1. التحويلات الهندسية للدوال الجيبية Geometric Transformation of
Sinusoid function

2. دعنا نفكر ونتناقش g ( x ) = cos x g1(x) = - cos x
تعلمت أن الدالتان الجيبيتان f(x) = sin x , g ( x ) = cos x هما دالتان دوريتان وأن دورة كل دالة منهما هي : 2
أولا : يبين الشكل (1 ) التمثيل البياني للدالتين g , g1 حيث :
g ( x ) = cos x
g1(x) = - cos x

3. g ( x ) = cos x انعكاس انعكاس أكمل :
التمثيل البياني للدالة g2 حيث g2 ( x ) = cos (-x) ينطبق علي التمثيل البياني للدالة
g ( x ) = cos x
التمثيل البياني للدالة g1 حيث g1(x) = - cos x هو
للتمثيل البياني للدالة g حيث g ( x ) = cos x في المحور
انعكاس
السيني X-axis
التمثيل البياني للدالة g2 حيث g2 ( x ) = cos (-x) هو
للتمثيل البياني للدالة g حيث g ( x ) = cos x في المحور
انعكاس
الصادي Y-axis

4. ثانيا: يبين الشكل (2 ) التمثيل البياني للدالتين f, f1 حيث :
f(x)= sin x
f1(x)= -sin x

5. f1 ( x ) = - sinx انعكاس انعكاس أكمل :
التمثيل البياني للدالة f2 حيث f2 ( x ) = sin(-x) ينطبق علي التمثيل البياني للدالة
f1 ( x ) = - sinx
التمثيل البياني للدالة f1 حيث f1(x) = - sin x هو
للتمثيل البياني للدالة f حيث f ( x ) = sin x في المحور
انعكاس
السيني X-axis
التمثيل البياني للدالة f2 حيث f2 ( x ) = sin (-x) هو
للتمثيل البياني للدالة f حيث f ( x ) = sin x في المحور
انعكاس
الصادي Y-axis ***

6. الازاحة الأفقية Horizontal Translation
بيان الدالة y= f ( x – c) ينتج من إزاحة أفقية لبيان الدالة Y= f(x ) بمقدار c
f(x) = sin x
إذا كان c سالبأً فإن الإزاحة تكون جهة اليسار
إذا كان c موجباً فإن الإزاحة تكون جهة اليمين
f(x) = sin (x+/2)
f(x) = sin (x-/2)

7. الازاحة الرأسية Vertical translation
بيان الدالة y = f(x ) + k ينتج من إزاحة رأسية لبيان الدالة y = f (x ) بمقدار k
f(x) = sin x
إذا كان k سالبأً فإن الإزاحة تكون للأسفل
إذا كان k موجباً فإن الإزاحة تكون للأعلى
f(x) = sin (x)-1
f(x) = sin (x)+2

8. التمدد /الانكماش الأفقي Horizontal Stretch or Shrink
ليكن bعدداً موجباً
بيان الدالةy = f (bx) ينتج من انكماش/تمدد أفقي لبيان الدالة Y = f (x)
إذا كان b<1 : تمدد أفقي بمعامل (1/b)
إذا كان b>1 : انكماش أفقي بمعامل (1/b)
Y = f(x)=x3-2x
Y = f(x)=x3-2x
Y = f(0.5x)=(0.5x)3-2(0.5x)
Y = f(2x)=(2x)3-2(2x)
تمدد أفقي بمعامل (1/0.5) 2 =
انكماش أفقي بمعامل (1/2)

9. التمدد / الانكماش الرأسي Vertical Stretch or Shrink
بيان الدالة y=a f (x ) ينتج من انكماش/تمدد رأسي لبيان الدالة y =f(x)
إذا كان |a|>1:تمدد رأسي بمعامل |a|
إذا كان |a|<1:انكماش رأسي بمعامل |a|
Y = f(x)=x3-2x
Y = f(x)=x3-2x
Y =3 f(x)=3x3-6x
Y =0.6 f(x)=0.6x3-1.2x
تمدد رأسي بمعامل 3
انكماش رأسي بمعامل 0.6

10. f(x) = a sin (bx – h ) + k أو f(x) = a cos (bx – h ) + k
تطبيق التحويلات علي الدوال الجيبية Applying Transformation to Sinusoids
يمكن أن تطبق التحويلات السابقة علي أي دالة بما في ذلك الدوال المثلثية والتمثيلات البيانية التي نحصل عليهامن تطبيق هذة التحويلات علي دالتي الجيب وجيب التمام هي دوال جيبية
تكون الدالة جيبية إذا امكن كتابتها علي الشكل التالي :
f(x) = a sin (bx – h ) + k
أو f(x) = a cos (bx – h ) + k
حيث a, b , h , k ثوابت a ≠ 0 , b ≠ 0

11. cos x = sin ( x + /2 ) سوف نري في مثال لاحق أن
لذالك فإن رسم دالة جيب التمام هو نفسه رسم دالة الجيب بعد إزاحتها إلي اليسار بمقدار ( /2 ) وحدة .
Y=cos(x)
Y=sin(x+/2)
بسبب هذة العلاقة يمكن أن نعيد كتابة كل الدوال الجيبة علي الصورة: f (x) =a sin (bx - h ) + k

12. التمدد /الانكماش الرأسي وسعة الدالة الجيبية Vertical Stretch/Shrink and the Amplitude of a Sinusoid
عند تطبيق التمدد أو الانكماش الرأسي علي دالة جيبية فإن خاصية الدالة التي تتغير تسمي السعة حيث : سعة الدالة f(x) = a sin (b x- h) + k أو f(x) = a cos (b x - h) + k هي |a|

13. مثال (1 ):
صف العلاقة بين التمثيل
البياني للدالتين :
y1 = cos x, y2 = -2cos x
الحل :
سعة الدالةy2 هي : |a|
|a|=|-2|=2
|a| 1
التمثيل البياني للدالة
y2 =-2cos x
هو تمدد رأسي لمنحني
الدالة y1= cos x بمعامل 2
a سالبة يوجد
انعكاس في محور السينات
y1 = cos x
y2 = -2 cos x

14. حاول أن تحل (1 ):
صف العلاقة بين التمثيل
البياني للدالتين :
y1 = sin x , y2 = (1/3) sin x
الحل :
سعة الدالةy2 هي : |a|
|a|=|1/3|=1/3
|a| 1
التمثيل البياني للدالة
y2 =(1/3) sin x
هو انكماش رأسي لمنحني
الدالة y1= sinx بمعامل 1/3
y1 = sin x
y1 = (1/3)sin x

15. التمدد / الانكماش الأفقي و دورة الدالة Horizontal Stretch/Shrink and the Period
عند تطبيق التمدد الأفقي أو الانكماش الأفقي علي دالة جيبية فإن خاصية الدالة التي تتغير تسمي دورة الدالة حيث دورة كل منy= a cos (bx) , y= a sin (bx) هي (2/|b|)
فمثلاً التمثيل البياني للدالة y2 = sin 2x هو انكماش أفقي للتمثيل البياني للدالة : y1=sin x بمعامل (1/|b|)=(1/|2|)
وهذا بدورة يؤدي الي انكماش لدورة الدالة بمعامل (1/2) أي من 2 إلي 
و التمثيل البيانيy3 = sin (x/2) هو تمدد أفقي للتمثيل البياني y1 = sin x بمعامل: (1/|b|)=(1/|1/2|)=2
هذا بدورة يمد دورة الدالة بمعامل 2 أي من 2 إلي 4

16. y1 = sin x
y2 = sin (2x)
y3 = sin (x/2)

17. مثال (2 ):
صف العلاقة بين التمثيل البياني
للدالتين : y1 =sin x, y2 =sin4x
ارسم دورتين للدالة : y2 = sin4x
الحل :
يمكن الحصول علي التمثيل البياني للدالة y2 = sin4x من التمثيل البياني للدالة y1 = sin x
وذلك بانكماش أفقي بمعامل (1/|b|)=(1/|4|)=1/4
وهذا بدورة يؤدي الي انكماش
لدورة الدالة بمعامل (1/4)
أي من 2 إلي /2
y1 = sin x
y2 = sin (4x)

18. حاول أن تحل (2 ):
صف العلاقة بين التمثيل
البياني للدالتين :
y1 = cos x, y2 = cos (x/2)
ارسم دورتين من الدالة :
y2 = cos (x/2)
الحل :
يمكن الحصول علي التمثيل البياني للدالة y2 = cos (x/2) من التمثيل البياني للدالة y1 = cos x
وذلك بتمدد أفقي بمعامل (1/|b|)=(1/|1/2|)=2
y2 = cos (x/2)
وهذا بدورة يؤدي الي تمدد
لدورة الدالة بمعامل (2)
أي من 2 إلي 4
y1 = cos x

19. مثال ( 3 ):
صف العلاقة بين التمثيل البياني
للدالتين : y1 =sin x, y2 = 3 sin (2x)
y2 = 3 sin (2x)
الحل :
يمكن الحصول علي التمثيل البياني للدالة y2 = 3 sin 2x من التمثيل البياني للدالة y1 = sin x
وذلك بتمدد رأسي بمعامل 3 وانكماش أفقي بمعامل (1/|b|)=(1/|2|)=1/2
y1 = sin x
وهذا بدورة يؤدي الي
تغير في السعة من 1 إلى 3
تغير في الدورة من 2 إلي 4

20. حاول أن تحل ( 3 ):
صف العلاقة بين التمثيل
البياني للدالتين :
y1 = cos x, y2 = 2 cos (-x/3)
الحل :
يمكن الحصول علي التمثيل البياني للدالة y2 = 2 cos (-x/3) من التمثيل البياني للدالة y1 = cos x
وذلك بتمدد رأسي بمعامل 2
وتمدد أفقي بمعامل
(1/|b|)=(1/|-1/3|)=3
وهذا بدورة يؤدي الي
تغير السعة من 1 إلى 2
وتغير الدورة من 2 إلي 6
y1 = cos x
y2 = 2cos (-x/3)
bسالبة يوجد
انعكاس في محور الصادات
bسالبة في الدالة cos(bx) يمكن اهمال الاشارة (( دالة زوجية ))
حيث : Cos(bx)=cos(-bx) ,  b

21. دورة واحدة للدالة : 2cos (-x/3)
y1 = cos x
y2 = 2cos (-x/3)

22. الأزاحة الأفقية : Horizontal Translation
y= a sin( bx-h)
y= a sin( bx) a -a
الدورة = (2/b)
(2/b+h/b)
(h/b)
(2/b) a -a
الدورة = (2/b)
في دراستنا لدالة الجيب y= a sin( bx) تبين لنا أن السعة: |a| و الدورة : (2/|b|) رسم في الشكل المقابل دورة واحدة لبيان هذة الدالة عندما b>0 حيث x تتغير من 0 إلي (2/b) أو تتغير bx من 0 إلي 2
نناقش الآن بيان الدالة :
y= a sin( bx-h) y= a sin(b(x-h/b)) ,b,h , b  0
سيكون هذا البيان بيان دالة جيبية ، السعة : |a|
بما أن (bx-h) تتغير من 0 إلى 2 ، سنرسم دورة واحدة .
تبدأ هذه الدورة عندما : x=h/b bx-h=0
وتنتهي عندما : x=(2/b)+(h/b) bx-h =2
نرى أن بيان : y= a sin( bx-h) ينتج من ازاحة أفقية لبيان y= a sin( bx)
بمقدار h/b إلى جهة اليمين عندما h0 , وإلى جهة اليسار عندما h0
وبالمثل لبيان الدالة : y= a cos( bx-h)

23. مثال ( 4 ):
y2 = sin (x-/3)
صف العلاقة بين التمثيل البياني
لكل من الدالتين :
y1 = sin x , y2 = sin (x-/3)
y1 = cos(2x) , y2 = cos(2x+/4)
y1 = sin x
الحل :
y1 =sin x, y2 = sin (x-/3)
h=/3 ازاحة لجهة اليمين
و b=1 يفضل عدم تغير b في الاسئلة
مقدار الازاحة: (h/b)=( /3)/1= /3
يمكن الحصول على التمثيل البياني للدالة:
y2= sin (x-/3) بإزاحة أفقية مقدارها /3 لجهة اليمين

24. الحل :
y1= cos 2x,
y2= cos(2x+/4)
y2= cos(2(x+/8))
y2= cos(2(x-(-/8)))
h= -/8 ازاحة لجهة اليسار
و b=2
يفضل عدم تغير b في الاسئلة
مقدار الازاحة:/8
يمكن الحصول على التمثيل البياني الدالة:y2= cos(2x+/4) بإزاحة أفقية مقدارها /8 لجهة اليسار
y2 = cos(2x+/4)
y1 = cos (2x)

25. حاول أن تحل ( 4):
صف العلاقة بين التمثيل
البياني لكل من الدالتين :
y1= cos x, y2= cos (x+3/4)
y1= sin 3x, y2= sin(3x-7)
y1 = cos (x+3)
الحل :
y1 = cos x,
y2 = cos (x+3/4)
y2 = cos (x-(-3/4))
h= -3/4 ازاحة لجهة اليسار
و b=1
يفضل عدم تغير b في الاسئلة
مقدار الازاحة: 3/4
يمكن الحصول على التمثيل البياني الدالة:
y2= cos(x+3/4) بإزاحة أفقية مقدارها 3/4 لجهة اليسار
y1 = cos x

26. الحل :
y1= sin 3x,
y2= sin(3x-7)
y2= sin(3(x-7/3))
h= 7/3 ازاحة لجهة اليمين
و b=3
يفضل عدم تغير b في الاسئلة
مقدار الازاحة: 7/3
يمكن الحصول على التمثيل
البياني للدالة: y2 = sin(3x-7)
بإزاحة أفقية مقدارها 7/3
لجهة اليمين

27. مثال ( توضيحي):
بين أن التمثيل البياني للدالة :
y2= cos x هو ازاحة أفقية للتمثيل البياني ل y1= sin(x) أي أن : cos (x) = sin (x+/2)
y2= sin x هو ازاحة أفقية للتمثيل البياني ل y1= cos(x) أي أن : sin (x) = cos (x+/2)
y1 = sin x
y2 = sin (x+/2)
y2 = cos (x)
التمثيل البياني لمنحنى الدالة :
y2= sin(x+ /2) ينتج عن
ازاحة أفقية لمنحنى الدالة : y1= sin(x)
بمقدار (- /2) أفقيا أي مسافة(/2) وحدة جهة اليسار

28. y1 = cos x
y2 = cos (x-/2)
y2 = sin (x)
التمثيل البياني لمنحنى الدالة :
y2= cos(x- /2) ينتج عن
ازاحة أفقية لمنحنى الدالة : y1= cos(x)
بمقدار (/2) أفقيا أي مسافة(/2) وحدة جهة اليمين

29. cos ( x - /2 ) = sin x cos ( x + /2 ) = - sin x
المثال التوضيحي السابق يفسر صحة المتطابقات التي سبق دراستها وهي :
cos ( x - /2 ) = sin x
cos ( x + /2 ) = - sin x
sin( x ± /2 ) = cos x !!!!..
cos ( x ± 2 ) = cos x
sin( x ± 2 ) = sin x

30. الازاحة الرأسية Vertical Translation
بيان الدالة y = a sin (b x- h) + k ينتج عن إزاحة رأسية لبيان الدلة y = a sin (b x- h) بمقدار k ( إلى أعلى إذا كانت k موجبة و إلى أسفل إذا كانت k سالبة )
ويمكننا التعبير عن الازاحة الرأسية بالصورة التالية :
max f + min f 2 K=

31. y1 = 3 cos x , y2 = 3 cos x - 2 مثال ( 5 ): y1 = 3 cos x
صف العلاقة بين التمثيل
البياني لكل من الدالتين :
y1 = 3 cos x ,
y2 = 3 cos x - 2
y1 = 3 cos x
الحل :
حيث أن k =2
يمكن الحصول على التمثيل
البياني للدالة:
y2 = 3 cos x – 2
من التمثيل البياني للدالة :
y1 = 3 cos x
بإزاحة رأسية بمقدار 2 إلى أسفل
y2 = 3 cos x- 2

32. y1= ¾ sin x, y2= ¾ sin x +2 حاول أن تحل ( 5): صف العلاقة بين التمثيل
البياني لكل من الدالتين :
y1= ¾ sin x,
y2= ¾ sin x +2
y2 = ¾ sin x+2
الحل :
حيث أن k =2
يمكن الحصول على
التمثيل البياني للدالة:
y2= ¾ sin x +2
من التمثيل البياني للدالة :
y1= ¾ sin x
بإزاحة رأسية
بمقدار 2 إلى أعلى
y1 = ¾ sin x

33. ملخص التحويلا ت علي الدوال الجيبية Transformation Sinusoid Functions
التحويل الهندسي
بالتطبيق علي cos x
بالتطبيق علي sin x
التمدد /الانكماش الرأسي (السعة )
Y = a cos x
Y = a sin x
التمدد / الانكماش الأفقي (الدورة )
Y = cos bx
Y = sin bx
الإزاحة الأفقية
Y = cos ( x – h )
Y = sin ( x – h )
الإزاحة الرأسية
Y = cos x + k
+ k Y = sin x
الأنعكاس في محور السينات
Y = - cos x
y= - sin x
الأنعكاس في محور الصادات
Y =cos (-x ) = cosx
Y =sin (-x ) = -sin x

34. f(x) = 3 cos (x/2 -/6)+1 g(x) = sin (2-x)+4 مثال ( 6 ):
وضح كيف يمكن الحصول على التمثيل البياني لكل من الدالتين التاليتين عن طريق التحويلات الهندسية للدوال المثلثية : sin x أو cos x
ثم أوجد أيضاً سعة كل دالة ودورتها.
f(x) = 3 cos (x/2 -/6)+1
g(x) = sin (2-x)+4

35. f(x) = 3 cos (x/2 -/6)+1 f(x) = 3 cos(1/2 (x -/3))+1
الحل :
f(x) = 3 cos (x/2 -/6)+1
f(x) = 3 cos(1/2 (x -/3))+1
بالمقارنة مع
y = a cos(b (x -h/b))+k
نجد أن : a=3 , b=1/2 , h/b=/3 , k=1
يمكن الحصول على التمثيل البياني للدالة f من التمثيل البياني للدالة cos x عن طريق تطبيق التحويلات التالية بحسب الترتيب التالي:
أولاً : تمدد أفقي بمعامل : 1/|b|=1/(1/2)=2 للحصول على cos((1/2)x)
ثانياً : إزاحة أفقية إلى اليمين بمقدار (/3) للحصول على cos(1/2(x- /3))
ثالثاً : تمدد رأسي بمعامل |a|=|3|=3 للحصول على 3 cos(1/2(x- /3))
رابعاً : إزاحة رأسية إلى أعلى بمقدار k = 1 للحصول على
و تكون السعة : |a|=|3|=3
دورة الدالة : 2/|b|= 2/|(1/2)|=4

37. g(x) = sin (2-x)+4 g(x) = sin (-(x-2))+4 g(x) = - sin (x-2)+4
الحل :
g(x) = sin (2-x)+4
g(x) = sin (-(x-2))+4
g(x) = - sin (x-2)+4
بالمقارنة مع
y = a sin(b (x -h/b))+k
نجد أن : a=-1 , b=1 , h/b=2 , k=4
يمكن الحصول على التمثيل البياني للدالة g من التمثيل البياني للدالة sin x عن طريق تطبيق التحويلات التالية بحسب الترتيب التالي:
أولاً : إزاحة أفقية إلى اليمين بمقدار (h/b)=2 للحصول على sin (x- 2)
ثانياً : انعكاس في محور السينات للحصول على - sin (x- 2)
ثالثاً : إزاحة رأسية إلى أعلى بمقدار k = 4 للحصول على
و تكون السعة : |a|=|-1|=1
دورة الدالة : 2/|b|= 2/|1|=2

39. f(x) = cos (1 -x)+2 f(x) = cos (-(x -1))+2 f(x) = cos (x -1) +2
حاول أن تحل ( 6 ):
الحل :
f(x) = cos (1 -x)+2
f(x) = cos (-(x -1))+2
f(x) = cos (x -1) +2
بالمقارنة مع
y = a cos(b (x -h/b))+k
نجد أن : a=1 , b=1 , h/b=1 , k=2
يمكن الحصول على التمثيل البياني للدالة f من التمثيل البياني للدالة cos x عن طريق تطبيق التحويلات التالية بحسب الترتيب التالي:
أولاً : إزاحة أفقية إلى اليمين بمقدار (h/b)=1 للحصول على cos(x-1)
ثانياً : إزاحة رأسية إلى أعلى بمقدار k = 2 للحصول على
و تكون السعة : |a|=|1|=1
دورة الدالة : 2/|1|= 2/|1|=2
وضح كيف يمكن الحصول على التمثيل البياني لكل من الدالتين التاليتين عن طريق التحويلات الهندسية للدوال المثلثية : sin x أو cos x ثم أوجد أيضاً سعة كل دالة ودورتها.
f(x) = cos (1 -x)+2
g(x) = 2 sin (x/3+/4)-1

41. g(x) = 2 sin (1/3(x-(-3/4))-1
بالمقارنة مع
y = a sin(b (x -h/b))+k
نجد أن : a= 2 , b=1/3 , h/b= -3/4 , k= -1
يمكن الحصول على التمثيل البياني للدالة g من التمثيل البياني للدالة sin x عن طريق تطبيق التحويلات التالية بحسب الترتيب التالي:
أولاً : تمدد أفقي بمعامل (1/|b|)= 1/|1/3|=3 للحصول على sin ((1/3) x)
ثانياً :إزاحة أفقية إلى اليسار بمقدار (h/b)= 3/4 للحصول على sin (1/3(x- (-3/4))
ثالثاً : تمدد رأسي بمعامل |a|=|2|=2 للحصول على 2 sin (1/3(x- (-3/4))
رابعاً : إزاحة رأسية إلى أسفل بمقدار k = 1 للحصول على
و تكون السعة : |a|=|2|=2
دورة الدالة : 2/|b|= 2/|(1/3)|=6

43. تطبيق حياتي إثرائي مثال ( 7 ):
تبين الدراسات أن في إحدي المدن يبلغ معدل الساعات حيث الشمس مشرقة خلال الانقلاب الصيفي ساعة وخلال الانقلاب الشتوي ساعة
أوجد دالة جيبية علي الصورة f(x ) = a sin (bx –h ) + k تنمذج هذه البيانات.
استخدم هذة الدالة لتوقع عدد الساعات حيث الشمس مشرقة في هذة المدينة في أول إبريل أي في اليوم 91 من العام.
مثال ( 7 ):

44. الحل : (a ) الخطوة 1 : a =1/2(max f – min f) =(15. 283-9. 067)/2= 3
الحل : (a ) الخطوة 1 : a =1/2(max f – min f) =( )/2= الخطوة 2 : K=(max f +min f)/2 =( )/2= الخطوة 3 : تتكرر البيانات كل 365 يوم T=365 , T = 2/b 2/b = 365 , b= 2/365 f (x)= sin ((2/365) x – h ) (1) الخطوة 4 : لايجاد الازاحة الافقية نحل المعادلة (1) في h بالتعويض عن f(x) ب وعن x ب 355 ( يقع الانقلاب الشتوي في 21 ديسمبر أي في اليوم 355 العام ). =

45. 9.067 = sin ((2/365)*355 –h )
= sin ((2/365)*355 –h )
-1= sin ((2/365)*355 –h )
(2/365)*355 –h =-/2
h = (357/146) 
معادلة الدالة هي :
f ( x) = sin ((2/365)*x – (357/146)) (2)
(b )
لتوقع عدد الساعات حيث الشمس مشرقة في 1 إبريل نعوض عن x بـ 91 في المعادلة (2) فنصل على :
f (91) = sin ((2/365)*(91) – (357/146))
f (91)  12.69
يتوقع أن يكون عدد الساعات حيث الشمس مشرقة في 1 إبريل في هذه المدينة حوالي 12.69

46. ملخص التحويلات الهندسية للدوال الجيبية
* ملاحظات
f(x)= 3 sin (2-x)+5 = -3 sin (x-2)+5
f(x)= 3 cos (2-x)+5 = 3 cos (x-2)+5
مثال:
f(x)= -3 sin (2x-/3)+5 ينتج عن ( تمدد أفقي بمعامل 1/2 ، ازاحة افقية لليمين بمعامل /6 ، تمدد رأسي بمعامل 3 و انعكاس في محور السينات ، ازاحة رأسية بمعامل 5
*** يجب مراعاة ترتيب التحويلات الهندسية