1. Curs 2 Structuri de date avansate pentru cautare 2-3 arbori B-arbori
arbori bicolori
Tabele hash
Arbori digitali

2. 2-3-arbori: definitie valStg valStg valMij subarbore stanga mijlociu
orice nod intern v are 2 fii (este de aritate 2) sau 3 fii (este de aritate 3)
valStg
valStg
valMij
subarbore
stanga
mijlociu
dreapta
p->stg
p->drp
p->mij

3. 2-3-arbori : definitie valStg valStg < y x < valStg
pentru orice nod v de aritate 2, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu
valStg
x < valStg
valStg < y

4. 2-3-arbori : definitie valStg valMij x< valStg valStg< y <
pentru orice nod v de aritate 3, valorile memorate in subarborele stinga < vvalStg < valorile memorate in subarborele mijlociu < vvalMijl < valorile memorate in subarborele dreapta
valStg
valMij
x< valStg
valStg<
y <
valMij<z

5. 2-3-arbori : definitie
toate nodurile de pe frontiera au acelasi nivel h

6. cautare in 2-3-arbore function poz23Arb(t, a) begin p  t
while (p != NULL) do
switch(cmp(a, p))
case 1: p  p->stg; break;
case 2: p  p->mij; break;
case 3: p  p->drp; break;
case 4: return p;
return p
end

7. inserare in 2-3-arbore
10; 20
40; 50
70; 
90; 
110; 120
30; 60
100; 
80;  35
10; 20
70; 
90; 
110; 120
30; 60
100; 
80;  40
35; 
35; 
50; 
50; 

8. iserare 2-3-arbore (continuare)
10; 20
50; 
70; 
90; 
110; 120
35; 
100; 
80;  40
30; 
60; 
40; 80
10; 20
50; 
70; 
90; 
110; 120
35; 
100; 
60; 
30; 

9. iserare 2-3-arbore (continuare)
subprograme necesare
radNoua(t, x, q)
t: intrare – rad subarb. stg.
iesire – noua rad.
q rad. subarb. drp
poz23ArbMod(t, x, s)
memoreaza drumul in stiva s
insInNod(p, x, q)
similar subprogramului radNoua()
imparte(p, x, q)
similar subprogramului insInNod()

10. iserare 2-3-arbore (continuare)
procedure ins23Arb(t, x)
begin
if (t == NULL) then radNoua(t, x, NULL)
else p = poz23ArbMod(t, x, s)
if (p == NULL) then throw ”x in t”
else q  NULL
while(true) do
if (p->valMij = )
then insInNod(p, x, q); break
imparte(p, x, q)
if (p = t)
then radNoua(t, x, q); break;
else p = top(s);
pop(s);
end

11. stergere 2-3-arbore
10; 20
50; 
90; 
110; 120
35; 
100; 
60; 
30; 
40; 80
70; 
10; 20
90; 
110; 120
35; 
100; 
30; 
40; 80
50; 60

12. stergere 2-3-arbore: combinare
50; 60
10; 20
90; 
110; 120
35; 
100; 
30; 
40; 80
80; 
10; 20
35; 
50; 60
90; 
110; 120
100; 
30; 40

13. stergere 2-3-arbore: rotatie
roteste dreapta
100; 
; 
30; 40
50; 80 60
100; 
50; 
30; 
40; 80

14. stergere 2-3-arbore modifica p
atat timp cat p are zero elemente && p nu e radacina
fie r radacina lui p
fie q fratele lui p (stg. sau drp. dupa caz)
daca q este de aritate 3
atunci roteste
altfel combina
r devine p
Exerc. Sa se scrie procedura de stergere
Teorema
Clasa 2-3-arborilor este O(log n)-stabila.

15. B-arbori - motivatie
Un index ordonat este un fisier secvential. Pe masura ce dimensiunea acestuia creste, cresc si dificultatile de administrare
Solutia: indexarea pe mai multe nivele .
un posibil instrument : B arborii
Algoritmii de cautare intr-un index ( fisier) neorganizat pe nivele nu pot depasi performanta O(log2n) intrari/iesiri (I/O)
Indexarea pe mai multe nivele are ca rezultat algoritmi de cautare de ordinul O( logd n) I/O, unde
d = dimensiunea elementului din arborele de index

16. Organizarea pe nivele a indexului

17. B-arbori Fiecare nod are un numar variabil de chei si fii
Cheile sunt memorate in ordine crescatoare
Fiecare cheie are asociat un fiu care este radacina unui subarbore ce contine toate nodurile cu chei <= cheia respectiva dar mai mari decat cheia precedenta
Un nod are de asemenea un fiu extrem-dreapta care care este radacina unui subarbore ce contine toate nodurile cu chei > orice cheie din nod
Fiecare nod are cel putin un numar de f-1 chei (f fii)
f = factorul de minimizare
Doar radacina poate avea mai putin de f fii
Fiecare nod are cel mult 2f-1 chei (2f fii)
Lungimea oricarui drum de la radacina la o frunza trebuie sa fie aceeasi

18. B-arbore: structura unui nod

19. Optimizarea accesului la disc
Daca fiecare nod necesita accesarea discului atunci B-arborii vor necesita numar minim de astfel de accesari
Factorul de minimizare va fi ales astfel incat dimensiunea unui nod sa corespunda unui multiplu de blocuri ale dispozitivului de memorare
Aceasta alegere optimizeaza accesarea discului
Inaltimea h a unui B-arbore cu n > 0 chei si f > 1 este
h <= logf[(n+1)/2]

20. B-arbori: cautarea function B-Tree-Search(v, k) i  0;
while (i < v->nrChei  k > v->cheie[i]) do
i  i + 1
if (i <= v->nrChei  k = v->cheie[i] )
then return (v, i)
if (v->tipNod = frunza) then return NULL
citesteDisk(v->fiu[i])
return B-Tree-Search(v->fiu[i], k)
end

21. B-arbori: insertia
Pentru a efectua o insertie intr-un B-arbore trebui intai gasit nodul in care urmeaza a se face insertia.
Pentru aceasta se aplica un algoritm similar cu BTree-Search.
Apoi cheia urmeaza a fi inserata
Daca nodul determinat anterior contine mai putin de 2f-1chei se face inserarea
Daca acest nod contine 2f-1 chei urmeaza spargerea acestuia
Procesul de spargere poate continua pana in radacina
Pentru a evita doua citiri de pe disc ale aceluiasi nod, algoritmul sparge fiecare nod plin (2f-1 chei) intalnit la parcurgea top-down in procesul de cautare a nodului in care urmeaza a se face inserarea
Timpul de spargere a unui nod este O(f)
Rezulta pentru insertia complexitatea timp O(f log n)

22. B-arbori: eliminarea
daca nodul gazda a cheii ce urmeaza a fi stearsa nu este frunza, atunci se efectueaza o interschimbare intre acesta si succesorul sau in ordinea naturala a cheilor. Se repeta operatia pana se ajunge intr-o frunza, care devine nod curent;
se sterge intrarea corespunzatoare cheii;
daca nodul curent contine cel putin f-1 chei, operatia de stergere se considera terminata;
daca nodul curent contine mai putin decat f-1 chei se considera fratii vecini;
daca unul din fratii vecin are mai mult decat f-1 chei, atunci se redistribuie una dintre intrarile acestui frate in nodul parinte si una din intrarile din nodul parinte se redistribuie nodului curent (deficitar);
daca ambii fratii au exact f-1 chei, atunci se uneste nodul curent cu unul dintre fratii vecini si cu o intrare din parinte;
daca nodul parinte devine deficitar (contine mai putin decat f-1 chei) acesta devine nod curent si se reiau pasii 5-6.

23. Arbori bicolori
un arbore bicolor este caracterizat de urmatoarele proprietati:
sint arbori binari de cautare in care nodurile pendante (coresp. intervalelor) fac parte din structura
fiecare nod este colorat cu negru sau rosu
toate nodurile de pe frontiera sint negre
daca un nod este rosu atunci ambii fii ai acelui nod sint negri
pentru orice nod v, toate drumurile simple care pleaca din acel nod si se opresc intr-un nod de pe frontiera, au acelasi numar de noduri negre

24. Exemplu de arbore bicolor70 40 20 60 50
100 80 90
110

25. arbori bicolori - proprietati
Notatie
bh(x) = numarul de noduri negre aflate pe un drum din x pe frontiera (x nu se considera)
bh(x) nu depinde de drum (ultima conditie)
Lema
Subarborele cu radacina in x contine cel putin
noduri interne.
Teorema
Inaltimea unui arbore bicolor este cel mult 2log(n + 1).
Arborii bicolori sint echilibrati.

26. arbori bicolori - inserare2 1 14 11 7 8 15 4 5 x y
unchiul lui x
recolorare

27. arbori bicolori - inserare2 1 14 11 7 8 15 4 5 x y
unchiul lui x
roteste stanga

28. arbori bicolori - inserare7 1 14 11 2 8 15 4 5 x y
unchiul lui x
roteste dreapta

29. arbori bicolori - inserare
recoloreaza 7 1 14 11 2 8 15 4 5

30. arbori bicolori - inserare7 2 11 1 14 5 8 15 4

31. Hashing (dispersie) Tipul de data abstract TabelaDeSimboluri
entitati de tip data: o colectie de perechi (nume, atribute) in care numele identifica unic perechea
operatii:
Atribut(TS, nume) – cauta numele in tabela TS numele nume si intoarce atributele acestuia (daca il gaseste)
Insereaza(TS, nume, atribut)- insereaza in tabela TS perechea (nume, atribut)
Elimina(TS,nume) – cauta in tabela TS numele nume si daca-l gaseste il elimina impreuna cu atributele sale.

32. Hashing (dispersie) Implementarea prin tehnica dispersiei
structura de date
o tabela (hash sau de dispersie) T[0..p-1] cu p numar prim de obicei
o functie hash h: mult. numelor  [0..p-1]

33. Hashing (continuare I)
operatii
cautarea
i = h(nume)
if (T[i]  )
then return T[i]->atrib
inserarea
then throw “ERR: coliziune”
else T[i]->atrib  atribut
eliminarea
then T[i]  

34. Hashing (continuare II)
Alegerea functiei hash
h(x) = x % p
h( ) = ( )%p
daca x este sir:
unsigned hashVal=0;
while (*x != ‘\0’)
hashVal = (hashVal << 5) + *x++;
return hashVal % p

35. Hashing (continuare III)
coliziunea
inlantuire
numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor cu succes = 1 + b/2, unde b = #S/p este factorul de incarcare al tabelei
adresare deschisa liniara
se cerceteaza pe rind pozitiile
h(x,i), i = 0,1,2, ...
unde h(x,i) =(h1(x)+i) % p
numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor FARA succes = 1/(1-b)
numarul mediu de comparatii in cazul cautarilor CU succes = ½(1 + 1/(1-b))

36. Arbori digitali - I
Cazul cheilor de aceeasi lungime
S = {102, 120, 121, 210, 211, 212}

37. Arbori digitali - II algoritmul de cautare function poz(a, m, t) i  0
p  t
while ((p != NUL) && (i<m)) do
p  succ[a[i]]
i  i+1
return p
end

38. Arbori digitali - III
Cazul cheilor de lungime diferita

39. Arbori digitali - IV
compactarea lanturilor

40. Arbori digitali - V
Inserarea lui 0111 in structura compactata

41. Arbori digitali - VI
Eliminarea lui 1011 in structura compactata