( ب ) ن ( ) 7 4 = 70 40 =

حاول 12 ـــ صــ 216 ــ : المجموع الأحياء الفيزياء الرياضيات المادة الصف 50 27 11 12 عاشر-1 20 14 16 عاشر-2 100 47 25 28 سئل طلاب الصف العاشرحول تفضيلهم لبعض المواد وكانت النتائج كما فى الجدول أختير طالب عشوائياً من طلاب الصف العاشر ما احتمال أن يفضل الرياضيات يفضل الرياضيات بشرط أن يكون فى الصف العاشر - 1 إذا علمنا أنه فى الصف العاشر – 1 ؟ ن ( ) = 50 أ ليكن الحدث ” الطالب فى الصف العاشر – 1 ” أ ط ن ( ب ) = 12 أ والحدث ب ” الطالب يفضل الرياضيات ” أ ل ( ب / ) = ط ن ( ب ) ن ( ) 25 6 = 50 12 = = 0.24

Statistic and Probability الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى.

Similar presentations

Presentation on theme: "Statistic and Probability الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى."— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback

Log in

Auth with social network:

Statistic and Probability الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى.

Similar presentations

Presentation on theme: "Statistic and Probability الوحدة العاشرة : الإحصاء والاحتمال . Statistic and Probability تحليل البيانات . 1 الأرباعيات . 2 الأنحراف المعيارى."— Presentation transcript:

Similar presentations

About project

Feedback