1. Računari i matematika Dr Dragan Mašulović
Departman za mat. i informatiku
Univerzitet u Novom Sadu

2. PRVI DEO Na plećima divova
Predmehanička era
Mehanička era
Električna era

3. Predmehanička era

4. Predmehanička era Glavni blagajnik kod Inka:
Pločice sa rupama za računanje
Kanapi i čvorovi za zapisivanje brojeva

5. Predmehanička era
Drvene računaljke i brojanice: abakus, suan pan

6. Predmehanička era Kamenčićima: calculus Odatle: kalkulator
Na slici su prikazani brojevi 82 i 1241

7. Predmehanička era
William Oughtred (1575–1660):
šiber

8. Predmehanička era
Štapom i kanapom se mogu obavljati i složenije operacije: Napierovi štapići za računanje

9. Mehanička era

10. Mehaničke sabiraljke Heron iz Aleksandrije: mehanički brojač
Williem Schickard 1623: automatizacija osnovnih operacija

11. Mehaničke sabiraljke Blaise Pascal 1642: +,-, masovna upotreba
Gotfried Wilhelm Leibnitz 1671: sve četiri operacije

12. Mehanički računar Čarls Bebidž (1792—1871)
‚‚I have converted the infinity of space which was required by the conditions of the problem into the infinity of time’’

13. Analitička mašina Čarlsa Bebidža

14. Analitička mašina Čarlsa Bebidža

15. Prvi programer Ada Augusta King (1815—1852)
‚‚If you can’t give me poetry, give me poetical science!’’

16. Prvi program Ade Auguste

17. Električna era

18. Električne računaljke
Frederic Bull 1918: bušene kartice, tabulator, sortirač (izbori u USA)

19. Električne računaljke
Konrad Zuse 1936: Elektromehanički računar Z1

20. Električne računaljke
Howard Aiken, 1939: Mark I (IBM ASCC automatic sequence controlled calculator)

21. DRUGI DEO ‚‚Misleća mašina’’
Tjuringova mašina
Elektronska era
Tjuringov koncept digitalne mašine
Tjuringov koncept veštačke inteligencije

22. Alan Tjuring –

23. Tjuring i Entscheidungs- problem
1935. pohađa Newmanov kurs “Foundations of Mathematics”
Centralni deo kursa opisuje Hilbertov Entscheidungsproblem i diskutuje o ideji algoritma kao mehaničkog procesa

24. Tjuring i Entscheidungs- problem
Entscheidungsproblem: Hilbert, Ackermann “Grundzüge der theoretischen Logik” Da li postoji ALGORITAM koji može da odluči da li je data rečenica tačan aritmetički iskaz?
dva nivoa: filozofski i matematički

25. Tjuring i Entscheidungs- problem
aprila Tjuring daje Newmanu na uvid svoju prvu verziju rada “Computable Numbers” u kome negativno rešava Entscheidungsproblem:
uvodi pojam (matematičke) mašine
pokazuje da ne postoji mašina koja rešava Entscheidungsproblem

26. Tjuringova mašina
traka
tabela prelaza
kontrola

27. Primer: Tjuringova mašina za sabiranje binarnih brojeva
110
+ 011
1001

28. 1 @ # 
START
 Tekuće stanje mašine |
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

29. 1 @ # 
START
 Tekuće stanje mašine |
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

30. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

31. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

32. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

33. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

34. 1 @ # 
s01
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

35. 1 @ #  w1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

36. 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

37. 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

38. 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

39. 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

40. 1 @ # 
START
 Tekuće stanje mašine |
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

41. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

42. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

43. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

44. 1 @ #  d1
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

45. 1 @ # 
s01
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

46. 1 | @ #  w0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

47. 1 | @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

48. 1 | @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

49. 1 | @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

50. 1 | @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

51. 1 | @ # 
START
 Tekuće stanje mašine
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

52. 1 | @ #  d0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew 
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

53. 1 | @ #  d0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew 
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

54. 1 | @ #  d0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew 
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

55. 1 | @ #  d0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew 
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

56. 1 | @ # 
s01
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

57. | 1 @ #  w0
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

58. | 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

59. | 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

60. | 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

61. | 1 @ #  ff
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

62. | 1 @ # 
START
 Tekuće stanje mašine
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
STOP
1  STOP

63. | 1 @ # 
rew
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
STOP
1  STOP

64. | 1 @ # 
rew
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
STOP
1  STOP

65. | 1 @ # 
rew
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
STOP
1  STOP

66. | 1 @ # 
rew
 Tekuće stanje mašine
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
STOP
1  STOP

67. 1 @ # 
STOP
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
1  STOP

68. 1 @ # 
STOP
 Tekuće stanje mašine |
START
#  d0
#  d1
 rew  d0
 s00
 s01 d1
 s11
s00
  w0
  w1
s01
|  w0
s11
|  w1 w0
0 ff w1
1 ff ff
 ff
 START
rew
1  STOP

69. Značaj Tjuringovog rada
Detaljna analiza pojma izračunljivosti,
pojam univerzalne mašine
Tjuringova univerzalna mašina = RAČUNAR

70. Elektronska era: ENIAC
Proradio

71. Elektronska era: ENIAC
Težina: 30 tona
19000 elektronskih cevi
Potrošnja: 140 kW
Brzina: 5000 sabiranja u sekundi
Memorija: 20 decimalnih brojeva
Cena: USD

72. Tjuringov koncept digitalne mašine
Računar je univerzalna mašina
Program u unutrašnjoj memoriji
Binarni sistem, 1024 kao jedinica mere
Logičke operacije kao osnova hardvera

73. Tjuringov koncept digitalne mašine
‚‚If it should turn out that the basic logics of a machine designed for the numerical solution of differential equations coincide with the logics of a machine intended to make bills for a department store, I would regard this as the most amazing coincidence that I have ever encountered.’’
Howard Aiken, 1956.

74. Univerzalna mašina
ENIAC je morao da se dogradi da bi mu se omogućilo da uradi neki novi posao
Tjuring predlaže da se hardver fiksira, a da se sve nove operacije realizuju programerski

75. Program u unutrašnjoj memoriji
ENIAC se programirao lemilicom
Tjuring predlaže da se program pohranjuje u memoriji
Proces programiranja ne treba da menja hardver računara!

76. Binarni sistem Decimalni sistem: uslovljen istorijskim
Cifre
0 1
Primeri 1 2 10 3 11 4
100 5
101
Decimalni sistem:
uslovljen istorijskim
i kulturnim nasleđem
Binarni sistem:
0 = nema struje
1 = ima struje
Računaru je svejedno

77. Binarni sistem ENIAC radi decimalno, a Tjuring predlaže binarno
Jedinica mere: 2¹º = 1024
I program i podaci su u memoriji računara predsta-vljeni binarno
Slika pored: Komponenta ENIACa koja pamti jednu decimalnu cifru

78. Logičke operacije Logičke operacije su osnova računara x y x  y 1 x y1 x y
x  y 1 x x 1

79. Aritmetika i logika: polusabirač

80. Aritmetika i logika: sabirač

81. Vizija
Februara A. Tjuring u London Math. Soc. drži predavanje o mogućnostima računara; govori o
profesionalnim programerima i s/w industriji
programskim jezicima i interpretatorima simboličkih jezika

82. Vizija Izveštaj A. Tjuringa iz 1948: Operativni sistem
Logička kontrola programa (IF, GOTO)
Stek (BURRY, UNBURRY)
Potprogrami
Biblioteke potprograma

83. Računari i matematika danas
Teorija algoritama
Teorija računske složenosti

84. Studija slučaja: Teorija računske složenosti
Klasa P
Klasa NP
P = NP?

85. Studija slučaja: Teorija računske složenosti
RSA kriptosistem kao primer kriptosistema sa javnim ključem
Ključ: Caesar +2 PORUKA: Tajna poruka ŠIFRA: Vclpc rqtwmc

86. Studija slučaja: Teorija računske složenosti
RSA kriptosistem kao primer kriptosistema sa javnim ključem

87. Studija slučaja: Teorija računske složenosti
RSA kriptosistem kao primer kriptosistema sa javnim ključem